CN106971036A - 减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，对于复杂几何形状孔，在孔周焊接衬入杨氏模量沿法向连续递增变化的功能梯度材料加强环，此加强环的形状与孔的形状一致。此加强环可以有效缓解孔附近的应力集中。

Description

减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法

技术领域

本发明具体涉及一种减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法。

背景技术

机械工程领域，为了减轻重量、节约成本或是结构设计需求，各种几何形状的孔洞结构普遍存在。然而，由于孔的存在破坏了结构的几何连续型，在孔附近会产生显著的应力集中，这极大地削弱了材料结构的强度。

功能梯度材料(FGM)由于微观组织结构的连续变化，在缓解应力集中方面具有显著优点。最近，Sburlati等人为了缓解圆孔附近的应力集中，提出在孔周嵌入功能梯度加强环并建立了相应模型，分析论证了该方法的可行性。

但事实上，工程中除了圆形孔洞，椭圆形、正方形、三角形等其它一般几何形状的孔洞结构也被广泛应用，并且通常而言，这些几何形状孔附近的应力集中要比圆孔附近的应力集中更加显著。因此，急需一种能够减小复杂几何形状孔附近应力集中的解决方案。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供了一种减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，通过在孔周焊接衬入杨氏模量沿法向连续递增变化的功能梯度材料加强环，可以有效缓解孔附近的应力集中。

为解决上述技术问题，本发明提供了一种减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，其特征是，对于复杂几何形状孔，在孔周焊接衬入杨氏模量沿法向连续递增变化的功能梯度材料加强环，此加强环的形状与孔的形状一致。

进一步的，几何形状孔包括圆形孔、椭圆形孔、三角形孔、正方形孔和矩形孔。

进一步的，在映射平面ζ中，加强环厚度t的范围取为0.05r_N≤t≤0.2r_N，其中r_N为ζ平面几何孔半径。

进一步的，在映射平面ζ中，杨氏模量递变规律公式为：

其中，E_p表示板内的杨氏模量，r为ζ平面中半径。

进一步的，梯度指数值n的取值范围为0＜n≤5。

进一步的，应力集中的计算过程包括以下步骤：

步骤S1，在z平面中，利用分层均匀化方法将杨氏模量沿法向连续变化的功能梯度材料加强环分解为N层厚度相等的薄环；

步骤S2，利用保角变换函数从z平面映射到ζ平面，原z平面的N层均质薄环转变为ζ平面的N层同心圆环；根据映射关系，建立ζ平面环及板内应力场表达式及ζ平面中的每个圆环内复势函数表达式；

步骤S3，计算在ζ平面中的每个圆环内复势函数，基于ζ平面环及板内应力场的表达式求得环和板内的应力场。

与现有技术相比，本发明所达到的有益效果是：1)通过在孔周焊接衬入杨氏模量沿法向连续递增变化的功能梯度材料加强环，可以有效缓解孔附近的应力集中。2)利用保角变换技术及分层均匀化方法，简化了含功能梯度材料加强环的任意几何形状孔附近应力集中计算过程，方法计算量小、解的精度高、便于工程应用。

附图说明

图1是含功能梯度材料加强环的任意几何形状孔受远场均布载荷作用；

图2是从z平面到ζ平面映射变换；

图3是单向拉伸作用下，圆形孔周环向应力分布图；

图4是单向拉伸作用下，椭圆形孔周环向应力分布图；

图5是单向拉伸作用下，三角形孔周环向应力分布图；

图6是单向拉伸作用下，正方形孔周环向应力分布图；

图7是单向拉伸作用下，矩形孔周环向应力分布图；

图8是纯剪切作用下，圆形孔周环向应力分布图；

图9是纯剪切作用下，椭圆形孔周环向应力分布图；

图10是纯剪切作用下，三角形孔周环向应力分布图；

图11是纯剪切作用下，正方形孔周环向应力分布图；

图12是纯剪切作用下，矩形孔周环向应力分布图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明的一种减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法为，对于复杂几何形状孔，在孔周焊接衬入杨氏模量沿法向连续递增变化的功能梯度材料加强环，此加强环的形状与孔的形状一致。

此复杂几何形状孔包括圆形孔、椭圆形孔、三角形孔、正方形孔和矩形孔。但并不限于此5种几何形状。功能梯度材料加强环(或简称加强环)是由功能梯度材料制成的加强环，文中所述的加强环或功能梯度材料加强环均是相同含义。本发明通过在孔周衬入杨氏模量沿法向连续递增变化的功能梯度材料加强环，可以减小孔附近应力集中。

为了更好的分析功能梯度材料加强环对任意几何形状孔附近应力集中的影响，对功能梯度材料加强环对任意几何形状孔附近应力集中影响进行建模，下面对建模过程的具体过程进行详细描述，如下：

如图1所示，含任意几何形状孔的无限大均质材料板，在孔周衬有功能梯度材料加强环，板和环所占的域分别用Ω_p和Ω_g表示，环的内外边界视为封闭光滑曲线Γ₀和Γ_N。功能梯度材料加强环内的杨氏模量沿着孔的法线方向连续变化，分析板在远场均布载荷作用下孔周应力场。利用分层均匀化方法将材料参数连续变化的功能梯度材料环分解为N层厚度相等的薄环，每个薄环分别用Ω⁽¹⁾,Ω⁽²⁾,…Ω^(j),…Ω^(N)表示。当薄环层数N取得足够大时，任意一个薄环Ω^(j)内的材料参数可近似视为常数。

对于各向同性均质材料，在直角坐标系(x,y)中，二维问题应力分量的复变函数表达式为：

其中，σ_x、σ_y、σ_xy为应力分量，和ψ(z)为复势函数，i表示虚数单位。

平面问题的场方程和边界条件复变函数表达式为：

其中，X_n、Y_n、u、v分别表示边界上力和位移分量，此外对于平面应力问题κ＝(3-v)/(1+v)，G＝E/(2(1+v))；平面应变问题，须将式中的E换为E/(1-v²)，v换为v/(1-v)，E和v分别表示相应计算域内的弹性模量和泊松比。

为了方便求解，从z平面到ζ平面单位圆映射变换，引入如下保角变换函数：

其中，R＞0，m_n为实常数，-1＜m_n·n＜1。表1列出了几种常见几何形状孔的映射函数系数m_n的值。同时由于参数R只影响孔的尺寸，对于本发明所研究的无限大板而言，它不会影响应力分布。因此，文中取R＝1。值得说明的是，在数学中各种几何形状孔的映射函数已被广泛研究，所以几乎对于任意几何形状的孔都可以通过查找文献手册来确定上式中的R和m_n(参见文献Complex variable methods in elasticity)。限于篇幅，此处不再一一列举。

表1不同几何形状孔的映射函数系数

利用上述保角变换函数，在z平面的光滑边界Γ₀和Γ_N将被映射到ζ平面的同心圆环内外边界L₀和L_N，其中圆环的内外半径分别为r₀,r_N，如图2所示。与此同时，原z平面的N层均质薄环Ω^(j)也将转变为ζ平面的N层同心圆环S^(j)。任意几何孔形状都能转换为ζ平面的同心圆环。

为了便于表示，引入和ψ(ζ)＝ψ[ω(ζ)]，这样在ζ平面式(1)-(4)可以重新表示为：

σ_θ+σ_r＝4Re[Φ(ζ)], (6)

其中，Ψ(ζ)＝ψ′(ζ)/ω′(ζ)。

在ζ平面中的每个圆环S^(j)内，复势函数可以表示为，

其中，j＝1,2,…N，为未知系数。

在板域S_p中的复势函数可以表示为：

其中，B₁,B₂为取决于远场外载荷的已知常数

在j＝1环的内周(即孔边)，由于孔边自由，所以有

X_n＝Y_n＝0. (14)根据上式，式(8)可以重新写为：

其中，ζ＝r₀σ＝r₀e^iθ。

由于式(15)中为沿圆周L₀的连续函数，所以它可展开为傅里叶级数：

其中：

将式(10)和(11)代入式(15)，并且比较方程两边σ^±k同次幂的系数得

其中k＝1,2,…M。k的取值在以上公式中理论上是到无穷大，但是在现有计算中，需要后续联立方程组求解应力，因此要取有限值M。此M是设定值，其取值与计算精度有关，在实际模拟计算应力时，通常取到20即可。

另一方面，ζ平面中任一层j和j+1环间的界面上，有应力和位移连续条件：

u^(j)＝u^(j+1),v^(j)＝v^(j+1). (20)

基于式(8)和(9)，式(19)和(20)可以重新表示为

其中，ζ＝r_jσ＝r_je^iθ，而连续函数同样可以展开为傅里叶级数：

其中：

与前述过程类似，将式(10)-(13)代入式(21)和(22)，可以获得4N×M个线性方程。将这些方程与式(17)和(18)联立构成一组含有4N×M+2×M个方程的线性方程组，此方程组中同时含有4N×M+2×M个未知系数 和所以通过求解该方程组可以完全确定所有未知系数，进而可以获得每一层环内的所有复势函数。最后，利用式(6)和(7)可以求得环和板内的应力场。

从以上应力场分析过程可得，利用保角变换技术及分层均匀化方法，简化了含功能梯度材料加强环的任意几何形状孔附近应力集中计算过程，方法计算量小、解的精度高、便于工程应用。

实施例

对于不同几何形状孔周的FGM加强环，其法向变化的杨氏模量都可统一的转换为映射平面ζ中的径向变化情况，本实施例中，取杨氏模量为以下递变规律

其中，E_p表示板内的杨氏模量。梯度指数值n的取值范围为0＜n≤5。此外，假设FGM加强环内的泊松比保持不变，取作ν_g＝ν_p＝0.3。为了讨论杨氏模量的影响，分别取四个不同的梯度指数值n＝0,0.5,2和5。其中，n＝0为孔周不含FGM加强环的一个特殊情况。

另外，对于加强环的厚度，从理论上来说，加强环的厚度越大，则其减小应力集中的效果越好，但是在实际工程应用中，加强环的厚度有一定的工程要求(如孔大小的要求)，至少加强环不能填满整个孔。经试验，映射平面ζ中加强环厚度t的范围取为0.05r_N≤t≤0.2r_N。

映射到直角坐标中，加强环的厚度视孔的形状而定。对于圆孔，若孔半径为r，则加强环厚度t的范围取为0.05r≤t≤0.2r。

对于椭圆孔，若椭圆孔长短轴分别为a和b，则加强环厚度t的范围取为0.05b≤t≤0.2b。

对于三角形孔，若三角形孔边长为a，则加强环厚度t的范围取为0.05a≤t≤0.2a。

对于正方形孔，若正方形孔边长为a，则加强环厚度t的范围取为0.05a≤t≤0.2a。

对于矩形孔，若矩形孔长短边分别为a和b，则加强环厚度t的范围取为0.05b≤t≤0.2b。

在本实施例中，取映射平面ζ中加强环的厚度t＝r_N/6，即半径比r₀/r_N＝5/6。由于单向拉伸及纯剪切这两种载荷是工程领域最基本、最典型的外力作用类型。本实施例中分别试验在这两种作用力下各几何形状孔周环向应力分布情况。

单向拉伸作用下孔周环向应力，利用公式(6)和(7)求得的应力场包含r和θ两个变量，对于孔周，只要再令r＝r₀，即可获得孔周应力随θ的变化。此时，单向拉伸作用下各种形状孔周的环向应力分布如图3至图7所示。图3是单向拉伸作用下，圆形孔周环向应力分布图；图4是单向拉伸作用下，椭圆形孔周环向应力分布图；图5是单向拉伸作用下，三角形孔周环向应力分布图；图6是单向拉伸作用下，正方形孔周环向应力分布图；图7是单向拉伸作用下，矩形孔周环向应力分布图。由图可以发现，首先对于不同形状的孔，应力分布特点明显不同。椭圆孔和矩形孔周的应力集中分别高于圆孔和正方形孔，而其中应力集中最为显著的是三角形孔。其次由于载荷的对称性，这些形状孔周的应力分布都关于x轴对称。另外，最为重要的是梯度指数对于所有形状孔周的应力分布都具有很大影响，当指数值增加时，应力集中显著降低。

远场纯剪切载荷作用下，孔周环向应力与ζ平面的应力存在角度对应关系，如图2中的角度λ和θ，通过查找ζ平面中的θ角度，即可确定孔周对应角度λ的应力。图8-12反映了在远场纯剪切载荷作用下不同几何形状孔周的环向应力分布图。图8是纯剪切作用下，圆形孔周环向应力分布图；图9是纯剪切作用下，椭圆形孔周环向应力分布图；图10是纯剪切作用下，三角形孔周环向应力分布图；图11是纯剪切作用下，正方形孔周环向应力分布图；图12是纯剪切作用下，矩形孔周环向应力分布图。与单向拉伸情况不同，此时的应力分布不再关于x轴对称，但是对于圆孔和正方形孔，应力分布转为关于λ＝135°和315°方向对称。同时也发现，纯剪切作用下梯度指数对于不同形状孔周的应力分布仍有较大影响，应力集中随着指数值的增加明显降低。

表2给出了图3-12中不同几何形状孔周的最大应力值及所在位置。根据表中数据可以清晰看出，n＝5时的最大应力值明显小于n＝0(即不含FGM加强环的均质开孔板的结果)。此结论表明通过合理选择加强环内法向杨氏模量的递变规律，可以有效缓解各种几何形状孔附近的应力集中。

表2各几何形状孔在不同梯度指数中最大环向应力值及所在位置

结果表明，当杨氏模量的梯度指数值增加时，各种形状孔周的应力集中都显著降低。由此可以得出，通过在孔周衬入FGM加强环并合理选择加强环内材料参数的递变规律，可以有效缓解任意几何形状孔附近的应力集中。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变型，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，其特征是，对于复杂几何形状孔，在孔周焊接衬入杨氏模量沿法向连续递增变化的功能梯度材料加强环，此加强环的形状与孔的形状一致。

2.根据权利要求1所述的减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，其特征是，复杂几何形状孔包括圆形孔、椭圆形孔、三角形孔、正方形孔和矩形孔。

3.根据权利要求1所述的减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，其特征是，在映射平面ζ中，加强环厚度t的范围取为0.05r_N≤t≤0.2r_N，其中r_N为ζ平面几何孔半径。

4.根据权利要求1所述的减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，其特征是，在映射平面ζ中，杨氏模量递变规律公式为：

$E\left(r\right)=E_p{\left(\frac{r}{r_N}\right)}^n$

其中，E_p表示板内的杨氏模量，r为ζ平面中半径。

5.根据权利要求4所述的减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，其特征是，梯度指数值n的取值范围为0＜n≤5。

6.根据权利要求1所述的减小复杂几何形状孔附近应力集中的方法，其特征是，应力集中的计算过程包括以下步骤：

步骤S1，在z平面中，利用分层均匀化方法将杨氏模量沿法向连续变化的功能梯度材料加强环分解为N层厚度相等的薄环；

步骤S2，利用保角变换函数从z平面映射到ζ平面，原z平面的N层均质薄环转变为ζ平面的N层同心圆环；根据映射关系，建立ζ平面环及板内应力场表达式及ζ平面中的每个圆环内复势函数表达式；

步骤S3，计算在ζ平面中的每个圆环内复势函数，基于ζ平面环及板内应力场的表达式求得环和板内的应力场。