CN107179549B - 一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，包括以下步骤：1)设定空间差分算子长度2M+1的初始值和允许的最大近似误差ξ；2)根据目标区域的声波速度，基于空间‑波数域函数近似的空间有限差分系数求取方法，求取基于K空间算子补偿数值模拟误差建立的显式有限差分公式的差分系数和波数域误差函数值；3)如果波数域误差函数值大于允许的最大近似误差ξ，将M的值加1，返回步骤2)；如果波数域误差函数值小于允许的最大近似误差ξ，且M>1，将M的值减1，返回步骤2)；否则，确定满足允许的最大近似误差ξ的最小空间差分算子长度2M+1及其对应的差分系数，继续下一步；4)对目标区域进行地震响应数值模拟，得到目标区域的模拟地震记录或地震波场。
Description
技术领域
本发明涉及一种波动方程地震响应模拟方法，尤其涉及一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法。
背景技术
波动方程正演模拟是勘探地球物理领域重要的研究方向，对波动现象的模拟、逆时偏移和全波形反演的研究和实施具有重要的意义。目前，波动方程正演模拟方法主要有有限差分方法、有限元方法、边界元法和伪谱法等。在诸多正演方法中，有限差分方法相比于其他方法，具有更小的计算复杂度和内存需求，能够满足逆时偏移和全波形反演对计算速度和内存占用的要求。因此，有限差分方法是当前逆时偏移和全波形反演中应用最广泛的方法。
有限差分方法通过差分近似代替偏导数，从而存在精度误差。时间上的精度误差称为时间频散，通常表现为相位超前；空间上的精度误差称为空间频散，通常表现为相位滞后。时间二阶精度和空间任意偶数阶精度差分形式广泛使用于波动方程模拟，要求时间步长和网格空间间隔足够小，从而避免时间频散和空间频散。
目前有限差分系数的求取主要有以下几类：一是基于泰勒展开的有限差分系数求取，该方法独立求取时间和空间方向的差分系数，精度较低。二是基于时-空域频散关系的有限差分系数求取，采用常规的差分网格策略，该方法可以实现部分方向的时间高阶精度，相比较泰勒展开方法，该方法没有增加额外的计算量。三是基于最优化方法的有限差分系数求取，该方法对高频成分仍能实现较高的精度，但是计算量较大，某些情况下容易陷入局部最优，无法取得全局最优值。
波动方程正演是逆时偏移和全波形反演的主要环节，实现波动方程的高效率、高精度的数值模拟，对逆时偏移和全波形反演具有重要的意义。由于逆时偏移和全波形反演需要大量的正演计算，当前有限差分方法计算量和内存需求仍然巨大，计算速度和计算效率低，限制了逆时偏移和全波形反演的广泛应用，因此高精度和高效率的有限差分正演是逆时偏移和全波形反演广泛实施的关键。
发明内容
针对上述问题，本发明的目的是提供一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，基于K空间算子补偿的空间-波数域函数拟合方法求取差分系数，同时针对最大拟合误差，相对应地提出了自适应空间差分算子长度，能够实现高精度、高效率的时间域有限差分数值模拟。
为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，包括以下步骤：
1)设定空间差分算子长度2M+1的初始值和允许的最大近似误差ξ；
2)根据目标区域的声波速度，基于空间-波数域函数近似的空间有限差分系数求取方法，求取基于K空间算子补偿数值模拟误差建立的显式有限差分公式的差分系数和波数域误差函数值；
3)如果波数域误差函数值大于允许的最大近似误差ξ，则将M的值加1，得到新的空间差分算子长度2M+1，返回步骤2)；如果波数域误差函数值小于允许的最大近似误差ξ，且M>1，则将M的值减1，得到新的空间差分算子长度2M+1，返回步骤2)；否则，确定满足允许的最大近似误差ξ的最小空间差分算子长度2M+1及其对应的差分系数，继续下一步；
4)根据满足允许的最大近似误差ξ的最小空间差分算子长度2M+1的值及其对应的差分系数，对目标区域进行地震响应数值模拟，得到目标区域的模拟地震记录或地震波场。
所述步骤2)中基于K空间算子补偿数值模拟误差建立的显式有限差分公式为：
式中，P(x,t)为压力波场；x表示笛卡尔空间坐标系统；t为时间；Δt为时间间隔；c(x,Δxi)为加权系数；Δxi为位置x和第i个差分点之间的距离，Δx0＝0；M为空间差分算子长度的一半，为整数；n是模型维度；k为波数矢量，k＝|k|；E(x,k)为x处波数域误差函数；为压力波场P(x,t)的傅里叶响应；eik·x为空间反傅里叶变换的一部分。
所述步骤2)中基于空间-波数域函数近似的空间有限差分系数求取方法求取差分系数的方程为：
ATWAc＝ATWs；
其中，
式中，T表示矩阵转置；N为离散波数的数量；ν为声波速度；sin c是一个算子，在函数数学上表示为sin c(x)＝sin(x)/x；ki为第i个波数分量；W为相对权重系数；A(ki)为波数分量ki的振幅值；num(ki)是波数分量ki的出现次数；kmax为每个维度方向的最大波数；是波数的最大值。
本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明的一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，通过采用自适应空间差分算子长度和基于K空间算子的空间-波数域函数拟合方法求取差分系数，可以高效率、高精度地模拟实际地质模型中的地震响应，相比较常规的显式有限差分方法，具有更高的时间精度，模拟中可以采用更大的时间步长，计算速度更快。2、本发明的一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，可以广泛应用在均匀模型、层状模型和实际地质模型中。
附图说明
图1(a)是均匀介质模型中采用本发明方法且Δt＝2ms时得到的波场快照图；
图1(b)、(c)、(d)是均匀介质模型中采用基于频散关系的有限差分方法且时间间隔分别为Δt＝2ms、Δt＝1ms、Δt＝0.25ms时得到的波场快照图；
图2(a)是2D层状介质中的速度模型示意图；
图2(b)是2D层状介质中采用基于频散关系的有限差分方法得到的波场快照图；
图2(c)、(d)是2D层状介质中采用本发明方法以及分别使用定长度算子和变长度算子得到的波场快照图；
图2(e)、(f)分别是对比道取自不同位置的图2(b)、(c)、(d)的波场快照单道对比图；
图3是2DSigsbee2模型示意图；
图4(a)是2DSigsbee2模型中参考波场示意图；
图4(b)、(c)是2DSigsbee2模型中采用基于频散关系的有限差分方法和分别使用2ms和0.5ms时间步长得到的波场快照图；
图4(d)、(e)是2DSigsbee2模型中采用本发明方法、时间间隔为2ms以及分别采用定长度算子和变长度算子得到的波场快照图；
图5(a)、(b)、(c)和(d)分别是与图4(b)、(c)、(d)和(e)相对应的地震记录对比图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。
本发明方法包括基于K空间算子补偿的有限差分系数的求取和新的自适应空间差分算子长度策略。
首先，基于K空间算子补偿数值模拟误差建立显式有限差分公式。
均匀无吸收衰减介质中，时间-空间域二阶常密度声波方程为：
式中，P(x,t)为压力波场；x表示笛卡尔空间坐标系统；t为时间；ν为介质速度；为空间拉普拉斯算子。
通过空间傅里叶变换，可以将时间-空间域二阶常密度声波方程转换为时间-波数域二阶常密度声波方程：
式中，为压力波场P(x,t)的傅里叶响应；k为波数矢量，k＝|k|。
采用二阶时间离散表示时间导数，可以得到时间二阶和空间准确的半差分方程：
式中，Δt为时间间隔。
常规的声波方程采用二阶精度中心差分离散时间导数，对该离散采用二阶K空间算子进行补偿，可以有效提高时间精度。其中，二阶K空间算子为sinc2(νkΔt/2)。因此，在均匀介质中，可以采用二阶K空间算子补偿时间精度，从而得到时间和空间准确的方程为：
式中，sinc是一个算子，在函数数学上表示为sinc(x)＝sin(x)/x。
采用空间傅里叶变换，可以得到如下的时间域波场更新公式：
式中，eik·x为空间反傅里叶变换的一部分。
与有限差分方法相比，基于傅里叶变换的数值模拟方法计算量大。为避免使用空间傅里叶变换，本发明从时间域波场更新公式出发，采用中心对称差分样板，可以将位置x处的空间2Mth精度差分方程表示为：
式中，M为正整数，2M+1为空间算子长度，精度为2M；n是模型维度；Δxi为位置x和第i个差分点之间的距离，Δx0＝0；E(x,t)为时空域的误差函数；c(x,Δxi)为加权系数。
利用空间傅里叶变换，位置x处的空间2Mth精度差分方程可以转换为显式有限差分公式：
式中，E(x,k)为x处波数域的误差函数。
对比准确的时间域波场更新公式和转换后位置x处的空间2Mth精度差分方程，可以得到：
在空间2Mth精度差分方程中，在每个时间点，波场更新为逐点更新，局部速度条件即可以满足空间2Mth精度差分方程的要求，因此本方法也适用于复杂介质模型。
然后，空间-波数域函数近似方法求取差分系数的一般公式为：
对于给定的网格剖分和时间步长，空间差分系数可以通过最小化网格点处的近似误差得到。在本实施例中可以采用二范数最小化近似误差：
则加权系数c(x,Δx0)可以通过以下矩阵-向量方程求得：
式中，N为离散波数的数量。
上述矩阵-向量方程可以简写为：
AN×nMcnM×1＝sN×1
通常情况下，矩阵-向量方程是一个超定方程，因为离散波数的数量远大于差分系数的个数，即N>nM。为了提高求解精度，本发明引入相对权重系数：
式中，ki为第i个波数分量；A(ki)为波数分量ki的振幅值；num(ki)是波数分量ki的出现次数；kmax为每个维度方向的最大波数；因为每个方向的最大波数为kmax，所以波数的最大值是
通过引入权重系数，差分系数可以通过以下方程求取：
ATWAc＝ATWs
式中，T表示矩阵转置。
最后，基于近似误差的自适应空间差分算子长度策略：
在有限差分数值中，波场外推和差分系数计算均和空间差分算子长度成正比，空间算子长度越大，计算量越大。为了减小计算量，本发明采用自适应差分算子长度策略。空间差分算子长度可以通过下列公式求得：
max(|E(x,k,M)|)<ξ when k≤kmax
式中，ξ为允许的最大近似误差。
通过实际试验得到，最大拟合误差通常在最大波数处取得，因此，差分系数可以通过以下公式求得，从而进一步减小计算量：
max(|E(x,kmax,M)|)<ξ
基于上述原理，本发明提供的一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，具体包括以下步骤：
1)设定空间差分算子长度2M+1的初始值和允许的最大近似误差ξ；
2)根据目标区域的声波速度，基于空间-波数域函数近似的空间有限差分系数求取方法，求取基于K空间算子补偿数值模拟误差建立的显式有限差分公式的差分系数和波数域误差函数值(即拟合误差值)。
3)如果波数域误差函数值大于允许的最大近似误差ξ，则将M的值加1，得到新的空间差分算子长度2M+1，返回步骤2)；如果波数域误差函数值小于允许的最大近似误差ξ，且M>1，则将M的值减1，得到新的空间差分算子长度2M+1，返回步骤2)；否则，确定满足允许的最大近似误差ξ的最小M的值及其对应的空间差分算子长度2M+1和差分系数，继续下一步。
4)根据满足允许的最大近似误差ξ的最小的空间差分算子长度2M+1的值及其对应的差分系数，对目标区域进行地震响应数值模拟，得到目标区域的模拟地震记录或地震波场。
本发明的一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，可以广泛应用在均匀模型、层状模型和实际地质模型中。
在均匀介质模型中，分别采用本发明的方法和基于频散关系的有限差分方法进行地震响应模拟，模拟参数为：v＝1500m/s，h＝17.5m，M＝4；时间间隔分别为：Δt＝2ms、Δt＝1ms、Δt＝0.25ms；震源位于模型中心，模拟过程中没有设置吸收边界。得到的波场快照如图1(a)、(b)、(c)和(d)所示。从图中可以看出，相比较基于时-空域频散关系方法，本发明方法的精度更高，当时间步长较大时，仍能取得很好的模拟效果。
在2D层状介质中，分别采用基于频散关系的有限差分方法，以及本发明的方法分别采用不同的空间差分算子长度进行地震响应模拟，采用的速度模型如图2(a)所示。空间差分算子长度和相对应的CPU运算时间如下表1所示，得到的波场快照如图2(b)、(c)和(d)所示；波场快照单道对比如图2(e)、(f)所示，其中，道1、2、3分别来自图2(b)、(c)、(d)，道4为道1和2的差值，道5为道1和2的差值。从图中可以看出，相比较基于时-空域频散关系方法，本发明方法的数值精度更高，采用空间自适应差分算子，仍能取得较好地数值精度。
表1:2D水平层状介质模拟采用的空间算子长度和CPU运算时间
如图3所示，为2D的Sigsbee2模型，图中大黑点表示炮点位置，小黑点表示检波点位置。在2D Sigsbee2模型中，采用基于频散关系的有限差分方法分别采用不同的时间步长，以及采用本发明的方法分别采用不同长度的空间差分算子进行地震响应模拟；基于频散关系的有限差分方法采用的时间步长为2m/s和0.5m/s，本发明的方法采用的时间间隔为2m/s；采用的参考波场如图4(a)所示。空间差分算子长度和相对应的CPU运算时间如下表2所示，得到的波场快照如图4(b)、(c)、(d)和(e)所示；相对应地得到的地震记录对比如图(b)、(c)、(d)和(e)所示。此处图4(a)、(b)、(c)、(d)和(e)中类似马赛克的部分为真实的波场模拟结果，通过数值模拟得到的结果如此，没有经过后续处理。从图中可以看出，相比较基于时-空域频散关系方法，本方法的数值精度更高。采用空间自适应差分算子，仍能取得较好地数值精度。自适应差分算子没有明显降低数值精度。
表2:Sigsbee2模型数值模拟采用的空间算子长度和CPU运算时间
上述各实施例仅用于说明本发明，其中各部件的结构、设置位置及其连接方式等都是可以有所变化的，凡是在本发明技术方案的基础上进行的等同变换和改进，均不应排除在本发明的保护范围之外。
Claims (1)
1.一种时间域声波方程显式有限差分地震响应模拟方法，包括以下步骤：
1)设定空间差分算子长度2M+1的初始值和允许的最大近似误差ξ；
2)根据目标区域的声波速度，基于空间-波数域函数近似的空间有限差分系数求取方法，求取基于K空间算子补偿数值模拟误差建立的显式有限差分公式的差分系数和波数域误差函数值；
3)如果波数域误差函数值大于允许的最大近似误差ξ，则将M的值加1，得到新的空间差分算子长度2M+1，返回步骤2)；如果波数域误差函数值小于允许的最大近似误差ξ，且M>1，则将M的值减1，得到新的空间差分算子长度2M+1，返回步骤2)；否则，确定满足允许的最大近似误差ξ的最小空间差分算子长度2M+1及其对应的差分系数，继续下一步；
4)根据满足允许的最大近似误差ξ的最小空间差分算子长度2M+1的值及其对应的差分系数，对目标区域进行地震响应数值模拟，得到目标区域的模拟地震记录或地震波场；
所述步骤2)中基于K空间算子补偿数值模拟误差建立的显式有限差分公式为：
式中，P(x,t)为压力波场；x表示笛卡尔空间坐标系统；t为时间；△t为时间间隔；c(x,△xi)为加权系数；△xi为位置x和第i个差分点之间的距离，△x0＝0；M为空间差分算子长度的一半，为整数；n是模型维度；k为波数矢量，k＝|k|；E(x,k)为x处波数域误差函数；为压力波场P(x,t)的傅里叶响应；eik·x为空间反傅里叶变换的一部分；
所述步骤2)中基于空间-波数域函数近似的空间有限差分系数求取方法求取差分系数的方程为：
ATWAc＝ATWs；
其中，
式中，T表示矩阵转置；N为离散波数的数量；ν为声波速度；sinc是一个算子，在函数数学上表示为sinc(x)＝sin(x)/x；ki为第i个波数分量；W为相对权重系数；A(ki)为波数分量ki的振幅值；num(ki)是波数分量ki的出现次数；kmax为每个维度方向的最大波数；是波数的最大值。
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| PB01 | Publication | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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