CN106685428A - 基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造 - Google Patents

Abstract

本发明请求保护一种基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造方法，属于信号处理技术领域。该构造方法是为了解决传统循环矩阵不易硬件实现和普适性较差的问题，结合了混沌系统和结构化随机观测矩阵的构造方法，具体的方法：首先对Logistic映射产生混沌序列的方法进行改进，构造稀疏混沌序列，进而使用稀疏混沌序列构造混沌循环矩阵，再使用随机算子对混沌循环矩阵进行随机化处理，最后从随机化处理后的混沌循环矩阵中选取很少的行构成一个子矩阵，该子矩阵就是本发明构造的基于混沌的结构化循环观测矩阵。本发明构造的矩阵具有很高的实用性，兼具良好的结构特性和稀疏性。

Description

基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造

技术领域

本发明属于信号处理领域，具体为一种基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造。

背景技术

根据传统的Nyquist采样定理，要想无失真的恢复原始信号，信号的采样频率必须不小于信号最高频率的两倍。因此，当采样频率很高时，硬件系统面临着很大的采样速率压力，硬件设备已经不能满足如此高的采样需求。另一方面，由于采集到的数据信息包含大量的冗余信息，故在对信号进行处理、传输和存储之前需要进行压缩处理，这种先采样后压缩的处理模式浪费了大量的采样资源。2006年，Candès与Emmanuel、Terence Tao等人共同提出了一种崭新的理论——压缩感知(Compressive Sensing，CS)信号采样理论。压缩感知理论突破传统Nyquist采样定理的限制，基于信号的稀疏性、观测矩阵的随机性和非线性优化算法完成对信号的采样压缩和重构。这种全新的信号处理理论以远低于Nyquist频率的采样率在采样的同时完成压缩，不仅可以降低硬件复杂度和成本，也避免了不必要的资源浪费，最重要的是可以实现信号的完全重构。CS理论主要包括三方面研究内容，即信号稀疏表示、观测矩阵的构造以及重构算法设计。

本发明要研究压缩感知中观测矩阵的设计，观测矩阵是压缩感知中信号采样质量的保障，也是压缩采样过程能否硬件实现的关键。压缩感知观测矩阵主要分为三类，一类是随机观测矩阵。随机观测矩阵包括高斯随机观测矩阵、伯努利随机观测矩阵、局部傅里叶随机观测矩阵等。这些矩阵是完全随机矩阵，虽然能够精确的重构原始信号，但在实际应用中很难用硬件实现，而且需要大量的存储空间；另一类是确定性观测矩阵，此类矩阵随着系统和构造的参数的确定，矩阵元素也随之确定。此类矩阵相对于随机矩阵更加易于硬件实现。Devore提出了通过有限域中多项式的取值来构造矩阵，Li shuxing提出了利用代数曲线构造观测矩阵。这些方法存在一个共同的缺点：矩阵的大小必须是2的整数倍，故无法构造任意大小的观测矩阵，普适性较差。循环矩阵由于其对应离散卷积且具有专门的快速算法而被广泛应用于压缩测量矩阵。为了满足压缩感知观测矩阵必须满足RIP准则的要求，传统循环矩阵的矩阵元素多由随机分布函数产生，文献“Yin W.Practical compressive sensingwith Toeplitz and circulant matrices[J].Proceedings of SPIE-The InternationalSociety for Optical Engineering,2010,7744.”对传统循环矩阵的构造方法和其适用的快速算法做了总结分析，并指出传统循环矩阵不能在常用的DCT稀疏基下有效地重构原始信号，普适性有待提高，仍然存在随机观测矩阵存储空间大、不易于硬件实现的缺点。文献“Do T T,Gan L,Nguyen N H,et al.Fast and Efficient Compressive Sensing UsingStructurally Random Matrices[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2011,60(1):139-154.”提出了一种具有良好结构特性的结构化压缩感知观测矩阵，其中使用的随机算子可以增强矩阵的元素的随机性，提高感知性能和普适性。

混沌理论在80年代末开始得到现代密码学界的高度重视。混沌运动是非线性确定性动力系统内在随机性的一种表现,可以由十分简单的确定性动力系统产生异常复杂的随机行为。具有以下优点：①混沌理论揭示了确定性与随机性的统一，混沌系统与随机系统相比，是一种确定性系统表现出来的类随机行为，实现起来要简单高效；②混沌系统所产生的伪随机序列由系统参数和初始值决定，一旦初始参数固定，其值也相对固定，可以重现混沌序列，稳定性比较好；③由于仅需存储和传输少量的参数，可大大的减少存储空间和传输带宽的压力。文献“凌聪,孙松庚.Logistic映射扩频序列的相关分布[J].电子学报,1999(1):140- 141.”详细介绍了混沌系统中Logistic映射的优点，具有良好的伪随机性，易于硬件实现的优点，产生的混沌序列简单，仅由-1和1组成，Logistic映射是比较常用的混沌系统。

本发明力图将混沌系统应用于循环矩阵，并结合结构化随机算子的优点，以克服传统循环观测矩阵在实际应用中的缺点为目的，提出基于混沌序列的压缩感知循环观测矩阵。混沌循环测量矩阵元素的产生仅需要利用混沌的内在确定性，即利用混沌映射公式、初始值以及一定的采样间隔就可以产生独立同分布的随机序列；同时混沌序列的外在随机性可以满足压缩测量矩阵对随机性的要求。

附图说明

图1产生Logistic映射混沌序列的算法流程图；

图2分段函数在Logistic映射的概率密度函数上的分布示意图；

图3基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造流程图；

图4在DCT稀疏基下的不同观测矩阵的重构成功率比较；

图5在DWT稀疏基下的不同观测矩阵的重构成功率比较。

发明内容

本发明针对当前压缩感知循环观测矩阵存在的复杂度高、不易于硬件实现和普适性较差的问题，基于混沌系统提出一种改进的构造方法以降低其复杂度、提高感知性能，使该类型矩阵更加利于硬件实现，并结合结构化随机算子使改进型的观测矩阵具有较强的普适性，提高其适用范围。

本发明的技术方案：基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造。传统循环矩阵采用高斯或伯努利分布函数随机产生矩阵的第一列的元素，然后依次移位产生的矩阵。采用该方法构造的压缩感知循环矩阵元素随机性较强，虽然感知性能较高但十分不利于硬件实现。本方案针对传统的压缩感知循环矩阵在实际应用中存在的问题，结合混沌系统，提出了一种改进方法。首先对混沌系统中的Logistic映射函数进行改进，使得其可以产生更加稀疏的混沌序列，该函数产生序列的稀疏性使最终构造的矩阵更加有利于硬件实现，易于实际应用。然后使用改进型的Logistic映射函数代替随机伯努利和高斯分布函数产生循环矩阵的第一行的矩阵元素，然后依次移位产生其余的行构造出稀疏混沌循环矩阵，最后从稀疏混沌循环矩阵中随机的选取m行构成一个子矩阵作为压缩感知的观测矩阵。其中，Logistic映射函数产生的序列具有伪随机性，相比高斯和伯努利分布函数更加易于硬件实现。理论上，稀疏性更高的矩阵的感知性能会随稀疏性的增加而降低，同时，循环观测矩阵的普适性也有待提高，例如在压缩感知中最常用的DCT稀疏基下的感知性能太差，甚至无法有效地重构出原始信号。因此，在上述方法基础上结合结构化随机算子以提高矩阵元素的随机性，如此就提高了矩阵的感知性能和普适性。注意，由于是采用另外一个矩阵与循环矩阵相乘的形式，而且该随机算子特别容易硬件实现，故结构化随机算子的加入并不会加大硬件实现的难度。

具体实施方式

以下给出基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的具体的构造方法，对本发明的实施做进一步的说明。

定义1托普利兹和循环矩阵

由定义1可知托普利兹和循环矩阵具有很强的结构特点，托普利兹矩阵从左到右的斜对角都是相同的元素，即T_(i,j)＝T_(i+1,j+1)。而循环矩阵是托普利兹矩阵的特殊形式，如果满那么托普利兹矩阵就变换为循环矩阵。循环矩阵的每一行都是由上一行向右循环移动一位得到的。

根据循环矩阵的定义可以发现，只需要构造出循环矩阵的第一行就可以由上一行向右循环移动一位得到下一行，最终循环移位n次就可以得到一个循环矩阵，然后随机的抽取该矩阵的m行构成的子矩阵作为压缩感知的观测矩阵，称之为压缩感知循环观测矩阵，简称循环观测矩阵。根据以上定义和方法，传统的循环观测矩阵一般采用高斯或者伯努利分布函数进行构造，矩阵的元素具有较强随机性，因此具有较优异的感知性能，但也存在一定的不足，例如由于高斯和伯努利分布的完全随机性导致计算和存储复杂度太高，不易于硬件实现。

混沌序列函数有多种，其中多使用Logistic映射函数来产生伪随机序列。本发明即采用Logistic映射函数来产生混沌序列。Logistic映射的函数形式由以下的公式给出

该映射函数的元素的概率密度函数是

混沌序列码的产生公式是

a_n＝agn(x_n) n＝0,1,2,…,N-1 (3)上式中agn(.)是符号函数，根据初始值的不同x_0m(m＝1,2,…,M)可以产生不同的混沌序列。图1是Logistic映射产生混沌序列的算法流程图，算法十分简单，因此在实际应用中具有速度快、效率高的优点。混沌序列的随机性体现在初值的敏感性，确定性体现在选定初值后的混沌序列的确定性，总的即混沌序列的伪随机性。压缩感知理论表明，要想无失真重构出原始信号，CS观测矩阵必须满足RIP性质或互相关性准则。如果一个矩阵的元素服从某一独立同一随机分布，其矩阵元素就具有较强的随机性，那么该矩阵就高概率满足RIP准则。已经证明Logistic映射产生的混沌序列{a_n}是伯努利随机序列，保证了使用该混沌映射构造的循环矩阵可以满足压缩感知对观测矩阵的随机性的要求。

由上述Logistic映射函数构造循环矩阵的矩阵元素为-1或1，本发明对混沌序列产生函数做进一步改进，在不改变Logistic系统的前提下，使产生的混沌序列更加稀疏，可以有效地减少信号采样数，降低计算复杂度。具体的改进方式如下：

首先本发明定义了一个新的分段函数，该分段函数在Logistic映射的概率密度函数上的分布示意图如图2所示。该分段函数会将位于选定区间的值转变为-1、1和0，产生1和-1的概率都为1/6，产生0的概率为2/3，即：

根据上式，可以通过下式计算出x的取值区间：

由上式可得：

由上式可得那么改进型的混沌序列码产生函数如下：

使用改进型Logistic映射函数构造循环观测矩阵的具体方法：

步骤一：随机选定[-1,1]之间的一个常数作为Logistic映射函数的初值，初值选定后根据式(7)中Logistic映射混沌序列的产生方法，产生足够的稀疏混沌序列；步骤二：在步骤一中产生的一系列稀疏混沌序列中采取一定的间隔取N个元素作为一个集合a＝{a₁,a₂,…a_N}。

步骤三：根据集合a构造一个大小为N×N的循环矩阵，如下所示：

上述方法构造的矩阵F称为混沌循环矩阵，相比于传统的循环矩阵，由以上方法构造的循环矩阵具有伪随机性的优点，而且矩阵元素为-1、1或0，矩阵元素更加简单，复杂度低。

由于本发明采取了混沌系统来产生循环矩阵的元素，矩阵元素过于简单和稀疏会影响到其感知性能。同时混沌系统的加入并没有增强循环矩阵的普适性，基于混沌系统的循环矩阵仍然无法在常用的DCT稀疏基下有效地重构原始信号。因此，本发明结合结构化矩阵(SRM)的原理，加入随机算子，随机算子可以对矩阵进行随机化处理，增强矩阵元素的随机性，理论上会有更加优异的感知性能。此外，原矩阵会随着随机化算子的加入使得其适用更广泛的稀疏基条件，同时保留了原始矩阵的结构特性，基于此原理，本发明构造出具有更强普适性和结构特性的压缩感知观测矩阵。

针对传统压缩感知循环观测矩阵计算和存储复杂度较高，不易于硬件实现，普适性较差的缺点，结合结构化随机矩阵(SRM)的构造方法，发明提出了基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵，该矩阵的数学模型如下：

其中，

(1)归一化系数，对Φ_Ω进行列单位化，使得Φ_Ω ^TΦ_Ω＝I_N，保证在使该矩阵对信号进行观测时，观测值与原始信号具有大致相近的能量。

(2)Ω：表示随机抽取集合{1,2,...,N}的M个元素构成的集合。

(3)D_Ω：D_Ω∈R^M×N表示以Ω为下标集从一个N×N单位矩阵I_N中抽取M行构成的子矩阵。D_Ω实际上表示按照下标集Ω从FR中抽取行向量。

(4)F：F∈R^N×N表示混沌循环矩阵，其构造方法已经在前面的部分做了具体介绍。

(5)R：R∈R^N×N表示随机算子，R为全局随机算子，实际上表示对矩阵F的列进行随机置乱操作。

本文将利用(8)式构造的压缩感知观察矩阵称为基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵，具体的构造流程如图3所示，该矩阵结合采用了SRM中的随机算子R，其目的也是增加矩阵元素的随机性，从而提高矩阵的恢复性能。使用本发明构造的观测矩阵Φ_Ω对原始信号f进行压缩采样的过程可以表示为：

其中f^*＝Rf。根据上式可知，实际中使用本发明构造的观测矩阵对原始信号进行压缩采样的过程是：首先使用随机算子对原始信号进行随机化处理，然后使用循环矩阵对随机化处理后的原始信号f*进行变换，最后从变换系数中随机地抽取M(M＜＜N)个元素作为采样值以完成整个信号采样的过程。

为了直观地说明构造的矩阵的可行性和有效性，本发明通过实验仿真进行了验证。为了仿真的目的设输入的一维输入信号x长度为N＝256，且x在某个确定正交稀疏基Ψ下是K稀疏的，即：x＝Ψαψ，其中Ψ为正交稀疏基，信号变换系数α是K稀疏的。信号x的构造方法具体为：首先生成K个满足独立同一高斯分布的非零元素，然后向K个非零元素中在随机位置插入N-K个0元素构成变换系数α，最后选择确定的正交基矩阵Ψ与α相乘得到信号。对于信号x，选择大小为M×N的观测矩阵Φ对其进行观测获得长度为M的观测向量y＝Φx，实验中采用OMP算法对原始信号进行重构。图4和图5分别是在不同的稀疏基下信号的重构成功率随采样率的变。这两张图表明本发明构造的基于混沌的结构化循环观测矩阵可以有效地重构信号，相比于传统的循环矩阵能适用较多的稀疏基，同时具有更加优异的重构性能。

以上对本发明提出的基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵进行了详细的介绍和说明，上述的具体实施方式有助于理解本发明的核心思想。本发明基于混沌系统的伪随机性可以满足压缩感知对观测矩阵的要求，同时混沌系统相较于纯随机系统又更容易在硬件上实现。此外，随机化算子可以对矩阵的元素进行随机化处理，提高了矩阵重构性能和其普适性。

Claims (4)

1.一种基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造，其特征在于：首先使用混沌系统中的Logistic映射函数产生具有伪随机性的稀疏混沌序列，然后等间隔的选取所需要的N个混沌序列，将这N个混沌序列作为矩阵的第一列，再循环移位构造出混沌循环矩阵，接着使用随机算子对混沌循环矩阵进行随机化处理，最后从随机化处理后的矩阵中选取M(M＜＜N)行，得到的子矩阵就是本发明的基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵。

2.根据权利要求1所述的使用混沌系统中的Logistic映射函数产生具有伪随机性的稀疏混沌序列，其特征在于：根据初始值a₀的不同，稀疏混沌序列产生公式是：

a_n＝g(x_n),n＝0,1,2,…,N-1

其中，

$x_{n+1}=f\left(x_n\right)=1-{2x}_n^{2}x\∈[-\mathrm{1,1}]$

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}+1& x\∈\[\sin (-\frac{\mathrm{\π}}{12}),\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{12}\right)\]\\ 0& else\\ -1& x\∈\[-1,\sin (-\frac{5\mathrm{\π}}{12})\]\∪\[\sin (-\frac{5\mathrm{\π}}{12}),1\]\end{array}\right..$

3.根据权利要求1所述的混沌循环矩阵，其特征在于：使用稀疏混沌序列构造混沌循环矩阵的具体方法：

(1)随机选定[-1,1]之间的一个常数作为Logistic映射函数的初值，初值选定后根据权利要求2的方法产生足够多的稀疏混沌序列；

(2)在稀疏混沌序列中等间隔选取N个元素作为一个集合a＝{a₁,a₂,…a_N}；

(3)根据集合a中的元素循环移位构造一个大小为N×N的循环矩阵，如下所示：

在本发明中，由以上步骤构造的循环矩阵称之为混沌循环矩阵。

4.根据权利要求1所述的一种基于混沌的结构化压缩感知循环观测矩阵的构造，其特征在于：该矩阵由三个不同的矩阵构成，其数学模型如下：

${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\Ω}}=\sqrt{\frac{N}{M}}{D}_{\mathrm{\Ω}}FR=\sqrt{\frac{N}{M}}{D}_{\mathrm{\Ω}}FR$

其中，

(1)是归一化系数，对Φ_Ω进行列单位化，使得Φ_Ω ^TΦ_Ω＝I_N，保证在使该矩阵对信号进行观测时，观测值与原始信号具有大致相近的能量；

(2)Ω表示随机抽取集合{1,2,...,N}的M个元素构成的集合；

(3)D_Ω∈R^M×N表示以Ω为下标集从一个N×N单位矩阵I_N中抽取M行构成的子矩阵，D_Ω实际上表示按照下标集Ω从FR中抽取行向量；

(4)F∈R^N×N表示混沌循环矩阵；

(5)R∈R^N×N表示全局随机算子，对矩阵F的列进行随机置乱操作。