CN106096117B

CN106096117B - 基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法

Info

Publication number: CN106096117B
Application number: CN201610394902.7A
Authority: CN
Inventors: 张柏礼; 李富豪
Original assignee: Southeast University
Current assignee: Southeast University
Priority date: 2016-06-06
Filing date: 2016-06-06
Publication date: 2019-04-30
Anticipated expiration: 2036-06-06
Also published as: CN106096117A

Abstract

本发明公开了一种基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法，该方法针对不确定图中边移除后对流量和可靠性产生的相对损失这一角度，将流量作为衡量关键边的最关键因素，当流量一致时，将边分为三类，分别计算将边移除后剩余不确定图的满足最大流的子图集合，再根据子图集合计算分布可靠性和容量可靠性，最后依据分布可靠性和容量可靠性判断边的关键度。本发明综合考虑流量、分布可靠性和容量可靠性来评估边的关键度，时间复杂度更低，效率更高。

Description

基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法

技术领域

本发明涉及不确定图关键边评估方法，尤其涉及一种基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法。

背景技术

现实世界中，网络形式的系统随处可见，例如，因特网、智能电网、科研合作网络、客户关系网络等。如何在复杂网络环境下，保证网络的可靠性与抗毁性，以及网络中边的重要性评估是研究网络的重要内容。由节点重要度评估找出那些重要的关键节点，可以通过重点保护这些关键节点提高整个网络的可靠性。因此，对于网络中节点的重要度进行评估是一项有意义的工作。

评估网络中节点重要性的方法很多，最简单的方法是以节点的连接度(节点连接的边数)作为节点重要度的衡量标准，认为与节点相连的边越多则该节点越重要。这种评估方法具有片面性，有些重要的“关键节点”并不一定具有较大的连接度，比如只有两条边相连的“桥节点”。2002年Girvan和Newman在介数中心度的基础上，提出了边介数(edge-betweenness)概念，通过计算网络中边介数的大小来反映边对网络资源的传输能力和控制能力的强弱，边介数越大，表明网络中任意节点对经过该条边的次数就越多，对网络资源的传输能力和控制能力就越强，在网络中所起到的作用也就越大，因此，边介数在一定程度上反映了边的重要程度；文献《A method for finding the most vital node incommunication networks》提出了一种基于生成树数目的节点删除法，定义最重要的节点为去掉该节点使得生成树数目最小的节点。节点删除法的问题是如果多个节点的删除都使得网络不连通，那么这些节点的重要度将是一致的，从而使得评估结果不精确。针对已有复杂网络节点重要性评估方法中片面强调节点的度而忽略了边对与之相连节点的支撑作用的缺陷，熊金石等人提出了节点度和边介数共同作用下的评估数学模型，以体现边对其端节点的支撑作用。

发明内容

发明目的：本发明针对现有技术存在的问题，提供一种基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法，该方法根据流量、分布可靠性和容量可靠性综合评价边的关键度，时间复杂度更低，效率更高。

技术方案：本发明所述的基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法，包括：

(1)通过状态划分规则，获取不确定图的满足最大流的所有子图区间；

(2)计算将该不确定图的各边移除后，得到的各剩余不确定图的最大流{f(e_k)|k＝1,…,m}；其中，m为边的总数，e_k表示第k条边，f(e_k)表示将边e_k移除后得到的剩余不确定图的最大流；

(3)根据计算得到的各剩余不确定图的最大流，从小到大对相应的边进行排序；其中，排序越靠前的边关键度越高；

(4)若存在边e_i和边e_j对应的剩余不确定图的最大流f(e_i)和f(e_j)相等，则分别计算边e_i和边e_j所在的子图区间的总数S_i和S_j；

(5)若S_i＝τ或S_j＝τ，则采用STPA_CUT算法，计算将边e_i或e_j移除后，剩余不确定图的满足最大流的子图集合set_i或set_j；其中，τ为满足最大流的子图区间的个数；

(6)若0<S_i<τ或0<S_j<τ，则采用B-CESA算法，计算将边e_i或e_j移除后，剩余不确定图的满足最大流的子图集合set_i或set_j；

(7)若S_i＝0或S_j＝0，则将该不确定图的满足最大流的子图区间作为子图集合set_i或set_j；

(8)采用子图集合set_i和set_j，分别计算移除边e_i和边e_j后，剩余不确定图的分布可靠性和容量可靠性；

(9)比较计算得到的分布可靠性和容量可靠性值，并将更小的分布可靠性值所对应的边排序在前；当分布可靠性值一致时，将更小的容量可靠性所对应的边排序在前；从而得到按照关键度从高到低排序的边序列。

进一步的，步骤(4)具体包括：

(41)若存在边e_i和边e_j对应的剩余不确定图的最大流f(e_i)和f(e_j)相等，则分别计算不确定图的边e_i和边e_j在子图区间u的存在状况S_iu和S_ju；其中，

式中，u＝1,…,τ，u为子图区间的序号，e_i＝1表示在子图区间u中的所有子图都包含边e_i，e_i＝0表示在子图区间u中的所有子图都不包含边e_i，e_i＝x表示子图区间u中的子图有包含和不包含两种情况,e_j同理；

(42)根据存在状况S_iu和S_ju，计算得到边e_i和边e_j所在的子图区间的总数S_i和S_j；其中，

进一步的，所述STPA_CUT算法具体包括：

(51)获取移除当前边后剩余不确定图的最大子图MSG(G)，并根据MSG(G)采用最大流算法获取对应的割集CUT；

(52)根据割集CUT缩减初始状态划分区间；

(53)使用状态划分规则对于缩减后的初始划分区间进行划分，获取不确定国移除该边之后依然满足最大流的子图集合。

进一步的，所述B-CESA算法具体包括：

(61)对于步骤(1)获取的满足最大流的每一个子图区间C，判断当前边在C中的位置状态；

(62)若子图区间C中的所有子图都不包含该边，则将子图区间C加入到不确定国移除该边之后依然满足最大流的子图集合中；

(63)若子图区间C中的所有子图都包含该边，则移除子图区间C；

(64)若子图区间C中的部分子图包含该边，则将子图区间C分解为，包含该边的子图区间C1和不包含该边的子图区间C2，并对于子图区间C1和C2分别采用步骤(62)(63)继续判断；最后获取不确定国移除该边之后依然满足最大流的子图集合。

进一步的，步骤(8)具体包括：

(81)采用子图集合set_i计算移除边e_i后，剩余不确定图的容量可靠性为：式中，P_i(g)为子图g的概率，且 p(e_i)表示边e_i存在的概率；

(82)采用子图集合set_j计算移除边e_j后，剩余不确定图的容量可靠性为：式中，P_j(g)为子图g的概率，且 p(e_j)表示边e_j存在的概率；

(83)采用子图集合set_i计算移除边e_i后，剩余不确定图的分布式可靠性为：

式中，p(e_i)表示边e_i存在的概率；

(84)采用子图集合set_j计算移除边e_j后，剩余不确定图的分布式可靠性为：

式中，p(e_j)表示边e_j存在的概率。

有益效果：本发明与现有技术相比，其显著优点是：本发明构建了基于流量和可靠性指标的不确定图关键边评估的数学模型。该模型针对不确定图中边移除(故障)后对流量和可靠性产生的相对损失这一角度，对边的关键度进行综合评估。该模型认为流量作为衡量关键边的最关键因素，当流量一致时，比较移除边之后的最大流分布可靠性，为了增加区分度，同时考虑容量可靠性。本发明时间复杂度更低，效率更高。

附图说明

图1是本发明的流程示意图；

图2是不确定图的示例图；

图3是图2中不确定图的一个子图的示例图；

图4是图2中不确定图的另一子图的示例图；

图5是图2中不确定图移除边E4之后的剩余不确定图；

图6是图2中不确定图的剪枝流程示意图；

图7是不同图规模情况下BASE和本发明的时间和内存消耗对比图；

图8是不同图稠密度下对BASE和本发明的时间和内存消耗对比图。

具体实施方式

如图1所示，本实施例的基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法，包括以下步骤：

S101、通过状态划分规则，获取不确定图的满足最大流的所有子图区间。

其中，不确定图是一个五元组G＝(V，E，s，t，(C，P))，其中，V是有向图G中顶点的集合，E是G中边的集合，s和t分别为G的源点和汇点，(C，P)是一个二元组且C：E->N是边上容量函数，P：E->(0，1]是边上的概率函数，表明该边能通过的最大容量为C时的概率为P，当边不存在，即边上能通过的容量为0时对应的概率为1-P。不确定图G中，在每条边都存在时，能够从源点s到汇点t传输的最大流值fmax为不确定图G的最大流。例如，图2所示为一个不确定图G，该不确定图的源点为s，汇点为t，除此之外还包含其他的顶点v1和v2，边集为{E1，E2，E3，E4，E5}，以边E4为例，边上的容量c(E4)＝1，概率p(E4)＝0.8，也就是说E4边能够达到流量为1的概率为0.8，而容量是0的概率为1-p(E4)＝0.2。图2所示的不确定图G能够达到的最大流为2。

不确定图G＝(V，E，s，t，(C，P))的子图g(V'，E'，s，t，C')是一个确定图，其中V'＝V，E'∈E，C'是容量的集合，且C'满足如果E'＝E，则称g为不确定图G的最大子图，记作MSG(G)。如图3和图4所示，g1和g2是图2中不确定图G的两个子图，根据定义子图g2为不确定图G的最大子图，MSG(G)。

S102、计算将该不确定图的各边移除后，得到的各剩余不确定图的最大流{f(e_k)|k＝1,…,m}。

其中，m为边的总数，e_k表示第k条边，f(e_k)表示将边e_k移除后得到的剩余不确定图的最大流。其中，剩余不确定图是指：对于一个不确定图G，如果有一条边e'被移除，剩下的不确定图被称为原不确定图G移除边e'之后的剩余不确定图G'，则G'可以表示为G'＝(V，E-e'，s，t，(C，P)-e'(c，p))，其中剩余不确定图的顶点和原不确定一致，且同时删除被移除边上的容量和概率的对应关系。例如，图5为图2中不确定图G移除边E4之后的剩余不确定图G'，G'中的顶点与原不确定图一致，同时E4上的流量概率对应被移除。

S103、根据计算得到的各剩余不确定图的最大流，从小到大对相应的边进行排序。

其中，排序越靠前的边关键度越高。如f(e₁)<f(e₂)，则e₁的关键程度大于e₂的关键程度。

S104、若存在边e_i和边e_j对应的剩余不确定图的最大流f(e_i)和f(e_j)相等，则分别计算边e_i和边e_j所在的子图区间的总数S_i和S_j。

该步骤具体包括：S1041、若存在边e_i和边e_j对应的剩余不确定图的最大流f(e_i)和f(e_j)相等，则分别计算不确定图的边e_i和边e_j在子图区间u的存在状况S_iu和S_ju；其中，式中，u＝1,…,τ，u为子图区间的序号，e_i＝1表示在子图区间u中的所有子图都包含边e_i，e_i＝0表示在子图区间u中的所有子图都不包含边e_i，e_i＝x表示子图区间u中的子图有包含和不包含两种情况,e_j同理；S1042、根据存在状况S_iu和S_ju，计算得到边e_i和边e_j所在的子图区间的总数S_i和S_j；其中，

S105、若S_i＝τ或S_j＝τ，则采用STPA_CUT算法，计算将边e_i或e_j移除后，剩余不确定图的满足最大流的子图集合set_i或set_j。

其中，满足S＝τ的边定义为A类边，τ为满足最大流的子图区间的个数。STPA_CUT(State Tree Pruning Algorithm Based on Cut Set)主要是利用了割集中的边必定在最大流子图这一性质，通过割集中的边对于子图状态树进行剪枝，以达到减少搜索的目的，因为割集中的边一般在子图树的第二层就能达到剪枝的效果，所以该方法能够有效的减少搜索效果。STPA_CUT具体包括步骤：S1051、获取移除当前边后剩余不确定图的最大子图MSG(G)，并根据MSG(G)采用最大流算法获取对应的割集CUT；S1052、对于初始状态划分区间(0,0,…0,0,0)-(1,1,…1,1,1)，根据割集CUT缩减初始状态划分区间；例如对于割集中边e_i，缩减后的初始划分区间为(0,0…e_i‐1,1,e_i+1,…0)‐(1,1…e_i‐1,1,e_i+1,…1)；即对于所有子节点，通过割集中的边进行剪枝，因为满足最大流的子图必定包含割集中的边，所以不包含割集中边的中间节点和叶子节点都必须舍去；S1053、使用状态划分规则对于缩减后的初始划分区间进行划分，获取不确定国移除该边之后依然满足最大流的子图集合，具体为：(1)当区间的下界子图满足最大流，则整个区间满足最大流，保留；(2)当区间上界不满足最大流，则整个区间不满足最大流，舍弃；(3)当区间下界不满足最大流，上界满足最大流，则二次划分。如图6所示，是经过割集剪枝之后的子图树，其中有背景的圆部分及其子树都被剪枝掉。

S106、若0<S_i<τ或0<S_j<τ，则采用B-CESA算法，计算将边e_i或e_j移除后，剩余不确定图的满足最大流的子图集合set_i或set_j。

其中，满足0<S<τ的边定义为B类边。B-CESA算法具体包括：S1061、对于步骤S101获取的满足最大流的每一个子图区间C，判断当前边在C中的位置状态；S1062、若子图区间C中的所有子图都不包含该边，则将子图区间C加入到不确定国移除该边之后依然满足最大流的子图集合中；S1063、若子图区间C中的所有子图都包含该边，则移除子图区间C；S1064、若子图区间C中的部分子图包含该边，则将子图区间C分解为，包含该边的子图区间C1和不包含该边的子图区间C2，并对于子图区间C1和C2分别采用步骤S1062和S1063继续判断；最后获取不确定国移除该边之后依然满足最大流的子图集合。

例如，图2中的不确定图G，经过状态划分获取满足最大流的子图区间有两个，分别是11x11和11101，e3是一个B边，根据以上规则，11x11区间在e3位置上的状态是x，可以分为11111和11011两个区间，因为11111和11101两个区间在e3位置上的状态是1，所以舍去，而只保留区间11011。所以最终移除e3之后，依然满足最大流的子图区间是11011。

S107、若S_i＝0或S_j＝0，则将该不确定图的满足最大流的子图区间作为子图集合seti或setj。

其中，将满足S＝0的边定义为C类边。对于C类边的计算，其断掉不会影响连通性，也不会影响可靠性，也就是说C类边断掉不会对不确定图的状态照成任何的影响。因此C类边移除之后不需要计算，直接使用原有的最大流，分布可靠性和容量可靠性。

S108、采用子图集合set_i和set_j，分别计算移除边e_i和边e_j后，剩余不确定图的分布可靠性和容量可靠性。

具体的，该步骤包括：

S1081、采用子图集合set_i计算移除边e_i后，剩余不确定图的容量可靠性为：式中，P_i(g)为子图g的概率，且 p(e_i)表示边e_i存在的概率；

S1082、采用子图集合set_j计算移除边e_j后，剩余不确定图的容量可靠性为：式中，P_j(g)为子图g的概率，且 p(e_j)表示边e_j存在的概率；

S1083、采用子图集合set_i计算移除边e_i后，剩余不确定图的分布式可靠性为：式中，p(e_i)表示边e_i存在的概率；

S1084、采用子图集合set_j计算移除边e_j后，剩余不确定图的分布式可靠性为：式中，p(e_j)表示边e_j存在的概率。

S109、比较计算得到的分布可靠性和容量可靠性值，并将更小的分布可靠性值所对应的边排序在前；当分布可靠性值一致时，将更小的容量可靠性所对应的边排序在前。最终得到一个按照关键度从高到低排序的边序列，排序在前的边关键度更高。

下面对本实施例所提出的方法进行验证和分析。为了验证本实施例所提出方法，将本实施例与基于重复计算的基础算法(BASE algorithm)进行对比，BASE的思想是，首先计算不确定图每一条边移除之后能够满足的最大流，然后通过比较不确定图在移除边之后能够达到的最大流，只有当流量相同的情况下，才计算比较分布可靠性和容量可靠性。BASE算法的运行效率与重复计算的次数紧密相连，在算法的首先需要计算所有边发生故障之后的最大流，使用计算最大流的算法是Dinic算法，运行Dinic算法所需的处理时间为O(|V|²|E|)，因此在处理这部分是复杂度是O(|V^|2|E|²)；然后当移除边之后流量相同的情况下，需要重复计算，使用的重复计算方式为基于状态划分的算法，具体为名称为“Algorithms ofthe most reliable maximum flow on uncertain graph”的文献提到的算法，其复杂度为O(k|V|²|E|)，其中k为划分过程中需要运行Dinic算法的次数。因此整个BASE算法的复杂度为O(km|V^|2|E|)+O(|V|²|E|²)，其中m为需要重复计算的次数，一般m的范围是0≤m≤|E|。

本实施例提出的是一种基于状态区间缓存算法SCA(State Caching Algorithm)，该算法首先获取所有边发生故障之后能够满足的最大流，然后对计算的流量进行排序，当前后两条边断掉之后获得的流量不相等时，根据模型定义，直接就可以比较出两条边的关键程度，只有当两条边移除之后最大流一致的情况下，会使用状态划分树的增量算法计算，该部分的计算最大流的算法是Dinic算法，运行Dinic算法所需的处理时间为O(|V|²|E|)，因此在处理这部分是复杂度是O(|V|²|E|²)。然后将不确定图的边分为A、B、C三类边，然后根据三类边的不同性质对于不同性质的边选择不同的算法，从而简化计算过程。首先对于A类边，考虑最坏的情况，就是重复完全计算，该算法运算复杂度主要体现在K次运行Dinic算法，因此对于A边的复杂度为O(ak|V|²|E|)，其中a为不确定图G中a边的个数，对于B类边，需要遍历满足最大流的所有区间，其复杂度为O(bτ)，其中b为不确定图B边的个数，τ为满足最大流区间的个数，对于C边来说，因为不需要计算，所以复杂度为O(c)，其中c为不确定图C类边的个数。综上所述，基于状态划分树的增量算法的整体复杂度是O(|V|²|E|²)+O(ak|V|^2|E|)+O(bτ)+O(c)，其中a+b+c＝|E|。由公式可见，本实施例的方法在最坏的情况下，复杂度和BASE算法的复杂度一致。

为了分析本实施例的运行效率及分析影响算法性能各种因素，进行了一系列的实验，实验平台为一台Intel Core的PC机(CPU i7-3770，3.40GHz，内存8GB，64位windows 7操作系统)，算法采用C++在VS2010上实现。本实施例采用了与文献“Algorithms of the mostreliable maximum flow on uncertain graph”相同的数据集，使用NETGEN生成器产生V₆E₁₀、V₈E₁₄、V₁₀E₁₈、V₁₂E₂₂、V₁₄E₂₆共5组不同图规模的二态有向图集合(实验数据集合大小为5)，其中VnEm表示有n个顶点、m条边组成的图，图中边的容量与对应概率满足均匀分布。通过在不同图规模的情况下，比较算法BASE和本实施例在运行时间及内存消耗放方面的差异。实验中的BASE_ALL算法指代的是完全重复计算的方式。

实验1.不同图规模对于算法性能的影响。根据图7所示，算法BASE_ALL算法是完全重复计算的方式，BASE算法是在当流量一致的情况下才计算分布可靠性和容量可靠性。如图7(a)所示，BASE算法相对于BASE_ALL算法在运行时间上有一定的减少，但是依然不适应大规模图，而SCA(本实施例提出的方法)在运行时间上有了很大的减少，适应性更好。如图7(b)所示，SCA算法相对于BASE算法在空间复杂度上有了一定程度的增加，但是随着图规模的增加，内存的使用并没有增加太多，依然在可以接受的范围内。

实验2.不同图稠密度对于算法性能的影响。为更好的反映BASE算法和SCA算法的性能差异，使用NETGEN生成器生成V₁₅E₂₁，V₁₅E₃₂，V₁₅E₄₂，V₁₅E₅₃四种不同稠密度的图，通过在不同图稠密度的情况下，比较算法BASE和SCA算法在运行时间及内存消耗放方面的差异。实验中的BASE_ALL算法指代的是完全重复计算的方式。试验结果如图8所示，相对于不同稠密度的图，SCA算法相对于BASE算法在时间复杂度上有较大的优势。

Claims

1.一种基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法，其特征在于该方法包括：

(1)通过状态划分规则，获取不确定图满足最大流的所有子图区间；

(9)比较计算得到的分布可靠性和容量可靠性值，并将更小的分布可靠性值所对应的边排序在前；当分布可靠性值一致时，将更小的容量可靠性所对应的边排序在前；从而得到按照关键度从高到低排序的边序列；

其中，所述STPA_CUT算法具体包括：

(52)根据割集CUT对初始状态划分区间进行缩减；

(53)使用状态划分规则对于缩减后的初始划分区间进行划分，获取不确定图移除该边之后依然满足最大流的子图集合；

所述B-CESA算法具体包括：

(62)若子图区间C中的所有子图都不包含该边，则将子图区间C加入到不确定图移除该边之后依然满足最大流的子图集合中；

(64)若子图区间C中的部分子图包含该边，则将子图区间C分解为，包含该边的子图区间C1和不包含该边的子图区间C2，并对于子图区间C1和C2分别采用步骤(62)(63)继续判断，最终获取不确定图移除该边之后依然满足最大流的子图集合。

2.根据权利要求1所述的基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法，其特征在于，步骤(4)具体包括：

3.根据权利要求1所述的基于流量和可靠性的不确定图关键边评估方法，其特征在于，步骤(8)具体包括：

式中，p(e_i)表示边e_i存在的概率；

式中，p(e_j)表示边e_j存在的概率。