CN106100642A - 一种基于图态的环链结构量子稳定子码构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于图态的环链结构量子稳定子码构造方法，它与现在主流的通过图态构造稳定子码的方法在思路上有所不同。所采用的方法是根据环链状排列的量子比特稳定子码的图态，运用其结构特有的旋转对称性，通过建立邻域的纠缠关系先解析构造出稳定子的主体部分，再经过计算分析进而对于不满足纠错条件的遗漏之处进行补充，通过增加稳定子操作算符来保证其纠错能力，从而得到完整的稳定子码。这种利用图形的拓扑结构和特有的对称性质，通过建立邻域的纠缠关系来构造出量子纠错码的构造方法，在扩展更高维度的量子纠错码和探索新类型的量子纠错码两方面，都有着很好的推广意义和应用前景。

Description

一种基于图态的环链结构量子稳定子码构造方法

技术领域

本发明涉及量子安全通信技术领域，具体涉及一种基于图态的环链结构量子稳定子码的解析构造方法。

背景技术

随着量子纠错码的发展，现在存在着多种构造稳定子码的有效方法。其中，利用图态构造稳定子码的方法随之也被提出，并且存在着其他构造方法所不具备的构造优势。例如，量子错误的转化特性，码族可控制在大小相同的系统中以及可以利用图形的几何结构发现码的新结构等。在二维图态和高维图态的基础上也分别实现了量子纠错码的构造并且进行了充分的验证。

文献1：“Quantum error-correcting codes associated with graphs”通过暴力搜索法来获得量子纠错码。在基于图态构造稳定子码的过程，根据图来构造一个超图，通过码集搜索算法在超图中暴力搜索出符合条件的码集，通过每一个码集确定一组图态基，从而构造出稳定子码。但其缺点是因为码集搜索问题是一个完全的NP问题，所以当面临构建更长更高维度的纠错码时，仅仅依靠有限的搜索是非常不乐观的。

文献2：“Representation of excited states and topological order of thetoric code in MERA”是通过模拟物理模型来获得量子纠错码的。基于总结出的电子激发等物理模型，从实际的物理量出发进行解析构造，从而利用自由的物理量结构去构造量子纠错码。但其缺点是依赖实际物理量的解析构造，在维度扩展和增加输入比特的方面，是很难进行推广的。并且在运用实际的物理量进行分析时，存在很多的局限性。在探索新的码结构时，也无法用到图论独有的几何直觉构造优势。

发明内容

针对上述现有技术中存在的问题，本发明的目的在于，提供一种基于图态的链环结构量子稳定子码构造方法，根据环链状排列的量子比特稳定子码的图态，运用其结构特有的旋转对称性，通过建立邻域的纠缠关系解析构造出稳定子的主体部分，再经过计算分析进而对于不满足纠错条件的遗漏之处进行补充，通过增加稳定子操作算符来保证其纠错能力，从而得到完整的稳定子码。

为了实现上述任务，本发明采用以下技术方案：

一种基于图态的环链结构量子稳定子码的构造方法，该方法用于构建几何形状为n个链状排列的量子比特的稳定子码，包括以下步骤：

步骤一，对于一个环链状排列的量子比特稳定子码的图态|Γ>，它所有的稳定子可以写成：G_i＝X_iZ_N(i),即表示顶点i上的稳定子G_i，是顶点i上的X算符与i的邻域N(i)顶点上的Z算符的直积；通过建立邻域的纠缠关系解析构造出稳定子的主体部分：

S₁＝{g_i|g_i＝G_iG_i+3,i∈n}

在上式中：

g_i:G_iG_i+3＝X_iZ_N(i)X_i+3Z_N(i+3) 式1

式1表示新构建的稳定子g_i，是由顶点i上的稳定子G_i和链状结构中顶点i相隔位置距离为3的顶点i+3上的稳定子G_i+3建立纠缠关系得到的；将n个链状排列的量子比特分别代入式1的构造公式中，可以得到稳定子的主体部分，即稳定子矩阵S₁为：

g₁:G₁G₄＝X Z Z X Z I...I I Z

g₂:G₂G₅＝Z X Z Z X Z...I I I

...

g_n-2:G_n-2G₁＝X Z I I I I...X Z Z

g_n-1:G_n-1G₂＝Z X Z I I I...Z X Z,

在上式中，I是单位算符，X是量子比特翻转算符，Z是量子相位翻转算符；

步骤二，计算分析步骤一中通过建立邻域的纠缠关系解析构造出的稳定子矩阵主体部分S₁是否满足稳定子码的纠错条件，若不满足纠错条件，则补充与错误成反对易的稳定子操作算符S₂，使其达到纠错的能力；

步骤三，构建总的稳定子矩阵S

当步骤二中S₁满足稳定子码的纠错条件时，总的稳定子矩阵S＝S₁；

当步骤二中S₁不满足稳定子码纠错条件时，将稳定子矩阵S₁与步骤二中补充的稳定子操作算符S₂合并成总的n-k个稳定子矩阵，即总的稳定子矩阵S；

S＝{g_i|g_i∈S₁∪S₂,i＝,...,n-k}

上式中，k表示逻辑比特个数，n表示物理比特个数；

步骤四，根据步骤三中得到的总的稳定子矩阵S，通过下面的公式即可得到一个(n,k)量子稳定子码：

$|C_1\mathrm{...}{C}_k>=\left(\underset{i=1}{\overset{n=k}{\Π}}\right(I+g_i\left)\right){\stackrel{\‾}{X_1}}^{C_1}\mathrm{...}{\stackrel{\‾}{X_k}}^{C_k}|\mathrm{0...0}>$

上式中，C₁...C_k表示纠错码的码字，|C₁...C_k>表示纠错码的码空间，I表示单位算符，g_i表示第i个稳定子，表示纠错码编码码字C₁...C_k时，取每一个即n个X算符相乘；|0...0>表示计算基态，其中稳定子的个数i不能超过n-k。

本发明与现有技术相比具有以下技术特点：

1.与现有技术相比，本发明的构造方法既减小了利用暴力搜索法获得量子纠错码中存在的较高复杂度，也摆脱了从实际物理量出发构造量子纠错码时的种种模型束缚；

2.本发明由于环链状排列的量子比特具有旋转对称性，所以稳定子码的构造方式也具有相同的特性。即由于每一个量子比特在旋转对称特性下位置是相似的，因此可以固定某一个位置上的量子比特，研究任意另一个位置的量子比特发生的错误情况来概括这一码族共有的纠错特性；

3.通过本发明提出的这种基于图态构造稳定子纠错码的新的方式，很容易利用相同的思路构建出更多类似的码族去进行推广的。例如可以采用与本发明中稳定子构造公式G_iG_i+3相类似的G_iG_i+2构造公式，按照流程可以构造出一系列的稳定子量子纠错码码族；

4.对于复杂条件图态稳定子码的构造，这种先构造主体再考虑边界局部的构造方式也同样适用，所以运用这种方法可以找到许多的稳定子码，并且能将其扩展至更高维度的量子纠错码中去；

5.这种新的稳定子码构造思路也可以与拓扑码的构造相共鸣，在拓扑码上找到合适的构造方法，从而构造出更优质的量子纠错码。可见，本发明提出的这种通过分析码集的结构，巧妙地利用图形的拓扑结构和特有的对称性质，构造出量子纠错码的这种新的方法，在探索新类型的量子纠错码方面具有很好的应用前景。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为5量子比特图态的结构示意图；

图3为7量子比特图态的结构示意图；

具体实施方式

本发明提出一种基于图态的环链结构量子稳定子码构造方法，用于构建几何形状为n个链状排列的量子比特的稳定子码，包括以下步骤：

步骤一，对于一个图态|Γ>，它所有的稳定子可以写成：G_i＝X_iZ_N(i)。也就是说，顶点i上的稳定子G_i，是顶点i上的X算符与i的邻域N(i)顶点上的Z算符的直积。而n个顶点上的不同的稳定子G_i＝X_iZ_N(i)彼此相互独立，因此本征值为+1的本征态也是唯一的，也就是图态|Γ>。这样的对应关系，使得图态可以直接用稳定子来描述。

所以根据环链状排列的量子比特稳定子码的图态，运用其结构特有的旋转对称性，可以通过建立邻域的纠缠关系解析构造出稳定子的主体部分：

S₁＝{g_i|g_i＝G_iG_i+3,i∈n}：

在上式中：

g_i:G_iG_i+3＝X_iZ_N(i)X_i+3Z_N(i+3) (式1)

式1表示新构建的稳定子g_i，是由顶点i上的稳定子G_i和链状结构中顶点i相隔位置距离为3的顶点i+3上的稳定子G_i+3，建立纠缠关系得到的；即新构建的稳定子g_i，是顶点i上的X算符与i的邻域N(i)顶点上的Z算符以及顶点i+3上的X算符与i+3的邻域N(i+3)顶点上的Z算符的直积。将n个链状排列的量子比特分别代入式1的构造公式中，可以得到的稳定子矩阵S₁为：

g₁:G₁G₄＝XZZXZI...IIZ

g₂:G₂G₅＝ZXZZXZ...III

...

g_n-2:G_n-2G₁＝XZIIII...XZZ

g_n-1:G_n-1G₂＝ZXZIII...ZXZ

在上式中，I是单位算符，X是量子比特翻转算符，Z是量子相位翻转算符；

步骤二，计算分析步骤一中通过建立邻域的纠缠关系解析构造出的稳定子矩阵主体部分S₁是否满足稳定子码所要求的纠错条件，若S₁中有不满足纠错条件的稳定子，则补充与错误成反对易的稳定子操作算符S₂，使其达到纠错的能力；其中要求的稳定子码的纠错条件，即证明出任意两个错误E₁E₂均能被探测出来，也就是需要证明错误E₁E₂均与稳定子S中的某一项成反对易，其中错误下面来进行具体分析。

在量子传输中，可能发生的错误E类型有比特翻转X算符，相位翻转Z算符以及比特相位同时翻转Y算符。那么两个错误E₁E₂的错误类型共有XX,YY,ZZ,XZ,ZX,XY,YX,YZ,ZY 9种。不需要考虑两个错误的顺序可以化简为XX,YY,ZZ,XZ,XY,YZ 6种，又因为如果XX,XZ与g_i反对易，那么XY也一定反对易。同理如果ZZ,XZ与g_i反对易，那么YZ也一定反对易。所以只需要考虑XX,YY,ZZ,XZ4种错误在任意位置是否与g_i反对易即可。

步骤三，构建总的稳定子矩阵S

当步骤二中S₁满足稳定子码的纠错条件时，总的稳定子矩阵S＝S₁；

当步骤二中S₁不满足稳定子码纠错条件时，将稳定子矩阵S₁与步骤二中补充的稳定子操作算符S₂合并成总的n-k个稳定子矩阵，即总的稳定子矩阵S；

S＝{g_i|g_i∈S₁∪S₂,i＝,...,n-k}

上式中，k表示逻辑比特个数，n表示物理比特个数；

步骤四，根据步骤三中得到的总的稳定子矩阵，通过下面的编码公式即可得到一个(n,k)量子稳定子码：

$|C_1\mathrm{...}{C}_k>=\left(\underset{i=1}{\overset{n=k}{\Π}}\right(I+g_i\left)\right)\mathrm{...}{\stackrel{\‾}{X_1}}^{C_1}\mathrm{...}{\stackrel{\‾}{X_k}}^{C_k}|\mathrm{0...0}>$

上式中，C₁...C_k表示纠错码的码字，|C₁...C_k>表示纠错码的码空间，I表示单位算符，g_i表示第i个稳定子，表示纠错码编码码字C₁...C_k时，取每一个即n个X算符相乘；|0...0>表示计算基态，其中稳定子的个数i不能超过n-k。

实施例1

当量子比特数为n＝5环链状排列时，对应图态如图2，通过本发明所提出的构造方法可以构造出一个(5,1)稳定子码。具体步骤如下：

步骤一，根据环链状排列的量子比特稳定子码的图态，运用其结构特有的旋转对称性，可以通过建立邻域的纠缠关系解析构造出稳定子的主体部分。当量子比特数为n＝5时，通过式1的构造公式，可以得到的稳定子矩阵为：

g₁:G₁G₄＝X Z Z X I

g₂:G₂G₅＝I X Z Z X

g₃:G₃G₁＝X I X Z Z

g₄:G₄G₂＝Z X I X Z

步骤二，计算分析步骤一中通过建立邻域的纠缠关系解析构造出的稳定子矩阵主体部分S₁，是否满足稳定子码所要求的纠错条件。若S₁中有不满足纠错条件的稳定子，补充与错误成反对易的稳定子操作算符S₂，使其达到纠错的能力。其中要求的稳定子码的纠错条件，即证明出任意两个错误E₁E₂均能被探测出来。也就是需要证明错误E₁E₂均与稳定子S中的某一项成反对易，其中错误下面来进行具体分析。

此时只需要考虑XX,YY,ZZ,XZ 4种错误在任意位置是否与步骤一所构建的g_i反对易即可。经过检验，XX,YY,ZZ,XZ 4种错误在任意位置均与g₁,g₂,g₃,g₄成反对易，所以不需要额外添加稳定子操作算符S₂便可满足其纠错的能力。

步骤三，通过步骤一和步骤二，合并成4个稳定子矩阵S＝{g_i|g_i∈S₁∪S₂,i＝1,...,4}(此时S₂看作空集)从而得出总的稳定子矩阵S；

步骤四，根据步骤三中得到的稳定子矩阵：

S＝{g_i|g_i∈S₁∪S₂,i＝1,...,4}，

通过下面的编码公式：

$|C_1\mathrm{...}{C}_k>=\left(\underset{i=1}{\overset{n=k}{\Π}}\right(I+g_i\left)\right){\stackrel{\‾}{X_1}}^{C_1}...{\stackrel{\‾}{X_k}}^{C_k}|0...0>$

便可得到一个(5,1)量子稳定子码。其中选择即5个X算符相乘，|C₁...C_k>表示纠错码码空间，I表示单位算符，g_i表示第i个稳定子，其中稳定子的个数i不能超过4即可。

实施例2：

当量子比特数为n＝7环链状排列时，对应图态如图3，通过本发明所提出的构造方法可以构造出一个(7,1)稳定子码。具体步骤如下：

步骤一，根据环链状排列的量子比特稳定子码的图态，运用其结构特有的旋转对称性，可以通过建立邻域的纠缠关系解析构造出稳定子的主体部分。当量子比特数为n＝7时，通过式1的构造公式，可以得到的稳定子矩阵为：

g₁:G₁G₄＝XZZXZIZ

g₂:G₂G₅＝ZXZZXZI

g₃:G₃G₆＝IZXZZXZ

g₄:G₄G₇＝ZIZXZZX

g₅:G₅G₁＝XZIZXZZ

步骤二，计算分析步骤一中通过建立邻域的纠缠关系解析构造出的稳定子矩阵主体部分S₁，是否满足稳定子码所要求的纠错条件。若S₁中有不满足纠错条件的稳定子，补充与错误成反对易的稳定子操作算符S₂，使其达到纠错的能力。其中要求的稳定子码的纠错条件，即证明出任意两个错误E₁E₂均能被探测出来。也就是需要证明错误E₁E₂均与稳定子S中的某一项成反对易，其中错误下面来进行具体分析。

对于n＝7个量子比特的编码来说，位置距离最大为3。值得注意的一点，这里提到的位置距离指的是图中每个顶点间的距离，而不是纠错编码中的码距。由于稳定子码的构造形式为XZZX，所以可能会面临到以下的错误情况：

A.对于距离为1的错误：

发生XX错误的均有S上同样位置的XZ与之相反对易，比如X₁X₂与g₁反对易；

发生YY错误时只需S上对应的其中一位上出现I即可与之反对易，比如Y₁Y₂与g₅反对易；

发生ZZ错误与发生XX错误一样，同样位置的XZ即可与之反对易，比如Z₁Z₂与g₁反对易；

发生XZ错误时，S上同样位置有ZZ即可与之反对易，比如X₂Z₃与g₁反对易。

B.对于距离为2的错误：

发生XX错误时与距离为1时相同，X_iX_i+2均有g_i与之反对易；

发生YY错误时于距离为1时相同，只需S上对应的其中一位上出现I即可与之反对易，比如Y₁Y₂与g₅反对易；

发生ZZ错误时与发生XX错误时一样，同样位置的XZ即可与之反对易；

发生XZ错误时，需要在S上找到距离为2的ZZ，很显然XZ错误中间的那一位发生翻转的图态是不满足纠错条件的，即找不到成反对易关系的稳定子。

C.对于距离为3的错误：

YY错误与前面一样；

XX与ZZ在ZXZZXZ的正序上不能满足，但是在倒序上XZIZX仍有相应的g与之反对易，比如X₁X₄与g_1-3＝g₅反对易；

XZ错误则正好与相同位置的XX反对易，比如X₁Z₄与g₁反对易。

综上经过检验，可能面临的错误在任意位置均与g₁,g₂,g₃,g₄,g₅反对易，但发生位置距离为2的XZ错误时，稳定子矩阵S₁是不能满足纠错条件的，即找不到成反对易关系的稳定子。所以我们需要添加与XZ错误成反对易的稳定子操作算法，即含有位置距离为2的ZZ的稳定子操作算符S₂，即S₂＝{g₆|g₆:G₆G₂＝ZXZIZXZ}。

步骤三：通过步骤一和步骤二，合并成6个稳定子矩阵：

S＝{g_i|g_i∈S₁∪S₂,i＝1,...,6}

从而得出总的稳定子矩阵S；

步骤四，根据步骤三中得到的稳定子矩阵，通过编码公式：

$|C_1...C_K>=\left(\underset{i=1}{\overset{n=k}{\Π}}\right(I+g_i\left)\right){\stackrel{\‾}{X_1}}^{C_1}...{\stackrel{\‾}{X_K}}^{C_K}|0...0>$

便可得到一个(7,1)量子稳定子码。其中选择即7个X算符相乘，|C₁...C_K>表示纠错码码空间，I表示单位算符，g_i表示第i个稳定子，其中稳定子的个数i不能超过6即可。

Claims (1)

1.一种基于图态的环链结构量子稳定子码的构造方法，其特征在于，该方法用于构建几何形状为n个链状排列的量子比特的稳定子码，包括以下步骤：

步骤一，对于一个环链状排列的量子比特稳定子码的图态|Γ>，它所有的稳定子可以写成：G_i＝X_iZ_N(i),即表示顶点i上的稳定子G_i，是顶点i上的X算符与i的邻域N(i)顶点上的Z算符的直积；通过建立邻域的纠缠关系解析构造出稳定子的主体部分：

S₁＝{g_i|g_i＝G_iG_i+3,i∈n}

在上式中：

g_i:G_iG_i+3＝X_iZ_N(i)X_i+3Z_N(i+3) 式1

式1表示新构建的稳定子g_i，是由顶点i上的稳定子G_i和链状结构中顶点i相隔位置距离为3的顶点i+3上的稳定子G_i+3建立纠缠关系得到的；将n个链状排列的量子比特分别代入式1的构造公式中，可以得到稳定子的主体部分，即稳定子矩阵S₁为：

g₁:G₁G₄＝XZZXZI...IIZ

g₂:G₂G₅＝ZXZZXZ...III

...

g_n-2:G_n-2G₁＝XZIIII...XZZ

g_n-1:G_n-1G₂＝ZXZIII...ZXZ,

在上式中，I是单位算符，X是量子比特翻转算符，Z是量子相位翻转算符；

步骤二，计算分析步骤一中通过建立邻域的纠缠关系解析构造出的稳定子矩阵主体部分S₁是否满足稳定子码的纠错条件，若S₁中有不满足纠错条件的稳定子，则补充与错误成反对易的稳定子操作算符S₂，使其达到纠错的能力；

步骤三，构建总的稳定子矩阵S

当步骤二中S₁满足稳定子码的纠错条件时，总的稳定子矩阵S＝S₁；

当步骤二中S₁不满足稳定子码纠错条件时，将稳定子矩阵S₁与步骤二中补充的稳定子操作算符S₂合并成总的n-k个稳定子矩阵，即总的稳定子矩阵S；

S＝{g_i|g_i∈S₁∪S₂,i＝,...,n-k}

上式中，k表示逻辑比特个数，n表示物理比特个数；

步骤四，根据步骤三中得到的总的稳定子矩阵S，通过下面的公式即可得到一个(n,k)量子稳定子码：

$|C_1...C_k>=\left(\underset{i=1}{\overset{n=k}{\Π}}\right(I+g_i\left)\right){\stackrel{\‾}{X_1}}^{C_1}...{\stackrel{\‾}{X_k}}^{C_k}|0...0>$

上式中，C₁...C_k表示纠错码的码字，|C₁...C_k>表示纠错码的码空间，I表示单位算符，g_i表示第i个稳定子，表示纠错码编码码字C₁...C_k时，取每一个即n个X算符相乘；|0...0>表示计算基态，其中稳定子的个数i不能超过n-k。