CN105711594B - 基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法 - Google Patents

基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法，适用于汽车辆直线行驶过程中路面附着系数的实时监测。它首先建立轮胎回正刚度与转向系统共振频率之间的关系，在此基础上再利用轮胎回正刚度与路面附着系数的关系，实现了路面附着系数估计。本发明仅采用电机电流与轮速信号，不需要车速、轮胎侧偏角与轮胎回正力矩信息，使得该方法应用方便；利用频域信息进行估计，使得该方法具有对方向盘转速噪声与误差不敏感的特性，也说明了该方法的准确性。

Description

基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法
技术领域
本发明涉及车辆的路面附着系数估计，特别是基于转向系统共振频率的路面附着系数的估计方法。
背景技术
电控助力转向，其充分利用了电机转矩可精确观测和快速可控的特点，是汽车电控技术的一个重要发展方向。其转向助力电机的精确信息可以作为其他状态估计的重要信息来源，其应用有待进一步发掘。
作为整车重要的环境状态—路面附着系数：是指轮胎与地面间作用的纵向力、侧向力的合力与垂向力的比值。精确估计路面附着系数是车辆稳定性控制的可靠前提。目前国内外对于路面峰值附着系数实时估算方法已经进行了大量研究，这些方法可以分为基于原因的方法和基于效果的方法两类。前种方法是利用超声波传感器等来检测路面状况来估算路面附着系数，该种方法需要外加昂贵的传感器，并且对于环境的依赖程度较高。后种方法则是直接利用车辆与轮胎的动力学特性来估计路面附着系数，例如用μ-s曲线斜率(附着系数与滑移率曲线)或者μ-α曲线斜率(附着系数与轮胎侧偏角曲线)估算路面附着系数的方法。该类方法由于需要准确的轮胎力和滑移率或侧偏角估计值，所以对信号噪声和稳态误差的要求比较高，也就是需要车轮发生较大滑转或者大的侧向滑动时才能较好的估计，而且目前该类方法均采用稳态轮胎模型，不适用于瞬态工况。
发明内容
为了解决现有用μ-s曲线斜率、μ-α曲线斜率等估算路面附着系数的方法不适用于小滑移率、小侧偏角工况，且对方向盘转角噪声和稳态误差灵敏度高的缺点，本发明提出一种新型的基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法，该方法适用于车辆正常行驶(匀速或者小幅加/减速直线行驶)过程中路面附着系数的实时监测估计，可在不需要转矩传感器和车速传感器等情况下，仅依靠方向盘转角信号处理实现对所在路面情况的辨识。
为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)首先建立轮胎回正刚度与转向系统共振频率之间的关系，为：
式中f0为转向系统共振频率，kα为轮胎回正刚度，Gs为转向系统传动比，Jd为前轮及转向机构等效到转向管柱的转动惯量；
2)然后利用公式(22)、(23)、(24)，计算得到f0：
其中，ΔT为采样时间，Re、Im分别表示数学计算中的实部和虚部；
λi是在整车控制器获取实时的方向盘轮速信号ω和电机的电流信号iq，利用MATLAB软件输出二阶系统模型传递函数的系数a1，a2，a3的基础上，利用如公式(21)的传递函数计算得到的解中的任何一个解，i＝1或2：
G(λi)＝a1λi 2+a2λi+a3 (21)
3)在任意时刻，将利用公式(20)得到的轮胎回正刚度kα，代入公式(25)中计算得到路面附着系数μmax(t)：
式中的系数根据实验数据采用数据拟合的方法得到。
进一步讲，在建立轮胎回转刚度与带有转向电机的转向系统共振频率的关系时，按照如下方法实现：
1)首先分别建立线控转向系统模型、稳态轮胎回正力矩模型、瞬态轮胎回正力矩模型、简化电机模型：
2)然后假设电机转矩由两部分组成，分为恒定部分与高频部分，如下所示：
Tm＝T0+T1sin(2πf·t) (5)
式中T0表示恒定转矩；T1sin(2πf·t)表示高频转矩，其中T1为转矩振幅，f为高频转矩的频率，t是表示某一时刻；
3)将公式(5)带入到线控转向系统模型中，转向模型可表示为：
其中，Th为驾驶员在方向盘上输入的力矩，Gm为蜗轮蜗杆机构传动比，Tα D为轮胎瞬态回正力矩，Gs为转向系统传动比，Bd为前轮与转向机构等效到转向管柱的阻尼系数，为转向管柱转角θd的一阶和二阶导数，Jd为前轮及转向机构等效到转向管柱的转动惯量；
对公式(6)两端同时对时间求导，得到公式(7)：
再将公式(7)乘以时间常数τ，然后与公式(6)求和得公式(8)：
结合稳态轮胎回正力矩模型和瞬态轮胎回正力矩模型、三角函数公式，公式(8)简化为公式(9)：
式中aT1为合并后高频信号的振幅，φ为合并后高频信号的初始相位，α为轮胎侧偏角；
对公式(9)两边求导，表示为公式(10)：
对轮胎侧偏角定义式两侧求导可得：
式中，vx和vy分别为车辆质心处纵向和横向速度，ωr为车身横摆角速度，a为前轴到质心的距离；
假设车辆纵向匀速，车辆接近于稳态转向，且侧向速度和横摆角速度均较小，车辆的侧向加速度和横摆角加速度相比车轮的转向角加速度可以忽略，公式(10)进一步简化为公式(12)：
令：
T2＝T1cos(2πf·t+φ) (13)
公式(12)表示为公式(14)：
令并对公式(14)两端作拉普拉斯变换，得到公式(15)：
式中λ为拉普拉斯算子；
忽略其中的高次项λ3后，且当速度较高时，就得到了转向系统的传递函数，公式(16)：
结合简化电机模型Tm＝Kiq和公式(16)，进一步得到电机电流到轮速的传递函数，公式(17)：
Tm为转向电机力矩，iq为电机电流，由系统直接获得，K为比例常数，通过实验测得或电机厂商提供；
令λ＝j2πf，其中j表示虚部，合并同类项，求模即可得到电机电流到轮速的幅频函数，公式(18)：
取当电机车轮系统发生共振时，即有公式(19)：
为了使得求得极值，那么就是的导数为零，从而得到得到当的导数为0时对应的频率记为转向系统共振频率f0，表达式为公式(20)所示。
进一步讲，基于递归最小二乘法进行随时间变化的车轮回正刚度估计。
本发明所展现出来的优点是：
1、本方法推导得到的转向系统共振频率的公式能够表征汽车正常行驶工况(匀速、小加(减)速)下轮胎和路面特征参数对转向系统动态响应的影响。
2、本方法在转向系统共振频率的公式的基础上，仅采用电机电流与方向盘转角信号，不需要车速与轮胎力信息，不需要添加额外的传感器，不需要计算轮胎侧偏角，即可以估计出轮胎回正刚度，进而得到路面附着系数，应用方便。
3、本方法利用频域信息进行估计，使得该方法具有对方向盘轮速噪声与误差不敏感的特性，也说明了该方法的准确性。
具体实施方式
下面具体阐释本发明，但本领域的技术人员应该知道，以下实施例并不是对本发明技术方案作的唯一限定，凡是在本发明技术方案精神实质下所做的任何等同变换或改动，均应视为属于本发明的保护范围。
本发明是在大量的理论与实践相结合的基础上，首先摸索建立轮胎回正刚度与转向系统共振频率之间的关系，然后通过此两者的关系，依靠一套植有计算算法的估计系统来实现路面附着系数的估计。除借用车辆自身应配置的软硬件外，该估计系统硬件还包括：设置在转向柱管处的轮速传感器，设置在转向助力电机中的电机控制器；软件还包括：基于nonlinear ARX model(非线性ARX模型)的转向系统共振频率估计模块、附着系数估计模块、递归最小二乘法的轮胎回正刚度估计模块，这些计算模块都附有算法程序，集成在整车控制器的控制系统中。
本发明首先建立轮胎回转刚度与转向系统共振频率之间的关系；然后在建立了轮胎回转刚度与转向系统共振频率之间的关系的基础上，开展路面附着系数的估计。
在建立轮胎回转刚度与带有转向电机的转向系统共振频率的关系方面，本发明采取了如下方法：
1、首先建立如下几个车辆模型：
1)建立线控转向系统模型：
其中，Th为驾驶员在方向盘上输入的力矩，可实时测得；Tm为转向电机力矩，是电机控制器直接反馈出来的；Gm为蜗轮蜗杆机构传动比，为已知常量；Tα为轮胎回正力矩，可通过轮胎模型计算；Gs为转向系统传动比，已知常量；Bd为前轮与转向机构等效到转向管柱的阻尼系数，已知常量；θd为转向管柱转角，可测，为θd的一阶和二阶导数，Jd为前轮及转向机构等效到转向管柱的转动惯量。
2)建立稳态轮胎回正力矩模型：
式中是轮胎稳态回正力矩，kα为轮胎回正刚度，α为轮胎侧偏角，θd为转向管柱转角，Gs为转向系统传动比；vx和vy分别为车辆质心处纵向和横向速度，ωr为车身横摆角速度，a为前轴到质心的距离。
3)建立瞬态轮胎回正力矩模型：
式中τ为时间常数，Tα D为轮胎瞬态回正力矩，是Tα D关于时间的导数，为稳态轮胎回正力矩，ry为轮胎的侧向松弛长度，vx为车辆质心处纵向速度。
4)建立简化电机模型：
Tm＝Kiq (4)
式中Tm为转向电机力矩，iq为电机电流，由系统直接获得，K为比例常数，通过实验测得或电机厂商提供。
可以假设电机转矩由两部分组成，分为恒定部分与高频部分，则如下式所示：
Tm＝T0+T1sin(2πf·t) (5)
式中T0表示恒定转矩，可以认为是在驾驶员踩踏板时，根据驾驶员需求系统所换算出来的一个转矩，它随时间变化较慢，所以可以认为是一个相对恒定的值；而T1sin(2πf·t)表示高频转矩，这一部分是得到驾驶员需求转矩之后，为了实现这个附着系数估计，加入到电机控制器中的一个高频转矩，其中T1为转矩振幅，f为高频转矩的频率，t是表示某一时刻。
2、在上述几种车辆模型的基础上，进一步推导如下：
将公式(5)带入到公式(1)中，转向模型可表示为公式(6)：
对公式(6)两端同时对时间求导，得到公式(7)：
再将公式(7)乘以时间常数τ，然后与公式(6)求和得公式(8)：
结合公式(2)、(3)和三角函数公式，公式(8)可简化为公式(9)：
式中aT1为合并后高频信号的振幅，φ为合并后高频信号的初始相位；
对公式(9)两边求导，可以表示为公式(10)：
对轮胎侧偏角定义式两侧求导可得：
假设车辆纵向匀速行驶，车辆接近于稳态转向，且侧向速度和横摆角速度均较小，由于车辆的惯性远大于车轮的惯性，所以车辆的侧向加速度和横摆角加速度相比车轮的转向角加速度可以忽略，公式(10)可进一步简化为公式(12)：
令：
T2＝T1cos(2πf·t+φ) (13)
公式(12)可表示为公式(14)：
令并对公式(14)两端作拉普拉斯变换，得到公式(15)，拉普拉斯变换是将时域的表达转换到频域的表达方法，转换后能够找到频域下的振幅和相位信息：
式中λ为拉普拉斯算子。
忽略其中的高次项λ3后，且当速度较高时，这样就得到了转向系统的传递函数，公式(16)：
在实际应用中，能直接测量的信号为电机电流信号，而非电机转矩信号，结合公式(4)和(16)，可以进一步得到电机电流到转向柱管的转速的传递函数，公式(17)：
令λ＝j2πf，其中j表示虚部，合并同类项，求模即可得到电机电流到转速的幅频函数，公式(18)：
作如下近似：当电机车轮系统发生共振时，即有公式(19)：
应用求极值的方法，得到其最小值对应的频率，即共振频率，公式(20)：
公式(20)即为轮胎回正刚度与转向系统共振频率的关系，式中f0为转向系统共振频率，kα为轮胎回正刚度，Gs为转向系统传动比；Jd为前轮及转向机构等效到转向管柱的转动惯量。
上述利用车辆的一系列模型公式以及推导，建立了车轮回转刚度与转向系统共振频率之间的关系，在此基础上，开展路面附着系数的估计：
1)在整车控制器获取实时的方向盘轮速信号ω和电机的电流信号iq基础上，利用MATLAB软件中的nonlinear ARX model模块(MATLAB中的nonlinear ARX model是一款公知软件，可参照文献T.Hirao,et al.,Resonance frequency estimation of time-seriesdata by subspace method,Proceedings of the ICROS-SICE International JointConference 2009,ISBN 9784907764333,4913-4916)，输出二阶系统模型传递函数的系数a1，a2，a3：
G(λ)＝a1λ2+a2λ+a3 (21)
公式(21)表达了系统传递函数的形式，式中G(λ)表示系统传递函数，λ是拉布拉斯算子，利用公式(21)计算出a1，a2，a3；
2)然后利用公式(21)找到λ的两个解λ1和λ2；
3)再按照公式(22)、(23)、(24)，利用任意一个λ的解，计算共振频率f0：
式中
式中，i＝1或2，ΔT为采样时间，Re、Im分别表示数学计算中的实部和虚部；
4)将公式(22)取得的f0带入到公式(20)中，在公式(20)的基础上估计轮胎回正刚度kα；
5)在任意时刻，将得到的轮胎回正刚度输入到路面附着系数估计模块中，计算得到实时路面附着系数μmax(t)：
式中的系数根据实验数据确定，采用数据拟合的方法得到。
进一步讲，由于轮胎回正刚度是时间t的函数，所以可基于递归最小二乘法进行随时间变化的车轮回正刚度估计，递归最小二乘法的车轮回正刚度估计描述为以下方程：
其中x(t)是共振频率f0的平方，(t)是矩阵的转置，是回归系数函数，kα(t)是随时间变化的轮胎回正刚度，e(t)是误差函数；
对公式(26)求解kα(t)按如下步骤进行：
步骤一：获取系统输出的x(t)，并确定
步骤二：根据t时刻的系统真实输出值和上一时刻t-1预测的本时刻输出值来计算t时刻的e(t)：
步骤三：利用下式求t时刻解增益向量K(t):
式中p(t-1)为上一时刻t-1预测的本时刻的协方差矩阵，χ是遗忘因子,本例中取值在(0.9，1)，
利用下式计算下一时刻t+1的协方差矩阵p(t):
步骤四：计算轮胎回正刚度：
kα(t)＝kα(t-1)+K(t)e(t) (30)。
将的公式(30)结果代入到公式(25)中，就可算出路面附着系数。
从上可知，因为轮胎回正刚度与附着系数是线性相关的，本发明通过估计转向系统的共振频率，进而根据轮胎回正刚度与转向系统的共振频率之间关系计算得到回正刚度，进一步根据回正刚度估计出附着系数。上述例举算法仅用于说明本发明，其中方法实施的步骤都是可以有所变化的，凡是在本发明技术方案的基础上进行的等同变换和改进，均不应排除在本发明的保护范围之外。

Claims (3)

1.一种基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)首先建立轮胎回正刚度与转向系统共振频率之间的关系，为：
<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;G</mi> <mi>s</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msqrt> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> </mfrac> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中f0为转向系统共振频率，kα为轮胎回正刚度，Gs为转向系统传动比，Jd为前轮及转向机构等效到转向管柱的转动惯量；
2)然后利用公式(22)、(23)、(24)，计算得到f0：
<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，ΔT为采样时间，Re、Im分别表示数学计算中的实部和虚部；
λi是在整车控制器获取实时的方向盘轮速信号ω和电机的电流信号iq，利用MATLAB软件输出二阶系统模型传递函数的系数a1，a2，a3的基础上，利用如公式(21)的传递函数计算得到的解中的任何一个解，i＝1或2：
G(λi)＝a1λi 2+a2λi+a3 (21)
3)在任意时刻，将利用公式(20)得到的轮胎回正刚度kα，代入公式(25)中计算得到路面附着系数μmax(t)：
<mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中的系数根据实验数据采用数据拟合的方法得到。
2.根据权利要求1所述的基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法，其特征在于，在建立轮胎回转刚度与带有转向电机的转向系统共振频率的关系时，按照如下方法实现：
1)首先分别建立线控转向系统模型、稳态轮胎回正力矩模型、瞬态轮胎回正力矩模型、简化电机模型：
2)然后假设电机转矩由两部分组成，分为恒定部分与高频部分，如下所示：
Tm＝T0+T1sin(2πf·t) (5)
式中T0表示恒定转矩；T1sin(2πf·t)表示高频转矩，其中T1为转矩振幅，f为高频转矩的频率，t是表示某一时刻；
3)将公式(5)带入到线控转向系统模型中，转向模型可表示为：
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>T</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>G</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Th为驾驶员在方向盘上输入的力矩，Gm为蜗轮蜗杆机构传动比，Tα D为轮胎瞬态回正力矩，Gs为转向系统传动比，Bd为前轮与转向机构等效到转向管柱的阻尼系数，为转向管柱转角θd的一阶和二阶导数，Jd为前轮及转向机构等效到转向管柱的转动惯量；
对公式(6)两端同时对时间求导，得到公式(7)：
<mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>G</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
再将公式(7)乘以时间常数τ，然后与公式(6)求和得公式(8)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mfrac> <msubsup> <mover> <mi>T</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>G</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>T</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>G</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
结合稳态轮胎回正力矩模型和瞬态轮胎回正力矩模型、三角函数公式，公式(8)简化为公式(9)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>h</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>aG</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中aT1为合并后高频信号的振幅，φ为合并后高频信号的初始相位，α为轮胎侧偏角；
对公式(9)两边求导，表示为公式(10)：
<mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;faG</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>S</mi> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对轮胎侧偏角α的定义式两侧求导可得：
<mrow> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mi>G</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，vx和vy分别为车辆质心处纵向和横向速度，ωr为车身横摆角速度，a为前轴到质心的距离；
假设车辆纵向匀速，车辆接近于稳态转向，且侧向速度和横摆角速度均较小，车辆的侧向加速度和横摆角加速度相比车轮的转向角加速度可以忽略，公式(10)进一步简化为公式(12)：
<mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;faG</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令：
T2＝T1cos(2πf·t+φ) (13)
公式(12)表示为公式(14)：
<mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;faG</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令并对公式(14)两端作拉普拉斯变换，得到公式(15)：
<mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;faG</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>3</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中λ为拉普拉斯算子；
忽略其中的高次项λ3后，且当速度较高时，就得到了转向系统的传递函数，公式(16)：
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;faG</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
结合简化电机模型Tm＝Kiq和公式(16)，进一步得到电机电流到轮速的传递函数，公式(17)：
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>KG</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Tm为转向电机力矩，iq为电机电流，由系统直接获得，K为比例常数，通过实验测得或电机厂商提供；
令λ＝j2πf，其中j表示虚部，令τ为时间常数，ry为轮胎的侧向松弛长度，vx为车辆质心处纵向速度，合并同类项，求模即可得到电机电流到轮速的幅频函数，公式(18)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;B</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>jB</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>KG</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>jB</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;fr</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>KG</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
取当电机车轮系统发生共振时，即有公式(19)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>min</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mi>min</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>jB</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;fr</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <msub> <mi>KG</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ap;</mo> <mi>min</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>jB</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;fKG</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>min</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>jB</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>d</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;fKG</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为了使得求得极值，那么就是的导数为0，从而得到当的导数为0时对应的频率即为转向系统共振频率f0，表达式为公式(20)所示。
3.根据权利要求1或2所述的基于转向系统共振频率的路面附着系数估计方法，其特征在于，基于递归最小二乘法进行随时间变化的车轮回正刚度估计。
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