CN106053939A - 一种在弦上测量边界态的方法 - Google Patents

Abstract

本发明边界态研究领域，具体地来讲为一种在弦上测量边界态的方法。该方法包括:将一维周期弦两端加载固定边界条件；在周期弦上加载交流信号形成闭合回路；将周期弦置于磁场中；改变交流信号的电流频率，使得周期弦在磁场内振动；记录周期弦每次共振时的电流频率。本发明实现采用实验手段真正第一次观测到边界态的存在，而且随着位相的改变，可以很清晰的看到边界态从弦的一端移至弦的另一端，并与理论计算能够符合。

Description

一种在弦上测量边界态的方法

技术领域

本发明边界态研究领域，具体地来讲为一种在弦上测量边界态的方法。

背景技术

近几年有很多人在做一维拓扑绝缘体和二维拓扑绝缘体的模拟。由于一维体系的边界态是零维的，所以没有办法在一维体系中研究其输运性质。然而，一维体系的这个不足之处却刚好可以利用其来模拟二维体系的波矢ky那一项，而且特别易于控制。可以对比一下,在二维体系模拟中，由于无法获得关于ky的信息所以只能用透射能谱来代替,但是从透射谱中是无法获知边界态到底是不是拓扑连续的。

另外一个困难就是在电磁波模拟时没有办法直接测量拓扑不变量。在电子体系中可以通过测量其量子霍尔电导得到其拓扑不变量的信息。然而在电磁波中并没有与量子霍尔电导相对应的参量，所以体拓扑不变量只能通过布洛赫波得到。虽然也有很多研究者希望通过间接的手段在理论或者实验上努力找到一种更好的测量拓扑不变量的方法，但是没有看到文献记载有尝试直接测量布洛赫波来获得体拓扑不变量的。

以上这些困难都使得在电磁波体系中观测拓扑相变得更加不容易。发现如果用经典的弦振动来模拟拓扑相，以上所有的困难都将不复存在。首先，经典弦振动中驻波的本征频率可以很容易测量，而且映射到一维体系的参量ky也很容易控制，因此可以通过直接测量边界态关于参数ky的函数变量来获得连续的边界态；其次，固定边界条件下的驻波是很容易测量的，然后可以由测得的结果得到相同本征值对应本征方程的另外一个线性无关的解，由这两个解进行恰当的线性组合就可以得到布洛赫波，通过这种方法体态的拓扑不变量就很容易获得。

用一维周期性弦研究拓扑相的部分理论，周期性密度的弦的本征方程可以写成如下形式

$\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\mathrm{\φ}\left(x\right)+\frac{{\mathrm{\ω}}^2}{\mathrm{\ρ}(x,k_y)}\mathrm{\φ}\left(x\right)=0$

其中ρ(x，k_y)是关于x的周期函数，ω是弦振动的角频率，k_y是个变量，当k_y改变2π时，相应的弦位置就平移了一个周期。

由于所采用的模型给出的一维周期弦是一个余弦函数，实验实现上比较复杂。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于提供一种在弦上测量边界态的方法，实现采用实验手段真正第一次观测到边界态的存在，而且随着位相的改变，可以很清晰的看到边界态从弦的一端移至弦的另一端，并与理论计算能够符合。

本发明是这样实现的，一种在弦上测量边界态的方法，该方法包括:

将一维周期弦两端加载固定边界条件；

在周期弦上加载交流信号形成闭合回路；

将周期弦置于磁场中；

改变交流信号的电流频率，使得周期弦在磁场内振动；

记录周期弦每次共振时的电流频率。

进一步地，所述周期弦的原胞长度为a，总长L＝Na+d，其中N为整数，d∈(0，a)，N为整数。

进一步地，所述交流信号为正弦信号或方波信号。

进一步地，周期弦的两端固定在劈尖上，一个周期内弦的质量不同是通过在弦上包裹锡纸实现；弦的本征振动是通过在弦上增加交变电流，并在弦的下方放置磁钢实现。

进一步地，将周期弦的长度固定且等于整数倍的原胞长度a，把周期弦基频取成单位频率1，通过移动周期弦，改变周期弦的波矢k_y，其中k_y为对应二维体系的y轴的波矢，测量得到周期弦频带带隙中弦两端的边界态的条数，得到每端边界态的条数等于该带隙下所有频带的陈数和。

进一步地，周期性弦密度的本征方程采用如下的形式：

$\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\mathrm{\φ}\left(x\right)+\mathrm{\ρ}(x,k_y){\mathrm{\ω}}^2\mathrm{\φ}\left(x\right)=0$

其中ρ(x，k_y)是关于x的周期函数，ω是弦振动的角频率，k_y是个变量，当k_y改变2π时，相应的弦位置平移一个周期，x为弦上任意一点的位置；

周期弦的密度取如下函数：

$\mathrm{\&rho;}(x,k_y)=\left\{\begin{array}{cc}{m}_0& (\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+n\&le;\frac{x}{a}<\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+\frac{1}{2}+n)\\ 2.5m_0& (\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+\frac{1}{2}+n\&le;x<\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+1+n)\end{array}\right.$

其中m₀是常数为弦密度，n取整数，k_x、k_y分别对应二维体系两个维度上的波矢。

进一步地，通过理论验证陈数与测量的一致性，包括：在周期性边界条件下，给定波矢k_y，则周期性密度的弦的本征方程的解选为布洛赫波的形式表述，波矢k_x和波矢k_y函数的本征值构成二维频带，数值模拟最低的三个频带的频谱，计算出并给出相应第一频带和第二频带的贝里曲率，在二维布里渊区k_x∈[0，2π/a]和k_y∈[0，2π]对能带的贝里曲率积分得到频带的陈数。

进一步地，当周期弦的长度L为原胞长度为a时，两端的波函数的斜率决定边界态的位置，斜率大一端为边界态所在端。

本发明与现有技术相比，有益效果在于：本发明能够真正第一次观测到边界态的存在，而且随着位相的改变，可以很清晰的看到边界态从弦的一端移至弦的另一端，比较了测量的弦的本征频率与数值模拟的结果，符合的很好。

附图说明

图1为本发明实施例提供的频带及基态贝里曲率；图1(a)是最低的三个频带的频谱，图1(b)与图1(c)分别是相应第一频带和第二频带的贝里曲率。

图2为本发明实施例提供的弦的边界态(两图中同时给出了数值模拟和实验测得的本征频率；图2(a)和图2(b)对应的分别是第一带隙和第二带隙；实现和虚线表示的是计算得到的边界态对应的处在弦的右端和左端的边界态频率，实心圆和空心圆表示的分别是实验测得的弦的右端和左端的边界态频率；计算和实验测得的体态频率分别用点线和方框表示)；

图3为本发明实施例提供的边界态波函数；

图4为本发明实施例提供的L＝a的边界态能谱(当L＝a时，实验测量和数值模拟得到的弦的本征频率，实心圆点对应的是实际测量得到的频率；由于数值计算的本征频率依赖于m₀，为了与数值测量结果匹配比较，我们对数值模拟结果进行了等比缩小；实线(点线)表示的是边界态在弦的右端(左端)数值模拟的频率；

图5为本发明实施例提供的L＝12.5a的边界态能谱(当L＝12.5a时，实验测量和数值模拟的本征态频谱)。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

一种在弦上测量边界态的方法，该方法包括:

将一维周期弦两端加载固定边界条件；

在周期弦上加载交流信号形成闭合回路；

将周期弦置于磁场中；

改变交流信号的电流频率，使得周期弦在磁场内振动；

记录周期弦每次共振时的电流频率。

实际测量将弦的两端固定在劈尖上，ky的改变靠移动弦来实现，一个周期内弦的质量不同是通过在弦上包裹锡纸实现的，弦的密度肯定不是严格相等的，但在小的无序作用下由于边界态的拓扑保护性，所以弦的密度的微扰不会对测量结果造成明显的影响。

弦的本征振动是通过在弦上增加交变电流，并在弦的下方放置磁钢实现的，只有当线上通过的电流频率与弦的本征频率相接近时，才可以用肉眼明显观测到弦的本征振动，电流频率与弦的本征频率越接近振动幅度越大，当电流频率等于弦的本征频率时，形成共振，振动幅度最大，此时记录下电流的频率就可以认为是弦的本征频率。

一维周期性密度的弦的本征方程可以写成如下形式

$\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\mathrm{\&phi;}\left(x\right)+\mathrm{\&rho;}(x,k_y){\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{\&phi;}\left(x\right)=0---\left(1\right)$

其中ρ(x，k_y)是关于x的周期函数，ω是弦振动的角频率，k_y是个变量，当k_y改变2π时，相应的弦位置就平移了一个周期。

本发明实施例实验中使用了一个简化的理论模型，弦的密度取如下函数

$\mathrm{\&rho;}(x,k_y)=\left\{\begin{array}{cc}{m}_0& (\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+n\&le;\frac{x}{a}<\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+\frac{1}{2}+n)\\ 2.5m_0& (\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+\frac{1}{2}+n\&le;x<\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+1+n)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中m₀是常数，n取整数，在周期性边界条件下，如果给定k_y，则方程(1)的解可以选为布洛赫波的形式

${\mathrm{\&psi;}}_{k_x{k}_y}\left(x\right)=e^{{\mathrm{ik}}_{x}x}{u}_{k_x{k}_y}\left(x\right)---\left(3\right)$

这样作为k_x和k_y函数的本征值就构成了二维频带，而且会有带隙出现，数值模拟了最低的三个频带的频谱，并给出了相应第一频带和第二频带的贝里曲率，

如图1所示。图1(a)是最低的三个频带的频谱，图1(b)与图1(c)分别是相应第一频带和第二频带的贝里曲率。在二维布里渊区k_x∈[0，2π/a]和k_y∈[0，2π]对能带的贝里曲率积分可以得到频带的陈数，每个频带的陈数都是1。这也很容易理解，当将k_y改变Δk_y时相应的弦移动了Δk_ya/2π，在这个过程当中每个能带的瓦尼尔函数也平移了Δk_ya/2π，一个能带的陈数可以定义为随着相位k_y改变一个周期时瓦尼尔函数的中心位置的连续改变，下面对此做简要推导。贝里曲率为

上式说明当波函数发生相变时，贝里曲率F_n(k_x，k_y)为常数，根据k_x在布洛赫函数中的周期性，可以得到

$|u_{k_x+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{a}{k}_y}\left(x\right)>=e^{-i2\mathrm{\&pi;}x/a}|u_{k_x{k}_y}\left(x\right)>---\left(5\right)$

把(4)式写成如下形式

在第一布里渊区对(6)式进行积分，由于k_x的周期性边界条件，(6)式中第二项积分后等于零，在k_y∈[0，2π]上积分又得到陈数的定义式

通过上式可以看出，能带的陈数可以这样定义：即当k_y改变一个周期时，瓦尼尔函数中心位置的连续改变量。可以清楚的得到这样一个结论，当k_y改变一个周期时，所有能带的瓦尼尔函数的中心也改变了一个周期a，这样很容易得到所有能带的陈数都是1。

当使用固定边界条件时，如果体态的某条带隙以下的陈数和不等于零的话，那么在该带隙处会出现连续的边界态，此时在弦的某一侧的边界态的条数等于这一侧该带隙下所有能带的陈数和。那么图4-5对应固定边界条件下频带中弦的每个端点的第一带隙和第二带隙对应的边界态的条数都是1和2。图2中数值模拟结果很好的验证了这个结论。

图2同时给出了测量的弦的第一带隙和第二带隙中的边界态。实验用的弦的周期长度a＝40cm，总长为12a。由于实验条件的限制，使用一高精度的信号发生器当作信号源，经过一个放大电路后，得到所需的电压然后把电压加在测量的周期弦上，加上保护电路形成闭合回路，按照理论实验用正弦信号效果最好，本实验过程中使用的是方波信号。

测量的实验装置为弦的两端固定在劈尖上，k_y的改变靠移动弦来实现，一个周期内弦的质量不同是通过在弦上包裹锡纸实现的，所以图中的弦的密度肯定不是严格相等的，但正如之前所说的在小的无序作用下由于边界态的拓扑保护性，所以弦的密度的微扰不会对测量结果造成明显的影响。

弦的本征振动是通过在弦上增加交变电流，并在弦的下方放置磁钢实现的，只有当线上通过的电流频率与弦的本征频率相接近时，才可以用肉眼明显观测到弦的本征振动，电流频率与弦的本征频率越接近振动幅度越大，当电流频率等于弦的本征频率时，形成共振，振动幅度最大，此时记录下电流的频率就可以认为是弦的本征频率。

图2中比较了测量的本征频率与数值模拟的结果，符合的很好。图2中图2(a)和图2(b)两图分别给出了第一带隙和第二带隙及其中的边界态。图2中实线和虚线分别表示的是数值模拟的弦的右边界态和左边界态，圆点和方框对应的是实际测量得到的弦的右侧和左侧的边界态。数值模拟和实际测量的体态分别用点线和方框表示出来。因为当弦的长度固定且等于整数倍的原胞长度a时，弦的基频与k_y的位置有关，而弦的本征频率与基频的比值是与m₀的取值无关的，图中把基频取成了单位频率1。从图中可以看出虽然只是测量了很有限的几个k_y的值，但实验测量值与数值模拟的结果符合的非常好。鉴于实验测量与理论模拟的完美符合，可以认为边界态能谱与体能带是连接的，这样可以认为边界态是连接上下能带的连续频谱。

在现有技术的理论文章中曾指出边界态能谱与弦的周期个数是无关的，这个结论与测量弦的边界态的波函数时得到的结果是一致的，使用12个周期测量弦的边界态的波函数结果如图3所示。

实际上在测量边界态能谱时可以通过测量仅有一个周期的弦得到，此时所有的体态都消失了，所有的本征态对应的都是边界态，此时的基频对应的就是第一带隙中的边界态，测量了此时的最低的一个边界态，并与理论值进行了对比，如图4所示。由于基频依赖于m₀，对数值模拟结果进行缩放得到图4。由于弦具有非常好的可操控性，现有的理论曾提到可以用弦来模拟量子霍尔体系中的很多新奇的特性，曾提到在非公约情况下，右边界态的位置是关于位相k_y的函数，与公约情况下相比边界态的位置会发生平移。

图4的边界态能谱(当L＝a时，实验测量和数值模拟得到的弦的本征频率，实心圆点对应的是实际测量得到的频率；由于数值计算的本征频率依赖于，为了与数值测量结果匹配比较，对数值模拟结果进行了等比缩小；实线(点线)表示的是边界态在弦的右端(左端)数值模拟的频率；

用弦模拟了非公约情况下量子体系的长度对边界态的影响，使用的弦长为L＝Na+d，其中N为整数，d∈(0，a)，数值模拟的结果显示，当弦长足够长时，左侧边界态基本不会受到非公约情况的影响，而弦右侧边界态的频谱却和相位k_y的取值相关，其位置与公约情况下相比精确向右平移了a-d的距离。所有这些弦的特性都和量子体系中的情况类似。因为在量子情况下，格点的长度只能取一些分离的值，所以在实际研究过程中，根据弦的可连续操控的特性可以用弦更加准确模拟边界态的平移特性。

为了在实验上验证其正确性，做了如下实验，取弦长为L＝12.5a，数值模拟的结果显示边界态只是近似满足上述规律，这是因为弦长L＝12.5a还不是足够长，图5给出的模拟结果显示，边界态随着k_y的改变产生了平移。图5同时给出了实验结果，从图中可以看出实验结果与数值模拟结果吻合的非常好。图5使用了与图2相同的符号进行表示，由于本征频率与m₀有关，为了清楚的比较实验与数值模拟的结果是否匹配，在作图时对数值模拟结果进行了适当缩放，实线和虚线分别表示弦两端对应的右边界态和左边界态的频谱。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种在弦上测量边界态的方法，其特征在于，该方法包括:

将一维周期弦两端加载固定边界条件；

在周期弦上加载交流信号形成闭合回路；

将周期弦置于磁场中；

改变交流信号的电流频率，使得周期弦在磁场内振动；

记录周期弦每次共振时的电流频率。

2.按照权利要求1所述的方法，其特征在于，

所述周期弦的原胞长度为a，总长L＝Na+d，其中N为整数，d∈(0，a)，N为整数。

3.按照权利要求1所述的方法，其特征在于，

所述交流信号为正弦信号或方波信号。

4.按照权利要求1所述的方法，其特征在于，

周期弦的两端固定在劈尖上，一个周期内弦的质量不同是通过在弦上包裹锡纸实现；弦的本征振动是通过在弦上增加交变电流，并在弦的下方放置磁钢实现。

5.按照权利要求1所述的方法，其特征在于，将周期弦的长度固定且等于整数倍的原胞长度a，把周期弦基频取成单位频率1，通过移动周期弦，改变周期弦的波矢k_y，其中k_y为对应二维体系的y轴的波矢，测量得到周期弦频带带隙中弦两端的边界态的条数，得到每端边界态的条数等于该带隙下所有频带的陈数和。

6.按照权利要求1～5任意一项所述的方法，其特征在于，周期性弦密度的本征方程采用如下的形式：

$\frac{d^2}{{\mathrm{dx}}^2}\mathrm{\&phi;}\left(x\right)+\mathrm{\&rho;}(x,k_y){\mathrm{\&omega;}}^2\mathrm{\&phi;}\left(x\right)=0$

其中ρ(x，k_y)是关于x的周期函数，ω是弦振动的角频率，k_y是个变量，当k_y改变2π时，相应的弦位置平移一个周期，x为弦上任意一点的位置；

周期弦的密度取如下函数：

$\mathrm{\&rho;}(x,k_y)=\left\{\begin{array}{cc}{m}_0& (\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+n\&le;\frac{x}{a}<\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+\frac{1}{2}+n)\\ 2.5m_0& (\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+\frac{1}{2}+n\&le;x<\frac{k_y}{2\mathrm{\&pi;}}+1+n)\end{array}\right.$

其中m₀是常数为弦密度，n取整数，k_x、k_y分别对应二维体系两个维度上的波矢。

7.按照权利要求6所述的方法，其特征在于，通过理论验证陈数与测量的一致性，包括：在周期性边界条件下，给定波矢k_y，则周期性密度的弦的本征方程的解选为布洛赫波的形式表述，波矢k_x和波矢k_y函数的本征值构成二维频带，数值模拟最低的三个频带的频谱，计算出并给出相应第一频带和第二频带的贝里曲率，在二维布里渊区k_x∈[0，2π/a]和k_y∈[0，2π]对能带的贝里曲率积分得到频带的陈数。

8.按照权利要求2所述的方法，其特征在于，当周期弦的长度L为原胞长度为a时，两端的波函数的斜率决定边界态的位置，斜率大一端为边界态所在端。