CN107179894A - 快速除法器及快速除法运算方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供一种快速除法器。所述快速除法器包括初始参数设定单元及运算单元。运算单元耦接于初始参数设定单元。初始参数设定单元接收除数及被除数，并根据除数与被除数设定数列的多个初始参数。该些初始参数包括初始项、第一项及公比，且公比的绝对值小于1。运算单元储存数列的递回关系式，并根据该些初始参数迭代计算递回关系式以获得商数。递回关系式的第k+1项等于公比加1后与第k项的乘积减去公比与第k‑1项的乘积。k为大于等于1的整数。

Description

快速除法器及快速除法运算方法
技术领域
本发明是关于一种快速除法器，且特别是一种具有高收敛速度的快速除法器，以及其快速除法运算方法。
背景技术
除法运算是常见的数值运算，目的在于根据除数与被除数解出商数。因此，除法器是许多电路在实施时的必要元件。目前除法器常用的除法演算法主要可分成以下几种：慢速除法运算法(Slow Division)、牛顿-拉弗森除法(Newton-Raphson Division)运算法及戈耳斯密特除法(GoldschmidtDivision)运算法。
上述三种除法演算法均可用来解出商数。然而，该些除法演算法尚存在几个问题。首先，该些除法演算法的收敛速度不够快，使得除法器需要执行多次运算才能让计算出的结果逼近于实际的商数。此外，为了实现该些除法演算法，除法器的硬件成本、硬件面积及复杂度亦会提高。
发明内容
本发明实施例提供一种快速除法器。所述快速除法器包括初始参数设定单元及运算单元。运算单元耦接于初始参数设定单元。初始参数设定单元用以接收除数及被除数，并根据除数与被除数设定数列的多个初始参数。该些初始参数包括初始项、第一项及公比，且公比的绝对值小于1。运算单元用以储存数列的递回关系式，并根据该些初始参数迭代计算递回关系式以获得商数。递回关系式的第k+1项等于公比加1后与第k项的乘积减去公比与第k-1项的乘积。k为大于等于1的整数。
本发明实施例提供一种快速除法运算方法。所述快速除法运算方法包括以下步骤。步骤A：接收除数及被除数。步骤B：根据除数与被除数估计数列的多个初始参数。该些初始参数包括初始项、第一项及公比，且公比的绝对值小于1。步骤C：根据该些初始参数迭代计算数列的递回关系式以获得商数。递回关系式的一第k+1项等于公比加1后与第k项的乘积减去公比与第k-1项的乘积，且k为大于等于1的整数。
综上所述，本发明所提供的快速除法器及其快速除法运算方法可以仅使用加法、减法、乘法及位元移位来计算除法运算中的商数，以降低计算的复杂度、硬件的复杂度、硬件面积及成本。此外，本发明所提供的快速除法器及其快速除法运算方法具有高收敛速度，快速除法器仅需执行少量的迭代计算即可获得逼近于实际商数的迭代结果。
为使能更进一步了解本发明的特征及技术内容，请参阅以下有关本发明的详细说明与附图，但是此等说明与所附图式仅系用来说明本发明，而非对本发明的权利范围作任何的限制。
附图说明
图1是本发明实施例提供的快速除法器的示意图。
图2是本发明实施例提供的快速除法运算方法的流程图。
图3是本发明实施例提供的估计递回关系式的第一项的示意图。
图4是本发明实施例提供的迭代计算递回关系式的流程图。
附图标记说明：
1：快速除法器
10：初始参数设定单元
11：运算单元
S201～S204：步骤流程
S401～S404：步骤流程
具体实施方式
请参阅图1，图1是本发明实施例提供的快速除法器的示意图。快速除法器1包括初始参数设定单元10及运算单元11。运算单元11耦接于初始参数设定单元10。
初始参数设定单元10用以接收一除数D及一被除数N，并根据除数D与被除数N设定一数列的多个初始参数。数列包括多项，该些初始参数包括数列的一初始项a0、一第一项a1及一公比r。公比r的绝对值小于1(即|r|<1)。
运算单元11用以储存数列的一递回关系式，并根据该些初始参数迭代计算递回关系式以获得商数Q。运算单元11将递回关系式设计成一第k+1项ak等于公比r加1(即r+1)与一第k项ak的乘积减去公比r与一第k-1项ak-1的乘积，且k为大于等于1的整数。附带一提，递回关系式的特征方程式的根分别为1及公比r。递回关系式的详细方程式如下：
简而言之，运算单元11可以将除法运算转换为递回关系式，并迭代计算递回关系式，使得计算出的迭代结果逼近于实际的商数Q。由上述递回关系式可知，运算单元11系使用加法、减法、乘法及位元移位(Shift)来计算商数Q，而没有使用除法运算。如此一来，快速除法器1的硬件成本与复杂度可以降低。
所属领域技术人员应能知晓，递回关系式可以计算出特征方程式，并将递回关系式内的每一项表示成由方程式的根组成的通式。以数列的第k项ak来说，第k项ak可以表示成第一系数α、第二系数β及公比r的组合。详细方程式如下：
ak＝α+βrk 方程式(2)
通过不停的进行迭代计算，将第k项ak近似于真实的商数Q。也就是说，第k项ak在k趋近无限大时可以表示成以下方程式：
由此可见，在执行多次迭代计算后，第一系数α将会近似于商数Q。而第一系数α与第二系数β的数值相关于递回关系式的初始项a0、第一项a1及公比r。因此，初始参数设定单元10如何设计初始项a0、第一项a1及公比r将影响快速除法器1的收敛速度。该些初始参数被估计的越精准，运算单元11计算出的迭代结果会越快逼近商数Q。收敛速度越快，快速除法器1每一次进行迭代计算所得到的迭代结果会越快速地逼近商数Q。而初始参数设定单元10如何设计该些初始参数将于下方段落作进一步介绍。
为了进一步说明快速除法器1的运作流程，请配合参阅图2，图2是本发明实施例提供的快速除法运算方法的流程图。图2的快速除法运算方法适用于图1的快速除法器1。于步骤S201，快速除法器1接收除数D及被除数N。为方便说明，本实施例假设除数D为正数，而被除数N为1。若被除数N不为1，运算单元11最后将计算出的商数Q乘上被除数N即为真正的商数。
于步骤S202，初始参数设定单元10设定递回关系式的初始参数。具体来说，初始参数设定单元10将初始项a0设为0，并将第一项a1设为一第一函数g(D)除以2的一第二函数f(D)次幂(如下述方程式(4))。此外，初始参数设定单元10还将公比r设为1减去第一项a1与除数D的乘积(如下述方程式(5))。需注意的是，第一函数g(D)及第二函数f(D)满足公比的绝对值|r|小于1。
接着，将k＝0、1分别代入方程式(2)，可以得到以下两个方程式：
a0＝α+β 方程式(6)
a1＝α+βr 方程式(7)
将方程式(6)乘上r在与方程式(7)相减，可以获得以下方程式：
将a0、a1及r代入方程式(8)，可以将第一系数α化简为
根据以上内容可知，本发明将设计的初始项a0、第一项a1及公比r可以满足第一系数α近似于商数Q。
值得一提的是，由于公比r＝1-a1D，初始参数设定单元10估计的第一项a1越接近1/D，公比的绝对值|r|越接近0，使得递回关系式的收敛速度越快。因此，第一函数g(D)与第二函数f(D)的设计将影响递回关系式的收敛速度。
为了说明如何设计第一函数g(D)与第二函数f(D)来估计第一项a1，请配合参阅图3，图3是本发明实施例提供的估计递回关系式的第一项的示意图。图3中包括方程式y＝1/x。本发明的快速除法器1是以线性方程式来近似方程式y＝1/x，以找出最接近于除数D的x值，进而获得商数Q。需注意的是，方程式y＝1/x是用以举例说明初始参数设定单元10如何估计第一项a1，并非用以限制本发明。
除数D是介于2的s次幂至2的s+1次幂之间(即2s≦D<2s+1)，且s为整数。在收到除数D后，初始参数设定单元10先判断最接近于除数D且小于等于除数D的2s的次幂数，以获得s的数值。
接着，初始参数设定单元10取线性方程式x＝2s与方程式y＝1/x的交点，并以此交点作为切点计算出第一切线y1的线性方程式(如下述方程式(10))。
同样地，初始参数设定单元10取线性方程式x＝2s+1与方程式y＝1/x的交点，并以此交点作为切点计算出第二切线y2的线性方程式(如下述方程式(11))。
再来，初始参数设定单元10计算第一切线y1与第二切线y2的交点，并得到交点的x轴坐标为2s+2/3。
初始参数设定单元10根据除数D的数值判断如何估计第一项a1。当除数D位于线性方程式x＝2s+2/3的左侧，以第一切线y1来估计第一项a1会比较快速地收敛至实际的商数Q。反之，当除数D位于线性方程式x＝2s+2/3的右侧，以第二切线y2来估计第一项a1会比较快速地收敛至实际的商数Q。
为了使第一项a1接近于1/D，本发明的快速除法器1定义了第一函数g(D)与第二函数f(D)。当除数D乘上3小于等于2的s+2次幂时，第一函数g(D)等于2的s+1次幂减去除数D，且第二函数f(D)等于s乘上2。另一方面，当除数D乘上3大于2的s+2次幂，第一函数g(D)等于2的s+2次幂减去除数D，且第二函数f(D)等于s乘上2再加2。第一函数g(D)与第二函数f(D)的详细方程式如下：
本发明的快速除法器1根据除数D的数值大小改变第一函数g(D)与第二函数f(D)，进而调整第一项a1的大小，使得第一项a1接近实际的商数Q。相较于传统的除法器系从x＝2s或2s+1开始逼近商数Q，本发明的快速除法器1以第一项a1来估计商数Q的收敛速度较快。
举例来说，当除数D为100，快速除法器1判断s为6，且3*(100)大于28。上述的方程式(12)、(13)，第一函数g(D)为156，而第二函数f(D)为14。接着，根据上述的方程式(4)，快速除法器1将第一项a1设定为156/214。相较于传统的除法器系从1/64或1/128开始逼近1/100，本发明的快速除法器1从第一项a1开始进行迭代计算可以使得计算出的迭代结果更快速地收敛至1/100。
接着，复参阅图2，于步骤S203，初始参数设定单元10输出该些初始参数。运算单元11根据该些初始参数迭代计算递回关系式，使得每一次进行迭代计算所获得的迭代结果逼近于实际的商数Q。于步骤S204，运算单元11输出商数Q至后端的电路，以完成快速除法运算方法。
为了快速地得到商数Q，本发明实施例更提出一种快速计算递回关系式的方法。请参阅图4，图4是本发明实施例提供的迭代计算递回关系式的流程图。图4的计算方法适用于图1的运算单元11。于步骤S401，运算单元11将递回关系式转换为矩阵形式。详细表示如下：
根据上述方程式(14)，在运算单元11进行迭代计算的过程中，若能在有限次数的迭代计算下逼近于运算单元11计算出的迭代结果会越接近于真实的商数Q。
因此，为了让运算单元11计算出的迭代结果快速逼近真实的商数Q，运算单元11定义一参数矩阵Mt。参数矩阵Mt内的多个元素(element)相关于公比r，且参数矩阵Mt随着执行迭代计算的次数而改变。当执行第t次迭代计算，参数矩阵Mt等于执行前一次迭代计算所对应的参数矩阵Mt-1的平方。详细表示如下：
其中，t为运算单元11执行迭代计算的次数。
根据上述的方程式(15)，参数矩阵Mt可以被改写成以下形式：
运算单元11执行第t次迭代计算的迭代结果可以表示成参数矩阵Mt乘上第一项a1及初始项a0所形成的矩阵。详细方程式如下：
根据上述的方程式(16)，参数矩阵Mt的次幂数系随着执行迭代计算的次数成指数成长，使得参数矩阵Mt快速地逼近于相较于传统的除法器使用的迭代计算方法，本发明的运算单元11所使用的迭代计算方法具有较快的收敛速度。
于步骤S402，运算单元11对参数矩阵Mt执行对角化并改写参数矩阵Mt。具体来说，参数矩阵Mt执行对角化后如下形式：
接着，将对角化后的参数矩阵Mt乘开，参数矩阵Mt可以被改写为以下形式：
于步骤S403，运算单元11取改写后的参数矩阵Mt的其中一个元素作为迭代系数mt，并根据迭代系数mt来改写递回关系式。于本实施例中，运算单元11系取作为迭代系数mt。另一方面，则可改写成(1-mt)。附带一提，于其他实施例中，运算单元11亦可取参数矩阵Mt中的其他元素作为迭代系数mt，本发明并不以此为限。
当t>0时，迭代系数mt可以表示成而故迭代系数mt可以进一步改写为以下形式：
根据上述的方程式(20)，迭代系数mt表示为以下形式：
另一方面，配合前述的方程式(17)、(19)，递回关系式可以进一步被化简成以下形式：
也就是说，上述的方程式(1)所示的递回关系式可以被化简成仅需要初始项a0、第一项a1及公比r即可进行迭代计算。
于步骤S404，运算单元11根据上述方程式(22)的递回关系式进行迭代计算，以获得第t次迭代计算的迭代结果由于上述方程式(22)的递回关系式具有高收敛速度，迭代结果会快速地逼近实际的商数Q。
综上所述，本发明所提供的快速除法器及其快速除法运算方法可以仅使用加法、减法、乘法及位元移位来计算除法运算中的商数，以降低计算的复杂度、硬件的复杂度、硬件面积及成本。此外，本发明所提供的快速除法器及其快速除法运算方法具有高收敛速度，快速除法器仅需执行少量的迭代计算即可获得逼近于实际商数的迭代结果。
以上所述，仅为本发明最佳的具体实施例，而本发明的特征并不局限于此，任何本领域技术人员在本发明的领域内，可轻易思及的变化或修饰，皆可涵盖在以下本案的专利范围。

Claims (10)

1.一种快速除法器，包括：
一初始参数设定单元，用以接收一除数及一被除数，并根据该除数与该被除数设定一数列的多个初始参数，其中该些初始参数包括一初始项、一第一项及一公比，且该公比的绝对值小于1；以及
一运算单元，耦接于该初始参数设定单元，用以储存该数列的一递回关系式，并根据该些初始参数迭代计算该递回关系式以获得一商数，其中该递回关系式的一第k+1项等于该公比加1后与一第k项的乘积减去该公比与一第k-1项的乘积，且k为大于等于1的整数。
2.如权利要求1所述的快速除法器，其中该初始项等于0、该第一项等于一第一函数除以2的一第二函数次幂，且该公比等于1减去该第一项与该除数的乘积，其中该第一函数及该第二函数满足该公比的绝对值小于1。
3.如权利要求2所述的快速除法器，其中该除数介于2的s次幂至2的s+1次幂之间，且s为整数；当该除数乘上3小于等于2的s+2次幂，该第一函数等于2的s+1次幂减去该除数，且该第二函数等于s乘上2；当该除数乘上3大于2的s+2次幂，该第一函数等于2的s+2次幂减去该除数，且该第二函数等于s乘上2再加2。
4.如权利要求1所述的快速除法器，其中该初始参数设定单元估计的该第一项相关于该数列的一收敛速度，当该第一项越接近该除数的倒数，该公比越趋近于0，该数列的收敛速度越快速。
5.如权利要求1所述的快速除法器，其中该运算单元将该递回关系式转换为一参数矩阵乘上该第一项及该初始项所形成的矩阵，其中该参数矩阵内的多个元素相关于该公比，且该参数矩阵随着执行迭代计算的次数而改变；当执行第t次迭代计算，该参数矩阵等于执行前一次迭代计算所对应的参数矩阵的平方，使得该参数矩阵的一次幂数随着执行迭代计算的次数成指数成长，其中t为大于1的整数。
6.如权利要求5所述的快速除法器，其中该运算单元对该参数矩阵执行对角化并改写该参数矩阵，接着该运算单元取改写后的该参数矩阵的其中一个元素作为一迭代系数，并根据该迭代系数来改写该递回关系式，其中改写后的该递回关系式等于该迭代系数与该第一项的乘积加上1和该迭代系数的差值乘上该初始项的乘积，接着该运算单元根据改写后的该递回关系式进行迭代计算，使得计算出的一迭代结果随着执行迭代计算的次数增加而逼近该商数。
7.一种快速除法运算方法，包括：
步骤A：接收一除数及一被除数；
步骤B：根据该除数与该被除数估计一数列的多个初始参数，其中该些初始参数包括一初始项、一第一项及一公比，且该公比的绝对值小于1；以及
步骤C：根据该些初始参数迭代计算该数列的一递回关系式以获得一商数，其中该递回关系式的一第k+1项等于该公比加1后与一第k项的乘积减去该公比与一第k-1项的乘积，且k为大于等于1的整数。
8.如权利要求7所述的快速除法运算方法，其中该初始项等于0、该第一项等于一第一函数除以2的一第二函数次幂，且该公比等于1减去该第一项与该除数的乘积，其中该第一函数及该第二函数满足该公比的绝对值小于1。
9.如权利要求8所述的快速除法运算方法，其中该除数介于2的s次幂至2的s+1次幂之间，且s为整数；当该除数乘上3小于等于2的s+2次幂，该第一函数等于2的s+1次幂减去该除数，且该第二函数等于s乘上2；当该除数乘上3大于2的s+2次幂，该第一函数等于2的s+2次幂减去该除数，且该第二函数等于s乘上2再加2。
10.如权利要求7所述的快速除法运算方法，其中该第一项相关于该数列的一收敛速度，当该第一项越接近该除数的倒数，该公比越趋近于0，该数列的收敛速度越快速。
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