CN106997055B - 基于最小二乘和梯度下降法的北斗meo卫星信号拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法，属于卫星导航领域，包括基于Z‑V模型进行仿真、建立反射信号数学模型、建立关于反射信号幅值的方程组、利用最小二乘法建立偏导方程组、采用梯度下降法寻求最优解以及限定条件控制结果为正的步骤，根据非线性最小二乘法的思想求上述方程组残差的平方和，并且根据梯度下降法的思想迭代寻求最优解，给定下降步长并设定初值，得到一次迭代后的值，重复迭代，当下降z次后，差值小于设定的某个阈值时，则停止下降，此时的残差的平方和最小，结果即为所求的幅值。通过设定了限定条件和阈值控制，可以在得到高精度结果的同时，保证计算结果非负。

Description

基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法

技术领域

本发明属于卫星导航领域，特别涉及基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法。

背景技术

GNSS-R(Global Navigation Satellite System-Reflections)技术是自1997年以来发展起来的GNSS技术的一个新分支，是国内外遥感遥测和导航定位领域研究热点之一。它利用导航卫星的反射信号对海面进行遥感，实现提取探测目标反射面的物理特性或移动目标探测，可获得有效波高、潮位、海面风速和风向等参数，广泛应用于海面测风、海面测高、海冰探测、海盐探测、海面溢油、土壤湿度等领域。与其他海洋遥感技术相比，GNSS-R技术具有高时间和空间分辨率、低成本、信号源丰富、高机动性等优点，与其他探测手段优势互补，可以增加遥感探测手段的多样性，弥补局部探测手段不足的状况。因此，GNSS-R技术具有重要的研究意义和广阔的应用前景。

在GNSS-R技术中，北斗系统由于其大量的信号源，成为了其中非常重要的一部分。并且，北斗系统的空间星座35颗卫星中包含了27颗中远地球轨道(MEO)卫星，因此对北斗MEO卫星的研究十分重要。目前，国内外在反射信号建模和模拟仿真等方面进行了大量研究，开展了大量的试验，包括机载、气球、星载试验以及岸基试验，并提出了一些反射信号模型，如Z-V模型，统计模型，基于Z-V模型的海洋反射信号模型等。在利用这些模型对北斗MEO卫星反射信号进行模拟仿真的过程中，反射信号幅值的精确计算是十分重要的。简单的统计计算或者差值计算无法得到高精度的求解结果，甚至会出现不符合物理学常识的幅值为负值的情况。

发明内容

为了解决现有技术中存在的缺点和不足，本发明提供了用于确保幅值非负的基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法。

为了达到上述技术目的，本发明提供了基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法，其特征在于，所述拟合方法，包括：

步骤一、基于Z-V模型进行仿真，包括：

利用Elfouhaily海浪谱、KA-GO散射模型，以及Z-V模型公式：

式(1)中，R₀表示卫星到散射点的距离，R表示接收机到散射点的距离；T_i表示相干积分时间；D表示接收机天线的增益；Λ为PRN码的自相关函数；S为多普勒滤波函数；σ₀为粗糙海面的标准化散射截面；表示镜点到平均海面某点的向量；

步骤二、建立反射信号数学模型，包括：

根据基于Z-V模型的北斗MEO卫星反射信号的建模思想，即利用Z-V模型相关功率曲线来表示接收机端的反射信号，并假设将理论Z-V模型相关值曲线分解为由多条不同时延间隔、不同幅值的反射信号相关函数叠加而成，并以镜面反射点的反射信号为第一条反射信号；

对于单一一条信号来说，其相关值f(x)的表达式如式(2)所示

当用n条不同时延间隔、不同幅值的反射信号相关值叠加拟合得到Z-V模型相关值理论曲线时，结合相关功率与相关值之间的关系，则反射信号模型可以表示成：

P＝[A₁·f(τ-τ₁)+A₂·f(τ-τ₂)+···+A_n·f(τ-τ_n)]² (3)

式(3)中，A_n、τ_n分别为各条反射信号相关值的幅值和时延间隔，τ为某一时延点，P为相应的相关功率；

步骤三、建立关于反射信号幅值的方程组，包括：

根据上述计算得到的Z-V模型相关功率曲线的数据对(τ，P)，并令x＝τ，(开根号求相关值)，则当x和y为大量数据m时，可以组成方程组：

将式(4)可以表示成矩阵形式：

Y＝AF (5)式(5)中，Y＝[y₁，y₂，…，y_m]，

A＝[A₁,A₂,…,A_n]；为了求得A＝[A₁,A₂,…,A_n]，采用非线性最小二乘法和梯度下降法结合进行拟合求解；

步骤四、利用最小二乘法建立偏导方程组，包括：

根据最小二乘法的思想，求得残差平方和：

当残差的平方和J(A)最小时，A＝[A₁,A₂,…,A_n]为所求的幅值；对式(6)中的A₁求偏导可得：

同理对A₁,A₂,…,A_n求偏导可得：

当上述偏导方程组(8)为0时，J(A)最小，即：

步骤五、采用梯度下降法寻求最优解，包括：

由式(9)可知，n个等式相当于n个方程，A₁到A_n为n个未知量，且m远大于n，方程组是可解的，采用梯度下降法迭代寻求最优解；将公式(9)整理成针对A₁到A_n的正规方程组：

给定下降步长α并设定初值到并将m组数据点(x_i，y_i)代入公式(10)，可以计算得到各个偏导值，则更新后的到为：

将更新后的到代入公式(6)可以得到下降一步后的残差平方和：

计算两个残差平方和的差值：

ΔJ(A)＝J(A)⁰-J(A)¹ (13)

重复上述过程；

若下降z次后，差值ΔJ(A)小于设定的某个阈值(如0.0001)时，则停止下降，此时的残差的平方和ΔJ(A)^z最小，即A＝[A₁ ^z,A₂ ^z,…,A_n ^z]为所求的幅值；

步骤六、限定条件控制结果为正，包括：

在梯度下降法的迭代计算过程中，若所求结果存在负值，则修正幅值重新回到梯度下降法中进行迭代，以保证求解结果为正；

其中，n、z的取值范围为正整数。

本发明提供的技术方案带来的有益效果是：

根据非线性最小二乘法的思想求上述方程组残差的平方和，并且根据梯度下降法的思想迭代寻求最优解，给定下降步长并设定初值，得到一次迭代后的值，重复迭代，当下降z次后，差值小于设定的某个阈值时，则停止下降，此时的残差的平方和最小，结果即为所求的幅值。通过设定了限定条件和阈值控制，可以在得到高精度结果的同时，保证计算结果非负。

附图说明

为了更清楚地说明本发明的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明实施例提出的基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星反射信号幅值拟合方法的流程图；

图2是本发明实施例提出的Z-V模型理论仿真流程图；

图3是本发明实施例提出的不同风速的Z-V模型理论波形；

图4是本发明实施例提出的反射信号建模示意图。

具体实施方式

为使本发明的结构和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明的结构作进一步地描述。

实施例一

本发明提供了基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法，如图1所示，所述拟合方法，包括：

步骤一、基于Z-V模型进行仿真，包括：

利用Elfouhaily海浪谱、KA-GO散射模型，以及Z-V模型公式：

式(1)中，R₀表示卫星到散射点的距离，R表示接收机到散射点的距离；T_i表示相干积分时间；D表示接收机天线的增益；Λ为PRN码的自相关函数；S为多普勒滤波函数；σ₀为粗糙海面的标准化散射截面；表示镜点到平均海面某点的向量；

则计算理论相关功率的一般流程如图2。通过配置风向、风速等参数，利用Elfouhaily海浪谱模型得到坡度概率密度函数，然后结合镜面反射点的坐标、卫星的坐标和接收机的坐标，利用基尔霍夫近似的几何光学方法(KA-GO模型)得到散射系数，再结合相关功率模型即Z-V模型便可以得到海面反射信号相关功率的理论曲线。根据上述Z-V模型理论仿真流程，通过配置不同风速、风向、卫星仰角等参数，可以通过仿真计算得到不同条件下的Z-V模型相关功率理论数据，其波形如图3所示。

步骤二、建立反射信号数学模型，包括：

根据基于Z-V模型的北斗MEO卫星反射信号的建模思想，即利用Z-V模型相关功率曲线来表示接收机端的反射信号，并假设将理论Z-V模型相关值曲线分解为由多条不同时延间隔、不同幅值的反射信号相关函数叠加而成，并以镜面反射点的反射信号为第一条反射信号；如图4所示。

对于单一一条信号来说，其相关值f(x)的表达式如式(2)所示

当用n条不同时延间隔、不同幅值的反射信号相关值叠加拟合得到Z-V模型相关值理论曲线时，结合相关功率与相关值之间的关系，则反射信号模型可以表示成：

P＝[A₁·f(τ-τ₁)+A₂·f(τ-τ₂)+···+A_n·f(τ-τ_n)]² (3)

式(3)中，A_n、τ_n分别为各条反射信号相关值的幅值和时延间隔，τ为某一时延点，P为相应的相关功率；

步骤三、建立关于反射信号幅值的方程组，包括：

根据上述计算得到的Z-V模型相关功率曲线的数据对(τ，P)，并令x＝τ，(开根号求相关值)，则当x和y为大量数据m时，可以组成方程组：

将式(4)可以表示成矩阵形式：

Y＝AF (5)

式(5)中，Y＝[y₁,y₂,…,y_m]，

A＝[A₁,A₂,…,A_n]；为了求得A＝[A₁,A₂,…,A_n]，采用非线性最小二乘法和梯度下降法结合进行拟合求解；

步骤四、利用最小二乘法建立偏导方程组，包括：

根据最小二乘法的思想，求得残差平方和：

当残差的平方和J(A)最小时，A＝[A₁,A₂,…,A_n]为所求的幅值；对式(6)中的A₁求偏导可得：

同理对A₁,A₂,…,A_n求偏导可得：

当上述偏导方程组(8)为0时，J(A)最小，即：

步骤五、采用梯度下降法寻求最优解，包括：

由式(9)可知，n个等式相当于n个方程，A₁到A_n为n个未知量，且m远大于n，方程组是可解的，采用梯度下降法迭代寻求最优解；将公式(9)整理成针对A₁到A_n的正规方程组：

给定下降步长α并设定初值到并将m组数据点(x_i，y_i)代入公式(10)，可以计算得到各个偏导值，则更新后的到为：

将更新后的到代入公式(6)可以得到下降一步后的残差平方和：

计算两个残差平方和的差值：

ΔJ(A)＝J(A)⁰-J(A)¹ (13)

重复上述过程；

若下降z次后，差值ΔJ(A)小于设定的某个阈值(如0.0001)时，则停止下降，此时的残差的平方和ΔJ(A)^z最小，即A＝[A₁ ^z,A₂ ^z,…,A_nz]为所求的幅值；

步骤六、限定条件控制结果为正，包括：

在梯度下降法的迭代计算过程中，若所求结果存在负值，则修正幅值重新回到梯度下降法中进行迭代，以保证求解结果为正，符合物理学；

其中，n、z的取值范围为正整数。

本发明的目的在于：提出一种基于最小二乘法和梯度下降法的北斗MEO卫星反射信号幅值拟合的方法，可以准确求解北斗MEO卫星反射信号的各条信号幅值，为北斗MEO卫星反射信号模拟仿真的研究和模拟器的研制提供保障。

本发明的技术方案是：

(1)根据基于Z-V模型的北斗MEO卫星反射信号的建模思想，结合单一信号相关函数，建立反射信号数学模型。

(2)对Z-V模型进行仿真得到理论相关功率曲线的数据对，带入反射信号数学模型可以得到关于相关函数、时延和幅值的方程组。

(3)根据非线性最小二乘法的思想求上述方程组残差的平方和，当残差平方和最小时(残差平方和的偏导方程组为0时)即为所求幅值。

(4)根据梯度下降法的思想迭代寻求最优解，给定下降步长并设定初值，得到一次迭代后的值，将一次迭代后的值继续带入残差平方和公式可以得到下降一步后的残差平方和，并得到两个残差平方和的差值。设置限定条件，若结果为负数则重新迭代。重复迭代，当下降z次后，差值小于设定的某个阈值(如0.0001)时，则停止下降，此时的残差的平方和最小，结果即为所求的幅值。

本发明的优点是：

(1)该方法在拟合求解北斗MEO卫星反射信号幅值的过程中，结合了最小二乘法和梯度下降法各自的优势，可以得到高精度的求解结果。

(2)该方法设定了限定条件和阈值控制，可以在得到高精度结果的同时，保证计算结果不存在负数。

(3)该方法是基于数学模型的提出，可适用于各种编程语言完成软件和硬件实现。

本发明提供了基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法，包括基于Z-V模型进行仿真、建立反射信号数学模型、建立关于反射信号幅值的方程组、利用最小二乘法建立偏导方程组、采用梯度下降法寻求最优解以及限定条件控制结果为正的步骤。根据非线性最小二乘法的思想求上述方程组残差的平方和，并且根据梯度下降法的思想迭代寻求最优解，给定下降步长并设定初值，得到一次迭代后的值，重复迭代，当下降z次后，差值小于设定的某个阈值时，则停止下降，此时的残差的平方和最小，结果即为所求的幅值。通过设定了限定条件和阈值控制，可以在得到高精度结果的同时，保证计算结果非负。

上述实施例中的各个序号仅仅为了描述，不代表各部件的组装或使用过程中的先后顺序。

以上所述仅为本发明的实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于最小二乘和梯度下降法的北斗MEO卫星信号拟合方法，其特征在于，所述拟合方法，包括：

步骤一、基于Z-V模型进行仿真，包括：

利用Elfouhaily海浪谱、KA-GO散射模型，以及Z-V模型公式：

式(1)中，R₀表示卫星到散射点的距离，R表示接收机到散射点的距离；T_i表示相干积分时间；D表示接收机天线的增益；Λ为PRN码的自相关函数；S为多普勒滤波函数；σ₀为粗糙海面的标准化散射截面；表示镜点到平均海面某点的向量，τ为时间延迟，f_D为多普勒频移，f_c为参考频移；

步骤二、建立反射信号数学模型，包括：

根据基于Z-V模型的北斗MEO卫星反射信号的建模思想，即利用Z-V模型相关功率曲线来表示接收机端的反射信号，并将Z-V模型相关值曲线分解为由多条不同时延间隔、不同幅值的反射信号相关函数叠加而成，并以镜面反射点的反射信号为第一条反射信号；

对于单一一条信号来说，其相关值f(x)的表达式如式(2)所示

当用n条不同时延间隔、不同幅值的反射信号相关值叠加拟合得到Z-V模型相关值理论曲线时，结合相关功率与相关值之间的关系，则反射信号模型能够表示成：

P＝[A₁f(τ-τ₁)+A₂f(τ-τ₂)+···+A_nf(τ-τ_n)]² (3)

式(3)中，A₁···A_n、τ₁···τ_n分别为各条反射信号相关值的幅值和时延间隔，τ为某一时延点，P为相应的相关功率；

步骤三、建立关于反射信号相关值的幅值的方程组，包括：

根据上述计算得到的Z-V模型相关功率曲线的数据对(τ，P)，并令x_i＝τ，i＝1,2···m，能够组成方程组：

将式(4)能够表示成矩阵形式：

Y＝AF (5)

式(5)中，Y＝[y₁,y₂,…,y_m]，A＝[A₁,A₂,…,A_n]；为了求得A＝[A₁,A₂,…,A_n]，采用非线性最小二乘法和梯度下降法结合进行拟合求解；

步骤四、利用最小二乘法建立偏导方程组，包括：

根据最小二乘法的思想，求得残差平方和：

当残差的平方和J(A)最小时，A＝[A₁,A₂,…,A_n]为所求的幅值；对式(6)中的A₁求偏导能得：

同理对A₁,A₂,…,A_n求偏导能得：

当上述偏导方程组(8)为0时，J(A)最小，即：

步骤五、采用梯度下降法寻求最优解，包括：

由式(9)能知，n个等式相当于n个方程，A₁到A_n为n个未知量，且m远大于n，方程组是能解的，采用梯度下降法迭代寻求最优解；将公式(9)整理成针对A₁到A_n的方程组：

给定下降步长α并设定初值到并将m组数据点(x_i，y_i)代入公式(10)，能够计算得到各个偏导值，残差平方和为J(A)0，则更新后的到为：

将更新后的到代入公式(6)能够得到下降一步后的残差平方和：

计算两个残差平方和的差值：

ΔJ(A)¹＝J(A)⁰-J(A)¹ (13)

重复上述过程；

若下降z次后，差值ΔJ(A)^z小于设定的阈值时，则停止下降，此时的残差平方和的差值ΔJ(A)^z最小，即A＝[A₁ ^z,A₂ ^z,…,A_n ^z]为所求的幅值；

步骤六、限定条件控制结果为正，包括：

在梯度下降法的迭代计算过程中，若所求结果存在负值，则修正幅值重新回到梯度下降法中进行迭代，以保证求解结果为正；

其中，n、z的取值范围为正整数。