CN105975444A - 一种基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法，将预测变量概率分布的信息熵作为该变量的不确定性大小，根据贝叶斯模型平均方法的预测公式和信息熵理论，将地下水预测不确定性分解为模型结构、模型参数和各概念模型预测分布间的重叠不确定性。能够度量各种概率分布类型随机变量的不确定性大小，克服了传统方差法只能度量正态分布的缺陷，扩展了不确定性定量分析的应用范围；将地下水数值模拟不确定性分解为模型参数、模型结构和重叠不确定性等三部分，能够克服传统方差法无法描述模型间重叠不确定性的缺点；将模型参数不确定性定义为各概念模型内部（参数）不确定性权重和减去模型间重叠的不确定性，从而能够对各部分不确定性进行更加准确、合理的描述。

Description

一种基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法

技术领域

本发明涉及一种不确定性定量描述方法，具体涉及一种地下水数值模拟不确定性定量分析方法。

背景技术

地下水数值模拟受到众多因素的影响，模拟(预测)结果的不确定性来源通常可以归纳为：(1)模型参数的不确定性，即由于模型参数的不合理设置而导致的不确定性；(2)模型结构(概念模型)的不确定性，即由于对水文地质概念模型进行不合理的概化而导致的不确定性。模型参数的不确定性首先得到了地下水工作者的注意，而概念模型不确定性通常没有给予足够的重视，一般通过单一的水文地质概念模型来表示地下水系统，忽略其他模型结构存在的可能性，基于单一的模型结构进行地下水数值模拟及预测时，将过高估计该模型的预测能力，并得到不可靠的预测结果。

贝叶斯模型平均方法(Bayesian Model Averaging,BMA)被当前广泛用于处理地下水数值模拟中的模型参数与结构不确定性问题，在贝叶斯统计的框架内，BMA能够融合各类先验信息(如模型参数和模型结构)，从而获得预测变量(如地下水水位与水量、地下水污染物浓度等)的后验分布，其基本步骤可以总结为：

(1)根据研究区的水文地质资料、专家知识等，建立一组可行的概念模型M[M₁,M₂,…,M_N]来表示实际地下水系统，N表示概念模型的数量，这些概念模型具有不同的结构；

(2)在观测数据d下，针对每个概念模型M_k(k＝1,…,N)分别进行参数不确定性分析，如马尔科夫链蒙特卡洛模拟，获得变量Δ的预测分布f(Δ|d,M_k)；

(3)根据拉普拉斯近似方法(Laplace approximation method)或蒙特卡洛方法(MonteCarlo method)计算各概念模型的权重p(M_k|d)；

(4)由BMA公式计算变量Δ的综合预测分布：

$f\left(\mathrm{\Δ}\right|d)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)---\left(1\right)$

公式(1)中BMA预测分布的不确定性主要来自模型参数与结构的不确定性，对预测分布f(Δ|d)的不确定性及其组成进行定量分析能够揭示预测不确定性的来源，从而为减少地下水数值模拟不确定性提供指导依据。

传统的方差法将随机变量概率分布的方差定义为该变量的不确定性大小，将预测分布f(Δ|d)的方差分解为模型内部方差(var_w)与模型间方差(var_b)，分别表示模型参数和模型结构不确定性。根据公式(1)，预测变量Δ的前两阶矩分别表示为：

$E\[\mathrm{\Δ}|d\]=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}E\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)---\left(2\right)$

var[Δ|d]＝var_w+var_b (3)

${\mathrm{var}}_w=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\mathrm{var}\[\mathrm{\Δ}|d,M_k\]p\left(M_k\right|d)---\left(4\right)$

${\mathrm{var}}_b=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{(E\[\mathrm{\Δ}|d,M_k\]-E\[\mathrm{\Δ}|d\])}^{2}p\left(M_k\right|d)---\left(5\right)$

其中，E和var分别表示预测变量的均值和方差。

传统的方差法原理简单，容易操作，但在应用过程中可以发现：(1)方差概念无法合理的描述某些类型概率分布的不确定性，如多峰分布，而该类型的概率分布常见于地下水数值模拟的预测分布；(2)方差法将各概念模型预测分布方差的加权定义为参数不确定性，将各概念模型预测分布均值的方差定义为模型结构不确定性，而不能描述相似结构概念模型间的重叠不确定性。因此，应用方差法进行地下水数值模拟不确定性定量分析时，具有一定的局限性和不可靠性。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于针对现有技术的不足，将预测变量的信息熵作为其不确定性大小的度量，提供一种基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法。

技术方案：本发明提供了基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法，包括以下步骤：

(1)建立一组概念模型来代表研究区地下水系统；

(2)对各概念模型进行参数不确定性分析，获得预测变量的概率分布，基于贝叶斯多模型平均方法，对各概念模型的预测分布进行权重平均，获得考虑模型参数和结构不确定性的地下水综合预测分布；

(3)根据信息熵理论，将预测变量概率分布的信息熵作为该变量的不确定性大小；

(4)根据贝叶斯模型平均方法的预测公式和信息熵理论，将地下水预测不确定性分解为模型结构、模型参数和各概念模型预测分布间的重叠不确定性。

进一步，步骤(4)的模型参数不确定性为概念模型后验权重的离散信息熵，模型参数不确定性为概念模型预测分布的信息熵。

进一步，步骤(4)中各概念模型预测分布的信息熵加权和减去各概念模型预测分布间的重叠不确定性即为模型参数不确定性。

有益效果：本发明针对传统方差法存在的问题，将信息熵用于度量预测变量的不确定性大小，并将总体不确定性分解为模型参数、模型结构和重叠不确定性等三部分，相对现有技术具有以下效果：

(1)能够度量各种概率分布类型随机变量的不确定性大小，克服了传统方差法只能度量正态分布的缺陷，扩展了不确定性定量分析的应用范围；

(2)将地下水数值模拟不确定性分解为模型参数、模型结构和重叠不确定性等三部分，能够克服传统方差法无法描述模型间重叠不确定性的缺点；

(3)将模型参数不确定性定义为各概念模型内部(参数)不确定性权重和减去模型间重叠的不确定性，从而能够对各部分不确定性进行更加准确、合理的描述。

附图说明

图1为基于方差法的不确定性度量；

图2为基于信息熵法的不确定性度量。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

实施例：信息论中，对于离散变量x，信息熵H定义为：

$H\left(x\right)=-\underset{i}{\Σ}p\left(x_i\right)logp\left(x_i\right)---\left(6\right)$

其中p(x_i)为x_i的概率。对于连续变量x，信息熵H定义为：

H(x)＝-∫f(x)logf(x)dx (7)

其中f(x)为x的概率密度函数。

Kullback-Leibler(K-L)散度(或相对熵D)用于表示两个概率分布之间的相对距离：

$D\left(p\right|\left|q\right)=\∫p\left(x\right)\log \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}dx---\left(8\right)$

其中，p(x)表示目标的真实分布，D(p||q)表示近似分布q(x)与真实分布之间的相对距离。根据方程(8)，相对熵的形式可以改写为：

D(p||q)＝∫p(x)logp(x)dx-∫p(x)logq(x)dx＝H_p(x)-I_p[q(x)] (9)

I_p[q(x)]＝E_p[logq(x)] (10)

其中，H_p(x)为x的信息熵，I_p[q(x)]为Fraser信息(Fraser information,FI)，表示在真实概率密度函数p(x)下，对于参数化模型q(x)的信息获得量。

基于BMA方程(1)，预测变量Δ的平均概率密度为：

$f_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)---\left(11\right)$

根据连续变量信息熵公式(7)，变量Δ的信息熵可以表示为：

$\begin{array}{c}{H}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right)=-\underset{S}{\∫}{f}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)\log f_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)d\mathrm{\Δ}\\ =-\underset{S}{\∫}\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]\log \[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]d\mathrm{\Δ}\\ =-\underset{S}{\∫}\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]\\ *\log \{\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Π}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]\[\frac{\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Π}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)}\]\}d\mathrm{\Δ}\\ =-\underset{S}{\∫}\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]\log \[\underset{k=1}{\overset{N}{\Π}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]d\mathrm{\Δ}\\ -\underset{S}{\∫}\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]\log \[\frac{\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Π}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)}\]d\mathrm{\Δ}\end{array}---\left(12\right)$

其中，S表示变量Δ的支撑集，从而将预测变量Δ的信息熵表达式分解为两项，第一项可以改写为：

其中，FI表示Fraser信息，f_k和f_k'分别表示f(Δ|d,M_k)，f(Δ|d,M_k')，k′＝1,...,N表示第k′个概念模型，H(Δ|d,M_k)表示模型M_k预测分布的信息熵，H(M|d)表示概念模型权重的信息熵。

$H\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)=\underset{S}{\∫}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)logf\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)d\mathrm{\Δ}---\left(14\right)$

$H\left(M\right|d)=-\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}p\left(M_k\right|d)logp\left(M_k\right|d)---\left(15\right)$

方程(12)的第二项可以改写为：

$\begin{array}{c}-\underset{S}{\∫}\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]\log \[\frac{\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Π}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)}\]d\mathrm{\Δ}\\ =-\underset{S}{\∫}{f}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)\log \[\frac{\underset{k=1}{\overset{N}{\Π}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)}{f_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)}\]d\mathrm{\Δ}\\ =\underset{S}{\∫}{f}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\log \[f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)\]+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\log \[p\left(M_k\right|d)\]-\log \[f_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)\]\]d\mathrm{\Δ}\\ =\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{S}{\∫}{f}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)\log \[f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)\]d\mathrm{\Δ}\]+\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\log \[p\left(M_k\right|d)\]\underset{S}{\∫}{f}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)d\mathrm{\Δ}\]\\ -\underset{S}{\∫}\[\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)p\left(M_k\right|d)\]\log \[f_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)\]d\mathrm{\Δ}\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{FI}}_{f_{BMA}}\left(f_k\right)+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\log \[p\left(M_k\right|d)\]\\ -\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}p\left(M_k\right|d)\underset{S}{\∫}f\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)\log \[f_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)\]d\mathrm{\Δ}\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{FI}}_{f_{BMA}}\left(f_k\right)+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\log \[p\left(M_k\right|d)\]-\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}p\left(M_k\right|d){\mathrm{FI}}_{f_k}\left(f_{BMA}\right)\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\[{\mathrm{FI}}_{f_{BMA}}\left(f_k\right)+\log \[p\left(M_k\right|d)\]-p\left(M_k\right|d){\mathrm{FI}}_{f_k}\left(f_{BMA}\right)\]\end{array}---\left(16\right)$

其中，f_BMA表示f_BMA(Δ|d)。

从而方程(12)可以改写为：

$\begin{array}{c}{H}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right)=-\underset{S}{\∫}{f}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d){\mathrm{logf}}_{BMA}\left(\mathrm{\Δ}\right|d)d\mathrm{\Δ}\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}p\left(M_k\right|d)H\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)-\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left\{p\left(M_k\right|d)\underset{k^{\′}=1,k^{\′}\≠k}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{FI}}_{f_k}\left(f_{k^{\′}}\right)\right\}\\ +H\left(M\right|d)-\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{k^{\′}=1,k^{\′}\≠k}{\overset{N}{\Σ}}p\left(M_k\right|d)\log p\left(M_{k^{\′}}\right|d)\\ +\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\[{\mathrm{FI}}_{f_{BMA}}\left(f_k\right)+\log \[p\left(M_k\right|d)\]-p\left(M_k\right|d){\mathrm{FI}}_{f_k}\left(f_{BMA}\right)\]\end{array}---\left(17\right)$

根据BMA的逻辑过程，预测变量Δ的总体不确定性(U)来自三个步骤，分别是：

(1)概念模型结构的选择过程所导致的模型结构不确定性(U_bm)

由于地下水系统是一个复杂、未知的系统，地下水模型的结构具有多种可能性，每种可能的模型结构(概念模型)具有相应的权重，选择这些可能的模型结构并赋予其权重的过程将会产生不确定性。因此，模型结构不确定性可表示为模型权重的离散信息熵H(M|d)，即公式(15)所示。

(2)各概念模型的参数及边界条件的设置过程所导致的模型参数不确定性

对于特定的单个概念模型M_k而言，其具有确定的模型结构，预测分布的不确定性只来自于模型参数。因此，概念模型M_k的预测不确定性可表示为其预测分布的信息熵H(Δ|d,M_k)，即公式(14)所示。

(3)各概念模型预测分布的合并过程

将各概念模型的预测分布进行权重加和将会导致各概念模型预测不确定性(即H(Δ|d,M_k))的累加。同时，由于不同概念模型可能具有部分相似的模型结构，对应的预测分布也存在一定的相关性，相关的预测分布进行累加势必将产生重叠不确定性。因此，将BMA预测分布的参数不确定性(U_wm)定义为各概念模型参数不确定性的加权和减去各概念模型预测分布间的重叠不确定性(U_om)，即：

$U_{wm}=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}p\left(M_k\right|d)H\left(\mathrm{\Δ}\right|d,M_k)-U_{om}---\left(18\right)$

根据公式(17)，U_om可表示为：

$\begin{array}{c}{U}_{om}=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left\{p\left(M_k\right|d)\underset{k^{\′}=1,k^{\′}\≠k}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{FI}}_{f_k}\left(f_{k^{\′}}\right)\right\}+\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{k^{\′}=1,k^{\′}\≠k}{\overset{N}{\Σ}}p\left(M_k\right|d)\log p\left(M_{k^{\′}}\right|d)\\ -\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\[{\mathrm{FI}}_{f_{BMA}}\left(f_k\right)+\log \[p\left(M_k\right|d)\]-p\left(M_k\right|d){\mathrm{FI}}_{f_k}\left(f_{BMA}\right)\]\end{array}---\left(19\right)$

本实施例通过3个例子来对比分析信息熵法和方差法在描述随机变量不确定性及BMA预测不确定性分解上的区别和特征。

(1)离散分布的不确定性分析

假设有两个概念模型M(M₁,M₂)，p(p₁,p₂)表示M的后验概率，E(E₁,E₂)表示概念模型预测分布的均值，考虑两种情况：(1)p(p₁＝0.5,p₂＝0.5)和E(E₁＝10.0,E₂＝20.0)；(2)p(p₁＝0.99,p₂＝0.01)和E(E₁＝10.0,E₂＝100.0)。对于方差法，两种情况的模型结构不确定性分别为U_{bm_1}＝15.0,U_{bm_2}＝80.19,U_{bm_1}<U_{bm_2}。对于信息熵法，两种情况的模型结构不确定性分别为U_{bm_1}＝0.6931,U_{bm_2}＝0.0560,U_{bm_1}>U_{bm_2}。两种方法具有相反的评价结论。

根据不确定性分析的目的，BMA方法目标在于识别一组备选概念模型中的潜在可能的模型，对其预测结果进行权重平均。当已知某概念模型后验概率极小(如0.01)时，该模型可以从BMA中排除，从而降低模型结构(概念模型)不确定性，而当不同模型具有相似大小(如0.5)的后验权重时，所有的模型结构都是可能存在的，从而模型结构不确定性最大。因此，情况(2)的模型结构不确定性要大于情况(1)，信息熵方法对此进行了准确的评价。

(2)连续分布的不确定性分析

假设预测变量Δ的概率分布为f(Δ)，考虑两种情况：(1)f(Δ)服从如下正态分布类型，

$f\left(\mathrm{\&Delta;}\right)=\frac{1}{4\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\exp \&lsqb;-\frac{\mathrm{\&Delta;}2}{2*16}\&rsqb;---\left(21\right)$

(2)f(Δ)服从双峰(混合正态)分布类型，

$f\left(\mathrm{\&Delta;}\right)=0.5*\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\exp \&lsqb;-\frac{{(\mathrm{\&Delta;}+5)}^2}{2}\&rsqb;+0.5*\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}\exp \&lsqb;-\frac{{(\mathrm{\&Delta;}-5)}^2}{2}\&rsqb;---\left(22\right)$

对于方差法，两种情况f(Δ)的预测总体不确定性分别为U₁＝16,U₂＝26,U₁<U₂。对于信息熵法，两种情况f(Δ)的总体预测不确定性分别为U₁＝2.8052,U₂＝2.1121,U₁>U₂。两种方法具有相反的评价结论。

根据f(Δ)的概率分布在不同置信水平下的预测分布区间的宽度，可以判断f(Δ)不确定性的相对大小。在50％、75％和90％置信水平下，情况(1)f(Δ)的预测区间宽度分别为5.4、9.2和13.16，情况(2)f(Δ)的预测区间宽度分别为2.68、4.60和6.56。因此，可以判断情况(2)下的f(Δ)预测不确定性要小于情况(1)，从而信息熵方法获得了准确的评价结果。

(3)预测分布的不确定性分解

假设概念模型M(M₁,M₂)的预测分布均为正态分布，分别为f₁(Δ)＝N₁(μ,σ²),f₂(Δ)＝N₂(-μ,σ²)，μ为均值，σ²为方差，且σ²＝1。模型后验权重均为0.5，获得的BMA预测分布为：

f_BMA(Δ)＝0.5*N₁(μ,1)+0.5*N₂(-μ,1) (23)

利用方差法对BMA预测分布进行分解，获得的模型参数(U_wm)与模型结构不确定性(U_bm)分别为U_wm＝1，U_bm＝μ²。如图1所示，随着μ的变化，U_wm保持为一个固定的常数，而U_bm随着μ的增加而增加。图2(a)所示为基于信息熵法计算得到的模型参数(U_wm)与模型结构不确定性(U_bm)，U_bm保持为一个固定的常数，而随着μ的增加，U_wm先增加，然后逐渐收敛至一个稳定值。因此，方差法和信息熵法对BMA预测不确定性的分解有不同的评价结果。

方程(23)所示为两个正态概率分布的和，随着μ的增加(从0-10)，这两个概率分布空间逐渐远离，因此模型间M(M₁,M₂)预测分布的重叠不确定性U_om应逐渐减小至0。图2(b)描述了U_om随μ的增加而逐渐减小至0的过程，以及模型参数不确定性U_wm逐渐增加至稳定值。因此，信息熵方法能够更加合理的定量刻画预测不确定性的分解，以及获得更多的模型内部信息。

本发明针对传统方差法在地下水数值模拟不确定性分析中的局限性，建立了基于信息熵理论的不确定性定量分析方法。通过案例(1)分析可以看出，信息熵法能够更加合理的描述离散概率分布的不确定性，从而能够更加合理的刻画模型结构不确定性。通过案例(2)分析可以看出，信息熵方法能够更加合理的描述双峰概率分布类型的不确定性，从而能够对该类型的地下水预测分布不确定性进行准确的刻画。通过案例(3)分析可以看出，信息熵方法能够更加合理的对地下水数值模拟预测不确定性进行分解，且能获得更多关于不同模型预测分布之间的信息。

Claims (3)

1.一种基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法，其特征在于：包括以下步骤：

（1）建立一组概念模型来代表研究区地下水系统；

（2）对各概念模型进行参数不确定性分析，获得预测变量的概率分布，基于贝叶斯多模型平均方法，对各概念模型的预测分布进行权重平均，获得考虑模型参数和结构不确定性的地下水综合预测分布；

（3）根据信息熵理论，将预测变量概率分布的信息熵作为该变量的不确定性大小；

（4）根据贝叶斯模型平均方法的预测公式和信息熵理论，将地下水预测不确定性分解为模型结构、模型参数和各概念模型预测分布间的重叠不确定性。

2.根据权利要求1所述的基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法，其特征在于：步骤（4）的模型参数不确定性为概念模型后验权重的离散信息熵，模型参数不确定性为概念模型预测分布的信息熵。

3.根据权利要求2所述的基于信息熵的地下水数值模拟不确定性定量分析方法，其特征在于：步骤（4）中各概念模型预测分布的信息熵加权和减去各概念模型预测分布间的重叠不确定性即为模型参数不确定性。