CN105835036A - 一种并联仿生眼装置及其控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种并联仿生眼装置及其控制方法。该装置主要由动平台、静平台、三根主动链、陀螺仪、CCD摄像机及控制系统构成。动平台上安装有CCD摄像机和陀螺仪，CCD摄像机用于模仿眼睛视觉成像系统，陀螺仪用于反馈动平台倾角。主动链包括推杆、摆杆、伺服电机，用于模仿眼外肌功能，驱动动平台运动。控制系统包括用于处理摄像机图像信息的计算机或专用图像处理装置，以及用于机构运动控制的控制器构成，以实现对摄像机图像信息的处理和动平台位姿的调节。此装置具有结构简单、响应速度快、控制精度高等优点，便于在工业、农业、医疗、科研、军工等方面的应用。

Description

一种并联仿生眼装置及其控制方法

【技术领域】

本发明涉及机器人仿生视觉系统及自动控制领域，是一种并联仿生眼装置及其控制方法一种模仿动物眼外肌功能的仿生眼装置及其控制方法，具体是一种由摆杆驱动的三自由度并联仿生眼装置及其控制方法。

【背景技术】

随着电子技术、控制技术、传感测量技术、信号处理技术、计算机技术及仿生技术的发展，机器视觉已在农业、服务业、医疗、科研及工业生产中得到了广泛应用。仿生眼就是通过模拟动物视觉系统构建人工视觉系统，从而将机器视觉更好地应用于生产、生活过程中。目前的并联仿生眼装置有浙江大学的采用六根气动肌肉驱动结构、上海大学的球面并联机构和丝杆螺母机构以及西安交通大学采用的tricept机构。这几种机构虽都能实现眼动功能，但气动肌肉结构精度和刚度较差；球面并联机构的结构较为复杂，加工装配难度大；丝杆螺母机构响应速度较慢，且结构也较为复杂；tricept仿生眼机构增加了从动链，且响应速度也较慢。

【发明内容】

针对以上机构存在的问题，本发明提供一种结构简单、响应速度快、控制精度高的并联仿生眼装置及其控制方法。是一种模仿动物眼外肌功能的仿生眼装置及其控制方法。

为达到上述目的，本发明采取如下技术方案：

一种并联仿生眼装置，包括调节机构、摄像机、陀螺仪及控制系统；

所述的调节机构包括动平台、静平台和若干主动链；所述的主动链由推杆、摆杆、伺服电机构成，推杆通过球铰与动平台相连；摆杆一端通过转动铰链与推杆相连，另一端与伺服电机的电机轴相连，伺服电机与静平台相连；

所述的摄像机设置在动平台上平面，用于获取图像信息；

所述的陀螺仪设置在动平台下平面，用于获取动平台姿态信息；

所述的控制系统采集陀螺仪信息控制主动链实现对动平台的位姿调节。

所述的控制系统包括：

计算机或图像处理装置，用于采集并处理摄像机的图像信息；

运动控制器，获取计算机或图像处理装置处理的图像信息以及陀螺仪姿态信息，并将控制信号输出到伺服电机的驱动器，伺服电机驱动调节动平台进行位姿调整，并最终实现摄像机的转动。

所述运动控制器采用STM32F104ZET芯片。

所述的摄像机为CCD摄像机。

所述的摄像机设置在动平台的上平面中心处，所述的陀螺仪设置在动平台的下平面中心处。

所述的主动链包括三个，三个主动链在空间上均匀布置。

一种并联仿生眼装置的控制方法，包括以下步骤：

对摄像机进行标定；

控制系统控制摆杆位于与静平台平行向外的位置；

控制系统检测摄像机是否发现目标，若没有目标则继续搜索，若发现目标则根据目标在图像中的位置，驱动伺服电机转动调节动平台姿态，使目标位于图像中心；

利用陀螺仪反馈动平台的姿态信息，控制主动链实现对动平台位姿的精确调节。

进一步，步骤3)中还包括对摄像机图像进行实时调整，使得摄像机图像显示为正立图像的步骤，具体为：

以动平台中心为原点，过其中一个球铰节点的方向为X轴正方向，X轴正向绕原点逆时针旋转90°的方向为Y轴正方向，建立动平台坐标系OXY；摄像机依照坐标系安装，使得摄像机图像的中心与坐标系原点O重合，图像的水平方向与X轴平行，动平台水平放置时图像朝上的方向与Y轴正向一致；

设α、β分别为动平台绕X、Y轴旋转的角度，为动平台倾角，根据陀螺仪获取的α和β角确定摄像机图像当前应该旋转的角度θ值；

进一步，还包括根据待旋转角度θ，动态改变所需存储空间大小的步骤，具体为：

假设摄像机的像素为m×n，保存旋转后图像所需的存储空间为new_m×new_n，则

$\left[\begin{array}{c}new\_m\\ new\_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right]$

假设原图像数据矩阵中某一点的像素坐标值为(x,y)，旋转之后的坐标值为(new_x,new_y)，则(new_x,new_y)可由下式确定：

$\left\{\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[0,\frac{\mathrm{\π}}{2})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-\cos \mathrm{\θ}& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& -\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[\frac{\mathrm{\π}}{2},\mathrm{\π})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& -\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[\mathrm{\π},\frac{3\mathrm{\π}}{2})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[\frac{3\mathrm{\π}}{2},2\mathrm{\π}\]\end{array}\right.;$

图像旋转后的像素坐标值经过上式计算所得坐标进行四舍五入取整处理，对于原图像中不同像素点经旋转变换取整后对应同一坐标像素值的，对这几个像素值取平均得到该坐标点的像素值，对于存在的像素空洞，利用该像素点周围八邻域求平均的方式得到空洞处像素点数据。

相对于现有技术，本发明具有以下有益效果：

本发明的仿生眼装置，包括动平台、静平台、主动链及控制系统；所述的三根主动链连接动平台与静平台，并实现对动平台的位姿调节。其中主动链由推杆、摆杆和伺服电机构成摆杆驱动的三自由度并联机构，控制系统实现对摄像机图像信息的采集与处理、获取陀螺仪信息、并向伺服电机驱动器发送控制信号驱动主动链以调节动平台的位姿。相对于现有技术的tricept机构中丝杆螺母机构响应速度较慢的缺点，本发明摆杆驱动的三自由度并联机构通过电机驱动摆杆，摆杆带动推杆，推杆通过球铰带动平台实现位姿调节，响应快速，结构简单，实现三个自由度的控制；该装置动平台上安装的陀螺仪能够实时反馈当前的仿生眼姿态；控制精确度高，最终实现仿生眼快速、高精度地转动。适用于工业、农业、医疗、科研、军工等多种利用机器视觉的场合，为后续仿生眼装置的研究提供了一种新的思路，具有非常重要的研究价值及现实意义。

进一步，通过计算机及图像处理能够对快速运动的目标进行高精度跟踪；

本发明的方法，首先通过标定获取CCD摄像机较为准确的内参数(如焦距、畸变参数等)，以减小目标识别误差；在程序初始化时，应使摆杆位于与静平台平行向外的位置，以保证动平台具有较高的响应速度；再次，调节三个伺服电机改变动平台姿态，从而使目标位于图像中心；最后，利用陀螺仪反馈动平台的姿态信息，为后续控制提供相关参数进行精确控制。整个方法过程简单，控制准确，不仅可以将静平台固定在静止的物体上用于目标的监测、追踪，而且可以将静平台固定在移动平台或其它运动装置上，用于在静平台晃动的情况下，通过控制动平台姿态，保证图像稳定。

进一步，需要在动平台转动时，利用陀螺仪采集到的动平台倾角信息，对摄像机图像进行实时调整，以使得摄像机画面显示的是正立的图像，便于处理和观察，利于人类直接查看摄像机画面。

进一步，根据待旋转角度θ，动态改变所需存储空间的大小，可以保证图像旋转过程中的完整性，且尽可能节省存储空间。

【附图说明】

图1是并联仿生眼装置主视图；

图2是并联仿生眼装置斜视图；

图3是并联仿生眼装置的控制电路原理框图；

图4是并联仿生眼装置的运动控制流程图；

图5是动平台坐标系及摄像机布置示意图；

图中标号的具体含义为：1.CCD摄像机，2.动平台，3.陀螺仪，4.推杆，5.摆杆，6.伺服电机，7.静平台

【具体实施方式】

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步说明，本发明不限于以下实施例。

参见图1至图4，一种并联仿生眼装置，包括动平台2、静平台7、三根主动链及控制系统；动平台2的上平面中心处安装有CCD摄像机1，用于获取图像信息，下平面中心处安装有陀螺仪3，用于获取动平台姿态；三根主动链在空间均布，用于连接动平台1与静平台7，并实现对动平台的位姿调节，主动链由推杆4、摆杆5和伺服电机6构成，推杆4通过球铰与动平台2相连，摆杆5通过转动铰链与推杆4相连，且通过销槽与伺服电机6的电机轴相连，伺服电机6通过电机座与静平台7相连；控制系统由用于处理摄像机图像信息的计算机或专用图像处理装置，以及用于机构运动控制的控制器构成，以实现对摄像机图像信息的处理和动平台位姿的调节构成。

运动控制器采用控制芯片STM32F104ZET，通过串口获取计算机或专用图像处理装置处理的图像信息以及陀螺仪姿态信息，并将控制信号输出到三个伺服电机驱动器，用于控制三个伺服电机的运动，从而调节动平台位姿，并最终实现仿生眼快速、高精度地转动。

该装置在使用时：

首先需要完成标定工作，标定是为了获取CCD摄像机较为准确的诸如焦距、畸变参数等内参数，以减小目标识别误差；

其次，在程序初始化时，应使摆杆5位于与静平台7平行向外的位置，以保证动平台具有较高的响应速度；

再次，在初始化位置，先检测CCD摄像机1是否发现目标，若没有目标则继续搜索，若发现目标则根据目标在图像中的位置，调节三个伺服电机6，改变动平台姿态，从而使目标位于图像中心；

最后，利用陀螺仪3反馈动平台的姿态信息，为后续控制提供相关参数。

本发明提供的并联仿生眼装置不仅可以将静平台固定在静止的物体上用于目标的监测、追踪，而且可以将静平台固定在移动平台或其它运动装置上，用于在静平台晃动的情况下，通过控制动平台姿态，保证图像稳定。

当动平台2转动时，会带动其上的摄像机1转动，由此会引发摄像机1采集图像的倾斜、甚至颠倒，不利于图像处理，尤其是容易引起人类眩晕，不利于人类直接查看摄像机画面。为此，需要在动平台2转动时，利用陀螺仪3采集到的动平台2倾角信息，对摄像机图像进行实时调整，以使得摄像机画面显示的永远是正立的图像，便于处理和观察。

为方便叙述，以动平台2中心为原点，过其中一个球铰节点的方向为X轴正方向，X轴正向绕原点逆时针旋转90°的方向为Y轴正方向，建立动平台坐标系OXY如图5所示。摄像机1依照坐标系安装，使得图像的中心与坐标系原点O对齐，图像的水平方向与X轴平行，动平台水平放置时图像朝上的方向与Y轴正向一致。图5中摄像机上所标箭头方向即为图像朝上的方向。

设α、β分别为动平台2绕X、Y轴旋转的角度，为动平台倾角，θ为动平台坐标系中Y轴负半轴向动平台当前倾斜位置的旋转角度，该角度即为摄像机图像应该调整的角度。其中α、β可以直接通过陀螺仪获取。

由机构运动学关系可知

不同摄像机获取的图像数据格式不同，但所有的数据都是一个或多个二维矩阵构成，只要实现了对各对应二维矩阵的实时调整，即可实现对摄像机图像的实时调整，从而保证显示的摄像机画面保持正立。下面仅以一个二维矩阵的实时调整为例进行调整方法的介绍，其它多个二维矩阵的调整方法与此方法一致，仅仅是多调整了几次而已。

图像调整的本质是对图像矩阵的旋转，根据陀螺仪获取的α和β角可以确定摄像机图像当前应该旋转的角度θ值。为保证图像旋转过程中的完整性，且尽可能节省存储空间，可以根据待旋转角度θ，动态改变所需存储空间的大小。为便于叙述，假设当前采用摄像机的像素为m×n，为保存旋转后图像所需开辟的存储空间为new_m×new_n，则

$\left[\begin{array}{c}new\_m\\ new\_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right]$

假设原图像数据矩阵中某一点的像素坐标值为(x,y)，旋转之后的坐标值为(new_x,new_y)，则(new_x,new_y)可由下式确定

$\left\{\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[0,\frac{\mathrm{\π}}{2})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-\cos \mathrm{\θ}& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& -\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[\frac{\mathrm{\π}}{2},\mathrm{\π})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& -\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[\mathrm{\π},\frac{3\mathrm{\π}}{2})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],& \mathrm{\θ}\∈\[\frac{3\mathrm{\π}}{2},2\mathrm{\π}\]\end{array}\right.$

图像旋转后的像素坐标值应为整数，故经过上式计算所得坐标应进行四舍五入取整，对于原图像中不同像素点经旋转变换取整后对应同一坐标像素值的，对这几个像素值取平均得到该坐标点的像素值，对于存在的像素空洞，利用该像素点周围八邻域求平均的方式得到空洞处像素点数据。

通过以上对图像矩阵的动态调整即可实现对摄像机显示画面的动态调整，以保证在动平台转动过程中始终保持摄像机画面正立。

本发明的有益效果是：1.通过模仿动物眼外肌功能，提出了一种结构简单、响应速度快、控制精度高的并联仿生眼装置及其运动控制方法；2.能够对快速运动的目标进行高精度跟踪；3.动平台上安装的陀螺仪能够实时反馈当前的仿生眼姿态；4.适用于工业、农业、医疗、科研、军工等多种利用机器视觉的场合，为后续仿生眼装置的研究提供了一种新的思路，具有非常重要的研究价值及现实意义。

最后应当说明的是:以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制；尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者对部分技术特征进行等同替换；而不脱离本发明技术方案的精神，其均应涵盖在本发明请求保护的技术方案范围当中。

Claims (9)

1.一种并联仿生眼装置，其特征在于，包括调节机构、摄像机(1)、陀螺仪(3)及控制系统；

所述的调节机构包括动平台(2)、静平台(7)和若干主动链；所述的主动链由推杆(4)、摆杆(5)、伺服电机(6)构成，推杆(4)通过球铰与动平台(2)相连；摆杆(5)一端通过转动铰链与推杆(4)相连，另一端与伺服电机(6)的电机轴相连，伺服电机(6)与静平台(7)相连；

所述的摄像机(1)设置在动平台(2)上平面，用于获取图像信息；

所述的陀螺仪(3)设置在动平台(2)下平面，用于获取动平台(2)姿态信息；

所述的控制系统采集陀螺仪(3)信息控制主动链实现对动平台(2)的位姿调节。

2.根据权利要求1所述的并联仿生眼装置，其特征在于，所述的控制系统包括：

计算机或图像处理装置，用于采集并处理摄像机(1)的图像信息；

运动控制器，获取计算机或图像处理装置处理的图像信息以及陀螺仪(3)姿态信息，并将控制信号输出到伺服电机(6)的驱动器，伺服电机(6)驱动调节动平台(2)进行位姿调整，并最终实现摄像机(1)的转动。

3.根据权利要求2所述的并联仿生眼装置，其特征在于，所述运动控制器采用STM32F104ZET芯片。

4.根据权利要求1所述的并联仿生眼装置，其特征在于，所述的摄像机(1)为CCD摄像机。

5.根据权利要求1所述的并联仿生眼装置，其特征在于，所述的摄像机(1)设置在动平台(2)的上平面中心处，所述的陀螺仪(3)设置在动平台(2)的下平面中心处。

6.根据权利要求1所述的并联仿生眼装置，其特征在于，所述的主动链包括三个，三个主动链在空间上均匀布置。

7.权利要求1所述的并联仿生眼装置的控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)对摄像机(1)进行标定；

2)控制系统控制摆杆(5)位于与静平台(7)平行向外的位置；

3)控制系统检测摄像机(1)是否发现目标，若没有目标则继续搜索，若发现目标则根据目标在图像中的位置，驱动伺服电机(6)转动调节动平台(2)姿态，使目标位于图像中心；

4)利用陀螺仪(3)反馈动平台(2)的姿态信息，控制主动链实现对动平台(2)位姿的精确调节。

8.根据权利要求7所述的并联仿生眼装置的控制方法，其特征在于，步骤3)中还包括对摄像机图像进行实时调整，使得摄像机图像显示为正立图像的步骤，具体为：

以动平台(2)中心为原点，过其中一个球铰节点的方向为X轴正方向，X轴正向绕原点逆时针旋转90°的方向为Y轴正方向，建立动平台坐标系OXY；摄像机(1)依照坐标系安装，使得摄像机图像的中心与坐标系原点O重合，图像的水平方向与X轴平行，动平台水平放置时图像朝上的方向与Y轴正向一致；

设α、β分别为动平台(2)绕X、Y轴旋转的角度，为动平台(2)倾角，根据陀螺仪获取的α和β角确定摄像机图像当前应该旋转的角度θ值；

θ值可由和联合求解确定。

9.根据权利要求8所述的并联仿生眼装置的控制方法，其特征在于，还包括根据待旋转角度θ，动态改变所需存储空间大小的步骤，具体为：

假设摄像机(1)的像素为m×n，保存旋转后图像所需的存储空间为new_m×new_n，则

$\left[\begin{array}{c}new\_m\\ new\_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& cos\mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right]$

假设原图像数据矩阵中某一点的像素坐标值为(x,y)，旋转之后的坐标值为(new_x,new_y)，则(new_x,new_y)可由下式确定：

$\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],\mathrm{\θ}\∈\[0,\frac{\mathrm{\π}}{2})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-\cos \mathrm{\θ}& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& -\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],\mathrm{\θ}\∈\[\frac{\mathrm{\π}}{2},\mathrm{\π})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& -\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],\mathrm{\θ}\∈\[\mathrm{\π},\frac{3\mathrm{\π}}{2})\\ \left[\begin{array}{c}new\_x\\ new\_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right],\mathrm{\θ}\∈\[\frac{3\mathrm{\π}}{2},2\mathrm{\π})\end{array}\right.;$

图像旋转后的像素坐标值经过上式计算所得坐标进行四舍五入取整处理，对于原图像中不同像素点经旋转变换取整后对应同一坐标像素值的，对这几个像素值取平均得到该坐标点的像素值，对于存在的像素空洞，利用该像素点周围八邻域求平均的方式得到空洞处像素点数据。