CN106055741A - 一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，首先采用Paris公式描述金属结构的疲劳裂纹扩展过程，对Paris公式进行积分，得到积分形式的裂纹扩展方程，并对裂纹扩展方程进行Taylor展开。然后考虑设备的测量误差和结构的制造误差，使得初始裂纹长度含有一个小的扰动量，通过引入小参数ε将裂纹扩展方程的解和初始裂纹长度表示成摄动级数的形式，根据初始裂纹长度的名义值和扰动量确定摄动级数解各系数在初始时刻的取值，结合裂纹扩展方程的Taylor展开式，基于参数摄动理论得到裂纹扩展的摄动方程，对摄动方程进行求解得到疲劳裂纹扩展长度的摄动级数解，计算达到临界裂纹长度时的载荷循环次数，作为金属结构疲劳裂纹扩展寿命的预测值。

Description

一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预 测方法

技术领域

本发明涉及金属结构疲劳寿命预测的技术领域，具体涉及一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法。

背景技术

疲劳破坏是在交变循环载荷作用下材料或结构发生低应力脆断的现象，在飞机、船舶、汽车和桥梁等工程结构中尤其严重，因此疲劳裂纹扩展问题一直受到广泛的关注，也是工程研究的重点。裂纹在疲劳载荷作用下的扩展往往引起结构的失稳断裂，从而造成巨大的损失。因此，研究疲劳裂纹扩展特性，对于研究工程结构的疲劳校核和寿命评估有着重要的作用和意义。经过几十年的发展，人们已经认识到断裂力学是研究结构和构件疲劳裂纹扩展有力而现实的工具。现代断裂力学理论的成就和工程实际的迫切需要，促进了疲劳断裂研究的迅速发展。断裂力学是研究具有初始缺陷的材料和结构在各种环境下裂纹的扩展、失稳和止裂的规律，以裂纹尺寸大小和裂纹的扩展速率为结构损伤的判据，并用来估算疲劳裂纹的扩展寿命。

国内外对于疲劳裂纹扩展寿命预测方法的研究可谓异彩纷呈，目前在工程中应用最为广泛的方法依然是1963年由Paris和Erdogan在实验基础上提出的疲劳裂纹扩展公式，这就是著名的Paris公式，它建立了应力强度因子和裂纹扩展速率之间的关系，是当今工程应用中预测疲劳裂纹扩展寿命理论的基础。根据疲劳裂纹扩展速率和应力强度因子之间的关系，疲劳损伤在构件内逐渐积累，达到某一临界值时，形成初始疲劳裂纹。然后，初始疲劳裂纹在循环应力及环境的共同作用下逐步扩展，即发生亚临界扩展，在这个阶段裂纹扩展过程可以用Paris公式描述。当裂纹长度达到其临界裂纹长度时，难以承受外载，裂纹发生快速扩展，以至断裂。Paris公式已经在航空航天、能源、矿业、交通和海洋工程等诸多工业领域得到广泛的应用，由于制造或使用环境等原因，此类工程结构中可能已经有裂纹或缺陷存在。

利用Paris公式计算疲劳裂纹扩展，首先要确定结构的初始裂纹长度，然而，在实际工程结构中，由于测量设备的精度问题，初始裂纹的测量结果往往存在误差，同时，在疲劳试验中，预制裂纹试验件也会存在制造误差。初始裂纹长度作为疲劳裂纹扩展方程的初始条件，对于预测结构的疲劳寿命具有决定性作用，因此考虑初始裂纹长度的误差对于工程实际具有十分重要的意义。摄动级数法是分析参数的微小扰动对结构响应的影响的有力工具，在天体力学、流体力学、固体力学、量子力学等领域具有广泛应用。摄动级数法考虑初始裂纹长度存在微小扰动，计算扰动作用下结构的裂纹扩展，能够更好地描述裂纹扩展过程和更准确地预测金属结构的疲劳寿命。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，用以考虑测量误差和制造误差给初始裂纹长度带来的微小扰动，计算含初始裂纹缺陷的金属结构的剩余寿命，从而对结构的安全性进行评估，制定合理的维修方案，提高结构使用的安全性和经济性。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，其具体实现步骤是：

第一步：采用Paris公式描述金属结构的疲劳裂纹扩展过程：

$\frac{da}{dN}=C{\left(\mathrm{\Δ}K\right)}^m$

其中，a为半裂纹长度，N为载荷循环次数，为裂纹扩展速率，C、m为材料常数，△K为应力强度因子幅值。

根据断裂力学中△K和半裂纹长度a之间的关系，对Paris公式进行整理，并对Paris公式两端同时积分，可得积分形式的裂纹扩展方程：

$a\left(N\right)-a\left(0\right)={\∫}_0^{N}Q{\[a\left(\mathrm{\ξ}\right)\]}^{b}d\mathrm{\ξ}$

其中，a(ξ)为载荷循环次数为ξ时的半裂纹长度，Q,b为常参数，取值和结构材料、尺寸、受力状态有关。

第二步：利用疲劳试验得到的不同半裂纹长度a及对应的载荷循环次数N，采用中值法和回归拟合分析得到裂纹扩展方程中的参数Q、b的值。

第三步：通过引入小参数ε，将裂纹扩展方程的解表示成摄动级数的形式：

$a\left(N\right)=a_0\left(N\right)+a_1\left(N\right)\mathrm{\ϵ}+a_2\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^2+...=\underset{j=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_j\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^j$

保留前k+1项，得：

$a\left(N\right)=\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}{a}_j\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^j$

令f(a)＝a^b，其中a＝a(N)。将f(a)在a＝a₀处进行Taylor展开，并忽略余项得：

$\begin{array}{c}f\left(a\right)=f\left(a_0\right)+f^{\′}\left(a_0\right)(a-a_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\′\′}\left(a_0\right){(a-a_0)}^2+\mathrm{...}+\frac{1}{n!}{f}^{\left(n\right)}\left(a_0\right){(a-a_0)}^n+o\left({\left(a-a_0\right)}^n\right)\\ =a_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{b(b-1)\mathrm{...}(b-i+1)}{i!}{a}_0^{b-i}{(a-a_0)}^i\end{array}$

其中，i＝1,2,...，代入到上式中，可以得到f(a)＝a^b关于小参数ε的幂级数展开式：

$f\left(a\right)=a_0+\underset{i=1}{\overset{k\·n}{\Σ}}\[\underset{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+k\·{\mathrm{\β}}_k=i}{\Σ}\frac{b(b-1)...(b-{\mathrm{\β}}_1-...-{\mathrm{\β}}_k+1)}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!...{\mathrm{\β}}_k!}{a}_0^{b-({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\β}}_k)}(a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}\mathrm{...}{a}_k^{{\mathrm{\β}}_k}){\mathrm{\ϵ}}^i\]$

其中，β_i(i＝1,2,...,k)为整数，且0≤β_i≤i。

第四步：考虑实际工程中存在设备测量误差和结构制造误差，在初始裂纹中引入小扰动量

$a\left(0\right)=\stackrel{\‾}{a}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{a}$

根据第三步中的摄动级数解，令N＝0，可以将裂纹初始长度表示成摄动级数的形式：

a(0)＝a₀(0)+a₁(0)ε+a₂(0)ε²+…+a_k(0)ε^k

对比以上两式，可以得到裂纹扩展方程解的初始条件：

$a_0\left(0\right)=\stackrel{\‾}{a},a_1\left(0\right)=\frac{\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{a}}{\mathrm{\ϵ}},a_2\left(0\right)=0,a_3\left(0\right)=0,\mathrm{...},a_k\left(0\right)=0$

第五步：将摄动级数解代入积分形式的裂纹扩展方程中，可得：

$\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}\[a_j\left(N\right)-a_j\left(0\right)\]{\mathrm{\ϵ}}^j={\∫}_0^{N}Q{\[\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}{a}_j\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\ϵ}}^j\]}^{b}d\mathrm{\ξ}$

将的展开式代入上式中，将关于ε的同次幂系数合并，基于参数摄动理论，得到裂纹扩展的摄动方程：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}^0:a_0\left(N\right)-a_0\left(0\right)=Q{\∫}_0^N{a_0}^{b}d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^1:a_1\left(N\right)-a_1\left(0\right)=Q{\∫}_0^N{{\mathrm{ba}}_0}^{b-1}{a}_{1}d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^2:a_2\left(N\right)-a_2\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\{{{\mathrm{ba}}_0}^{b-1}{a}_2+\frac{b(b-1)}{2}{a_0}^{b-2}{a_1}^2\}d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^3:a_3\left(N\right)-a_3\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[{\mathrm{ba}}_0^{b-1}{a}_3+b(b-1)a_0^{b-2}{a}_1{a}_2+\frac{b(b-1)(b-2)}{3!}{a}_0^{b-3}{a}_1^3\]d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^4:a_4\left(t\right)-a_4\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[{\mathrm{ba}}_0^{b-1}{a}_4+b(b-1)a_0^{b-2}{a}_1{a}_3+\frac{b(b-1)(b-2)}{2!}{a}_0^{b-3}{a}_1^2{a}_2\\ +\frac{b(b-1)}{2!}{a}_0^{b-2}{a}_2^2+\frac{b(b-1)(b-2)(b-3)}{4!}{a}_0^{b-4}{a}_1^4\]d\mathrm{\ξ}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ϵ}}^n:a_b\left(N\right)-a_n\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[\underset{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+k\·{\mathrm{\β}}_k=n}{\Σ}\frac{b(b-1)\mathrm{...}(b-{\mathrm{\β}}_1-\mathrm{...}-{\mathrm{\β}}_k+1)}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!\mathrm{...}{\mathrm{\β}}_k!}{a}_0^{b-({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\β}}_k)}\\ (a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}\mathrm{...}{a}_k^{{\mathrm{\β}}_k})\]d\mathrm{\ξ}\\ n=0,1,2,\mathrm{...},k\end{array}$

求解上述方程，得到a_i(N)(i＝0,1,2,...,k)的表达式，代入到摄动级数解的表达式中，即可得裂纹扩展方程的解。计算裂纹扩展到临界裂纹长度a_c时的载荷循环次数N的值，作为金属结构疲劳裂纹扩展寿命的预测值。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)初始裂纹长度对于金属结构的疲劳寿命有很大影响，传统的裂纹扩展计算不考虑初始裂纹长度误差的影响，因此对裂纹扩展过程的预测和疲劳寿命的估计存在一定偏差。本发明将初始裂纹长度的误差作为扰动量加到初始裂纹长度的名义值上，作为裂纹扩展方程的初始条件，充分考虑了实际工程中测量设备和制造工艺带来的误差。

(2)本发明采用Taylor摄动级数法对含初始扰动的裂纹扩展方程进行求解，能够快速分析参数的扰动对结构响应，即裂纹扩展速率的影响，从而更好地描述疲劳裂纹扩展过程和更准确地预测金属结构的疲劳寿命。

附图说明

图1是本发明方法实现流程图；

图2是本发明步骤二中中值法的a-N曲线图；

图3是本发明实例中475-T761航空铝合金中心裂纹(MT)试样示意图；

图4是本发明实例中基于试验数据、原始解和摄动级数解的a-N曲线图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

本发明提出了一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，其具体实现步骤是：

(1)采用Paris公式描述金属结构的疲劳裂纹扩展过程：

$\frac{da}{dN}=C{\left(\mathrm{\Δ}K\right)}^m---\left(1\right)$

其中，a为半裂纹长度，N为载荷循环次数，为裂纹扩展速率，C、m为材料常数，△K为应力强度因子幅值。

根据断裂力学中△K和半裂纹长度a之间的关系：

$\mathrm{\Δ}K=Y\mathrm{\Δ}\mathrm{\σ}\sqrt{\mathrm{\π}a}---\left(2\right)$

其中，△σ为载荷幅值，Y为形状因子，与结构几何尺寸和裂纹长度有关，对含中心裂纹无限大板(板的宽度W＞＞2a)，Y＝1，对含单边裂纹无限大板，Y＝1.12。

将式(2)代入式(1)，可得：

$\frac{da}{dN}={\mathrm{Qa}}^b---\left(3\right)$

其中，Q＝C(△σ)^mY^mπ^m/2,b＝m/2。

对Paris公式两端同时积分，可得积分形式的裂纹扩展方程：

$a\left(N\right)-a\left(0\right)={\∫}_0^{N}Q{\[a\left(\mathrm{\ξ}\right)\]}^{b}d\mathrm{\ξ}---\left(4\right)$

其中，a(0)为初始半裂纹长度，a(N)为载荷循环次数为N时的半裂纹长度，a(ξ)为载荷循环次数为ξ时的半裂纹长度，Q、b为常参数，取值和结构材料、尺寸、受力状态有关。

(2)利用疲劳试验得到的试验数据，作a-N曲线，如图2所示。对每个离散点a_i，采用中值法求各离散点的切线斜率：

${\left(\frac{da}{dN}\right)}_i={\left(\frac{\mathrm{\Δ}a}{\mathrm{\Δ}N}\right)}_i=\frac{a_i^{\′\′}-a_i^{\′}}{N_i^{\′\′}-N_i^{\′}}---\left(5\right)$

对式(3)两端取对数，得：

$ln\frac{da}{dN}=\ln Q+b\ln a---\left(6\right)$

试验数据的线性回归方程为：

Y＝A+BX (7)

其中，X＝lna，A＝lnQ，B＝b。

由回归分析法知：

$\begin{array}{c}A=\stackrel{\‾}{Y}-B\stackrel{\‾}{X}\\ B=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}(X_i-\stackrel{\‾}{X})(Y_i-\stackrel{\‾}{Y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{(X_i-\stackrel{\‾}{X})}^2}\end{array}---\left(8\right)$

其中，为X_i(i＝1,2,...,N)的均值，为Y_i(i＝1,2,...,N)的均值，N为离散点的个数。得到A、B的值后，即可求得Q、b的值。

(3)通过引入小参数ε，裂纹扩展方程(4)的解可表示成摄动级数的形式：

$a\left(N\right)=a_0\left(N\right)+a_1\left(N\right)\mathrm{\ϵ}+a_2\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^2+\mathrm{...}=\underset{j=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_j\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^j---\left(9\right)$

其中，(a₀+a₁ε+a₂ε²+…)是关于ε的渐进级数，当ε足够小时级数收敛。忽略高阶项，保留前k+1项，得：

$a\left(N\right)=\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}{a}_j\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^j---\left(10\right)$

令f(a)＝a^b，其中a＝a(N)。将f(a)在a＝a₀处进行Taylor展开：

$\begin{array}{c}f\left(a\right)=f\left(a_0\right)+f^{\′}\left(a_0\right)+f^{\′}\left(a_0\right)(a-a_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\′\′}\left(a_0\right){(a-a_0)}^2+\mathrm{...}+\frac{1}{n!}{f}^{\left(n\right)}\left(a_0\right){(a-a_0)}^n+o\left({\left(a-a_0\right)}^n\right)\\ =a_0^b+{\mathrm{ba}}_0^{b-1}(a-a_0)+\frac{1}{2!}b(b-1)a_0^{b-2}{(a-a_0)}^2+\mathrm{...}+\frac{b(b-1)\mathrm{...}(b-n+1)}{n!}{a}_0^{b-n}{(a-a_0)}^n\\ +o\left({\left(a-a_0\right)}^n\right)\\ =a_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{b(b-1)\mathrm{...}(b-i+1)}{i!}{a}_0^{b-i}{(a-a_0)}^i+o\left({\left(a-a_0\right)}^n\right)\end{array}---\left(11\right)$

其中，

${(a-a_0)}^i={\left(\underset{j=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_j{\mathrm{\ϵ}}^j\right)}^i={(a_1\mathrm{\ϵ}+a_2{\mathrm{\ϵ}}^2+...+a_j{\mathrm{\ϵ}}^j+...)}^i---\left(12\right)$

根据多项式定理，将上式展开：

$\begin{array}{c}{(a-a_0)}^i={(a_1\mathrm{\ϵ}+a_2{\mathrm{\ϵ}}^2+\mathrm{...}+a_k{\mathrm{\ϵ}}^k)}^i\\ =\underset{{\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\β}}_k=i}{\Σ}\frac{i!}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!\mathrm{...}{\mathrm{\β}}_k!}{\left(a_1\mathrm{\ϵ}\right)}^{{\mathrm{\β}}_1}{\left(a_1{\mathrm{\ϵ}}^2\right)}^{{\mathrm{\β}}_2}\mathrm{...}{\left(a_k{\mathrm{\ϵ}}^k\right)}^{{\mathrm{\β}}_k}\\ =\underset{{\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\β}}_k=i}{\Σ}\frac{i!}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!\mathrm{...}{\mathrm{\β}}_k!}(a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}\mathrm{...}{a}_k^{{\mathrm{\β}}_k}){\mathrm{\ϵ}}^{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+k\·{\mathrm{\β}}_k}\end{array}---\left(13\right)$

其中，β_i(i＝1,2,...,k)是整数且0≤β_i≤i。

将式(13)代入式(11)，并忽略余项，可以得到f(a)＝a^b关于小参数ε的幂级数展开式：

$\begin{array}{c}f\left(a\right)={\left(\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}{a}_j{\mathrm{\ϵ}}^j\right)}^b\\ =a_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\[\frac{b(b-1)\mathrm{...}(b-i+1)}{i!}{a}_0^{b-i}\·\underset{{\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\β}}_k=i}{\Σ}\frac{i!}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!\mathrm{...}{\mathrm{\β}}_k!}(a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}\mathrm{...}{a}_k^{{\mathrm{\β}}_k}){\mathrm{\ϵ}}^{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+k\·{\mathrm{\β}}_k}\]\\ =a_0+\underset{i=1}{\overset{k\·n}{\Σ}}\[\underset{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+k\·{\mathrm{\β}}_k=i}{\Σ}\frac{b(b-1)\mathrm{...}(b-{\mathrm{\β}}_1-\mathrm{...}-{\mathrm{\β}}_k+1)}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!\mathrm{...}{\mathrm{\β}}_k!}{a}_0^{b-({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\β}}_k)}(a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}\mathrm{...}{a}_k^{{\mathrm{\β}}_k}){\mathrm{\ϵ}}^i\]\end{array}---\left(14\right)$

(4)考虑实际工程中存在设备测量误差和结构制造误差，在初始裂纹长度中引入小扰动量

$a\left(0\right)=\stackrel{\‾}{a}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{a}---\left(15\right)$

其中，为初始半裂纹长度的名义值，为初始半裂纹长度的扰动量。

根据摄动级数解(10)，令N＝0，可以将初始半裂纹长度表示成摄动级数的形式：

a(0)＝a₀(0)+a₁(0)ε+a₂(0)ε²+…+a_k(0)ε^k (16)

对比以上两式，可以得到裂纹扩展方程解的初始条件：

$a_0\left(0\right)=\stackrel{\‾}{a},a_1\left(0\right)=\frac{\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{a}}{\mathrm{\ϵ}},a_2\left(0\right)=0,a_3\left(0\right)=0,...,a_k\left(0\right)=0---\left(17\right)$

(5)将式(10)和式(16)代入式(4)中，可得：

$\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}\[a_j\left(N\right)-a_j\left(0\right)\]{\mathrm{\ϵ}}^j={\∫}_0^{N}Q{\[\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}{a}_j\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\ϵ}}^j\]}^{b}d\mathrm{\ξ}---\left(18\right)$

将式(14)代入上式中，将关于ε的同次幂系数合并，基于参数摄动理论，可得裂纹扩展的摄动方程：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}^0:a_0\left(N\right)-a_0\left(0\right)=Q{\∫}_0^N{a_0}^{b}d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^1:a_1\left(N\right)-a_1\left(0\right)=Q{\∫}_0^N{{\mathrm{ba}}_0}^{b-1}{a}_{1}d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^2:a_2\left(N\right)-a_2\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\{{{\mathrm{ba}}_0}^{b-1}{a}_2+\frac{b(b-1)}{2}{a_0}^{b-2}{a_1}^2\}d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^3:a_3\left(N\right)-a_3\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[{\mathrm{ba}}_0^{b-1}{a}_3+b(b-1)a_0^{b-2}{a}_1{a}_2+\frac{b(b-1)(b-2)}{3!}{a}_0^{b-3}{a}_1^3\]d\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ϵ}}^4:a_4\left(t\right)-a_4\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[{\mathrm{ba}}_0^{b-1}{a}_4+b(b-1)a_0^{b-2}{a}_1{a}_3+\frac{b(b-1)(b-2)}{2!}{a}_0^{b-3}{a}_1^2{a}_2\\ +\frac{b(b-1)}{2!}{a}_0^{b-2}{a}_2^2+\frac{b(b-1)(b-2)(b-3)}{4!}{a}_0^{b-4}{a}_1^4\]d\mathrm{\ξ}\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\ϵ}}^n:a_b\left(N\right)-a_n\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[\underset{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+k\·{\mathrm{\β}}_k=n}{\Σ}\frac{b(b-1)\mathrm{...}(b-{\mathrm{\β}}_1-\mathrm{...}-{\mathrm{\β}}_k+1)}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!\mathrm{...}{\mathrm{\β}}_k!}{a}_0^{b-({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\β}}_k)}\\ (a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}\mathrm{...}{a}_k^{{\mathrm{\β}}_k})\]d\mathrm{\ξ}\\ n=0,1,2,\mathrm{...},k\end{array}---\left(19\right)$

对上述方程进行求解，可以得到：

$\begin{array}{c}{a}_0\left(N\right)=\sqrt[1-b]{Q(1-b)N+a_0^{1-b}\left(0\right)}\\ a_1\left(N\right)=a_1\left(0\right){\[\frac{Q(1-b)}{a_0^{1-b}\left(0\right)}N+1\]}^{\frac{b}{1-b}}\\ a_2\left(N\right)=\frac{{\mathrm{ba}}_1^2\left(0\right)a_0^{-2b}\left(0\right)}{2}{\[Q(1-b)N+a_0^{1-b}\left(0\right)\]}^{\frac{b}{1-b}}\{{\[Q(1-b)N+a_0^{1-b}\left(0\right)\]}^{-1}-a_0^{b-1}\left(0\right)\}\\ .\\ .\\ .\end{array}---\left(20\right)$

求出系数a_i(N)的表达式，代入式(10)中，就可以得到裂纹扩展方程(4)的摄动级数解。计算裂纹扩展到临界裂纹长度a_c时的载荷循环次数N的值，作为结构疲劳裂纹扩展寿命的预测值。

实施例：

为了更充分的了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明以图3所示的475-T761航空铝合金中心裂纹(MT)试样为例进行裂纹扩展疲劳寿命预测验证。MT试样宽75mm，厚2.5mm，含中心裂纹，如图3所示。施加载荷频率为10Hz，预制半裂纹长度为a₀＝4mm，由于制造误差实际初始半裂纹长度为a₀＝4.06mm，试验测得的半裂纹长度a及对应的载荷循环次数N如表1所示。

表1a-N试验数据点

根据式(5)，计算每个离散点的切线斜率，通过回归分析，得到裂纹扩展方程(4)中的参数取值为：Q＝3.9547×10^-8，b＝3.3794。初始半裂纹长度为a(0)＝4.06mm，由式(15)可得名义值为扰动量为由式(17)可得裂纹扩展方程的初始条件。将初始条件代入式(20)中，可得摄动级数解的系数a_i(N)的表达式，代入式(10)中，即可得裂纹扩展方程的摄动级数解。分别根据试验数据、不考虑初始裂纹扰动的原始解和摄动级数解作a-N曲线，如图4所示。假设试样的临界裂纹长度a_c＝16.82mm，基于试验数据、原始解和摄动级数解计算得到的疲劳裂纹扩展寿命如表2所示。

表2基于试验数据、原始解和摄动级数解的疲劳裂纹扩展寿命

从图4和表2的结果来看，和原始解相比，基于摄动级数解的a-N曲线与试验数据更接近，预测的疲劳寿命误差更小。说明本发明能够更准确地描述金属结构的疲劳裂纹扩展过程和预测疲劳裂纹扩展寿命，对于工程实际具有很好的直接应用价值。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (5)

1.一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，其特征在于实现步骤如下：

第一步：采用Paris公式描述金属结构的疲劳裂纹扩展过程，对Paris公式两端进行积分，得到积分形式的裂纹扩展方程；

第二步：根据试验得到的不同的裂纹长度及对应的载荷循环次数，通过中值法和回归拟合分析确定裂纹扩展方程中的参数；

第三步：通过引入小参数，将裂纹扩展方程的解表示成摄动级数的形式，对裂纹扩展方程中的非线性函数进行Taylor展开，把摄动级数解代入到展开式中，整理得到关于小参数的幂级数的形式；

第四步：考虑设备测量误差和结构制造误差，将初始裂纹长度表示成名义值和扰动量之和，根据名义值和扰动量确定摄动级数解各系数在初始时刻的取值，作为裂纹扩展方程的初始条件；

第五步：结合裂纹扩展方程的Taylor展开式，基于参数摄动理论，得到裂纹扩展的摄动方程，对摄动方程进行求解，得到疲劳裂纹扩展长度的摄动级数解，计算达到临界裂纹长度时的疲劳载荷循环次数，作为结构疲劳裂纹扩展寿命的预测值。

2.根据权利要求1所述的一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，其特征在于：步骤一中建立裂纹扩展方程时，采用Paris公式描述金属结构的疲劳裂纹扩展过程，根据断裂力学知识对Paris公式进行整理，并对Paris公式两端进行积分，得到积分形式的裂纹扩展方程：

$a\left(N\right)-a\left(0\right)={\∫}_0^{N}Q{\[a\left(\mathrm{\ξ}\right)\]}^{b}d\mathrm{\ξ}$

其中，a(0)为初始半裂纹长度，a(N)为载荷循环次数为N时的半裂纹长度，a(ξ)为载荷循环次数为ξ时的半裂纹长度，Q、b为常参数，取值和结构材料、尺寸、受力状态有关。

3.根据权利要求1所述的一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，其特征在于：步骤三中对裂纹扩展方程进行展开时，首先通过引入小参数ε，将裂纹扩展方程的解表示成摄动级数的形式：

$a\left(N\right)=a_0\left(N\right)+a_1\left(N\right)\mathrm{\ϵ}+a_2\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^2+...=\underset{j=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{a}_j\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^j$

保留前k+1项，得：

$a\left(N\right)=\underset{j=0}{\overset{k}{\Σ}}{a}_j\left(N\right){\mathrm{\ϵ}}^j$

令f(a)＝a^b，其中a＝a(N)，将f(a)在a＝a₀处进行Taylor展开，并将上式代入展开式中，可以得到f(a)＝a^b关于小参数ε的幂级数展开式：

$f\left(a\right)=a_0+\underset{i=1}{\overset{k\·n}{\mathrm{\Σ}}}\[\underset{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+...+k\·{\mathrm{\β}}_k=i}{\Σ}\frac{b(b-1)...(b-{\mathrm{\β}}_1-...-{\mathrm{\β}}_k+1)}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!...{\mathrm{\β}}_k!}{a}_0^{b-\left({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+...+{\mathrm{\β}}_k\right)}(a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}...a_k^{{\mathrm{\β}}_k}){\mathrm{\ϵ}}^i\]$

其中，β_i(i＝1,2,...,k)为整数，且0≤β_i≤i。

4.根据权利要求1所述的一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，其特征在于：步骤四中考虑实际工程中存在设备测量误差和结构制造误差，在初始裂纹长度中引入小扰动量

$a\left(0\right)=\stackrel{\‾}{a}+\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{a}$

根据步骤三中的摄动级数解，令N＝0，可以将初始半裂纹长度表示成摄动级数的形式：

a(0)＝a₀(0)+a₁(0)ε+a₂(0)ε²+…+a_k(0)ε^k

对比以上两式，可以得到裂纹扩展方程解的初始条件：

$a_0\left(0\right)=\stackrel{\‾}{a},a_1\left(0\right)=\frac{\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{a}}{\mathrm{\ϵ}},a_2\left(0\right)=0,a_3\left(0\right)=0,...,a_k\left(0\right)=0.$

5.根据权利要求1所述的一种基于Taylor摄动级数法的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法，其特征在于：步骤五中将f(a)的Taylor展开式代入裂纹扩展方程中，基于参数摄动理论，得到裂纹扩展的摄动方程：

${\mathrm{\ϵ}}^0:a_0\left(N\right)-a_0\left(0\right)=Q{\∫}_0^N{a_0}^{b}d\mathrm{\ξ}$

${\mathrm{\ϵ}}^1:a_1\left(N\right)-a_1\left(0\right)=Q{\∫}_0^N{{\mathrm{ba}}_0}^{b-1}{a}_{1}d\mathrm{\ξ}$

${\mathrm{\ϵ}}^2:a_2\left(N\right)-a_2\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\{{{\mathrm{ba}}_0}^{b-1}{a}_2+\frac{b(b-1)}{2}{a_0}^{b-2}{a_1}^2\}d\mathrm{\ξ}$

${\mathrm{\ϵ}}^3:a_3\left(N\right)-a_3\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[{\mathrm{ba}}_0^{b-1}{a}_3+b(b-1)a_0^{b-2}{a}_1{a}_2+\frac{b(b-1)(b-2)}{3!}{a}_0^{b-3}{a}_1^3\]d\mathrm{\ξ}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}^4:a_4\left(t\right)-a_4\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[{\mathrm{ba}}_0^{b-1}{a}_4+b\left(b-1\right)a_0^{b-2}{a}_1{a}_3+\frac{b\left(b-1\right)\left(b-2\right)}{2!}{a}_0^{b-3}{a}_1^2{a}_2\\ +\frac{b\left(b-1\right)}{2!}{a}_0^{b-2}{a}_2^2+\frac{b\left(b-1\right)\left(b-2\right)\left(b-3\right)}{4!}{a}_0^{b-4}{a}_1^4\]d\mathrm{\ξ}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}^n:a_n\left(N\right)-a_n\left(0\right)=Q{\∫}_0^N\[\underset{1\·{\mathrm{\β}}_1+2\·{\mathrm{\β}}_2+...+k\·{\mathrm{\β}}_k=n}{\mathrm{\Σ}}\frac{b\left(b-1\right)...\left(b-{\mathrm{\β}}_1-...-{\mathrm{\β}}_k+1\right)}{{\mathrm{\β}}_1!{\mathrm{\β}}_2!...{\mathrm{\β}}_k!}{a}_0^{b-\left({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2+...+{\mathrm{\β}}_k\right)}\\ \left(a_1^{{\mathrm{\β}}_1}\·a_2^{{\mathrm{\β}}_2}...a_k^{{\mathrm{\β}}_k}\right)\]d\mathrm{\ξ}\\ n=0,1,2,...,k\end{array}$

求解上述方程，得到a_i(N)(i＝0,1,2,...,k)的表达式，代入到摄动级数解的表达式中，即可得裂纹扩展方程的解，当裂纹扩展到临界裂纹长度a_c时，计算2a(N)＝a_c时的载荷循环次数N的值，作为结构疲劳裂纹扩展寿命的预测值。