CN105989244A - 橡胶材料的超弹性本构模型建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种橡胶材料的超弹性本构模型建模方法，该方法首先提出聚合物分子链体积的影响模型；其次，改进八链模型，提出拓扑约束所引起的概率密度函数；然后，建立分子链的微观变形与宏观变形的关系，据此推导橡胶材料的应变能密度函数，得到非仿射超弹性本构模型。所建立的橡胶材料超弹性本构模型同时考虑了聚合物分子链体积、非仿射变形和拓扑约束的影响，建立了宏观的模型参数与微观的分子结构之间的物理联系，能够更深入地反应聚合物大分子力学变形的本质，更准确模拟多功能结构中橡胶材料超弹性特性。

Description

橡胶材料的超弹性本构模型建模方法

技术领域

本发明涉及结构力学建模技术领域，具体的涉及一种橡胶材料的超弹性本构模型建模方法。

背景技术

橡胶材料的力学特性非常复杂，处于橡胶态的聚合物材料柔软而具有弹性，受到很小的力就可以发生很大的变形，外力除去后拉伸的聚合物分子链又恢复到原来的蜷曲状态，无永久变形，这种特性也称为橡胶材料的高弹性或超弹性。

超弹性状态橡胶材料的应力随着应变变化而变化，具有明显的非线性特征。目前，对于橡胶材料的超弹性特性表征主要有两种途径：一种是基于唯像学理论而提出的超弹性模型，另一种是基于分子链网络理论而提出的超弹性模型。虽然唯像学模型能够较好地描述橡胶材料的超弹性特性，但是其模型参数往往缺少明确的物理含义，只能宏观的进行经验上的数学逼近，不能与材料的微观物理结构联系起来。因此，也有学者基于分子网络理论，提出了基于分子网络理论的超弹性本构模型。该本构模型将宏观模型参数与材料的微观分子结构联系起来，以得到具有具体物理含义的结果。但是现有的基于分子网络理论的超弹性本构模型无法同时考虑分子体积、拓扑约束和非仿射变形的影响。

发明内容

为解决上述现有技术问题，本发明提供了一种橡胶材料的超弹性本构模型建模方法。

本发明提供一种橡胶材料的超弹性本构模型建模方法，包括以下步骤：

1)：获取橡胶材料的六个参数：剪切模量μ、非仿射变形系数K、橡胶材料中任一条聚合物分子链上链节数目N、描述分子链体积的对橡胶材料影响程度参数v、聚合物网络拓扑约束控制参数α与h；

2)构建橡胶材料的超弹性本构模型，该步骤包括以下子步骤：

步骤S1：将无变形时聚合物分子链两端的距离r₀表示为：

r₀＝N^vl (1)

其中，N为一条聚合物分子链共有个链节数目，l为每个链节长度，v描述分子链体积的影响程度；

步骤S2：在其中考虑了聚合物网络的拓扑约束，拓扑约束所引起的概率密度函数如式(4)所示：

$p_{Con}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=C_{Con}\exp (-\frac{h}{{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\λ}}_i^{\mathrm{\α}}}),i=1,2,3---\left(4\right)$

其中，C_Con为归一化常数，h和α为聚合物网络拓扑约束的控制参数，λ_i为三个主方向的宏观拉伸比；

步骤S3：分子链拉伸比λ_c与宏观拉伸比λ_m的关系式为：

λ_c＝K(λ_m-1)+1 (9)

其中，K为非仿射变形系数，当K＝1时，λ_c与λ_m为传统的仿射变形关系，当K≠1时，λ_c与λ_m为非仿射变形关系；

步骤S4：依据聚合物固体力学理论，根据S1、S2、S3中得到的r₀、p_Con(λ_i)、λ_c，推导得到NA模型的应变能密度函数，并根据应变能密度函数得到橡胶材料超弹性本构模型为：

${\mathrm{\σ}}_i=\mathrm{\μ}\frac{{\mathrm{K\λ}}_c}{{\mathrm{\λ}}_m}\frac{3N-N^{2v-1}{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{3N^{2-2v}-3{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{{\mathrm{\λ}}_i}^2-\frac{2G_{Con}}{\mathrm{\α}}{\mathrm{\λ}}_i^{-\mathrm{\α}}-p---\left(14\right)$

其中，μ为剪切模量，G_Con＝μh/8。

进一步地，v作为变量且设v>0.5。

进一步地，橡胶材料为乙烯基封端聚二甲基硅氧烷。

本发明的技术效果：

本发明提供的一种橡胶材料的超弹性本构模型建模方法，所得模型既建立了宏观模型参数与微观分子结构的联系，又同时考虑了分子体积、拓扑约束和非仿射变形的影响，其建模基础与实际物理情况更为接近，能够准备描述橡胶材料的超弹性特性。

具体请参考根据本发明的橡胶材料超弹性本构模型建模方法提出的各种实施例的如下描述，将使得本发明的上述和其他方面显而易见。

附图说明

图1是本发明提供的一种橡胶材料超弹性本构模型建模方法流程示意图；

图2是本发明优选实施例中改进的八链模型的几何构形结构示意图，其中a)为未变形时的八链模型，b)为变形后的八链模型；

图3是本发明优选实施例中NA模型简单拉伸试验验证结果示意图；

图4是本发明优选实施例中NA模型纯剪切试验验证结果示意图；

图5是本发明优选实施例中NA模型双轴拉伸试验验证结果示意图。

具体实施方式

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。

本发明提供的橡胶材料超弹性本构模型建模方法同时考虑分子体积、拓扑约束和非仿射变形的橡胶材料超弹性本构关系建模方法，建立橡胶材料的非仿射超弹性本构模型，后文简称NA(Non-Affine)模型，此处的橡胶材料可以为各类橡胶材料，尤其适于处理乙烯基封端聚二甲基硅氧烷材料，该材料为弹性高分子硅橡胶材料，具有可加工性强，可以根据具体的应用需要，通过模具加注的方式制作成任意形状的特性。其化学分子结构式为：

参见图1，本发明提供的一种橡胶材料的超弹性本构模型建模方法，包括以下步骤：

1)：获取橡胶材料的六个参数：剪切模量μ、非仿射变形系数K、橡胶材料中任一条聚合物分子链上链节数目N、描述分子链体积的对橡胶材料影响程度参数v、聚合物网络拓扑约束控制参数α与h；

2)构建橡胶材料的超弹性本构模型，该步骤包括以下子步骤：

步骤S1：将橡胶材料无变形时聚合物分子链两端的距离r₀表示为：

r₀＝N^vl (1)

其中，N为一条聚合物分子链共有个链节数目，l为每个链节长度，v描述分子链体积的影响程度。

在传统当随机游走理论中，v＝0.5。考虑聚合物分子链体积的影响，将v作为变量且设v>0.5。按此设置无变形聚合物分子链两端的距离r₀所得公式(1)能充分考虑分子体积对橡胶材料的影响。

步骤S2：考虑了聚合物网络的拓扑约束，拓扑约束所引起的概率密度函数如式(4)所示：

$p_{Con}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=C_{Con}\exp (-\frac{h}{{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\λ}}_i^{\mathrm{\α}}}),i=1,2,3---\left(4\right)$

其中，C_Con为归一化常数，h和α为聚合物网络拓扑约束的控制参数，λ_i为三个主方向的宏观拉伸比；采用公式(4)表达实现了八链模型的改进，如图2所示。此处的三个主方向是指所形成坐标系中的X、Y、Z三个方向。

步骤S3：分子链拉伸比λ_c与宏观拉伸比λ_m的关系式为：

λ_c＝K(λ_m-1)+1 (9)

其中，K为非仿射变形系数，当K＝1时，λ_c与λ_m为传统的仿射变形关系，当K≠1时，λ_c与λ_m为非仿射变形关系。采用公式(9)所示的关系表达式，能将微观变形与宏观变形联系起来。提高解算结果中微观变形与宏观变形的关联度。

步骤S4：依据聚合物固体力学理论，根据S1、S2、S3中得到的r₀、p_Con(λ_i)、λ_c，推导得到NA模型的应变能密度函数，并根据应变能密度函数得到橡胶材料应力与应变关系(即本构模型)为：

${\mathrm{\σ}}_i=\mathrm{\μ}\frac{{\mathrm{K\λ}}_c}{{\mathrm{\λ}}_m}\frac{3N-N^{2v-1}{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{3N^{2-2v}-3{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{{\mathrm{\λ}}_i}^2-\frac{2G_{Con}}{\mathrm{\α}}{\mathrm{\λ}}_i^{-\mathrm{\α}}-p---\left(14\right)$

其中，μ为剪切模量，G_Con＝μh/8。相对于传统模型，公式(14)对应的本构模型考虑了分子体积、拓扑约束和非仿射变形的影响，其建模基础与实际物理情况更为接近，能够准备描述橡胶材料的超弹性特性。

具体的，该方法包括以下步骤：

S1：考虑分子链体积影响，提出分子链拉伸比λ_c的模型。

根据聚合物分子链随机游走理论，对于一条无变形的聚合物分子链，其两端的距离为然而，随机游走理论忽略了分子链体积的影响。考虑聚合物分子链体积的影响，将无变形聚合物分子链两端的距离r₀表示为：

r₀＝N^vl (1)

其中，v描述了分子链体积的影响程度。当v＝0.5时，式(1)退化为随机游走理论的结果；当考虑分子链体积的影响时，有v>0.5，即

利用式(1)得NA模型中的分子链拉伸比λ_c为：

${\mathrm{\λ}}_c=\frac{r}{r_0}=\frac{r}{N^{v}l}---\left(2\right)$

将(2)式代入采用逆朗之万概率分布来描述的非高斯网络概率密度函数p_nG，得p_nG为：

$p_{nG}\left({\mathrm{\λ}}_c\right)=C_{nG}\exp \[-N(\frac{{\mathrm{\λ}}_c}{N^{1-v}}\mathrm{\β}+ln\frac{\mathrm{\β}}{\sinh \mathrm{\β}})\]---\left(3\right)$

其中，C_nG为归一化常数，β为朗之万函数。

S2：根据八链模型，考虑聚合物网络的拓扑约束，提出拓扑约束所引起的概率密度函数。

对于八链模型，当考虑聚合物网络的拓扑约束时，拓扑约束所引起的概率密度函数采用一个经验模型来表达，如下式所示：

$p_{Con}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=C_{Con}\exp (-\frac{h}{{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\λ}}_i^{\mathrm{\α}}}),i=1,2,3---\left(4\right)$

其中，C_Con为归一化常数，h和α为聚合物网络拓扑约束控制参数，λ_i为三个主方向的宏观拉伸比。综合考虑非高斯网络概率密度函数p_nG和拓扑约束所引起的概率密度函数，提出NA模型概率密度函数：

$p_{NA}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=p_{nG}^8\left({\mathrm{\λ}}_c\right)\underset{i=1}{\overset{3}{\Π}}{p}_{Con}^2\left({\mathrm{\λ}}_i\right)---\left(5\right)$

由Boltzmann方程，计算得到NA模型的构象熵为：

$s_{NA}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=k_B\ln p_{NA}=8k_B\ln p_{nG}\left({\mathrm{\λ}}_c\right)+2k_B\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\ln p_{Con}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)---\left(6\right)$

其中，k_B为Boltzmann常数。根据Helmholtz自由能的表达式其中，T为绝对温度。将式(3)、(4)、(5)和(6)代入得：

$w_{NA}=8{\mathrm{Tk}}_{B}N(\frac{{\mathrm{\λ}}_c}{N^{1-v}}\mathrm{\β}+\ln \frac{\mathrm{\β}}{\sinh \mathrm{\β}})+2{\mathrm{Tk}}_B\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}\frac{h}{{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\λ}}_i^{\mathrm{\α}}}+w_0---\left(7\right)$

w_NA表示单个分子链的应变能密度，其中，w₀＝-8k_BTlnC_nG-6k_BTlnC_Con。将w_NA乘以分子链密度n得到单位体积的应变能密度W_NA，即：

$W_{NA}=w_{NA}\·n=\mathrm{\μ}N(\frac{{\mathrm{\λ}}_c}{N^{1-v}}\mathrm{\β}+ln\frac{\mathrm{\β}}{\sinh \mathrm{\β}})+\frac{2G_{Con}}{{\mathrm{\α}}^2}\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_i^{\mathrm{\α}}}+W_0---\left(8\right)$

其中，μ＝nk_BT为剪切模量，G_Con＝μh/8，W₀＝-μlnC_non-Gaussian-0.75μlnC_Con。

步骤S3：式(8)中的λ_c为分子链拉伸比，反应的是微观变形，为了将微观变形与宏观变形联系起来，提出将λ_c与宏观拉伸比λ_m为非仿射变形关系，即：

λ_c＝K(λ_m-1)+1 (9)

其中，K≠1为非仿射变形系数，对于八链模型几何构形有：

${\mathrm{\λ}}_m=\sqrt{({\mathrm{\λ}}_1^2+{\mathrm{\λ}}_2^2+{\mathrm{\λ}}_3^2)/3}---\left(10\right)$

S3：根据应变能密度函数W_NA推导Cauchy应力张量

在得到NA模型的应变能密度函数W_NA之后，根据连续力学理论[参见文献《Treloar L R G.The Physics of Rubber Elasticity.Oxford University Press,2005》]，得不可压缩材料三个主Cauchy应力：

${\mathrm{\σ}}_i={\mathrm{\λ}}_i\frac{\∂W_{NA}}{\∂{\mathrm{\λ}}_c}\frac{\∂{\mathrm{\λ}}_c}{\∂{\mathrm{\λ}}_m}\frac{\∂{\mathrm{\λ}}_m}{\∂{\mathrm{\λ}}_i}+{\mathrm{\λ}}_i\frac{\∂W_{NA}}{\∂{\mathrm{\λ}}_c}-p,i=1,2,3---\left(11\right)$

将式(8)、(9)和(10)代入式(11)，则式(11)化为：

${\mathrm{\σ}}_i={\mathrm{\μKN}}^v\mathrm{\β}\frac{{{\mathrm{\λ}}_i}^2}{3{\mathrm{\λ}}_m}-\frac{2G_{Con}}{\mathrm{\α}}{\mathrm{\λ}}_i^{-\mathrm{\α}}-p,i=1,2,3---\left(12\right)$

其中，β采用Pade近似来计算：

$\mathrm{\β}=\frac{{\mathrm{\λ}}_c}{N^{1-v}}\frac{3N^{2-2v}-{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{N^{2-2v}-{{\mathrm{\λ}}_c}^2}---\left(13\right)$

将式(13)代入式(12)，得：

${\mathrm{\σ}}_i=\mathrm{\μ}\frac{{\mathrm{K\λ}}_c}{{\mathrm{\λ}}_m}\frac{3N-N^{2v-1}{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{3N^{2-2v}-3{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{{\mathrm{\λ}}_i}^2-\frac{2G_{Con}}{\mathrm{\α}}{\mathrm{\λ}}_i^{-\mathrm{\α}}-p---\left(14\right)$

所建立的NA模型包含六个参数：μ、K、N、v、G_Con、α。NA模型能够表征复杂的橡胶材料超弹性特性，如应力上翘趋势等。采用经典的Treloar试验数据对提出的NA模型进行试验验证，其采用的自然橡胶力学特性能够代表绝大部分橡胶材料的复杂超弹性特性。

以下面结合附图对一种多功能结构用的橡胶材料的超弹性本构关系建模方法作详细说明。

首先，利用单轴拉伸试验数据对八链模型和NA模型的模型参数分别进行拟合，得：μ₈＝0.27MPa、N₈＝25.12、μ＝0.2445MPa、K＝1.023、N＝27.9、v＝0.502、G_Con＝0.04MPa、α＝0.8602。然后，采用拟合所得参数对纯剪切和双轴拉伸行为的材料变形情况进行预测。采用Treloar试验数据时，NA模型和八链模型在简单拉伸变形、纯剪切变形、双轴拉伸变形模式下的试验验证结果和相对误差分别如图3、图4、图5。从图3和图4可知，最大相对误差都在20％以内，说明本发明提出的本构模型，能很好的描述八链模型和NA模型下的简单拉伸和纯剪切行为。从图5可知，八链模型的最大相对误差达到了26％，而NA模型的最大相对误差只有17％，最小相对误差达到了3％，说明NA模型对于双轴拉伸行为的预测准确性明显优于八链模型。验证了本发明提出的针对橡胶材料的超弹性本构关系建模方法所构建的具体模型准确性较高。

本领域技术人员将清楚本发明的范围不限制于以上讨论的示例，有可能对其进行若干改变和修改，而不脱离所附权利要求书限定的本发明的范围。尽管己经在附图和说明书中详细图示和描述了本发明，但这样的说明和描述仅是说明或示意性的，而非限制性的。本发明并不限于所公开的实施例。

通过对附图，说明书和权利要求书的研究，在实施本发明时本领域技术人员可以理解和实现所公开的实施例的变形。在权利要求书中，术语“包括”不排除其他步骤或元素，而不定冠词“一个”或“一种”不排除多个。在彼此不同的从属权利要求中引用的某些措施的事实不意味着这些措施的组合不能被有利地使用。权利要求书中的任何参考标记不构成对本发明的范围的限制。

Claims (3)

1.一种橡胶材料的超弹性本构模型建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)：获取橡胶材料的六个参数：剪切模量μ、非仿射变形系数K、所述橡胶材料中任一条聚合物分子链上链节数目N、描述分子链体积的对所述橡胶材料影响程度参数v、聚合物网络拓扑约束控制参数α与h；

2)构建所述橡胶材料的超弹性本构模型，该步骤包括以下子步骤：

步骤S1：将无变形时聚合物分子链两端的距离r₀表示为：

r₀＝N^vl (1)

其中，N为一条聚合物分子链共有个链节数目，l为每个链节长度，v描述分子链体积的影响程度；

步骤S2：在其中考虑了聚合物网络的拓扑约束，拓扑约束所引起的概率密度函数如式(4)所示：

$p_{Con}\left({\mathrm{\λ}}_i\right)=C_{Con}\exp (-\frac{h}{{\mathrm{\α}}^2{\mathrm{\λ}}_i^{\mathrm{\α}}}),i=1,2,3---\left(4\right)$

其中，C_Con为归一化常数，h和α为聚合物网络拓扑约束的控制参数，λ_i为三个主方向的宏观拉伸比；

步骤S3：分子链拉伸比λ_c与宏观拉伸比λ_m的关系式为：

λ_c＝K(λ_m-1)+1 (9)

其中，K为非仿射变形系数，当K＝1时，λ_c与λ_m为传统的仿射变形关系，当K≠1时，λ_c与λ_m为非仿射变形关系；

步骤S4：依据聚合物固体力学理论，根据S1、S2、S3中得到的r₀、p_Con(λ_i)、λ_c，推导得到NA模型的应变能密度函数，并根据所述应变能密度函数得到橡胶材料超弹性本构模型为：

${\mathrm{\σ}}_i=\mathrm{\μ}\frac{{\mathrm{K\λ}}_c}{{\mathrm{\λ}}_m}\frac{3N-N^{2v-1}{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{3N^{2-2v}-3{{\mathrm{\λ}}_c}^2}{{\mathrm{\λ}}_i}^2-\frac{2G_{Con}}{\mathrm{\α}}{\mathrm{\λ}}_i^{-\mathrm{\α}}-p---\left(14\right)$

其中，μ为剪切模量，G_Con＝μh/8。

2.根据权利要求1所述的橡胶材料的超弹性本构模型建模方法，其特征在于，所述v作为变量且设v>0.5。

3.根据权利要求1所述的橡胶材料的超弹性本构模型建模方法，其特征在于，所述橡胶材料为乙烯基封端聚二甲基硅氧烷。