CN105811410B - 一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法，属于电力系统稳定与控制技术领域。首先形成各序导纳矩阵，并对各序导纳矩阵求逆得到各序的阻抗矩阵；求得综合阻抗矩阵，对综合阻抗矩阵求逆得到综合导纳矩阵；根据综合导纳矩阵修改正序网络，从而得到扩展正序导纳矩阵；将扩展正序导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路首、末端分别重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；据此计算出两种重合时序下多机电力系统的暂态频率下降率，比较两种重合时序下计算出的暂态频率下降率，选取暂态频率下降率较小者对应的单相重合时序为优化的重合方案。

Description

一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定 方法

技术领域

本发明涉及一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法，属于电力系统稳定与控制技术领域。

背景技术

频率是电力系统中一项重要的运行指标，也是电力系统稳定运行的重要部分。它反映了发电机所发出的有功功率与负荷(包括发电厂所消耗的有功负荷、网络中的损耗有功负荷以及各种用电设备所消耗的有功负荷)之间的动态平衡关系。为了满足用户需求，在电力系统中频率的偏移一般不能超过±0.2Ηz的波动范围，当系统不是严格要求时，系统的频率也不能超过±0.5Hz的波动范围，所以在电力系统正常工作时频率的波动是不能超过所允许的范围。如果频率的波动超出了所允许的范围，就要通过相应的控制措施使频率维持在允许的范围内。

电力系统在发生扰动时，系统中各地区的频率动态过程有三点：一、不仅有时间的分布，而且有空间的分布，也就说在不同的时刻，同一节点或是同一地区的频率动态过程不同；在同一时刻，不同节点或者不同的地区频率的动态过程也不同。不同地区频率振荡的幅值也是不一样，一般距离扰动点越近的地方其频率变化过程越剧烈；二、频率变化的幅度及变化率不仅与系统中因扰动出现的有功功率不足的数额有关，而且与扰动出现的地点有密切关系；三、由于有功功率不平衡的影响，系统中所有发电机将同时加速或减速，因此发电机机间相对角的变化一般不剧烈，系统电压也可能变化不大；但系统平均频率和各地区频率可能有较大偏移，如不采取有效措施制止频率变化并恢复频率，则可能造成全网频率崩溃的恶性事故。

暂态频率一般分为全系统的暂态频率、地区暂态频率、发电机暂态频率和一般母线的暂态频率。全系统的暂态频率指由系统不平衡功率总和作用于系统总等值转动惯量上所产生的转速增量随时间的变化。地区暂态频率指该地区不平衡功率总和作用于该地区惯性中心总等值旋转惯量上所产生的转速增量随时间的变化。发电机节点暂态频率即为发电机转速增量随时间的变化，也即与发电机转速直接对应的频率。一般母线暂态频率为其二相电压瞬时值合成的电压空间矢量在相平而内旋转的转速增量随时间的变化。

单相重合闸时序的整定，目的是当单相重合于永久故障时尽量减少对系统的再次冲击和不平衡能量，削弱对电网的有害影响，提高网络的传输能力。在暂态频率稳定视角下单相重合闸时序的整定需要一个指标，而这一指标就是暂态频率下降率。当系统暂态频率下降率数值越小，系统越稳定；当系统暂态频率下降率数值越大，系统越不稳定。通过暂态频率下降率数值的大小来进行单相重合闸时序的最佳匹配。

双端口理论是一种网络的化简方法，它将复杂的、高阶的电力网络化简为简单的低阶网络，进行这样的简化不仅能保证计算精度，同时可以大大提高计算效率。本发明专利计算出两种重合时序下多机电力系统暂态频率下降率，通过比较两种重合时序下暂态频率下降率的大小，选取多机电力系统暂态频率下降率较小者对应的单相重合时序作为最佳的重合整定方案。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法，以用于解决多机电力系统中暂态频率下降率视角下单相重合时序方案的优化问题。

本发明的技术方案是：一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法，当多机电力系统的交流输电线路发生单相接地故障时，首先形成各序导纳矩阵，并对各序导纳矩阵求逆得到各序的阻抗矩阵；采用双端口理论首先求得端口阻抗矩阵，进而求得综合阻抗矩阵，对综合阻抗矩阵求逆得到综合导纳矩阵；根据综合导纳矩阵修改正序网络，从而得到扩展正序导纳矩阵；将扩展正序导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路首、末端分别重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；据此计算出两种重合时序下多机电力系统的暂态频率下降率，比较两种重合时序下计算出的暂态频率下降率，选取暂态频率下降率较小者对应的单相重合时序为优化的重合方案。

具体步骤为：

(1)模拟线路首端投入单相重合闸；

1)形成正序、负序、零序导纳矩阵：

模拟线路首端投入单相重合闸，相当于发生了单相接地和单相末端断线的复故障，首先形成该复故障下正序、负序、零序导纳矩阵，记为Y₁、Y₂、Y₀；

形成导纳矩阵的方法如下：

导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数；导纳矩阵各对角元素，即各节点的自导纳Y_ii等于相应节点所连支路的导纳之和：

导纳矩阵各非对角元素的互导纳Y_ij就等于2个节点之间所连导纳的负值：Y_ij＝-y_ij；式中，y_ij为节点i与节点j间所连支路的导纳；

2)求取正序、负序、零序阻抗矩阵：

对正序、负序、零序导纳矩阵Y₁、Y₂、Y₀求逆，如式(1)所示，得到正序、负序、零序阻抗矩阵，记为Z₁、Z₂、Z₀；

3)应用双端口理论求取端口阻抗：

①求取端口1和端口2的正序、负序、零序自阻抗和互阻抗；

若发生单相接地故障处对应的节点编号为m、n，n为大地0节点；单相末端断线故障处对应的节点编号为p、q；将节点编号为m、n对应的端口记作端口1；节点编号为p、q对应的端口记作端口2；

将步骤2)中计算出的三序阻抗矩阵中对应元素代入式(2)中，求得端口1和端口2的正序、负序、零序的自阻抗和互阻抗；

式中，Z₁₁₍₁₎、Z₂₂₍₁₎分别表示端口1和端口2的正序自阻抗；Z₁₂₍₁₎、Z₂₁₍₁₎分别表示端口1和端口2之间的正序互阻抗；Z₁₁₍₂₎、Z₂₂₍₂₎分别表示端口1和端口2的负序自阻抗；Z₁₂₍₂₎、Z₂₁₍₂₎分别表示端口1和端口2之间的负序互阻抗；Z₁₁₍₀₎、Z₂₂₍₀₎分别表示端口1和端口2的零序自阻抗；Z₁₂₍₀₎、Z₂₁₍₀₎分别表示端口1和端口2之间的零序互阻抗；Z_uv(1)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₁中第u行v列元素，Z_uv(2)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₂中第u行v列元素，Z_uv(0)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₀中第u行v列元素；

②求端口1和端口2的正序、负序、零序的端口阻抗矩阵：

由式(2)计算得到的各序阻抗，形成正序、负序、零序端口阻抗矩阵，分别记作Z₍₁₎、Z₍₂₎、Z₍₀₎，如式(3)所示；

4)求取综合阻抗矩阵Z_F：

①根据由式(2)计算得到的各序阻抗元素，列写负序、零序端口综合阻抗矩阵Z，如式(4)所示；

②将式(4)所示负序、零序端口综合阻抗矩阵Z代入式(5)计算回路阻抗阵Z_L；

式中，C^T为C的转置；Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；

③将式(5)按式(6)消去闭合回路c对应的阻抗元素，保留回路a和回路b的阻抗元素，得到综合阻抗矩阵Z_F，如式(7)所示；

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sc(s＝a,b)表示回路s和回路c之间的互阻抗；Z′_cl(l＝a,b)表示回路c和回路l之间的互阻抗；Z′_cc表示回路c的自阻抗；

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；

5)对式(8)求逆得到综合导纳矩阵，记作Y_F，如式(8)所示：

式中，y_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自导纳；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互导纳；

6)利用综合导纳矩阵Y_F中的元素修改正序导纳矩阵Y₁中对应元素，修改方法示于式(9)，得到扩展正序导纳矩阵Y_1E，如式(10)所示：

式中，y′_uv(1)(u＝m,n；v＝m,n)表示扩展正序导纳矩阵Y_1E中第u行v列元素；y_uv(1)(u＝m,n；v＝m,n)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素；

y′_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示扩展正序导纳矩阵Y_1E中第u行v列元素；y_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素；

Y_1E＝G_1E+jB_1E (10)

式中，电导G_1E为导纳矩阵Y_1E的实部，为电导矩阵；电纳B_1E为导纳矩阵Y_1E的虚部，为电纳矩阵；

7)分别将电导矩阵G_1E、电纳矩阵B_1E按照发电机节点和负荷节点列写成分块矩阵的形式，如式(11)所示：

式中，G_GG为各发电机节点的自电导矩阵，G_GD为发电机节点与负荷节点之间的互电导矩阵，G_DG为负荷节点与发电机节点之间的互电导矩阵，G_DD为各负荷节点的自电导矩阵；B_GG为各发电机节点的自电纳矩阵，B_GD为发电机节点和负荷节点之间的互电纳矩阵，B_DG为负荷节点和发电机节点之间的互电纳矩阵，B_DD为负荷节点的自电纳矩阵；

8)计算偏导数矩阵

将式(11)所示的电导分块矩阵中的G_GD、G_DD矩阵和电纳分块矩阵中的B_GD、B_DD矩阵代入式(12)和式(13)中，分别计算有功功率对转子角的偏导数矩阵H_GD和有功功率对电压相角的偏导数矩阵H_DD：

式中，P_G为各发电机的有功功率P_Gi组成的矩阵，P_Gi表示第i台发电机的有功功率，δ_D为各负荷节点的电压相量相角δ_Di组成的矩阵，δ_Di表示第i个负荷节点的电压相量相角；P_D为各负荷节点的有功功率P_Di组成的矩阵，P_Di表示第i个负荷节点的有功功率，θ_D为各负荷节点的电压相量相角θ_Di组成的矩阵，θ_Di表示第i个负荷节点电压相量相角，U_G为各发电机节点的电压幅值U_Gi组成的矩阵，U_Gi表示第i台发电机的电压幅值；U_D为各负荷节点的电压幅值U_Di组成的矩阵，U_Di表示第i个负荷节点的电压幅值；δ_GD为发电机节点电压相量和负荷节点电压相量之间的相角差组成的矩阵；θ_DD为任意两个负荷节点电压相量之间的相角差组成的矩阵；

9)计算同步功率系数矩阵L

将式(12)和(13)计算得到的H_GD、H_DD代入式(14)中，计算得到发电机内节点与负荷节点之间的同步功率系数矩阵L：

10)计算多机电力系统暂态角频率下降率：

由式(14)中计算得到的矩阵L代入式(15)中，计算得到多机系统暂态角频率下降率Δω；

式中，τ为所有发电机的转动惯量之和，即M_i为第i台发电机的转动惯量；1_n为n维的单位列向量，为1_n的转置，ΔΡ_m0为原动机功率扰动量，ΔΡ_D0为负荷功率扰动量；

11)计算多机电力系统的暂态频率下降率

由于角频率ω和频率f之间满足式(16)，将计算得到的多机电力系统暂态角频率Δω代入式(17)中，计算首端单相重合时多机电力系统的暂态频率下降率Δf：

f＝ω/2π (16)

即：

(2)模拟线路末端投入单相重合闸；

1)形成正序、负序、零序导纳矩阵：

模拟线路末端投入单相重合闸，相当于发生了单相接地和单相首端断线的复故障，首先形成该复故障下正序、负序、零序导纳矩阵，记为Y′₁、Y′₂、Y′₀；

2)将Y′₁、Y′₂、Y′₀代入式(1)，求逆得到线路末端单相重合时的正序、负序、零序阻抗矩阵，记为Z′₁、Z′₂、Z′₀；

3)重复步骤(1)中的3)应用双端口理论求取端口阻抗，记为Z′₍₁₎、Z′₍₂₎、Z′₍₀₎；

4)重复步骤(1)中的4)求取综合阻抗矩阵，记为Z′_F；

5)重复步骤(1)中的5)得到综合导纳矩阵，记作Y′_F；

6)重复步骤(1)中的6)利用综合导纳矩阵Y′_F中元素修改正序导纳矩阵Y′₁中对应元素，得到扩展正序导纳矩阵Y′_1E，如式(18)所示：

Y′_1E＝G′_1E+jB′_1E (18)

式中，电导G′_1E为导纳矩阵Y′_1E的实部，为电导矩阵；电纳B′_1E为导纳矩阵Y′_1E的虚部，为电纳矩阵；

7)重复步骤(1)中的7)分别将电导矩阵G′_1E、电纳矩阵B′_1E按照发电机节点和负荷节点列写成分块矩阵的形式，如式(19)所示：

式中，G′_GG为各发电机节点的自电导矩阵，G′_GD为发电机节点与负荷节点之间的互电导矩阵，G′_DG为负荷节点与发电机节点之间的互电导矩阵，G′_DD为各负荷节点的自电导矩阵；B′_GG为各发电机节点的自电纳矩阵，B′_GD为发电机节点和负荷节点之间的互电纳矩阵，B′_DG为负荷节点和发电机节点之间的互电纳矩阵，B′_DD为负荷节点的自电纳矩阵；

8)重复步骤(1)中的步骤7)—11)，将式(19)所示的电导分块矩阵中的G′_GD、G′_DD矩阵和电纳分块矩阵中的B′_GD、B′_DD矩阵代入式(12)和式(13)中，分别计算有功功率对转子角的偏导数矩阵H′_GD和有功功率对电压相角的偏导数矩阵H′_DD；将H′_GD、H′_DD代入式(14)中计算得到发电机内节点与负荷节点之间的同步功率系数矩阵L′；将L′代入式(15)中，计算得到多机系统暂态角频率下降率Δω′；将Δω′代入式(17)中，计算得到末端单相重合时多机电力系统暂态频率下降率Δf′；

(3)得出结论

比较线路首端单相首先重合和末端单相首先重合时多机电力系统暂态频率下降Δf、Δf′，选取较小者对应的单相重合时序作为输出的优化重合时序方案；

若Δf＞Δf′，则由线路末端首先单相重合；

反之，由线路首端单相首先重合。

本发明的工作原理是：

1.双端口理论

(1)应用双端口理论求取端口阻抗

当电力系统同时在F1处和F2处发生不对称故障时，相当于在F1处和F2处同时接入三相不对称的阻抗，在故障处由两部分电路组成，一部分是反映故障情况的不对称电路，另一部分是反映三相参数对称的原来系统。由于有两处故障，在序网中每一故障处表现为一个端口，因此两重故障的序网是二端口网络，即双口网络。

①求取端口1和端口2的正序、负序、零序自阻抗和互阻抗。

若发生单相接地故障处对应的节点编号为m、n(n为大地0节点)；线路末端单相断线处对应的节点编号为p、q。将节点编号为m、n对应的端口记作端口1；节点编号为p、q对应的端口记作端口2。

将正序、负序、零序阻抗阵中对应元素代入式(20)中，求得端口1和端口2的正序、负序、零序的自阻抗和互阻抗。

式中，Z₁₁₍₁₎、Z₂₂₍₁₎分别表示端口1和端口2的正序自阻抗；Z₁₂₍₁₎、Z₂₁₍₁₎分别表示端口1和端口2之间的正序互阻抗；Z₁₁₍₂₎、Z₂₂₍₂₎分别表示端口1和端口2的负序自阻抗；Z₁₂₍₂₎、Z₂₁₍₂₎分别表示端口1和端口2之间的负序互阻抗；Z₁₁₍₀₎、Z₂₂₍₀₎分别表示端口1和端口2的零序自阻抗；Z₁₂₍₀₎、Z₂₁₍₀₎分别表示端口1和端口2之间的零序互阻抗；Z_uv(1)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗阵Z₁中第u行v列元素，Z_uv(2)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗阵Z₂中第u行v列元素，Z_uv(0)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗阵Z₀中第u行v列元素；

②求端口1和端口2的正序、负序、零序的端口阻抗矩阵。

由式(20)计算得到的各序阻抗，形成正序、负序、零序端口阻抗矩阵，分别记作Z(₁)、Z₍₂₎、Z₍₀₎，如式(21)所示。

(2)求取综合阻抗矩阵

①根据双端口网络列写负序、零序端口综合阻抗矩阵Z，如式(22)所示。

②将式(22)所示负序、零序端口综合阻抗矩阵Z代入式(23)计算回路阻抗矩阵Z_L。

式中，C^T为C的转置；Z′_st(s＝a,b,c；l＝a,b,c)，s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；

③将式(23)按式(24)消去闭合回路c对应的阻抗元素，保留回路a和回路b的阻抗元素，得到综合阻抗矩阵Z_F，如式(25)所示。

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sc(s＝a,b)表示回路s和回路c之间的互阻抗；Z′_cl(l＝a,b)表示回路c和回路l之间的互阻抗；Z′_cc表示回路c的自阻抗；

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；

(3)对式(25)求逆得到综合导纳矩阵，记作Y_F，如式(26)所示。

式中，y_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自导纳；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互导纳；

(4)利用综合导纳矩阵Y_F中的元素修改正序导纳矩阵Y₁中对应元素，修改方法示于式(27)，得到扩展导纳矩阵Y_1E。

式中，y′_uv(1)(u＝m,n；v＝m,n)表示扩展正序导纳矩阵Y1E中第u行v列元素；y_uv(1)（u＝m,n；v＝m,n)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素；

y′_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示扩展正序导纳矩阵Y_1E中第u行v列元素；Y_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素。

2.雅克比矩阵元素的计算

分析多机系统ΔP—Δf过程的数学模型时，设待研究的电力系统工作在正常方式下，不存在动态不稳定和电压不稳定的问题。因而可在下列假设的基础上研究多机系统的ΔP—Δf过程：①线性化系统模型；②系统有功潮流主要由网络中电压的相角决定，与其幅值关系不大；③经典发电机模型无调速器和调压器

根据多机电力系统的假设，计算雅可比矩阵元素时需要求解有功功率对发电机节点转子角的偏导数和有功功率对负荷节点电压相角的偏导数。雅可比矩阵元素的计算既可以采用直角坐标表示，也可以采用极坐标表示。这里计算的雅可比矩阵元素采用极坐标表示。

因此，当两个节点互易时，即：i≠j。雅可比矩阵元素按式(28)计算：

式中，H_ij为有功率对发电机转子角的偏导数(或者有功功率对节点电压相角的偏导数)。P_i为系统中发电机节点i或者负荷节点i的有功功率。δ_j为发电机节点j的转子角或者负荷节点j的电压相角。U_i为发电机节点i的电压幅值或者负荷节点i的电压幅值。U_j为发电机节点j的电压幅值或者负荷节点j的电压幅值。G_ij为多机电力系统中任意两个互异节点之间的电导。B_ij为多机电力系统中任意两个互异节点之间的电纳。δ_ij为多机电力系统中任意两个互异节点之间的相角差。

当两个节点相同时，即i≡j。雅可比矩阵元素按式(29)计算：

式中，H_ii为有功率对发电机转子角的偏导数(或者有功功率对节点电压相角的偏导数)。P_i为系统中发电机节点i或者负荷节点i的有功功率。δ_i为发电机节点i的转子角或者负荷节点i的电压相角。U_i为发电机节点i的电压幅值或者负荷节点i的电压幅值。U_j为发电机节点j的电压幅值或者负荷节点j的电压幅值。G_ij为多机电力系统中任意两个互异节点之间的电导。B_ij为多机电力系统中任意两个互异节点之间的电纳。δ_ij为多机电力系统中任意两个互异节点之间的相角差。

2.单相重合时序对多机电力系统暂态频率下降率稳定性的影响机理

2.1多机电力系统模型

1)分析多机系统ΔΡ-Δf过程时采用的系统模型

发电机的转子运动方程为：

式中，Δδ_i表示第i台发电机转子角的偏移量，Δω_i表示第i台发电机转速的偏移量，ω₀表示发电机的额定转速；M_i表示第i台发电机的转动惯量，ΔP_mi表示第i台原动机发生的功率突变量，ΔP_Gi表示第i台发电机发生功率的突变量，D_i表示第i台发电机的阻尼系数。

多机电力系统的网络方程用分块矩阵的形式表示为：

式中，ΔΡ_G表示由各发电机发生功率的突变率ΔP_Gi组成的矩阵，ΔP_Gi表示第i台发电机发生功率的突变量；Δδ表示由各发电机转子角偏移量Δδ_i组成的矩阵，Δδ_i表示第i台发电机转子角的偏移量；ΔΡ_D表示由各节点负荷功率的突变量ΔΡ_Di组成的矩阵，ΔP_Di表示第i个负荷节点功率的突变量，Δθ表示由各节点的电压相量相角的偏移Δθ_i组成的矩阵，Δθ_i表示第i个负荷节点的电压相量相角的偏移。H_GG、H_GD表示有功功率对转子角的偏导数矩阵，H_DG、H_DD表示有功功率对电压相角的偏导数矩阵。且H阵满足式(32)：

式中，1_n表示n维的单位列向量，1_k表示k维的单位列向量。

将(31)式中的Δθ消去可得到

ΔP_G＝JΔδ+LΔP_D (33)

式中，且J阵各行元素之和为0，即J1_n＝0。

由(30)式和(33)式可写出：

式中：

其中，Δδ为各发电机转子角偏移量Δδ_i组成的矩阵，Δδ_i表示第i台发电机转子角的偏移量；Δω为各发电机角频率偏移量Δω_i组成的矩阵，Δω_i表示第i台发电机转速的偏移量；ΔΡ_m为各发电机原动机输入的机械功率的扰动量ΔP_mi组成的矩阵，ΔP_mi表示第i台原动机发生的功率突变量；ΔΡ_D为各节点负荷功率的扰动量ΔΡ_Di组成的矩阵，ΔP_Di表示第i个负荷节点功率的突变量；ω₀为各发电机的额定角频率ω_0i组成的矩阵，ω_0i表示第i台发电机的额定角频率；M为各发电机的转动惯量M_i构成的矩阵，M_i表示第i台发电机的转动惯量；D为各发电机的阻尼系数D_i组成的矩阵，D_i表示第i台发电机的阻尼系数；L为发电机功率对负荷功率的偏导数矩阵或者发电机内节点与负荷节点之间的同步功率系数矩阵。

上式即为分析多机系统ΔΡ-Δf过程时采用的系统模型，式中由ΔΡ_m和ΔΡ_D组成的输入量u可用来反映发电机快关及切机、负荷投入及切除、线路断开及重合和其他多种扰动。以下推导中均假设扰动发生于t＝0时且持续到t＝∞。

2)多机电力系统暂态频率下降率

①将计算得到的同步功率系数矩阵L代入式(35)中，可以得到多机电力系统暂态角频率的初始(即零时刻)下降率

式中，M为由发电机转动惯量M_i组成的n×n阶矩阵，M_i表示第i台发电机的转动惯量；ΔΡ_m0为原动机功率发生的扰动量，ΔΡ_D0为负荷功率发生的扰动量。

②W^T为n维行向量，其定义按式(36)进行计算。

式中，M表示由发电机转动惯量M_i组成的n×n阶矩阵，M_i表示第i台发电机的转动惯量；τ表示为所有发电机的转动惯量之和，即M_i表示第i台发电机的转动惯量；1_n为n维的单位列向量，为1_n的转置。

③多机电力系统的平均频率定义如式(37)所示：

式中，Δω为多机电力系统的角频率偏差量。

④在t＝0时刻(即扰动发生瞬间)对式(37)两边进行求导可以得到式(38)：

⑤将式(35)和式(36)计算得到的和W^T代入式(38)中，计算得到多机电力系统暂态角频率下降率如式(39)所示：

⑥由于角频率ω和频率f之间满足式(40)，将计算得到的多机电力系统角频率Δω代入(41)中，计算首端三相重合时多机电力系统的暂态频率下降率Δf。

f＝ω/2π (40)

即：

本发明的有益效果是：

1、应用双端口理论求解单相重合于永久故障时的端口阵，使复杂故障的分析计算大为简化。

2、利用同步功率系数矩阵L计算暂态频率下降率Δω，物理意义明确，计算速度快，精度高；计算量小，易实现于工程。

3、本发明专利利用暂态频率的量化评估得到表征多机电力系统暂态频率下降率Δf、Δf′，通过比较Δf、Δf′的数值大小，从而实现多机电力系统的单相重合时序方案优选。

4、大量仿真结果表明，本发明专利可有效抑制多机系统进行单相重合闸时的暂态频率下降率，效果良好。

附图说明

图1是本发明新英格兰IEEE39节点系统模型；包括10台发电机，母线节点共39个，从编号1～39；

图2是本发明母线BUS-1——母线BUS-2线路首端发生单相接地故障，首端先单相重合时系统母线频率变化曲线；图中，监测母线频率曲线(Hz)为监测母线频率曲线(赫兹)；时间(s)为时间(秒)；

图3是本发明母线BUS-1——母线BUS-2线路首端发生单相接地故障，末端先单相重合时系统母线频率变化曲线；图中，监测母线频率曲线(Hz)为监测母线频率曲线(赫兹)；时间(s)为时间(秒)；

图4是本发明母线BUS-39——母线BUS-1线路末端发生单相接地故障，首端先单相重合时系统母线频率变化曲线；图中，监测母线频率曲线(Hz)为监测母线频率曲线(赫兹)；时间(s)为时间(秒)；

图5是本发明母线BUS-39——母线BUS-1线路末端发生单相接地故障，末端先单相重合时系统母线频率变化曲线；图中，监测母线频率曲线(Hz)为监测母线频率曲线(赫兹)；时间(s)为时间(秒)。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步说明。

实施例1：如图1-5所示，一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法，当多机电力系统的交流输电线路发生单相接地故障时，首先形成各序导纳矩阵，并对各序导纳矩阵求逆得到各序的阻抗矩阵；采用双端口理论首先求得端口阻抗矩阵，进而求得综合阻抗矩阵，对综合阻抗矩阵求逆得到综合导纳矩阵；根据综合导纳矩阵修改正序网络，从而得到扩展正序导纳矩阵；将扩展正序导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路首、末端分别重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；据此计算出两种重合时序下多机电力系统的暂态频率下降率，比较两种重合时序下计算出的暂态频率下降率，选取暂态频率下降率较小者对应的单相重合时序为优化的重合方案。

具体步骤为：

(1)模拟线路首端投入单相重合闸；

1)形成正序、负序、零序导纳矩阵：

模拟线路首端投入单相重合闸，相当于发生了单相接地和单相末端断线的复故障，首先形成该复故障下正序、负序、零序导纳矩阵，记为Y₁、Y₂、Y₀；

形成导纳矩阵的方法如下：

导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数；导纳矩阵各对角元素，即各节点的自导纳Y_ii等于相应节点所连支路的导纳之和：

导纳矩阵各非对角元素的互导纳Y_ij就等于2个节点之间所连导纳的负值：Y_ij＝-y_ij；式中，y_ij为节点i与节点j间所连支路的导纳；

2)求取正序、负序、零序阻抗矩阵：

对正序、负序、零序导纳矩阵Y₁、Y₂、Y₀求逆，如式(1)所示，得到正序、负序、零序阻抗矩阵，记为Z₁、Z₂、Z₀；

3)应用双端口理论求取端口阻抗：

①求取端口1和端口2的正序、负序、零序自阻抗和互阻抗；

若发生单相接地故障处对应的节点编号为m、n，n为大地0节点；单相末端断线故障处对应的节点编号为p、q；将节点编号为m、n对应的端口记作端口1；节点编号为p、q对应的端口记作端口2；

将步骤2)中计算出的三序阻抗矩阵中对应元素代入式(2)中，求得端口1和端口2的正序、负序、零序的自阻抗和互阻抗；

式中，Z₁₁₍₁₎、Z₂₂₍₁₎分别表示端口1和端口2的正序自阻抗；Z₁₂₍₁₎、Z₂₁₍₁₎分别表示端口1和端口2之间的正序互阻抗；Z₁₁₍₂₎、Z₂₂₍₂₎分别表示端口1和端口2的负序自阻抗；Z₁₂₍₂₎、Z₂₁₍₂₎分别表示端口1和端口2之间的负序互阻抗；Z₁₁₍₀₎、Z₂₂₍₀₎分别表示端口1和端口2的零序自阻抗；Z₁₂₍₀₎、Z₂₁₍₀₎分别表示端口1和端口2之间的零序互阻抗；Z_uv(1)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₁中第u行v列元素，Z_uv(2)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₂中第u行v列元素，Z_uv(0)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₀中第u行v列元素；

②求端口1和端口2的正序、负序、零序的端口阻抗矩阵：

由式(2)计算得到的各序阻抗，形成正序、负序、零序端口阻抗矩阵，分别记作Z₍₁₎、Z₍₂₎、Z₍₀₎，如式(3)所示；

4)求取综合阻抗矩阵Z_F：

①根据由式(2)计算得到的各序阻抗元素，列写负序、零序端口综合阻抗矩阵Z，如式(4)所示；

②将式(4)所示负序、零序端口综合阻抗矩阵Z代入式(5)计算回路阻抗阵Z_L；

式中，C^T为C的转置；Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；

③将式(5)按式(6)消去闭合回路c对应的阻抗元素，保留回路a和回路b的阻抗元素，得到综合阻抗矩阵Z_F，如式(7)所示；

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sc(s＝a,b)表示回路s和回路c之间的互阻抗；Z′_cl(l＝a,b)表示回路c和回路l之间的互阻抗；Z′_cc表示回路c的自阻抗；

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；

5)对式(8)求逆得到综合导纳矩阵，记作Y_F，如式(8)所示：

式中，y_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自导纳；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互导纳；

6)利用综合导纳矩阵Y_F中的元素修改正序导纳矩阵Y₁中对应元素，修改方法示于式(9)，得到扩展正序导纳矩阵Y_1E，如式(10)所示：

式中，y′_uv(1)(u＝m,n；v＝m,n)表示扩展正序导纳矩阵Y_1E中第u行v列元素；y_uv(1)(u＝m,n；v＝m,n)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素；

y′_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示扩展正序导纳矩阵Y_1E中第u行v列元素；y_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素；

Y_1E＝G_1E+jB_1E (10)

式中，电导G_1E为导纳矩阵Y_1E的实部，为电导矩阵；电纳B_1E为导纳矩阵Y_1E的虚部，为电纳矩阵；

7)分别将电导矩阵G_1E、电纳矩阵B_1E按照发电机节点和负荷节点列写成分块矩阵的形式，如式(11)所示：

式中，G_GG为各发电机节点的自电导矩阵，G_GD为发电机节点与负荷节点之间的互电导矩阵，G_DG为负荷节点与发电机节点之间的互电导矩阵，G_DD为各负荷节点的自电导矩阵；B_GG为各发电机节点的自电纳矩阵，B_GD为发电机节点和负荷节点之间的互电纳矩阵，B_DG为负荷节点和发电机节点之间的互电纳矩阵，B_DD为负荷节点的自电纳矩阵；

8)计算偏导数矩阵

将式(11)所示的电导分块矩阵中的G_GD、G_DD矩阵和电纳分块矩阵中的B_GD、B_DD矩阵代入式(12)和式(13)中，分别计算有功功率对转子角的偏导数矩阵H_GD和有功功率对电压相角的偏导数矩阵H_DD：

式中，P_G为各发电机的有功功率P_Gi组成的矩阵，P_Gi表示第i台发电机的有功功率，δ_D为各负荷节点的电压相量相角δ_Di组成的矩阵，δ_Di表示第i个负荷节点的电压相量相角；P_D为各负荷节点的有功功率P_Di组成的矩阵，P_Di表示第i个负荷节点的有功功率，θ_D为各负荷节点的电压相量相角θ_Di组成的矩阵，θ_Di表示第i个负荷节点电压相量相角，U_G为各发电机节点的电压幅值U_Gi组成的矩阵，U_Gi表示第i台发电机的电压幅值；U_D为各负荷节点的电压幅值U_Di组成的矩阵，U_Di表示第i个负荷节点的电压幅值；δ_GD为发电机节点电压相量和负荷节点电压相量之间的相角差组成的矩阵；θ_DD为任意两个负荷节点电压相量之间的相角差组成的矩阵；

9)计算同步功率系数矩阵L

将式(12)和(13)计算得到的H_GD、H_DD代入式(14)中，计算得到发电机内节点与负荷节点之间的同步功率系数矩阵L：

10)计算多机电力系统暂态角频率下降率：

由式(14)中计算得到的矩阵L代入式(15)中，计算得到多机系统暂态角频率下降率Δω；

式中，τ为所有发电机的转动惯量之和，即M_i为第i台发电机的转动惯量；1_n为n维的单位列向量，为1_n的转置，ΔΡ_m0为原动机功率扰动量，ΔΡ_D0为负荷功率扰动量；

11)计算多机电力系统的暂态频率下降率

由于角频率ω和频率f之间满足式(16)，将计算得到的多机电力系统暂态角频率Δω代入式(17)中，计算首端单相重合时多机电力系统的暂态频率下降率Δf：

f＝ω/2π (16)

即：

(2)模拟线路末端投入单相重合闸；

1)形成正序、负序、零序导纳矩阵：

模拟线路末端投入单相重合闸，相当于发生了单相接地和单相首端断线的复故障，首先形成该复故障下正序、负序、零序导纳矩阵，记为Y′₁、Y′₂、Y′₀；

2)将Y′₁、Y′₂、Y′₀代入式(1)，求逆得到线路末端单相重合时的正序、负序、零序阻抗矩阵，记为Z′₁、Z′₂、Z′₀；

3)重复步骤(1)中的3)应用双端口理论求取端口阻抗，记为Z′₍₁₎、Z′₍₂₎、Z′₍₀₎；

4)重复步骤(1)中的4)求取综合阻抗矩阵，记为Z′_F；

5)重复步骤(1)中的5)得到综合导纳矩阵，记作Y′_F；

6)重复步骤(1)中的6)利用综合导纳矩阵Y′_F中元素修改正序导纳矩阵Y′₁中对应元素，得到扩展正序导纳矩阵Y′_1E，如式(18)所示：

Y′_1E＝G′_1E+jB′_1E (18)

式中，电导G′_1E为导纳矩阵Y′_1E的实部，为电导矩阵；电纳B′_1E为导纳矩阵Y′_1E的虚部，为电纳矩阵；

7)重复步骤(1)中的7)分别将电导矩阵G′_1E、电纳矩阵B′_1E按照发电机节点和负荷节点列写成分块矩阵的形式，如式(19)所示：

式中，G′_GG为各发电机节点的自电导矩阵，G′_GD为发电机节点与负荷节点之间的互电导矩阵，G′_DG为负荷节点与发电机节点之间的互电导矩阵，G′_DD为各负荷节点的自电导矩阵；B′_GG为各发电机节点的自电纳矩阵，B′_GD为发电机节点和负荷节点之间的互电纳矩阵，B′_DG为负荷节点和发电机节点之间的互电纳矩阵，B′_DD为负荷节点的自电纳矩阵；

8)重复步骤(1)中的步骤7)—11)，将式(19)所示的电导分块矩阵中的G′_GD、G′_DD矩阵和电纳分块矩阵中的B′_GD、B′_DD矩阵代入式(12)和式(13)中，分别计算有功功率对转子角的偏导数矩阵H′_GD和有功功率对电压相角的偏导数矩阵H′_DD；将H′_GD、H′_DD代入式(14)中计算得到发电机内节点与负荷节点之间的同步功率系数矩阵L′；将L′代入式(15)中，计算得到多机系统暂态角频率下降率Δω′；将Δω′代入式(17)中，计算得到末端单相重合时多机电力系统暂态频率下降率Δf′；

(3)得出结论

比较线路首端单相首先重合和末端单相首先重合时多机电力系统暂态频率下降Δf、Δf′，选取较小者对应的单相重合时序作为输出的优化重合时序方案；

若Δf＞Δf′，则由线路末端首先单相重合；

反之，由线路首端单相首先重合。

实施例2：如图1-5所示，一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法，当多机电力系统的交流输电线路发生单相接地故障时，首先形成各序导纳矩阵，并对各序导纳矩阵求逆得到各序的阻抗矩阵；采用双端口理论首先求得端口阻抗矩阵，进而求得综合阻抗矩阵，对综合阻抗矩阵求逆得到综合导纳矩阵；根据综合导纳矩阵修改正序网络，从而得到扩展正序导纳矩阵；将扩展正序导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路首、末端分别重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；据此计算出两种重合时序下多机电力系统的暂态频率下降率，比较两种重合时序下计算出的暂态频率下降率，选取暂态频率下降率较小者对应的单相重合时序为优化的重合方案。

实施例3：如图1-5所示，

以图1所示的新英格兰IEEE39节点系统为例，系统中共有39条母线，各发电机和母线的节点参数如表1所示，母线电压等级为100.0kV。线路的电阻、电抗和导纳等线路标么值参数如表2所示。39条线路电压等级均为100.0kV。变压器的电阻、电抗和变比等参数如表3所示。表2-表3中涉及到的参数标么值的功率基准值均取100MVA。

图1所示的新英格兰IEEE39节点系统母线BUS-1—母线BUS-2线路首端0s发生A相短路故障，0.1s线路A相首端跳闸，0.2s线路A相末端跳闸，1s线路首端A相重合，1.1s故障线路首端三相跳闸，1.2s故障线路末端二相跳闸。形成故障线路于1s时A相首端重合导纳矩阵，将导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路首端重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；将其代入式(15)求得母线BUS-1—母线BUS-2线路首端单相重合时系统的暂态角频率下降率，根据式(16)所示角频率和频率之间的变换关系，得到母线BUS-1—母线BUS-2线路首端单相重合时系统的暂态频率下降率。

母线BUS-1—母线BUS-2线路首端0s发生A相短路故障，0.1s线路A相首端跳闸，0.2s线路A相末端跳闸，1s线路末端A相重合，1.1s故障线路末端三相跳闸，1.2s故障线路首端二相跳闸。形成故障线路于1s时A相末端重合导纳矩阵，将导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路末端重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；将其代入式(15)求得母线BUS-1—母线BUS-2线路末端单相重合时系统的暂态角频率下降率，根据式(16)所示角频率和频率之间的变换关系，得到母线BUS-1—母线BUS-2线路末端单相重合时系统的暂态频率下降率。

对母线BUS-1—母线BUS-2线路首端单重合时系统的暂态频率下降率(如图2所示)，系统的暂态频率下降率示于表4。对母线BUS-1—母线BUS-2线路末端单相重合时系统的暂态频率下降率(如图3所示)，系统的暂态频率下降率示于表4。母线BUS-1—母线BUS-2线路首端发生单相接地故障时，对比首、末端重合时系统的暂态频率下降率，选取较小者0.012对应的首端重合作为优化的重合时序方案，示于表5。

实施例4：如图1-5所示，

以图1所示的新英格兰IEEE39节点系统为例，系统中共有39条母线，各发电机和母线的节点参数如表1所示，母线电压等级为100.0kV。线路的电阻、电抗和导纳等线路标么值参数如表2所示。39条线路电压等级均为100.0kV。变压器的电阻、电抗和变比等参数如表3所示。表2-表3中涉及到的参数标么值的功率基准值均取100MVA。

图1所示的新英格兰IEEE39节点系统母线BUS-39—母线BUS-1线路末端0s发生A相短路故障，0.1s线路A相首端跳闸，0.2s线路A相末端跳闸，1s线路首端A相重合，1.1s故障线路首端三相跳闸，1.2s故障线路末端二相跳闸。形成故障线路于1s时A相首端重合导纳矩阵，将导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路首端重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；将其代入式(15)求得母线BUS-39—母线BUS-1线路首端单相重合时系统的暂态角频率下降率，根据式(16)所示角频率和频率之间的变换关系，得到母线BUS-39—母线BUS-1线路首端单相重合时系统的暂态频率下降率。

母线BUS-39—母线BUS-1线路末端0s发生A相短路故障，0.1s线路A相首端跳闸，0.2s线路A相末端跳闸，1s线路末端A相重合，1.1s故障线路末端三相跳闸，1.2s故障线路首端二相跳闸。形成故障线路于1s时A相末端重合导纳矩阵，将导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路末端重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；将其代入式(15)求得母线BUS-39—母线BUS-1线路末端单相重合时系统的暂态角频率下降率，根据式(16)所示角频率和频率之间的变换关系，得到母线BUS-39—母线BUS-1线路末端单相重合时系统的暂态频率下降率。

对母线BUS-39—母线BUS-1线路首端单重合时系统的暂态频率下降率(如图4所示)，系统的暂态频率下降率示于表4。对母线BUS-39—母线BUS-1线路末端单相重合时系统的暂态频率下降率(如图4所示)，系统的暂态频率下降率示于表4。母线BUS-39—母线BUS-1线路首端发生单相接地故障时，对比首、末端重合时系统的暂态频率下降率，选取较小者0.002对应的末端重合作为优化的重合时序方案，示于表5。

针对上述实施例中，表1-表5如下所示

表1 IEEE39节点系统节点参数

注：PV节点为有功功率和电压幅值是给定的，PQ节点为有功功率和无功功率是给定的。

表2 IEEE39节点系统线路标幺值参数

功率基准值：100MVA

表3 IEEE39节点系统变压器参数

功率基准值：100MVA

表4 IEEE39节点系统暂态频率下降率

表5 IEEE39节点系统优化重合时序方案

故障线路	重合端
		母线BUS-1——母线BUS-2首端单相接地短路	首端
母线BUS-39——母线BUS-1末端单相接地短路	末端

以上结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (1)

1.一种抑制多机电力系统暂态频率下降率的单相重合时序整定方法，其特征在于：当多机电力系统的交流输电线路发生单相接地故障时，首先形成各序导纳矩阵，并对各序导纳矩阵求逆得到各序的阻抗矩阵；采用双端口理论首先求得端口阻抗矩阵，进而求得综合阻抗矩阵，对综合阻抗矩阵求逆得到综合导纳矩阵；根据综合导纳矩阵修改正序网络，从而得到扩展正序导纳矩阵；将扩展正序导纳矩阵写成发电机节点和负荷节点构成的电导分块矩阵和电纳分块矩阵，从而计算得到故障线路首、末端分别重合时的雅克比矩阵和同步功率系数矩阵；据此计算出两种重合时序下多机电力系统的暂态频率下降率，比较两种重合时序下计算出的暂态频率下降率，选取暂态频率下降率较小者对应的单相重合时序为优化的重合方案；

具体步骤为：

(1)模拟线路首端投入单相重合闸；

1)形成正序、负序、零序导纳矩阵：

模拟线路首端投入单相重合闸，相当于发生了单相接地和单相末端断线的复故障，首先形成该复故障下正序、负序、零序导纳矩阵，记为Y₁、Y₂、Y₀；

形成导纳矩阵的方法如下：

导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连的不接地支路数；导纳矩阵各对角元素，即各节点的自导纳Y_ii等于相应节点所连支路的导纳之和：

导纳矩阵各非对角元素的互导纳Y_ij就等于2个节点之间所连导纳的负值：Y_ij＝-y_ij；式中，y_ij为节点i与节点j间所连支路的导纳；

2)求取正序、负序、零序阻抗矩阵：

对正序、负序、零序导纳矩阵Y₁、Y₂、Y₀求逆，如式(1)所示，得到正序、负序、零序阻抗矩阵，记为Z₁、Z₂、Z₀；

3)应用双端口理论求取端口阻抗：

①求取端口1和端口2的正序、负序、零序自阻抗和互阻抗；

若发生单相接地故障处对应的节点编号为m、n，n为大地0节点；单相末端断线故障处对应的节点编号为p、q；将节点编号为m、n对应的端口记作端口1；节点编号为p、q对应的端口记作端口2；

将步骤2)中计算出的三序阻抗矩阵中对应元素代入式(2)中，求得端口1和端口2的正序、负序、零序的自阻抗和互阻抗；

式中，Z₁₁₍₁₎、Z₂₂₍₁₎分别表示端口1和端口2的正序自阻抗；Z₁₂₍₁₎、Z₂₁₍₁₎分别表示端口1和端口2之间的正序互阻抗；Z₁₁₍₂₎、Z₂₂₍₂₎分别表示端口1和端口2的负序自阻抗；Z₁₂₍₂₎、Z₂₁₍₂₎分别表示端口1和端口2之间的负序互阻抗；Z₁₁₍₀₎、Z₂₂₍₀₎分别表示端口1和端口2的零序自阻抗；Z₁₂₍₀₎、Z₂₁₍₀₎分别表示端口1和端口2之间的零序互阻抗；Z_uv(1)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₁中第u行v列元素，Z_uv(2)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₂中第u行v列元素，Z_uv(0)(u＝m,n,p,q；v＝m,n,p,q)表示阻抗矩阵Z₀中第u行v列元素；

②求端口1和端口2的正序、负序、零序的端口阻抗矩阵：

由式(2)计算得到的各序阻抗，形成正序、负序、零序端口阻抗矩阵，分别记作Z₍₁₎、Z₍₂₎、Z₍₀₎，如式(3)所示；

4)求取综合阻抗矩阵Z_F：

①根据由式(2)计算得到的各序阻抗元素，列写负序、零序端口综合阻抗矩阵Z，如式(4)所示；

②将式(4)所示负序、零序端口综合阻抗矩阵Z代入式(5)计算回路阻抗阵Z_L；

式中，C^T为C的转置；Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；

③将式(5)按式(6)消去闭合回路c对应的阻抗元素，保留回路a和回路b的阻抗元素，得到综合阻抗矩阵Z_F，如式(7)所示；

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sl(s＝a,b；l＝a,b)s＝l时，表示回路s的自阻抗；s≠l时，表示回路s和回路l之间的互阻抗；Z′_sc(s＝a,b)表示回路s和回路c之间的互阻抗；Z′_cl(l＝a,b)表示回路c和回路l之间的互阻抗；Z′_cc表示回路c的自阻抗；

式中，Z_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自阻抗；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互阻抗；

5)对式(8)求逆得到综合导纳矩阵，记作Y_F，如式(8)所示：

式中，y_sl(s＝a,b；l＝a,b)，s＝l时，表示消去闭合回路后回路s的自导纳；s≠l时，表示消去闭合回路后回路s和回路l之间的互导纳；

6)利用综合导纳矩阵Y_F中的元素修改正序导纳矩阵Y₁中对应元素，修改方法示于式(9)，得到扩展正序导纳矩阵Y_1E，如式(10)所示：

式中，y′_uv(1)(u＝m,n；v＝m,n)表示扩展正序导纳矩阵Y_1E中第u行v列元素；y_uv(1)(u＝m,n；v＝m,n)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素；

y′_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示扩展正序导纳矩阵Y_1E中第u行v列元素；y_uv(1)(u＝p,q；v＝p,q)表示导纳矩阵Y₁中第u行v列元素；

Y_1E＝G_1E+jB_1E (10)

式中，电导G_1E为导纳矩阵Y_1E的实部，为电导矩阵；电纳B_1E为导纳矩阵Y_1E的虚部，为电纳矩阵；

7)分别将电导矩阵G_1E、电纳矩阵B_1E按照发电机节点和负荷节点列写成分块矩阵的形式，如式(11)所示：

式中，G_GG为各发电机节点的自电导矩阵，G_GD为发电机节点与负荷节点之间的互电导矩阵，G_DG为负荷节点与发电机节点之间的互电导矩阵，G_DD为各负荷节点的自电导矩阵；B_GG为各发电机节点的自电纳矩阵，B_GD为发电机节点和负荷节点之间的互电纳矩阵，B_DG为负荷节点和发电机节点之间的互电纳矩阵，B_DD为负荷节点的自电纳矩阵；

8)计算偏导数矩阵

将式(11)所示的电导分块矩阵中的G_GD、G_DD矩阵和电纳分块矩阵中的B_GD、B_DD矩阵代入式(12)和式(13)中，分别计算有功功率对转子角的偏导数矩阵H_GD和有功功率对电压相角的偏导数矩阵H_DD：

式中，P_G为各发电机的有功功率P_Gi组成的矩阵，P_Gi表示第i台发电机的有功功率，δ_D为各负荷节点的电压相量相角δ_Di组成的矩阵，δ_Di表示第i个负荷节点的电压相量相角；P_D为各负荷节点的有功功率P_Di组成的矩阵，P_Di表示第i个负荷节点的有功功率，θ_D为各负荷节点的电压相量相角θ_Di组成的矩阵，θ_Di表示第i个负荷节点电压相量相角，U_G为各发电机节点的电压幅值U_Gi组成的矩阵，U_Gi表示第i台发电机的电压幅值；U_D为各负荷节点的电压幅值U_Di组成的矩阵，U_Di表示第i个负荷节点的电压幅值；δ_GD为发电机节点电压相量和负荷节点电压相量之间的相角差组成的矩阵；θ_DD为任意两个负荷节点电压相量之间的相角差组成的矩阵；

9)计算同步功率系数矩阵L

将式(12)和(13)计算得到的H_GD、H_DD代入式(14)中，计算得到发电机内节点与负荷节点之间的同步功率系数矩阵L：

10)计算多机电力系统暂态角频率下降率：

由式(14)中计算得到的矩阵L代入式(15)中，计算得到多机系统暂态角频率下降率Δω；

式中，τ为所有发电机的转动惯量之和，即M_i为第i台发电机的转动惯量；1_n为n维的单位列向量，为1_n的转置，ΔΡ_m0为原动机功率扰动量，ΔΡ_D0为负荷功率扰动量；

11)计算多机电力系统的暂态频率下降率

由于角频率ω和频率f之间满足式(16)，将计算得到的多机电力系统暂态角频率Δω代入式(17)中，计算首端单相重合时多机电力系统的暂态频率下降率Δf：

f＝ω/2π (16)

即：

(2)模拟线路末端投入单相重合闸；

1)形成正序、负序、零序导纳矩阵：

模拟线路末端投入单相重合闸，相当于发生了单相接地和单相首端断线的复故障，首先形成该复故障下正序、负序、零序导纳矩阵，记为Y₁′、Y′₂、Y′₀；

2)将Y₁′、Y′₂、Y′₀代入式(1)，求逆得到线路末端单相重合时的正序、负序、零序阻抗矩阵，记为Z′₁、Z′₂、Z′₀；

3)重复步骤(1)中的3)应用双端口理论求取端口阻抗，记为Z′₍₁₎、Z′₍₂₎、Z′₍₀₎；

4)重复步骤(1)中的4)求取综合阻抗矩阵，记为Z′_F；

5)重复步骤(1)中的5)得到综合导纳矩阵，记作Y′_F；

6)重复步骤(1)中的6)利用综合导纳矩阵Y′_F中元素修改正序导纳矩阵Y₁′中对应元素，得到扩展正序导纳矩阵Y′_1E，如式(18)所示：

Y′_1E＝G′_1E+jB′_1E (18)

式中，电导G′_1E为导纳矩阵Y′_1E的实部，为电导矩阵；电纳B′_1E为导纳矩阵Y′_1E的虚部，为电纳矩阵；

7)重复步骤(1)中的7)分别将电导矩阵G′_1E、电纳矩阵B′_1E按照发电机节点和负荷节点列写成分块矩阵的形式，如式(19)所示：

式中，G′_GG为各发电机节点的自电导矩阵，G′_GD为发电机节点与负荷节点之间的互电导矩阵，G′_DG为负荷节点与发电机节点之间的互电导矩阵，G′_DD为各负荷节点的自电导矩阵；B′_GG为各发电机节点的自电纳矩阵，B′_GD为发电机节点和负荷节点之间的互电纳矩阵，B′_DG为负荷节点和发电机节点之间的互电纳矩阵，B′_DD为负荷节点的自电纳矩阵；

8)重复步骤(1)中的步骤7)—11)，将式(19)所示的电导分块矩阵中的G′_GD、G′_DD矩阵和电纳分块矩阵中的B′_GD、B′_DD矩阵代入式(12)和式(13)中，分别计算有功功率对转子角的偏导数矩阵H′_GD和有功功率对电压相角的偏导数矩阵H′_DD；将H′_GD、H′_DD代入式(14)中计算得到发电机内节点与负荷节点之间的同步功率系数矩阵L′；将L′代入式(15)中，计算得到多机系统暂态角频率下降率Δω′；将Δω′代入式(17)中，计算得到末端单相重合时多机电力系统暂态频率下降率Δf′；

(3)得出结论

比较线路首端单相首先重合和末端单相首先重合时多机电力系统暂态频率下降Δf、Δf′，选取较小者对应的单相重合时序作为输出的优化重合时序方案；

若Δf＞Δf′，则由线路末端首先单相重合；

反之，由线路首端单相首先重合。