CN105913168A - 一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法 - Google Patents

一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，属于竞赛评定和群体决策领域。本发明首先获取裁判员对选手的偏好关系，并将其建立选手成对偏好矩阵；然后根据成对偏好矩阵，构建一个有向图，并计算最强路径；最后生成最强路径矩阵，通过比较选手之间的最强路径，得出选手最终排序。本发明通过考虑裁判员对不同选手之间的偏好关系，构建有向图并计算最强路径，从本质上讲弱化了排名过程中的操纵性，为大多数主观性竞赛中成绩的评定提供了一种新的方法。

Description

一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法
技术领域
本发明涉及一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，属于竞赛评定和群体决策领域。
背景技术
随着我国经济、社会的迅速发展，竞技比赛越来越多地出现在我们生活的各个方面。在文艺、体育等竞赛活动中，比赛结果对衡量选手的水平高低有着重要的作用，而决定比赛结果的因素取决于以下三个方面：第一，成绩评定机制是否具有公平性；第二，裁判员的主观意愿；第三，运动员的临场水平的发挥。
张华等(<2011年全国男子跳水锦标赛裁判员评分的客观性分析>，2012)中指出在跳水比赛中选手得分是通过裁判员评分决定，而选手比赛成绩的高低主要取决于裁判员评分的客观性和选手的临场水平的发挥，裁判员能否保证评分的公正、合理，直接影响选手的比赛结果。赵美鲁等(<第39届世界体操锦标赛裁判员评分的客观性分析>，2008)通过对第 39届世界体操锦标赛部分比赛项目评分数据的分析发现，裁判员评分结果区分度较高、评分随机误差较大、评分标准也不一致。裁判员个体间的评分差异，会对比赛结果的客观性产生显著影响。
在体操、跳水、武术等主观评分项目的比赛中，传统的判定名次的方法是：去掉一个最高分，再去掉一个最低分，将剩下分数的平均值作为最后得分，并按最后得分的高低排定名次。这种判定名次的方法虽然能排除个别过高分和过底分的影响，但不能改变裁判员的主观意愿对比赛结果的影响。多年来，有关学者和团体一直在努力改进竞赛成绩评定方法。魏登云等在(<竞技体育主观评分数据的统计模型及其参数估计>，2008)中提出比赛得分“参数迭代估计法”，得到比赛结果的参数估计值。陈明华（<对按成绩定名次方法的改进>，2003）提出的方法先对每个裁判员打的所有成绩进行标准化处理，将处理后的成绩求和作为最后得分，再按最后得分的高低确定名次。何江川(<主观评分裁判员水平非参数评价方法的研究>，2005)采用非参数统计评价方法来分析各个裁判员的评分与整场比赛结果相符的程度，并用Kendall协和系数来检验裁判员的整体评分效果。这些方法从一定程度上避免了裁判员评分随机误差严重的问题，但通过裁判员评分仍会因主观意愿而产生打分偏高偏低的问题，裁判员的评分标准一致性也有待提高。
本发明考虑到裁判员对选手评价标准的不一致，建立裁判员对选手的偏好关系，并基于Schulze社会选择函数计算出选手最后的名次。这种方法的优点在于降低了传统成绩评定方法的操纵性，解决不同裁判因主观性导致的对选手评价标准不一致的问题，使竞赛选手成绩评定更具客观性。
发明内容
本发明提供了一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，以用于解决传统竞赛成绩评定中因裁判员根据自己的主观意愿打分而导致比赛结果不具有客观性的问题。
本发明的技术方案是：一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，首先获取裁判员对选手的偏好关系，并将其建立选手成对偏好矩阵；然后根据成对偏好矩阵，构建一个有向图，并计算最强路径；最后生成最强路径矩阵，通过比较选手之间的最强路径，得出选手最终排序。
所述方法的具体步骤如下：
Step1、获取裁判员对选手的偏好关系；
设裁判员集合为R={r 1,r 2,…,r m }，选手集合为P={p 1, p 2,…, p n }，建立裁判员r i ∈R (i=1,2,...,m)对选手p x ,p y ∈P(x, y=1,2,…, n)的偏好关系s i (p x ,p y )：
①p x ≻ i p y 表示裁判员r i 认为选手p x 优于p y ；
②p x ≺ i p y 表示裁判员r i 认为选手p y 优于p x ；
③p x ~ i p y 表示裁判员r i 认为选手p x 和p y 无区别；
所有r i ∈R(i=1,2,...,m)需要对p 1,p 2,...,p n 给出偏好排序集S i ={s i (p x ,p y )| x,y=1,2,…,n}；
Step2、建立选手成对偏好矩阵D=[d(p x ,p y )] n ×n ，d(p x ,p y )表示认为选手p x 优于选手p y 的裁判员人数；d(p x ,p y )的取值方式为：将每一种偏好排序集中形如选手p x ≻p y (x, y=1,2,…,n)的人数并相加，最后的和作为d(p x ,p y )：若没有一个裁判认为选手p x 优于选手p y ，d(p x ,p y )等于0，当p x 等于p y 时，d(p x ,p y )为空；
Step3、根据Step2得出的成对偏好矩阵，构建一个有向图G=<V,E>；其中，V={p 1,p 2,…,p n }为选手结点集，E={e 1,e 2,...,e k | k∈[n(n-1)/2,n(n−1)]}为有向边集，令d(p x ,p y )为结点p x 与p y 之间边的权值；若d(p x ,p y )>d(p y ,p x )，e l =<p x ,p y >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p x 指向选手p y 的有向边，其中p x 是边的始点，p y 是边的终点；若d(p y ,p x )<d(p x ,p y )，e l =<p y ,p x >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p y 指向选手p x 的有向边，其中p y 是边的始点，p x 是边的终点；若d(p x ,p y )=d(p y ,p x )，e l =<p x ,p y >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p x 指向选手p y 且p y 指向选手p x 的有向边；
Step4、根据已经得出的有向图算出最强路径；
当从选手p x 到选手p y 只有一条路径可以到达时，那么这条路径中的最小权值就是从选手p x 到选手p y 的最强路径，p x ,...,p y 的最强路径为：
p(p x ,p y )=min{(d(p x ,p r ),...,d(p s ,p y ))| x,r,s,y=1,...,n；x<r<s<y)} （1）
当从选手p x 到选手p y 有t条路径可以到达时，那么对每条路径中的最小权值进行比较，值最大的那条路径为从选手p x 到选手p y 的最强路径；
p(p x ,p y )=max{min{(d(p x ,p r 1),...,d(p s 1,p y ))|},...,min{(d(p x ,p rt ),...,d(p st ,p y ))|};x,r1,s1,st,rt,y=1,...,n；x<r1<s1<y；x<rt<st<y} （2）
其中，p r 、p s 表示从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手，p r 1、p s 1表示第1条路径中从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手，p rt 、p st 表示第t条路径中从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手；
当p x 等于p y 时，p(p x ,p y )等于空；
Step5、生成最强路径矩阵Q=[p(p x ,p y )] n ×n ，其中p(p x ,p y )表示从选手p x 到p y 的最强路径；
Step6、依次比较p(p x ,p y )和p(p y ,p x )的大小，得到选手的最终排序：如果出现p(p x ,p y )大于p(p y ,p x )的情况，则表示p x 优于p y ；如果出现p(p x ,p y )小于p(p y ,p x )的情况，则表示p y 优于p x ；如果出现p(p x ,p y )等于p(p y ,p x )的情况，则分别计算出p(p x ,*)和p(*,p y )的和，用sum(p(p x ,*))和sum(p(*,p y ))表示：
①若sum(p(p x ,*))>sum(p(*,p y ))，则p(p x ,p y )>p(p y ,p x )；
②若sum(p(p x ,*))<sum(p(*,p y ))，则p(p x ,p y )<p(p y ,p x )；
③若sum(p(p x ,*))=sum(p(*,p y ))，则随机产生p(p x ,p y )>p(p y ,p x )或p(p x ,p y )<p(p y ,p x )；
其中，p(p x ,*)表示从p x 到其它节点的最强路径值，p(*,p y )表示从其它节点到p y 的最强路径值。
还包括：对单调性、一致性、抗操纵性验证评估；
单调性：裁判员偏好不变的情况下，对任意选手p x 、p y 、p z ，整体评定结果为p x ≻p y ≻p z ，则应有p(p x ,p y )>p(p y ,p x )，p(p x ,p z )>p(p z ,p x ), p(p y ,p z )>p(p z ,p y )。根据步骤Step3、步骤Step4可知，d(p x ,p y )增加，p(p x ,p y )的值不可能降低，所以当增加p y 优于p z 和p x 的人数时，p(p x ,p z )>p(p z ,p x )不变，p(p y ,p z )>p(p z ,p y )不变，p(p x ,p y )>p(p y ,p x )或者p(p y ,p x )>p(p x ,p y )，即整体排序调整为p y ≻p x ≻p z 或保持p x ≻p y ≻p z 不变，因此具有单调性。
一致性：若所有裁判均认为p x ≻p y ，显然有d(p x ,p y )>d(p y ,p x )，因此根据步骤Step3、步骤Step4可得p(p x ,p y )>p(p y ,p x )，即结果为p x 优于p y ，满足一致性。其中d(p x ,p y )为认为选手p x 优于选手p y 的裁判员人数，p(p x ,p y )为从选手p x 到选手p y 的最强路径值。
抗操纵性：通过改变加权有向图上单个路径的权值d(p x ,p y )不仅会改变该路径上两个选手p x 与p y 之间的最强路径，根据公式（2）可知，还可能使得其他选手之间的最强路径值发生变化，改变其他选手的排序，从而不能通过修改特定路径上的权值对该选手的排名进行操纵，通过加权有向图计算选手排序提高了操纵的难度。
本发明的有益效果是：
（1）在传统比赛中，选手比赛成绩的高低主要取决于裁判员评分的客观性和选手的临场水平的发挥，裁判员能否保证评分的公正、合理，直接影响选手的比赛结果。由于本发明不通过裁判员评分，而是依据裁判员对不同选手之间的偏好关系，通过计算得到所有选手的排名，这样可以有效避免因裁判员评分主观意愿不同而产生的打分不具有客观性问题。本发明的评定结果满足一致性和单调性，体现了多数准则，不会因个人独有的偏好改变最终评定结果，因此通过本发明得出的成绩评定结果更合理。
（2）公知的方法对选手成绩进行评定时，只需对特定选手的评分进行操纵即可达到操纵该选手排名的目的，导致公知方法抗操纵性低。本发明通过考虑裁判员对不同选手之间的偏好关系，构建加权有向图，使单个路径上的权值发生改变不但会影响该路径上两个选手的排序，还会对其他选手的排序产生影响。因此，对本发明的选手排名方法进行操纵比对公知的选手排名方法进行操纵复杂得多，客观上使本发明的选手排名方法具备更强的防操纵能力。
总之，基于社会选择理论对竞赛成绩进行评定为各类主观性竞赛中选手的排名提供了一种客观的评定方法。这种方法通过考虑裁判员对不同选手之间的偏好关系，构建有向图并计算最强路径，从本质上讲弱化了排名过程中的操纵性，为大多数主观性竞赛中成绩的评定提供了一种新的方法。
附图说明
图1为本发明中方法流程图；
图2为本发明实施例3中的加权有向图。
具体实施方式
实施例1：如图1-2所示，一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，首先获取裁判员对选手的偏好关系，并将其建立选手成对偏好矩阵；然后根据成对偏好矩阵，构建一个有向图，并计算最强路径；最后生成最强路径矩阵，通过比较选手之间的最强路径，得出选手最终排序。
所述方法的具体步骤如下：
Step1、获取裁判员对选手的偏好关系；
设裁判员集合为R={r 1,r 2,…,r m }，选手集合为P={p 1, p 2,…, p n }，建立裁判员r i ∈R (i=1,2,...,m)对选手p x ,p y ∈P(x, y=1,2,…, n)的偏好关系s i (p x ,p y )：
①p x ≻ i p y 表示裁判员r i 认为选手p x 优于p y ；
②p x ≺ i p y 表示裁判员r i 认为选手p y 优于p x ；
③p x ~ i p y 表示裁判员r i 认为选手p x 和p y 无区别；
所有r i ∈R(i=1,2,...,m)需要对p 1,p 2,...,p n 给出偏好排序集S i ={s i (p x ,p y )| x,y=1,2,…,n}；
Step2、建立选手成对偏好矩阵D=[d(p x ,p y )] n ×n ，d(p x ,p y )表示认为选手p x 优于选手p y 的裁判员人数；d(p x ,p y )的取值方式为：将每一种偏好排序集中形如选手p x ≻p y (x, y=1,2,…,n)的人数并相加，最后的和作为d(p x ,p y )：若没有一个裁判认为选手p x 优于选手p y ，d(p x ,p y )等于0，当p x 等于p y 时，d(p x ,p y )为空；
Step3、根据Step2得出的成对偏好矩阵，构建一个有向图G=<V,E>；其中，V={p 1,p 2,…,p n }为选手结点集，E={e 1,e 2,...,e k | k∈[n(n-1)/2,n(n−1)]}为有向边集，令d(p x ,p y )为结点p x 与p y 之间边的权值；若d(p x ,p y )>d(p y ,p x )，e l =<p x ,p y >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p x 指向选手p y 的有向边，其中p x 是边的始点，p y 是边的终点；若d(p y ,p x )<d(p x ,p y )，e l =<p y ,p x >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p y 指向选手p x 的有向边，其中p y 是边的始点，p x 是边的终点；若d(p x ,p y )=d(p y ,p x )，e l =<p x ,p y >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p x 指向选手p y 且p y 指向选手p x 的有向边；
Step4、根据已经得出的有向图算出最强路径；
当从选手p x 到选手p y 只有一条路径可以到达时，那么这条路径中的最小权值就是从选手p x 到选手p y 的最强路径，p x ,...,p y 的最强路径为：
p(p x ,p y )=min{(d(p x ,p r ),...,d(p s ,p y ))| x,r,s,y=1,...,n；x<r<s<y)} （1）
当从选手p x 到选手p y 有t条路径可以到达时，那么对每条路径中的最小权值进行比较，值最大的那条路径为从选手p x 到选手p y 的最强路径；
p(p x ,p y )=max{min{(d(p x ,p r 1),...,d(p s 1,p y ))|},...,min{(d(p x ,p rt ),...,d(p st ,p y ))|};x,r1,s1,st,rt,y=1,...,n；x<r1<s1<y；x<rt<st<y} （2）
其中，p r 、p s 表示从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手，p r 1、p s 1表示第1条路径中从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手，p rt 、p st 表示第t条路径中从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手；
当p x 等于p y 时，p(p x ,p y )等于空；
Step5、生成最强路径矩阵Q=[p(p x ,p y )] n ×n ，其中p(p x ,p y )表示从选手p x 到p y 的最强路径；
Step6、依次比较p(p x ,p y )和p(p y ,p x )的大小，得到选手的最终排序：如果出现p(p x ,p y )大于p(p y ,p x )的情况，则表示p x 优于p y ；如果出现p(p x ,p y )小于p(p y ,p x )的情况，则表示p y 优于p x ；如果出现p(p x ,p y )等于p(p y ,p x )的情况，则分别计算出p(p x ,*)和p(*,p y )的和，用sum(p(p x ,*))和sum(p(*,p y ))表示：
①若sum(p(p x ,*))>sum(p(*,p y ))，则p(p x ,p y )>p(p y ,p x )；
②若sum(p(p x ,*))<sum(p(*,p y ))，则p(p x ,p y )<p(p y ,p x )；
③若sum(p(p x ,*))=sum(p(*,p y ))，则随机产生p(p x ,p y )>p(p y ,p x )或p(p x ,p y )<p(p y ,p x )；
其中，p(p x ,*)表示从p x 到其它节点的最强路径值，p(*,p y )表示从其它节点到p y 的最强路径值。
实施例2：如图1-2所示，一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，首先获取裁判员对选手的偏好关系，并将其建立选手成对偏好矩阵；然后根据成对偏好矩阵，构建一个有向图，并计算最强路径；最后生成最强路径矩阵，通过比较选手之间的最强路径，得出选手最终排序。
实施例3：如图1-2所示，一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，具体实施步骤如下：
1）获得裁判员对选手的偏好关系；
在一个共有10名裁判，5名选手的竞赛中裁判员对选手的偏好排序如下：
4名裁判员认为p 1≻p 3≻p 4≻p 2≻p 5；
2名裁判员认为p 3≻p 4≻p 2≻p 5≻p 1；
3名裁判员认为p 4≻p 5≻p 2≻p 1≻p 3；
1名裁判员认为p 5≻p 2≻p 3≻p 4≻p 1；
2）通过计算将裁判员对选手的偏好关系转换为成对偏好矩阵D=[d(p x ,p y )]5×5，d(p x ,p y )表示认为选手p x 优于选手p y 的裁判员人数。例如认为选手p 1优于选手p 2的裁判共有4名，认为选手p 2优于选手p 1的裁判共有6名，所以d(p 1,p 2)=4，d(p 2,p 1)=6。以此类推，计算得出成对偏好矩阵D，如表1所示。
表1 成对偏好矩阵D
d(*,p 1) d(*,p 2) d(*,p 3) d(*,p 4) d(*,p 5)
d(p 1,*) 空 4 7 4 4
d(p 2,*) 6 空 4 1 6
d(p 3,*) 3 6 空 7 6
d(p 4,*) 6 9 3 空 9
d(p 5,*) 6 4 4 1 空
3）根据2）得出的成对偏好矩阵，构建一个有向图G=<V,E>，这里V={p 1,p 2,…, p 5}为选手结点集，如果d(p x ,p y )>d(p y ,p x )，则由结点p x 指向结点p y 且边的权值为p(p x ,p y );如果d(p x ,p y )<d(p y ,p x )，则由结点p y 指向结点p x 且边的权值为p(p y ,p x )。
由于d(p 1,p 2)<d(p 2,p 1)，所以由结点p 2指向结点p 1，边的权值p(p 2,p 1)为6；d(p 1,p 3)>d(p 3,p 1)，所以由结点p 1指向结点p 3，边的权值p(p 1,p 3)为7。以此类推，得出有向图G，如图2所示。
4）根据已经得出的有向图算出最强路径。
p 1→p 2:从选手p 1到选手p 2有2条路径。
路径1：p 1,p 3,p 2路径长度为min{7,6}=6。
路径2：p 1,p 3,p 4,p 2路径长度为min{7,7,9}=7。
所以从选手p 1到选手p 2的最强路径p(p 1,p 2)为max{6,7}=7。
p 1→p 3:从选手p 1到选手p 3有1条路径。
路径1：p 1,p 3路径长度为min{7}=7。
所以从选手p 1到选手p 3的最强路径p(p 1,p 3)=7。
p 1→p 4:从选手p 1到选手p 4有1条路径。
路径1：p 1,p 3,p 4路径长度为min{7,7}=7。
所以从选手p 1到选手p 4的最强路径p(p 1,p 4)=7。
p 1→p 5:从选手p 1到选手p 5有3条路径。
路径1：p 1,p 3,p 4,p 5路径长度为min{7,7,9}=7。
路径2：p 1,p 3,p 2,p 5路径长度为min{7,6,6}=6。
路径3：p 1,p 3,p 5路径长度为min{7,6}=6。
所以从选手p 1到选手p 5的最强路径p(p 1,p 5)为max{7,6,6}=7。
p 2→p 1:从选手p 2到选手p 1有2条路径。
路径1：p 2,p 1路径长度为min{6}=6。
路径2：p 2,p 5,p 1路径长度为min{6,6}=6。
所以从选手p 2到选手p 1的最强路径p(p 2,p 1)为max{6,6}=6。
p 2→p 3:从选手p 2到选手p 3有2条路径。
路径1：p 2,p 5,p 1,p 3路径长度为min{6,6,7}=6。
路径2：p 2,p 1,p 3路径长度为min{6,7}=6。
所以从选手p 2到选手p 3的最强路径p(p 2,p 3)为max{6,6}=6。
p 2→p 4:从选手p 2到选手p 4有2条路径。
路径1：p 2,p 1,p 3,p 4路径长度为min{6,7,7}=6。
路径2：p 2,p 5,p 1,p 3,p 4路径长度为min{6,6,7,7}=6。
所以从选手p 2到选手p 4的最强路径p(p 2,p 4)为max{6,6}=6。
p 2→p 5:从选手p 2到选手p 5有3条路径。
路径1：p 2,p 5路径长度为min{6}=6。
路径2：p 2,p 1,p 3,p 5路径长度为min{6,7,6}=6。
路径3：p 2,p 1,p 3,p 4,p 5路径长度为min{6,7,7,9}=6。
所以从选手p 2到选手p 5的最强路径p(p 2,p 5)为max{6,6,6}=6。
p 3→p 1:从选手p 3到选手p 1有4条路径。
路径1：p 3,p 2,p 1路径长度为min{6,6}=6。
路径2：p 3,p 4,p 1路径长度为min{7,6}=6。
路径3：p 3, p 5,p 1路径长度为min{6,6}=6。
路径4：p 3,p 4, p 5,p 1路径长度为min{7,9,6}=6。
所以从选手p 3到选手p 1的最强路径p(p 3,p 1)为max{6,6,6,6}=6。
p 3→p 2:从选手p 3到选手p 2有2条路径。
路径1：p 3,p 2路径长度为min{6}=6。
路径2：p 3,p 4,p 2路径长度为min{7,9}=7。
所以从选手p 3到选手p 2的最强路径p(p 3,p 2)为max{6,7}=7。
p 3→p 4:从选手p 3到选手p 4有1条路径。
路径1：p 3,p 4路径长度为min{7}=7。
所以从选手p 3到选手p 4的最强路径p(p 3,p 4)=7。
p 3→p 5:从选手p 3到选手p 5有4条路径。
路径1：p 3,p 5路径长度为min{6}=6。
路径2：p 3,p 2,p 5路径长度为min{6,6}=6。
路径3：p 3,p 4,p 5路径长度为min{7,9}=7。
路径4：p 3,p 4,p 2,p 5路径长度为min{7,9,6}=6。
所以从选手p 3到选手p 5的最强路径p(p 3,p 5)为max{6,6,7,6}=7。
p 4→p 1:从选手p 4到选手p 1有4条路径。
路径1：p 4,p 1路径长度为min{6}=6。
路径2：p 4,p 2,p 1路径长度为min{9,6}=6。
路径3：p 4,p 5,p 1路径长度为min{9,6}=6。
路径4：p 4,p 2,p 5,p 1路径长度为min{9,6,6}=6。
所以从选手p 4到选手p 1的最强路径p(p 4,p 1)为max{6,6,6,6}=6。
p 4→p 2:从选手p 4到选手p 2有3条路径。
路径1：p 4,p 2路径长度为min{9}=9。
路径2：p 4,p 1,p 3,p 2路径长度为min{6,7,6}=6。
路径3：p 4, p 5,p 1,p 3,p 2路径长度为min{9,6,7,6}=6。
所以从选手p 4到选手p 2的最强路径p(p 4,p 2)为max{9,6,6}=9。
p 4→p 3:从选手p 4到选手p 3有4条路径。
路径1：p 4,p 1,p 3路径长度为min{6,7}=6。
路径2：p 4,p 2,p 1,p 3路径长度为min{9,6,7}=6。
路径3：p 4, p 5,p 1,p 3路径长度为min{9,6,7}=6。
路径2：p 4,p 2,p 5,p 1,p 3路径长度为min{9,6,6,7}=6。
所以从选手p 4到选手p 3的最强路径p(p 4,p 3)为max{6,6,6,6}=6。
p 4→p 5:从选手p 4到选手p 5有4条路径。
路径1：p 4,p 5路径长度为min{9}=9。
路径2：p 4,p 2,p 5路径长度为min{9,6}=6。
路径3：p 4,p 2,p 1,p 3,p 5路径长度为min{9,6,7,6}=6。
路径2：p 4,p 1,p 3,p 5路径长度为min{6,7,6}=6。
所以从选手p 4到选手p 5的最强路径p(p 4,p 5)为max{9,6,6,6}=9。
p 5→p 1:从选手p 5到选手p 1有1条路径。
路径1：p 5,p 1路径长度为min{6}=6。
所以从选手p 5到选手p 1的最强路径p(p 5,p 1)=6。
p 5→p 2:从选手p 5到选手p 2有2条路径。
路径1：p 5,p 1,p 3,p 2路径长度为min{6,7,6}=6。
路径1：p 5,p 1,p 3,p 4,p 2路径长度为min{6,7,7,9}=6。
所以从选手p 5到选手p 2的最强路径p(p 5, p 2)为max{6,6}=6。
p 5→p 3:从选手p 5到选手p 3有1条路径。
路径1：p 5,p 1,p 3路径长度为min{6,7}=6。
所以从选手p 5到选手p 3的最强路径p(p 5,p 3)=6。
p 5→p 4:从选手p 5到选手p 4有1条路径。
路径1：p 5,p 1,p 3,p 4路径长度为min{6,7,7}=6。
所以从选手p 5到选手p 4的最强路径p(p 5,p 4)=6。
5）生成最强路径矩阵Q=[p(p x ,p y )]5×5，其中p(p x ,p y )表示从选手p x 到p y 的最强路径，当p x 等于p y 时，p(p x ,p y )等于空。p(p x ,*)表示从p x 到其它节点的最强路径值，p(*,p y )表示从其它节点到p y 的最强路径值。
从选手p 1到选手p 2的最强路径为max{6,7}=7，所以p(p 1,p 2)=7；从选手p 1到选手p 3的最强路径为max{7} = 7，所以p(p 1,p 3)=7。以此类推，得到最强路径矩阵，如表2所示。
表2 最强路径矩阵Q
p(*,p 1) p(*,p 2) p(*,p 3) p(*,p 4) p(*,p 5)
p(p 1,*) 空 7 7 7 7
p(p 2,*) 6 空 6 6 6
p(p 3,*) 6 7 空 7 7
p(p 4,*) 6 9 6 空 9
p(p 5,*) 6 6 6 6 空
6）依次比较p(p x ,p y )和p(p y , p x )的大小，最后得出选手最终排序。
由于p(p 1, p 2)=7，p(p 2, p 1)=6，因此p(p 1, p 2)>p(p 2, p 1)，所以认为选手p 1优于选手p 2。同样，由于p(p 2, p 3)=6，p(p 3, p 2)=7，因此p(p 2, p 3)<p(p 3, p 2)，所以认为选手p 3优于选手p 2。对于p(p 2, p 5)=p(p 5, p 2)=6这种情况，计算p(p 2,*)的和(p(p 2,p 1)+p(p 2,p 3)+...+p(p 2,p 5))为24，p(*,p 5)的和(p(p 1,p 5)+p(p 2,p 5)+...+p(p 4,p 5))为29，比较得出p(p 2,*)＜p(*,p 5),所以认为选手p 5优于选手p 2。以此类推，得出所有比较结果为：p 1≻p 2；p 1≻p 3；p 1≻p 4；p 1≻p 5；p 3≻p 2；p 4≻p 2；p 5≻p 2；p 3≻p 4；p 3≻p 5；p 4≻p 5。
最终评定结果为p 1≻p 3≻p 4≻p 5≻p 2。
7）对单调性、一致性、抗操纵性验证评估。
单调性：通过增加3个认为p 1优于p 4的裁判员人数，可得成对偏好矩阵D如表3所示：
表3 成对偏好矩阵D
d(*,p 1) d(*,p 2) d(*,p 3) d(*,p 4) d(*,p 5)
d(p 1,*) 空 4 7 7 4
d(p 2,*) 6 空 4 1 6
d(p 3,*) 3 6 空 7 6
d(p 4,*) 6 9 3 空 9
d(p 5,*) 6 4 4 1 空
计算得出最强路径矩阵Q如表4所示：
表4 最强路径矩阵Q
p(*,p 1) p(*,p 2) p(*,p 3) p(*,p 4) p(*,p 5)
p(p 1,*) 空 7 7 7 7
p(p 2,*) 6 空 6 6 6
p(p 3,*) 6 7 空 7 7
p(p 4,*) 6 9 6 空 9
p(p 5,*) 6 6 6 6 空
根据表4可知，最强路径矩阵没有发生变化，所以最终评定结果没变，为p 1≻p 3≻p 4≻p 5≻p 2，结果证明增加p 1优于p 4的人数，不会使p 1的排名降低，满足单调性。
一致性：若所有裁判员认为选手p 4优于选手p 5，即认为选手p 4优于选手p 5的裁判员人数为10，认为选手p 5优于选手p 4的裁判员人数为0，d(p 4,p 5)=10，d(p 5,p 4)=0。可得成对偏好矩阵D如表5所示。
表5 成对偏好矩阵D
d(*,p 1) d(*,p 2) d(*,p 3) d(*,p 4) d(*,p 5)
d(p 1,*) 空 4 7 4 4
d(p 2,*) 6 空 4 1 6
d(p 3,*) 3 6 空 7 6
d(p 4,*) 6 9 3 空 10
d(p 5,*) 6 4 4 0 空
计算得出最强路径矩阵Q如表6所示：
表6 最强路径矩阵Q
p(*,p 1) p(*,p 2) p(*,p 3) p(*,p 4) p(*,p 5)
p(p 1,*) 空 7 7 7 7
p(p 2,*) 6 空 6 6 6
p(p 3,*) 6 7 空 7 7
p(p 4,*) 6 9 6 空 10
p(p 5,*) 6 6 6 6 空
最终评定结果为p 1≻p 3≻p 4≻p 5≻p 2。说明当所有人认为选手p 4优于选手p 5时，结果为选手p 4优于选手p 5。满足一致性。
抗操纵性：通过增加6个认为p 2优于p 3的裁判员人数，即d(p 2,p 3)+6可得成对偏好矩阵D如表7所示：
表7 成对偏好矩阵D
d(*,p 1) d(*,p 2) d(*,p 3) d(*,p 4) d(*,p 5)
d(p 1,*) 空 4 7 4 4
d(p 2,*) 6 空 10 1 6
d(p 3,*) 3 6 空 7 6
d(p 4,*) 6 9 3 空 9
d(p 5,*) 6 4 4 1 空
最强路径矩阵Q如表8所示：
表8 最强路径矩阵Q
p(*,p 1) p(*,p 2) p(*,p 3) p(*,p 4) p(*,p 5)
p(p 1,*) 空 7 7 7 7
p(p 2,*) 6 空 10 7 7
p(p 3,*) 6 7 空 7 7
p(p 4,*) 6 9 9 空 9
p(p 5,*) 6 6 6 6 空
最终评定结果为p 1≻p 4≻p 2≻p 3≻p 5 。通过更改了d(p 2,p 3)的值，不仅改变了选手p 2和选手p 3之间的最强路径，还改变了其他选手之间的最强路径，从而改变其他选手的排序位置，因此不能通过修改特定路径上的权值对该选手的排名进行操纵，通过加权有向图计算选手排序提高了操纵的难度。
上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (2)

1.一种基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，其特征在于：首先获取裁判员对选手的偏好关系，并将其建立选手成对偏好矩阵；然后根据成对偏好矩阵，构建一个有向图，并计算最强路径；最后生成最强路径矩阵，通过比较选手之间的最强路径，得出选手最终排序。
2.根据权利要求1所述的基于社会选择理论的竞赛成绩评定方法，其特征在于：所述方法的具体步骤如下：
Step1、获取裁判员对选手的偏好关系；
设裁判员集合为R={r 1,r 2,…,r m }，选手集合为P={p 1, p 2,…, p n }，建立裁判员r i ∈R (i=1,2,...,m)对选手p x ,p y ∈P(x, y=1,2,…, n)的偏好关系s i (p x ,p y )：
①p x ≻ i p y 表示裁判员r i 认为选手p x 优于p y ；
②p x ≺ i p y 表示裁判员r i 认为选手p y 优于p x ；
③p x ~ i p y 表示裁判员r i 认为选手p x 和p y 无区别；
所有r i ∈R(i=1,2,...,m)需要对p 1,p 2,...,p n 给出偏好排序集S i ={s i (p x ,p y )| x,y=1,2,…,n}；
Step2、建立选手成对偏好矩阵D=[d(p x ,p y )] n ×n ，d(p x ,p y )表示认为选手p x 优于选手p y 的裁判员人数；d(p x ,p y )的取值方式为：将每一种偏好排序集中形如选手p x ≻p y (x, y=1,2,…,n)的人数并相加，最后的和作为d(p x ,p y )：若没有一个裁判认为选手p x 优于选手p y ，d(p x ,p y )等于0，当p x 等于p y 时，d(p x ,p y )为空；
Step3、根据Step2得出的成对偏好矩阵，构建一个有向图G=<V,E>；其中，V={p 1,p 2,…,p n }为选手结点集，E={e 1,e 2,...,e k | k∈[n(n-1)/2,n(n−1)]}为有向边集，令d(p x ,p y )为结点p x 与p y 之间边的权值；若d(p x ,p y )>d(p y ,p x )，e l =<p x ,p y >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p x 指向选手p y 的有向边，其中p x 是边的始点，p y 是边的终点；若d(p y ,p x )<d(p x ,p y )，e l =<p y ,p x >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p y 指向选手p x 的有向边，其中p y 是边的始点，p x 是边的终点；若d(p x ,p y )=d(p y ,p x )，e l =<p x ,p y >(l=1,2,...,k)(x,y=1,2,...,n且x≠y)表示从选手p x 指向选手p y 且p y 指向选手p x 的有向边；
Step4、根据已经得出的有向图算出最强路径；
当从选手p x 到选手p y 只有一条路径可以到达时，那么这条路径中的最小权值就是从选手p x 到选手p y 的最强路径，p x ,...,p y 的最强路径为：
p(p x ,p y )=min{(d(p x ,p r ),...,d(p s ,p y ))| x,r,s,y=1,...,n；x<r<s<y)} （1）
当从选手p x 到选手p y 有t条路径可以到达时，那么对每条路径中的最小权值进行比较，值最大的那条路径为从选手p x 到选手p y 的最强路径；
p(p x ,p y )=max{min{(d(p x ,p r 1),...,d(p s 1,p y ))|},...,min{(d(p x ,p rt ),...,d(p st ,p y ))|};x,r1,s1,st,rt,y=1,...,n；x<r1<s1<y；x<rt<st<y} （2）
其中，p r 、p s 表示从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手，p r 1、p s 1表示第1条路径中从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手，p rt 、p st 表示第t条路径中从起始选手p x 到结束选手p y 的路径中的选手；
当p x 等于p y 时，p(p x ,p y )等于空；
Step5、生成最强路径矩阵Q=[p(p x ,p y )] n ×n ，其中p(p x ,p y )表示从选手p x 到p y 的最强路径；
Step6、依次比较p(p x ,p y )和p(p y ,p x )的大小，得到选手的最终排序：如果出现p(p x ,p y )大于p(p y ,p x )的情况，则表示p x 优于p y ；如果出现p(p x ,p y )小于p(p y ,p x )的情况，则表示p y 优于p x ；如果出现p(p x ,p y )等于p(p y ,p x )的情况，则分别计算出p(p x ,*)和p(*,p y )的和，用sum(p(p x ,*))和sum(p(*,p y ))表示：
①若sum(p(p x ,*))>sum(p(*,p y ))，则p(p x ,p y )>p(p y ,p x )；
②若sum(p(p x ,*))<sum(p(*,p y ))，则p(p x ,p y )<p(p y ,p x )；
③若sum(p(p x ,*))=sum(p(*,p y ))，则随机产生p(p x ,p y )>p(p y ,p x )或p(p x ,p y )<p(p y ,p x )；
其中，p(p x ,*)表示从p x 到其它节点的最强路径值，p(*,p y )表示从其它节点到p y 的最强路径值。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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