CN106897530A - 一种基于Copula熵的水文站网优化模型 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于Copula熵的水文站网优化模型，包括以下步骤：Copula函数的优选、计算信息传递值和站网重组和优选；基于Copula函数理论和信息熵原理的有机结合，以Copula熵代替传统的互信息量为主要改进并结合站点对间的距离量，提出站点间的信息传递强度量这一基本评价指标，并创新性地提出信息传递量均值指标(AI)以及阈值范围的确定方法对潜在站网进行重新的站网组合。本发明将Copula熵运用到水文站网的评价中，很好地解决了站对间的联合概率密度函数估计的局限性，定量地描述了站点间的信息传递量，对站网进行较为客观地评价和优化，具有合理性和有效性。

Description

一种基于Copula熵的水文站网优化模型

技术领域

本发明涉及水文站网技术，具体涉及一种基于Copula熵的水文站网优化模型。

背景技术

水文站是一个在河流或者流域上设立的，主要用于观测以及搜集河流湖泊和水库等水体相关水文和气象资料的基层水文机构，通过前期对实测资料的完整搜集和把控，为后期探究基本水文规律的工作提供足够的资料支撑，在很大程度上满足了水文预报、水文情报、水资源评价工作和水科学研究的基本需求。因此规划合理的水文站网能够充分反映水文时空变异特征，使之能收集准确详尽的水文信息，这显然是有必要探究较为客观地理论方法支撑水文站网的合理规划。前人在站网规划的研究方法上大体可以归纳为以下几种：

1、数理统计方法，该方法应用最早，但要求研究者对水资源系统结构有充足的认识；同时，受到数理统计的原理的限制，统计分析技术的选择和样本数量都将对数据分析的结论产生较大影响；并且该方法只能通过估计精度与样本数量之间的关系来确定站点的数量，达不到对站点的空间布局优化的目的。

2、克里格插值法，需要在图上对水文变量估算误差的改进作出主观评价，若估计误差的标准差大于给定的标准差的范围，则空间中需要增设站点，反之就应该减少站点，实际应用中该方法主观性比较大精度不够高。

3、信息熵方法，在以往基于信息熵进行水文站网优化研究中，常以信息传递量为依据，选择某一指标进行站网评价优化，而单一信息熵指标往往不能全面反映站点组合所包含的信息总量、信息冗余程度等决定站网效用的重要因素。站对间的传递熵的估计很大程度上受限于联合概率密度函数的合理估计。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于解决现有技术中存在的不足，提供一种基于Copula熵的水文站网优化模型，结合Copula函数对于多变量间的关联性定量描述的优势，提出Copula熵的方法用以体现信息传递量。

技术方案：本发明一种基于Copula熵的水文站网优化模型，依次包括如下步骤：

(1)Copula函数的优选：首先，对潜在的站点数据间按照排列组合的方法得到x-y形式的站点对假设有n个潜在站点就有个站对，在常用于水文领域的ArchimedeanCopula函数族(范围内，基于最大似然法和AIC准则求出表征Copula函数的参数θ值，最终确定对应的Copula函数；所述Archimedean Copula函数族是指Frank、G-H和Clayton Copula函数，x和y是指任意两个站点；

(2)计算信息传递值：首先求出Copula熵，即H_c，以Copula熵H_c代替信息传递熵并结合站对之间的距离值，得出最为基本的指标——信息传递强度值IDIT(the intensity ofdirection information transfer)；

IDIT_xy＝T(x,y)/[H(x)*d(x,y)]

IDIT_yx＝T(x,y)/[H(y)*d(x,y)]

其中，x,y代表步骤(1)所得任意站对中的两个站点，x_i,y_i表示站点中的样本数据，c(x_i,y_i)表示站对的Copula密度样本函数值，n为样本大小，T(x,y)表示互信息，IDIT_xy表示站点x传递给站点y的信息强度值；同理，IDIT_yx表示站点y传递给站点x的信息强度值，H(x)，H(y)表示边缘熵；d(x,y)表示两站点的距离；

(3)站网重组和优选：基于计算得到的IDIT_xy和IDIT_yx，如果两者都大于给定的阈值(阈值基于在0.8AI-1.5AI范围内)，那么这两个站点就会归为同一组；如果两个指标都小于阈值，那么就是属于不同的两组；如果只有一个指标大于阈值(假定是IDIT_xy大于阈值)，意味着站点y的信息可以由站点x推断得到，只要站点y不属于其它组，那么站点y就可以由站点x取代，从而实现对站网进行重新分组；

AI(Average IDIT)基于公式:

其中，x,y代表步骤(1)所得任意站对中的两个站点，IDIT_xy表示站点x传递给站点y的信息强度值；同理，IDIT_yx表示站点y传递给站点x的信息强度值；N为站点个数。

(4)然后基于以下三个综合指标，在IDIT值较高的一组中，进行进一步的优选：

N(x)＝S(x)-R(x)

其中，S(x)表示站点x发出的总信息强度值，R(x)表示站点x收集到的总信息强度值；N(x)表示站点x净信息强度值。

有益效果：本发明以Copula熵代替传统的互信息量，以最大似然法(MPL)对站对间的Copula函数进行优选，得出Copula以站点间的信息传递强度值为基本指标，对站网内已有的站点进行重新分组,从而对同一组的站点进行站点筛选，并创新性地提出了信息传递量均值指标(AI)，并提出了阈值范围的确定方法主要从信息传递量值和信息传递矩阵的两方面对站网进行评价。与现有技术下相比本发明具有以下优点：

(1)克服了传统方法对于多变量间的联合概率密度函数估计局限性。一方面，汲取了Copula函数对于多变量间的关联性刻画的优势；另一方面，利用Copula熵对于互信息的互为相反数的关系，很好的规避了对于互信息的估计，从而较为客观地得出信息传递强度指标。

(2)创新性地提出了信息传递量均值指标(AI)，并提出了阈值范围的确定方法综合性地提出三项表征各站点信息传递量的指标S(x)，R(x)，N(x)，对站网后期的站点筛选提供较为客观依据。该模型综合考虑了站网中站点间的信息传递量以及空间变异性的影响，对站网合理地规划分组和优选提供了评判标准。

综上所述，本发明将Copula熵对互信息描述的优越性，既可实现对站网信息的定量分析，又能综合多个指标进行评价和优化，具有合理性和有效性。

附图说明

图1为本发明中流程示意图；

图2为本发明的站点布置图；

图3为实施例的分组示意图；

图4为实施例中站点排序示意图。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

为便于理解本发明，做以下说明：

熵在统计学中是随机变量不确定性的度量。设X是一个离散型随机变量，其字母表取值空间为U，概率密度函数p(x)＝Pr(X＝x)，x∈U。一个离散型随机变量X的熵H(X)定义为

对于两变量的情况，两者之间的信息传递量T(X,Y)以互信息得以计算(Shannon,2001):

T(X,Y)＝H(x)+H(y)-H(x,y)

依据Sklar定理(Zeng et al,2011),二元Copula为：

其中:u＝F_X(x)和v＝F_X(y)分别为随机变量X和Y的边缘累积分布函数,F_XY(x,y)为两变量的联合累积分布函数。由此推导出Copula密度函数为：

因此,可利用Copula函数来估计互信息,从而避免了联合概率密度函数的估计。

如图1所示，本发明的一种基于Copula熵的水文站网优化模型，具体依次包括以下步骤：

步骤1.Copula函数的优选：基于最大似然法(Maximum pseudo likelihood,MPL和AIC准则对潜在的站点数据间进行两两组合，得出若干个站点对，通过求出表征Copula函数的参数θ值，继而在给定的中的常用于水文领域的三种Archimedean Copula函数即Frank,G-H,Clayton Copula函数最终确定对应的Copula函数类型。具体的Copula函数的优选步骤如下：

将每个站点的观测数据作为随机变量的观测值x_i(i＝1,2,…,n)，求得边缘熵值H(x_i)。

第1步，计算经验概率分布函数：对原数据进行处理得出各个站点的边缘经验概率F_em(x_i)；

第2步，n个站点两两组成站对后，继而基于最大似然法估计出Copula函数的参数θ值；

第3步，基于Kendall秩序相关系数法求出Copula的参数θ值作为比选方法。

步骤2.计算信息传递值：首先求出Copula熵——H_c，以Copula熵代替信息传递熵并结合站对之间的距离值，得出最为基本的指标——信息传递强度值IDIT(the intensityof direction information transfer)。

IDIT_xy＝T(x,y)/[H(x)*d(x,y)]

IDIT_yx＝T(x,y)/[H(y)*d(x,y)]

其中，x,y代表站对中的两个站点，x_i,y_i表示站点中的样本数据，c(x_i,y_i)表示站对的Copula密度样本函数值，n为样本大小。T(x,y)表示互信息，IDIT_xy表示站点x传递给站点y的信息强度值；同理，DIT_yx表示站点y传递给站点x的信息强度值。H(x)，H(y)表示边缘熵；d(x,y)表示两站点的距离。

IDIT很好地诠释了任意站对之间互信息量大小和空间变异关系；如果一个站对之间的两个指标IDIT_xy，IDIT_yx都超过所选定的阈值，那么这两个站点应该归于统一组别，因为他们各自可以互相预测另一站点的信息量。反之，如果两个指标都小于阈值，那么他们应该分属两个不同的组别；如果两个指标(假设IDIT_xy)一个大于阈值，另一个小于阈值，那么站点y的信息可以由站点x得来，那么只要站点y不属于其他组别，那么便可以由站点x代替，站点y自然而然便可删去。

当然，IDIT这一指标的阈值选取是显为重要的一点。

步骤3.站网重组和优选：基于计算得到的IDIT_xy和IDIT_yx，如果两者都大于给定的阈值(阈值基于在0.8AI-1.5AI范围内)，那么这两个站点就会归为同一组；如果两个指标都小于阈值，那么就是属于不同的两组；如果只有一个指标大于阈值(假定是IDIT_xy大于阈值)，意味着站点y的信息可以由站点x推断得到，只要站点y不属于其它组，那么站点y就可以由站点x取代，从而实现对站网进行重新分组；

AI(Average IDIT)基于公式:

步骤4.在IDIT值较高的一组中，可以进行进一步的优选。基于以下三个综合指标：

N(x)＝S(x)-R(x)

其中，S(x)表示站点x发出的总信息强度值，R(x)表示站点x收集到的总信息强度值；N(x)表示站点x净信息强度值。

得出IDIT的信息传递矩阵，依据传递矩阵并结合选定的阈值，对站点重新分组，并将其中冗余的站点删除。

接着对余下各组中，如果两项指标IDIT_xy和IDIT_yx相对于阈值都较高，那么需要在进一步依据三个综合指标S(x)，R(x)，N(x)，并对他们依次进行组内的站点排序。

实施例1：本实施以伊洛河流域水文站网优化作为实际应用

以伊洛河流域13个水文站组成的站网为例，以2003-2013年的月均流量序列为样本，用基于Copula熵的水文站网优化模型对该站网进行评价和优化。

(1)流域概况

本实施例的数据资料来源于黄河流域洛河、伊河以及伊洛河，2001年1月-2013年12月逐月均流量数据。伊洛河：伊河与洛河的简称，二水交汇后的称谓。源出陕西洛南县西北部，东入河南经卢氏、洛宁、宜阳、洛阳至偃师纳入洛河，到巩县的洛口注入黄河。伊洛河为黄河南岸支流。伊河全长264.88km，流域面积6029km²，沿程有栾川、潭头、东湾、陆浑等水文站；洛河全长447km，流域面积18881km²，沿程设有灵口、长水、黑石关等水文站。(见图2、表1)

表1伊洛河水系水文站一览表

(2)模型运行

首先对伊洛河流域水文站网内的13个站点进行编号(1～13)，选取了八个站对之间的Copula函数模拟结果见表2。

表2水文站点间Copula函数模拟结果

表3信息传递强度矩阵(IDIT)

(3)站网评价

表2中加粗的字体为各站对选定的Copula函数种类，由表2中Copula函数模拟结果可知不同的站对之间的Copula函数种类不同的，MPL法对于站对数据的拟合性较好，绝对误差也控制较好。

表3站对之间的信息传递量也随着站对信息量和空间关系的不同而不同。

(4)站网优化

依据表3并设定本站网的信息传递强度指标阈值范围为0.24，IDIT的第一个作用体现在对站网进行重新分组上：选取站对1(8&9)和站对2(2&11)之间为例，站对1包含最大的指标分别为0.37与0.30，站对2则都是0.02。依据IDIT评判标准，站对1间的相互依赖程度强于站对2，所以站点8和9应该属于同一组，而2和11应该分开。IDIT这一指标的优势在于能够量化不同站对间的信息传递强度并考虑到了他们之间的空间关系。所以可以得出最终的分组结果见图3。站点1,3,4,6,7,8,9,10,13可以归为一组，站点2,11,12各自为一组。其中站点5被删去由于其指标为：IDIT₃₅＝0.34,IDIT₅₃＝0.24，即站点5可以由站点3的信息强度值预测而来。

接着又依据依据三个综合指标S(i)，R(i)，N(i)对站点1,3,4,6,7,8,9,10,13这一组进行组内站点的信息强度值排序，见表4和图4。由图4可知，S(i)所表明的输出信息量与N(i)表明的净信息量正相关，而R(i)则负相关于N(i)；所以S(i)要比R(i)在净信息量中的比重要更大。所以站点1,3,7应该作为该组最该率先考虑的关键站点，相反站点8应该是站网精简中应该删除的站点。

表4依据S(i),R(i)and N(i)三项指标的排序分析

综上所述，本发明采用的是Copula熵的方法，兼顾了信息传递量和站点空间变异关系，依据IDIT这一评价指标定量地刻画站网各站点间的信息冗余量和信息关联度，为水文站网合理规划和筛选提供技术支持。

Claims (1)

1.一种基于Copula熵的水文站网优化模型，其特征在于：依次包括如下步骤：

(1)Copula函数的优选：首先，对潜在的站点数据间按照排列组合的方法得到x-y形式的站点对，假设有n个潜在站点就有个站对，在常用于水文领域的ArchimedeanCopula函数族范围内，基于最大似然法和AIC准则求出表征Copula函数的参数θ值，最终确定对应的Copula函数；所述Archimedean Copula函数族是指Frank、G-H和Clayton Copula函数，x和y是指任意两个站点；

(2)计算信息传递值：首先求出Copula熵，即H_c，以Copula熵H_c代替信息传递熵并结合站对之间的距离值，得出最为基本的指标—信息传递强度值IDIT；

$H_c(x,y)=-\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\log c(x_i,y_i)=-T(x,y)$

IDIT_xy＝T(x,y)/[H(x)*d(x,y)]

IDIT_yx＝T(x,y)/[H(y)*d(x,y)]

其中，x,y代表步骤(1)所得任意站对中的两个站点，x_i,y_i表示站点中的样本数据，c(x_i,y_i)表示站对的Copula密度样本函数值，n为样本大小，T(x,y)表示互信息，IDIT_xy表示站点x传递给站点y的信息强度值；同理，IDIT_yx表示站点y传递给站点x的信息强度值，H(x)，H(y)表示边缘熵；d(x,y)表示两站点的距离；

(3)站网重组和优选：基于计算得到的IDIT_xy和IDIT_yx，如果两者都大于给定的阈值，那么这两个站点就会归为同一组，该阈值在0.8AI-1.5AI范围内；如果两个指标都小于阈值，那么就是属于不同的两组；如果只有一个指标大于阈值，意味着站点y的信息可以由站点x推断得到，只要站点y不属于其它组，那么站点y就可以由站点x取代，从而实现对站网进行重新分组；

AI即Average IDIT基于公式

$AI=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{x=1}^{N-1}{\mathrm{\Σ}}_{y=x+1}^N({\mathrm{IDIT}}_{xy}+{\mathrm{IDIT}}_{yx})}{N(N-1)}$

其中，x,y代表步骤(1)所得任意站对中的两个站点，IDIT_xy表示站点x传递给站点y的信息强度值；同理，IDIT_yx表示站点y传递给站点x的信息强度值；N为站点个数；

(4)然后基于以下三个综合指标，在IDIT值较高的一组中，进行进一步的优选：

$S\left(x\right)=\underset{y=1,y\≠x}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{IDIT}}_{xy}$

$R\left(x\right)=\underset{y=1,y\≠x}{\overset{m}{\Σ}}{\mathrm{IDIT}}_{yx}$

N(x)＝S(x)-R(x)

其中，S(x)表示站点x发出的总信息强度值，R(x)表示站点x收集到的总信息强度值；N(x)表示站点x净信息强度值。