CN107273625A - 一种三维不可压缩非定常n‑s方程有限元数值求解方法 - Google Patents
一种三维不可压缩非定常n‑s方程有限元数值求解方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种三维不可压缩非定常N‑S方程有限元数值求解方法，首先应用数学分裂的方法将N‑S方程分裂成扩散方程、对流方程以及压力修正方程，再根据n时刻值的初值和边界条件，由扩散方程计算得到n+1时刻的第一速度过渡值，然后由对流方程算出n+1时刻第二速度过渡值，根据压力泊松方程计算得到n+1时刻的压力值，根据速度修正方程计算得到n+1时刻的速度值，采用支反力公式计算流体对边界的作用力，最后判断当前时间步是否达到模拟时长，若达到则停止计算，否则进入下一步时间循环计算直到达到模拟时长。本发明中速度‑压力插值函数无需满足LBB条件，有效避免了有限元修正权函数的困难，同时计算效率大大提高。
Description
技术领域
本发明属于流体力学技术领域，具体涉及一种三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法的设计。
背景技术
流体流动是工程实际中普遍存在的现象，比如在航空、机械、建筑、动力、水力、化工、能源、环境、生物等工程领域，存在着大量的与流体流动相关的问题。在某种意义上讲，正是在流体力学问题的研究不断取得新成果的前提下，才促进了这些工程技术领域的大力发展。
湍流运动又是流体运动的常见现象，Navier-Stokes(N-S)方程是描述湍流运动的基本控制方程，它能够从本质上描述流体运动的规律，如大气运动、海洋流动、轴承润滑、透平机械内部流动等。但是标准Calerkin有限元法用于非定常不可压N-S方程求解时，会出现数值振荡。主要原因有两点：一是由于压力变量不出现在连续方程中，离散过程中速度场和压力场有限元插值函数的组合不恰当，使得LBB条件下不能满足，从而引起压力场的数值振荡；二是动量方程中存在非线性的对流项，当雷诺数较高对流占优时，标准Galerkin有限元求解法将导致数值振荡。
为避免速度-压力插值函数不满足LBB条件而导致的压力场的数值振荡，Chorin提出了投影法，速度-压力的插值函数无需满足LBB条件并且能够高效地计算非定常问题。在针对对流占优导致的数值解振荡，学者们发展了多种稳定化有限元解决该问题。目前应用较为广泛的有SUPG法、Taylor-Calerkin法、特征-Galerkin法等。Wang等将Taylor展开引入到特征线-Galerkin法，结合算子分裂法的优点提出特征线算子分裂(CBOS)有限元。对流项借鉴CBS算法，避免了P-G法等其他有限元法修正权函数的困难。但是由于压力插值函数比速度插值函数低一阶，使得不能随意取速度-压力插值函数，对流方程采用显示求解，同时时间步长要求较为苛刻，计算成本高。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术中的上述不足，提出一种三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，通过引入一个无需满足散度为零约束条件的中间变量对压力和速度解耦求解，使得计算速度更快；此时速度与压力插值函数可以采用同阶插值，避免速度与压力插值函数不满足LBB条件而导致的压力场的数值振荡。
本发明的技术方案为：一种三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，包括以下步骤：
S1、建立工程对象数字模型，并对工程对象数字模型进行计算网格划分；
S2、设置模拟计算时的材料参数、边界条件、模拟时长及时间步长；
S3、将N-S方程应用于计算网格划分后的工程对象数字模型，应用数学分裂的方法将N-S方程：
▽·ui＝0 (1)
分裂成扩散方程：
对流方程：
压力修正方程：
式(1)-(2)中，ui表示流体在x,y,z三个方向上的速度(u,v,w)，下标i＝1,2,3，p为压力，t为时间，Re为雷诺数，fi表示流体在x,y,z三个方向上的质量力(fx,fy,fz)，▽为哈密顿算子，Δ为拉普拉斯算子；式(3)中，表示n+1时刻的第一速度过渡值；式(4)中，表示n+1时刻的第二速度过渡值；式(5)-(6)中，表示n+1时刻的速度值，pn+1表示n+1时刻的压力值。
S4、根据材料参数、边界条件以及扩散方程计算得到n+1时刻的第一速度过渡值；
S5、根据第一速度过渡值和对流方程计算得到n+1时刻的第二速度过渡值；
S6、根据压力修正方程得到压力泊松方程，结合第二速度过渡值计算得到n+1时刻的压力值；
S7、根据压力修正方程得到速度修正方程，结合第二速度过渡值及n+1时刻的压力值计算得到n+1时刻的速度值；
S8、采用支反力公式计算流体对边界的作用力；
S9、判断当前时间步是否达到模拟时长，若达到则停止计算，否则返回步骤S2。
本发明的有益效果是：本发明首次将N-S方程应用于三维模型，同时借用投影法特征线算子分裂有限元的思路，将三维不可压缩非定常N-S方程的压力、速度进行解耦计算，速度与压力插值函数可以采用同阶插值，使得速度-压力插值函数无需满足LBB条件，有效的避免了P-G法等有限元修正权函数的困难，同时由于压力和速度的解耦计算，使得计算效率大大提高。
进一步地，步骤S4具体为：
对于扩散方程(3)采用三步有限元格式求解n+1时刻的第一速度过渡值
式(7)-(9)中，Δt为时间步长，表示扩散方程在n+Δt/3时刻的解，示扩散方程在n+Δt/2时刻的解，xj表示方向，下标j＝1,2,3，分别对应xj取x方向、y方向、z方向。
上述进一步方案的有益效果为：扩散方程采用三步有限元格式，使得由n时刻出发计算n+1时刻函数值时具有三阶精度，提高了整体计算精度。
进一步地，步骤S5具体为：
对于对流方程(4)采用相容方程替代偏微分方程，得到：
对对流方程的相容方程(10)采用多步有限元格式，得到：
式(10)-(11)中，h为每个整体时间步内的分步数，下标i＝1,2,3，j＝1,2,3，k＝1,2,3，子时间步长若l＝1则若l＝h则将第一速度过渡值代入式(10)-(11)，计算得到n+1时刻的第二速度过渡值
上述进一步方案的有益效果为：对流方程采用多步格式计算，降低了对整体时间步长的要求，提高了算法的稳定性。
进一步地，步骤S8具体为：
采用支反力公式计算流体对边界的作用力：
式(14)中，n表示n时刻，Γ为边界面积分项，Ω为体积分项，δui表示速度虚位移，δp表示压力虚位移。
上述进一步方案的有益效果为：借鉴固体力学支反力概念来计算流体对固体边界的作用力，并将该算法首次应用与三维模型中。传统求解支反力的方法是根据积分公式出发，其中涉及角度的正、余弦值，给计算复杂模型中流体对固体边界作用力带来了一定的困难；而借鉴固体力学支反力概念来计算流体对固体边界的作用力是根据N-S方程的扩散项的弱形式出发，使得求解复杂模型中流体对固体边界的作用力变得简单而不受模型形状的制约。
进一步地，步骤S2中的边界条件包括速度边界条件和出口对流边界条件，出口对流边界条件表示为：
式中uc为入口来流的最大速度。
上述进一步方案的有益效果为：引入了出口边界条件来加快计算速度，同时使得自由出口边界条件的稳定度大大提高。
附图说明
图1所示为本发明实施例提供的一种三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法流程图。
图2所示为本发明实施例提供的方腔流计算模型示意图。
图3所示为本发明实施例提供的雷诺数为1000时三维顶板驱动方腔流等值面图。
图4所示为本发明实施例提供的三维方腔内中垂面上x速度分量与现有数值模拟对比示意图。
具体实施方式
现在将参考附图来详细描述本发明的示例性实施方式。应当理解，附图中示出和描述的实施方式仅仅是示例性的，意在阐释本发明的原理和精神，而并非限制本发明的范围。
本发明实施例提供了一种三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，如图1所示，包括以下步骤S1-S9：
S1、建立工程对象数字模型，并对工程对象数字模型进行计算网格划分。本发明实施例中，工程对象数字模型是采用数值分析通用图形用户界面进行创建的，如图2所示，数字模型为长宽高都为1的方腔，采用无量纲形式，模型中的网格被划分为六面体八节点单元。
S2、设置模拟时的相关参数及条件，具体包括：
(1)材料参数。
本发明实施例中，材料参数包括材料密度、雷诺数Re、质量力fi，参数具体数值设置如下表：
(2)边界条件。
本发明实施例中，边界条件包括速度边界条件和出口对流边界条件，出口对流边界条件表示为：
式中uc为入口来流的最大速度。
速度边界条件设置为：顶板设置无因次速度u＝1,v＝0,w＝0，四周壁为不可滑移边界条件(u＝0,v＝0,w＝0)。在设置边界条件的同时应当设置相应的压力参考点。
(3)模拟时长及时间步长。
本发明实施例中，模拟时长设置为Tmax＝50，时间步长设置为Δt＝0.01。
S3、将N-S方程应用于计算网格划分后的工程对象数字模型，应用数学分裂的方法将N-S方程：
▽·ui＝0 (1)
分裂成扩散方程：
对流方程：
压力修正方程：
式(1)-(2)中，ui表示流体在x,y,z三个方向上的速度(u,v,w)，下标i＝1,2,3，p为压力，t为时间，Re为雷诺数，fi表示流体在x,y,z三个方向上的质量力(fx,fy,fz)，▽为哈密顿算子，Δ为拉普拉斯算子；式(3)中，表示n+1时刻的第一速度过渡值；式(4)中，表示n+1时刻的第二速度过渡值；式(5)-(6)中，表示n+1时刻的速度值，pn+1表示n+1时刻的压力值。
S4、根据材料参数、边界条件以及扩散方程计算得到n+1时刻的第一速度过渡值。
本发明实施例中，对于扩散方程(3)采用三步有限元格式求解：
式(7)-(9)中即在每一整体时间步内将扩散方程分为3步进行求解，其中Δt为时间步长，表示扩散方程在n+Δt/3时刻的解，示扩散方程在n+Δt/2时刻的解，xj表示方向，下标j＝1,2,3，分别对应xj取x方向、y方向、z方向。
代入n时刻值的速度初值和步骤S2设定的边界条件即可求得n+1时刻的第一速度过渡值
S5、根据第一速度过渡值和对流方程计算得到n+1时刻的第二速度过渡值。
本发明实施例中，对于对流方程(4)采用相容方程替代偏微分方程，得到：
对对流方程的相容方程(10)采用多步有限元格式，得到：
式(10)-(11)中，在每一个整体时间步内将对流方程分为h步进行求解，h为每个整体时间步内的分步数，下标i＝1,2,3，j＝1,2,3，k＝1,2,3，子时间步长若l＝1则若l＝h则将第一速度过渡值代入式(10)-(11)，计算得到n+1时刻的第二速度过渡值
S6、对式(5)两边同时取散度并联立式(6)，得到压力泊松方程：
将第二速度过渡值代入式(12)，计算得到n+1时刻的压力值pn+1。
S7、整理式(5)得到速度修正方程：
将第二速度过渡值及n+1时刻的压力值pn+1代入式(13)，计算得到n+1时刻的速度值
S8、采用支反力公式计算流体对边界的作用力：
式(14)中，n表示n时刻，Γ为边界面积分项，Ω为体积分项，δui表示速度虚位移，δp表示压力虚位移。
S9、判断当前时间步是否达到模拟时长Tmax，若达到则停止计算，否则返回步骤S2进入下一步时间循环计算，直到达到模拟时长Tmax。
如图3所示，从左至右分别为三维顶板驱动方腔流雷诺数为1000时，速度值为0.18的等值面图、压力等值面图、涡量等值面图。根据速度值为0.18的等值面图，由于侧面壁的阻滞作用，流体在侧面壁附近堆积并发生翻卷，从而导致方腔流角涡的形成；从压力等值面图和涡量等值面图也可以看出由于侧壁的影响而存在的三维效应。
如图4所示为三维方腔内中垂面上x速度分量与现有数值模拟对比示意图。通过将本发明算法计算得出的三维方腔内中垂面上x速度分量与KL.Wong等学者对中、低雷诺数下的方腔流进行的数值模拟结果进行对比可知，二者曲线基本吻合，说明本发明有较高的计算精度及稳定性。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。
Claims (9)
1.一种三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、建立工程对象数字模型，并对工程对象数字模型进行计算网格划分；
S2、设置模拟计算时的材料参数、边界条件、模拟时长及时间步长；
S3、将N-S方程应用于计算网格划分后的工程对象数字模型，并应用数学分裂的方法将所述N-S方程分裂成扩散方程、对流方程以及压力修正方程；
S4、根据所述材料参数、边界条件以及扩散方程计算得到n+1时刻的第一速度过渡值；
S5、根据所述第一速度过渡值和对流方程计算得到n+1时刻的第二速度过渡值；
S6、根据所述压力修正方程得到压力泊松方程，结合所述第二速度过渡值计算得到n+1时刻的压力值；
S7、根据所述压力修正方程得到速度修正方程，结合所述第二速度过渡值及n+1时刻的压力值计算得到n+1时刻的速度值；
S8、采用支反力公式计算流体对边界的作用力；
S9、判断当前时间步是否达到模拟时长，若达到则停止计算，否则返回步骤S2。
2.根据权利要求1所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S2中的材料参数包括材料密度、雷诺数、质量力。
3.根据权利要求2所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S3具体为：
应用数学分裂的方法将N-S方程：
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式(1)-(2)中，ui表示流体在x,y,z三个方向上的速度(u,v,w)，下标i＝1,2,3，p为压力，t为时间，Re为雷诺数，fi表示流体在x,y,z三个方向上的质量力(fx,fy,fz)，为哈密顿算子，Δ为拉普拉斯算子；式(3)中，表示n+1时刻的第一速度过渡值；式(4)中，表示n+1时刻的第二速度过渡值；式(5)-(6)中，表示n+1时刻的速度值，pn+1表示n+1时刻的压力值。
4.根据权利要求3所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S4具体为：
对于扩散方程(3)采用三步有限元格式求解n+1时刻的第一速度过渡值
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<mo>&part;</mo>
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<mi>x</mi>
<mi>j</mi>
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</mrow>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(7)-(9)中，Δt为时间步长，表示扩散方程在n+Δt/3时刻的解，示扩散方程在n+Δt/2时刻的解，xj表示方向，下标j＝1,2,3，分别对应xj取x方向、y方向、z方向。
5.根据权利要求4所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S5具体为：
对于对流方程(4)采用相容方程替代偏微分方程，得到：
<mrow>
<msubsup>
<mi>u</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
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</msubsup>
<mo>-</mo>
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<mi>u</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
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<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
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</msubsup>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>t</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
<msubsup>
<mi>u</mi>
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<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
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<mn>1</mn>
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</msubsup>
<mfrac>
<mrow>
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<msubsup>
<mi>u</mi>
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<mo>+</mo>
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<mn>1</mn>
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<mrow>
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<mi>j</mi>
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</mfrac>
<mo>+</mo>
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<mrow>
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<mn>2</mn>
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<mn>2</mn>
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<mi>n</mi>
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<mi>k</mi>
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<mi>u</mi>
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<mo>+</mo>
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<mfrac>
<mrow>
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<mrow>
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<mo>+</mo>
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<mn>1</mn>
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<mrow>
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<mi>x</mi>
<mi>j</mi>
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</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对对流方程的相容方程(10)采用多步有限元格式，得到：
<mrow>
<msubsup>
<mi>u</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>h</mi>
</mfrac>
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<mi>h</mi>
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<mfrac>
<mrow>
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</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(10)-(11)中，h为每个整体时间步内的分步数，下标i＝1,2,3，j＝1,2,3，k＝1,2,3，子时间步长l＝1,2,...,h，若l＝1则若l＝h则将第一速度过渡值代入式(10)-(11)，计算得到n+1时刻的第二速度过渡值
6.根据权利要求5所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S6具体为：
对式(5)两边同时取散度并联立式(6)，得到压力泊松方程：
<mrow>
<mi>&Delta;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
<msup>
<mi>p</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
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<mo>+</mo>
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</msubsup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
将第二速度过渡值代入式(12)，计算得到n+1时刻的压力值pn+1。
7.根据权利要求6所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S7具体为：
整理式(5)得到速度修正方程：
<mrow>
<msubsup>
<mi>u</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>-</mo>
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<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
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<mn>2</mn>
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</msubsup>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
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<mo>&CenterDot;</mo>
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<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2
将第二速度过渡值及n+1时刻的压力值pn+1代入式(13)，计算得到n+1时刻的速度值
8.根据权利要求3所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S8具体为：
采用支反力公式计算流体对边界的作用力：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>&Integral;</mo>
<mo>&Integral;</mo>
<msub>
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<mrow>
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<msubsup>
<mi>u</mi>
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<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
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<mn>1</mn>
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</msubsup>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
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</mfrac>
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<mi>&delta;u</mi>
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<mrow>
<mo>-</mo>
<mfrac>
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<mo>&CenterDot;</mo>
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<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
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</msubsup>
<mo>&dtri;</mo>
<mo>&CenterDot;</mo>
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<mi>&delta;u</mi>
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<mi>d</mi>
<mi>&Omega;</mi>
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</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>14</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(14)中，n表示n时刻，Γ为边界面积分项，Ω为体积分项，δui表示速度虚位移，δp表示压力虚位移。
9.根据权利要求3所述的三维不可压缩非定常N-S方程有限元数值求解方法，其特征在于，所述步骤S2中的边界条件包括速度边界条件和出口对流边界条件，所述出口对流边界条件表示为：
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msubsup>
<mi>u</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</msubsup>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>u</mi>
<mi>c</mi>
</msub>
<mo>&dtri;</mo>
<mo>&CenterDot;</mo>
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<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&theta;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中uc为入口来流的最大速度。
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
| PB01 | Publication | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication |
Application publication date: 20171020 |
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| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication |