CN105659793B - 一种基于标控脱靶量概念的防空导弹助推段制导方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于标控脱靶量概念的防空导弹助推段制导方法，包括以下步骤：步骤一：建立并预设标准弹道，设计标准攻角控制规律α^*(t)，将标准弹道、标准控制及标准弹道摄动转移矩阵数据预先存储至弹载计算机上供制导律使用；步骤二：初制导，以攻角为调节量，由摆动喷管控制导弹姿态使攻角实时等于标准控制α^*(t)；步骤三：中制导，以标控脱靶量为调节量，首先根据导弹运动状态以及标准弹道数据解算标控脱靶量，其次根据指数趋近的标控脱靶量控制律求解对应的主动加速度大小，最后结合导弹动力学模型根据主动加速度大小确定指令攻角，控制导弹姿态。本发明制导方法不需要进行在线数值积分运算，制导律运算量小、实时性好、适用于弹上实时在线运算。<pb pnum="1" />

Description

一种基于标控脱靶量概念的防空导弹助推段制导方法

技术领域

本发明是一种基于标控脱靶量概念的防空导弹助推段制导方法，属于导弹制导控制技术领域。

背景技术

反导防空导弹的飞行历程如附图1所示。t_ign时刻导弹从A点发射，助推器点火进入时间较短的初制导阶段，导弹按照预设程序控制弹道；当导弹达到一定的高度和速度后于t_mg时刻在B点进入中制导阶段，中制导通过反馈控制由导航系统和地面指控系统提供的导弹和目标运动参数控制导弹飞行弹道；由于反导防空导弹通常仅使用推力矢量控制姿态，而没有空气舵，当t_bo时刻导弹在C点助推器关机后进入无控滑行阶段，这一阶段导弹只能零攻角滑行；t_tg时刻导弹飞行至D点其导引头可主动截获目标后进入末制导阶段，这一阶段导弹根据导引头提供的导弹与目标的相对运动参数通过闭环控制不断修正两者的相对运动状态，直至t_f时刻飞行至命中点r_T拦截目标。

上述防空导弹拦截任务要求短时间制导过程结束后导弹经过长时间的无控滑行仍然能够满足中末制导交班条件(即末制导开始时导弹对目标的拦截误差在末制导修正能力范围内)，这对于中制导方法设计提出了非常严苛的要求，其中导弹弹道预测是中制导方法设计的关键因素。对于大气层外飞行的防空导弹而言，飞行弹道是存在解析解的Kepler轨道，可以快速精确预测，因此有较为成熟的中制导方法；对于大气层内飞行的防空导弹而言，由于空气动力模型非常复杂，导弹弹道只能通过数值积分方法求解，计算量大，无法应用于弹上实时在线运算的中制导任务，因此现有的公开资料中未见有适用的中制导方法。

发明内容

本发明正是针对上述现有技术中存在的问题而设计提供了一种基于标控脱靶量概念的防空导弹助推段制导方法，该方法利用标准弹道摄动转移方程，设计了一种导弹弹道预测的线性递推公式，进而得到了一种大气层内防空导弹助推段制导方法。该制导算法利用标准弹道参数，计算量非常小，可很好地应用于弹上实时在线制导运算。

本发明基于如下导弹动力学基础：

导弹在飞行过程中受到重力G、推力P、轴向空气动力F_A和法向空气动力F_N的共同作用。矢量形式的导弹质点弹道动力学方程可写为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{r}=v\\ \stackrel{\&CenterDot;}{v}=(G+P+F_A+F_N)/m\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中G、P、F_A、F_N和导弹质量m为导弹位置r、速度v、攻角α和飞行时间t的函数。定义导弹运动状态变量为x＝(rv)^T，则式(1)所示的导弹动力学方程可写为如下形式

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f(x,\mathrm{\&alpha;},t)---\left(2\right)$

给定导弹攻角变化规律为时间的函数α(t)，则导弹动力学方程可简化为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f(x,t)---\left(3\right)$

已知t₀时刻导弹运动状态为x₀＝(r₀，v₀)^T，则积分式(3)可得t_f时刻其运动状态为

$x_f=x_0+{\&Integral;}_{t_0}^{t_f}f(x,t)dt=x_f(x_0,t_f-t_0)---\left(4\right)$

定义弹道摄动转移矩阵为：

取偏导数矩阵

$\mathrm{\&Phi;}(x_0,t_f-t_0)=\frac{\&part;x_f}{\&part;x_0}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\&part;r_f}{\&part;r_0}& \frac{\&part;r_f}{\&part;v_0}\\ \frac{\&part;v_f}{\&part;v_0}& \frac{\&part;v_f}{\&part;r_0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Phi;}}_{rr}(r_0,v_0,t_f-t_0)& {\mathrm{\&Phi;}}_{rv}(r_0,v_0,t_f-t_0)\\ {\mathrm{\&Phi;}}_{vv}(r_0,v_0,t_f-t_0)& {\mathrm{\&Phi;}}_{vr}(r_0,v_0,t_f-t_0)\end{array}\right)---\left(5\right)$

则称为Φ及其分块矩阵Φ_rr、Φ_rv、Φ_vv、Φ_vr弹道摄动转移矩阵，其中Φ_rv下标_rv表示t₀时刻导弹速度变化对t_f时刻导弹位置的影响。

已知导弹在t₀～t_f时间段内的飞行弹道，弹道摄动转移矩阵是导弹t₀时刻运动状态摄动对t_f时刻运动状态摄动关系的度量。设t₀时刻导弹运动状态为(r₀，v₀)^T，由式(4)可得t_f时刻其运动状态为(r_f，v_f)^T，假设t₀时刻导弹运动状态摄动为(δr₀，δv₀)^T，则t_f时刻其运动状态摄动为

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;r}}_f\\ {\mathrm{\&delta;v}}_f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Phi;}}_{rr}(r_0,v_0,t_f-t_0)& {\mathrm{\&Phi;}}_{rv}(r_0,v_0,t_f-t_0)\\ {\mathrm{\&Phi;}}_{vv}(r_0,v_0,t_f-t_0)& {\mathrm{\&Phi;}}_{vr}(r_0,v_0,t_f-t_0)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;r}}_0\\ {\mathrm{\&delta;v}}_0\end{array}\right)---\left(6\right)$

以下给出弹道摄动转移矩阵求解算法：

由弹道摄动转移基本性质可得其导数为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Phi;}}(x_0,t-t_0)=\frac{\&part;f(x,t)}{\&part;x}\mathrm{\&Phi;}(x_0,t-t_0)---\left(7\right)$

在t₀～t_f区间对上式数值积分可得弹道摄动转移矩阵为

$\mathrm{\&Phi;}(x_0,t_f-t_0)={\&Integral;}_{t_0}^{t_f}\frac{\&part;f(x,t)}{\&part;x}\mathrm{\&Phi;}(x_0,t-t_0)dt---\left(8\right)$

t₀时刻弹道摄动转移矩阵的初值为单位矩阵。

本发明的技术方案是：

步骤一：建立并预设标准弹道

导弹发射前由弹道优化设计求解标准控制α^*(t)(助推段α^*(t)不为零，之后的飞行阶段α^*(t)＝0)，导弹发射后在标准控制α^*(t)作用下将于t_go时长后飞行至预测命中点r_T。

标准弹道及其弹道摄动转移矩阵可利用导弹动力学模型由式(4)、(8)通过数值积分得到。设导弹发射时刻为t_ign，中制导开始时刻为t_mg，中制导结束时刻为t_bo，预测命中时刻为t_f＝t_ign+t_go，初中制导运算周期为Δt，则初中制导工作时间节点为t_i，i＝1…n，t₁＝t_ign，t₂＝t_ign+Δt，…t_n＝t_bo。计算t_i(i＝1…n)和t_f时刻标准弹道运动状态x^*(t_i)、x^*(t_f)和t_i～t_f时间段标准弹道摄动转移矩阵Φ(x^*(t)，t_f-t_i)并将这些数据存储在弹载计算机内供中制导使用。

步骤二：初制导

固定初制导时长，导弹发射后在t_ign～t_mg时间段内使用摆动喷管控制弹体姿态使导弹攻角等于标准控制α^*(t)，至t_mg时刻导弹达到一定的速度和高度后进入中制导阶段。

步骤三：中制导

t_mg～t_bo为中制导阶段。中制导阶段导弹由导航系统测得当前时刻t自身运动状态x_M(t)，由地面指控系统预测目标t_f时刻运动状态x_T(t_f)。将x_M(t)和x_T(t_f)数据传输给弹载计算机，通过中制导律运算输出指令攻角α_c，利用摆动喷管以α_c为控制目标控制导弹姿态，在飞行约束条件下产生实际攻角α。

中制导律以标控脱靶量为调节量，其算法是本发明的核心内容，具体内容如下：

a.原始数据输入

由预先在弹载计算机中存储的标准弹道数据可得中制导当前时刻t标准弹道运动状态x^*(t)＝(r^*(t)v^*(t))^T、标准弹道对应预测命中时刻t_f、t_f时刻标准弹道运动状态x^*(t_f)＝(r^*(t_f)v^*(t_f))^T和标准弹道摄动转移矩阵Φ(x^*(t)，t_f-t)；由导航系统可测得导弹当前运动状态x_M(t)＝(r_M(t)v_M(t))^T；由地面指控系统可预测t_f时刻目标运动状态x_T(t_f)并上载至弹上；

b.标控脱靶量计算

定义标控脱靶量：已知目标弹道，给定标准控制α^*(t)，设t时刻导弹运动状态为x_M(t)，从t时刻开始导弹按照标准控制α^*(t)飞行，在之后的标控飞行过程中，导弹与目标距离最接近的时刻t_ca称为交会时刻，t_ca时刻目标对导弹的相对位置矢量R_ca称为标控脱靶量；t_ca时刻目标对导弹的相对速度矢量V_ca称为交会速度。

标控脱靶量具有重要的性质为R_ca⊥V_ca，即

$R_{ca}^T{V}_{ca}=0---\left(9\right)$

由标准弹道摄动转移方程和标准弹道参数可得t_f时刻导弹实际运动状态为

$\left(\begin{array}{c}{r}_M\left(t_f\right)\\ v_M\left(t_f\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{r}^{*}\left(t_f\right)\\ v^{*}\left(t_f\right)\end{array}\right)+\mathrm{\&Phi;}\left(x^{*}\right(t),t_f-t)\left(\begin{array}{c}{r}_M\left(t\right)-r^{*}\left(t\right)\\ v_M\left(t\right)-v^{*}\left(t\right)\end{array}\right)---\left(10\right)$

进而可得t_f时刻目标对导弹的相对位置和速度矢量分别为

$\{\begin{array}{c}R\left(t_f\right)=r_T\left(t_f\right)-r_M\left(t_f\right)\\ V\left(t_f\right)=v_T\left(t_f\right)-v_M\left(t_f\right)\end{array}---\left(11\right)$

取Δt＝t_ca-t_f，可知Δt较小，t_f～t_ca时间段内导弹与目标仅受重力加速度作用且重力加速度近似相等，结合式(9)可得

$\left\{\begin{array}{c}{R}_{ca}=R\left(t_f\right)-V\left(t_f\right)\frac{R^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}{V^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}\\ V_{ca}=V\left(t_f\right)\\ t_{ca}=t_f-\frac{R^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}{V^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}\end{array}\right.---\left(12\right)$

式(12)解得的标控脱靶量R_ca、交会速度V_ca和交会时刻t_ca将传递给指令攻角计算模块。

c.指令攻角计算

由标控脱靶量定义可知若中制导结束时刻标控脱靶量等于零，导弹在之后的飞行过程中只要在标准控制α^*(t)作用下飞行(在被动段即为零攻角无控滑行)即可直接命中目标，因此中制导的任务等价于控制标控脱靶量为零。

定义主动加速度为

a_a＝δp_⊥+δf_⊥＝[p(α)-p(α^*)]_⊥+[f(α)-f(α^*)]_⊥＝(δp_⊥+δf_⊥)u_⊥(13)

式中δp_⊥＝[p(α)-p(α^*)]_⊥为导弹当前攻角等于α时推力加速度与当前攻角等于α^*时推力加速度之差垂直于导弹速度的分量，δf_⊥＝[f(α)-f(α^*)]_⊥为导弹当前攻角等于α时气动加速度与当前攻角等于α^*时气动加速度之差垂直于导弹速度的分量，u_⊥为垂直于导弹速度指向正攻角方向的单位矢量；δp_⊥、δf_⊥分别为矢量δp_⊥、δf_⊥的大小。

由主动加速度定义可知导弹按照标准控制飞行等价于主动加速度为零。经过严格推导可得导弹在主动加速度a_a作用下标控脱靶量一阶导数与主动加速度的关系为

${\stackrel{\&CenterDot;}{R}}_{ca}\&cong;\&lsqb;(\frac{V_{ca}{V}_{ca}^T}{V_{ca}^T{V}_{ca}}-I_n){\mathrm{\&Phi;}}_{rv}\left(x^{*}\right(t),t_{ca}-t)+\frac{V_{ca}{R}_{ca}^T}{V_{ca}^T{V}_{ca}}{\mathrm{\&Phi;}}_{vv}\left(x^{*}\right(t),t_{ca}-t)\&rsqb;a_a---\left(14\right)$

式中Ф_rv、Φ_vv为标准弹道摄动转移矩阵Φ的分块矩阵，n为导弹运动状态的维数，I_n为n维单位矩阵。

设计标控脱靶量控制律为

${\stackrel{\&CenterDot;}{R}}_{ca}=-\frac{R_{ca}}{\mathrm{\&tau;}}+{\mathrm{\&rho;V}}_{ca}---\left(15\right)$

式中τ、ρ为制导律设计参数，标控脱靶量在式(15)所示控制律作用下将以指数形式趋近于零，在3τ时长内减小95％。

结合式(14)、(15)可得中制导需要的导弹主动加速度大小为

$a_a=-\frac{R_{ca}\&CenterDot;\&lsqb;(\frac{V_{ca}{V}_{ca}^T}{V_{ca}^T{V}_{ca}}-I_n)\left(\begin{array}{cc}{I}_{n/2}& (t_{ca}-t_f)\&times;I_{n/2}\\ 0\&times;I_{n/2}& I_{n/2}\end{array}\right){\mathrm{\&Phi;}}_{rv}\left(x^{*}\right(t),t_f-t)u_{\&perp;}\&rsqb;}{\mathrm{\&tau;}{\left|(\frac{V_{ca}{V}_{ca}^T}{V_{ca}^T{V}_{ca}}-I_n)\left(\begin{array}{cc}{I}_{n/2}& (t_{ca}-t_f)\&times;I_{n/2}\\ 0\&times;I_{n/2}& I_{n/2}\end{array}\right){\mathrm{\&Phi;}}_{rv}\left(x^{*}\right(t),t_f-t)u_{\&perp;}\right|}^2}---\left(16\right)$

式中I_n/2为n/2维单位矩阵。

如式(13)所示a_a为导弹攻角α的函数，具体函数关系由导弹动力学模型决定；由α与a_a的函数关系可解得a_a对应的导弹攻角α_c即为中制导指令攻角。

附图说明

图1为反导防空导弹飞行历程

图2为中制导律算法流程图

图3为本发明技术方案的具体实施步骤

图4为建立预设标准弹道的实现方式

图5为初制导的实现方式

图6为中制导的实现方式

图7为中制导律算法流程图

具体实施方式

如附图3所示，本发明具体实现按照实施顺序可划分为三个步骤：(1)建立并预设标准弹道；(2)初制导；(3)中制导；

(1)建立并预设标准弹道

建立并预设标准弹道在导弹发射之前由地面指控系统完成，其实现方式如附图4所示包括如下四个步骤：目标探测、目标弹道预报、标准弹道设计、标准弹道数据上载；

a.目标探测：目标地面指控系统由地面预警雷达探测当前目标飞行弹道；

b.目标弹道预报：地面指控系统计算机根据预警雷达测得的目标当前飞行弹道使用弹道预报算法软件预测目标未来的飞行弹道并设定预测命中点r_T；

c.标准弹道设计：地面指控系统计算机首先使用弹道优化设法软件设计标准控制α^*(t)，其次使用数值积分算法软件求解式(4)、(8)可得中制导工作时间节点t_i(i＝1…n)时刻标准弹道运动状态及其弹道摄动矩阵x^*(t_i)、Φ(x^*(t)，t_f-t_i)，预测命中时刻t_f及t_f时刻标准弹道运动状态x^*(t_f)；

d.标准弹道数据上载：使用通信数据线将地面指控系统计算机输出的数据t_f、x^*(t_f)、α^*(t_i)、x^*(t_i)、Φ(x^*(t)，t_f-t_i)，(i＝1…n)上载至弹载计算机内存中存储起来供制导算法使用；

(2)初制导

初制导时间起点为导弹助推器点火时刻t_ign，终点为中制导开始时刻t_mg；地面指控系统控制导弹发射时间使目标在预测命中时刻t_f恰好飞行至预测命中点r_T，初制导时长t_mg-t_ign为预设固定值，设定为助推器工作时长t_bo-t_ign的25％；初制导为开环控制，其实现方式如附图5所示包括两个简单的顺序步骤：读取标准控制数据、导弹姿态控制；

a.读取标准控制数据：弹载计算机读取内存中预先存储的标准控制数据列表α^*(t_i)(i＝1…n)，获取当前时刻t对应的标准控制α^*(t)，将其传递给导弹姿态控制系统；

b.导弹姿态控制：导弹姿态控制系统以α^*(t)为控制目标，以摆动喷管为执行机构控制导弹姿态；

(3)中制导

中制导时间起点为中制导开始时刻t_mg，终点为导弹助推器关机时刻t_bo；中制导为闭环控制，其算法如图2所示，其实现方式流程图如附图6所示，包括4个步骤：导弹运动状态测量、目标弹道预测、中制导律和导弹姿态控制；

a.导弹运动状态测量：导弹运动状态测量x_M(t)由弹载捷联惯导系统实时测量得到，并将x_M(t)数据传递给弹载计算机；

b.目标弹道预测：目标弹道预测由地面指控系统完成，地面指控系统计算机根据地面预警雷达测得的目标当前飞行弹道使用弹道预报算法软件预测目标t_f时刻运动状态x_T(t_f)，并将x_T(t_f)数据通过“地面指控站→反恐导弹”通信数据链实时传递给弹载计算机；

c.中制导律：中制导律由固化在弹载计算机中的中制导算法软件实现；制导律算法输入x_M(t)和x_T(t_f)，输出指令攻角α_c；制导律算法流程如附图7所示：

标准弹道数据读取模块：从预先存储在弹载计算机内存中的标准控制及标准弹道数据中读取数据，输出α^*(t)、x^*(t)、t_f、x^*(t_f)、Φ(x^*(t)，t_f-t)；

标控脱靶量计算模块：输入x_M(t)、x^*(t)、x^*(t_f)、Φ(x^*(t)，t_f-t)，由公式(10)、(11)、(12)顺序计算得到标控脱靶量R_ca、交会速度V_ca和交会时刻t_ca，输出R_ca、V_ca和t_ca；

指令攻角计算模块：输入R_ca、V_ca、t_ca、t_f、α^*(t)、Φ(x^*(t)，t_f-t)，首先由式(16)计算中制导需用主动加速度大小a_a，最后根据导弹动力学模型求解式(13)所示非线性方程得到指令攻角α_c，输出α_c；

d.导弹姿态控制：导弹姿态控制系统以α_c为控制目标，以摆动喷管为执行机构控制导弹姿态。

与现有技术相比，本发明制导方法不需要进行在线数值积分运算，制导律运算量小、实时性好、适用于弹上实时在线运算。

Claims (1)

1.一种基于标控脱靶量概念的防空导弹助推段制导方法，其特征在于：该方法的步骤是：

(1)建立并预设标准弹道

由地面指控系统给定预测命中点位置r_T，设计导弹攻角控制规律α^*(t)，导弹根据α^*(t)在飞行一定时长t_go后恰好与r_T重合，若导弹发射时刻为t_ign则对应的预测命中时刻为t_f＝t_ign+t_go，此导弹的飞行弹道为标准弹道，设计出的攻角控制规律α^*(t)为标准控制，导弹发射前，将标准弹道、标准控制及标准弹道摄动转移矩阵存储在弹载计算机上供制导使用；

其中标准弹道摄动转移矩阵定义为：

导弹在标准控制规律α^*(t)作用下，则其动力学方程可简写为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f(x,t)---\left(3\right)$

式中x＝(rv)^T为导弹运动状态，r、v分别为导弹位置和速度矢量，已知t₀时刻导弹运动状态为x₀＝(r₀v₀)^T，则积分式(3)可得t_f时刻其运动状态为

$x_f=x_0+{\&Integral;}_{t_0}^{t_f}f(x,t)dt=x_f(x_0,t_f-t_0)---\left(4\right)$

取偏导数矩阵

$\mathrm{\&Phi;}(x_0,t_f-t_0)=\frac{\&part;x_f}{\&part;x_0}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\&part;r_f}{\&part;r_0}& \frac{\&part;r_f}{\&part;v_0}\\ \frac{\&part;v_f}{\&part;v_0}& \frac{\&part;v_f}{\&part;r_0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\&Phi;}}_{rr}(r_0,v_0,t_f-t_0)& {\mathrm{\&Phi;}}_{rv}(r_0,v_0,t_f-t_0)\\ {\mathrm{\&Phi;}}_{vv}(r_0,v_0,t_f-t_0)& {\mathrm{\&Phi;}}_{vr}(r_0,v_0,t_f-t_0)\end{array}\right)---\left(5\right)$

Φ及其分块矩阵Φ_rr、Φ_rv、Φ_vv、Φ_vr称为标准弹道摄动转移矩阵，其中Φ_rv下标_rv表示t₀时刻导弹速度变化对t_f时刻航天器位置矢量的影响，其他下标含义依此类推；

(2)初制导

导弹发射后在固定时长的初制导时间段内使用摆动喷管控制弹体姿态使导弹攻角等于标准控制α^*(t)，至初制导结束时刻导弹达到一定的速度和高度后进入中制导阶段；

(3)中制导

初制导结束时刻至导弹助推器关机时刻为中制导阶段，导弹由导航系统测得当前时刻t自身运动状态x_M(t)，由地面指控系统预测目标t_f时刻的运动状态x_T(t_f)，将x_M(t)和x_T(t_f)数据传输给弹载计算机，通过中制导律运算输出指令攻角α_c，导弹以α_c为控制目标利用摆动喷管控制姿态在飞行约束条件下产生实际攻角α；其中中制导律的算法步骤是：

a.原始数据输入

由预先在弹载计算机中存储的标准弹道数据可得中制导当前时刻t标准弹道运动状态x^*(t)＝(r^*(t)v^*(t))^T、标准弹道对应预测命中时刻t_f、t_f时刻标准弹道运动状态x^*(t_f)＝(r^*(t_f)v^*(t_f))^T和标准弹道摄动转移矩阵Φ(x^*(t)，t_f-t)；由导航系统可测得导弹当前运动状态x_M(t)＝(r_M(t)v_M(t))^T；由地面指控系统可预测t_f时刻目标运动状态x_T(t_f)并上载至弹上；

b.标控脱靶量计算

定义标控脱靶量：已知目标弹道，给定标准控制α^*(t)，设t时刻导弹运动状态为x_M(t)，从t时刻开始导弹按照标准控制α^*(t)飞行，在之后的标控飞行过程中，导弹与目标距离最接近的时刻t_ca称为交会时刻，t_ca时刻目标对导弹的相对位置矢量R_ca称为标控脱靶量；t_ca时刻目标对导弹的相对速度矢量V_ca称为交会速度；

标控脱靶量的计算方法是：

首先计算t_f时刻导弹实际运动状态为

$\left(\begin{array}{c}{r}_M\left(t_f\right)\\ v_M\left(t_f\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{r}^{*}\left(t_f\right)\\ v^{*}\left(t_f\right)\end{array}\right)+\mathrm{\&Phi;}\left(x^{*}\right(t),t_f-t)\left(\begin{array}{c}{r}_M\left(t\right)-r^{*}\left(t\right)\\ v_M\left(t\right)-v^{*}\left(t\right)\end{array}\right)---\left(10\right)$

其次计算t_f时刻目标对导弹的相对位置和速度矢量分别为

$\left\{\begin{array}{c}R\left(t_f\right)=r_T\left(t_f\right)-r_M\left(t_f\right)\\ V\left(t_f\right)=v_T\left(t_f\right)-v_M\left(t_f\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

最后可得

$\left\{\begin{array}{c}{R}_{ca}=R\left(t_f\right)-V\left(t_f\right)\frac{R^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}{V^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}\\ V_{ca}=V\left(t_f\right)\\ t_{ca}=t_f-\frac{R^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}{V^T\left(t_f\right)V\left(t_f\right)}\end{array}\right.---\left(12\right)$

c.指令攻角计算

定义主动加速度为

a_a＝δp_⊥+δf_⊥＝[p(α)-p(α^*)]_⊥+[f(α)-f(α^*)]_⊥＝(δp_⊥+δf_⊥)u_⊥(13)

式中δp_⊥＝[p(α)-p(α^*)]_⊥为导弹当前攻角等于α时推力加速度与当前攻角等于α^*时推力加速度之差垂直于导弹速度的分量，δf_⊥＝[f(α)-f(α^*)]_⊥为导弹当前攻角等于α时气动加速度与当前攻角等于α^*时气动加速度之差垂直于导弹速度的分量，u_⊥为垂直于导弹速度指向正攻角方向的单位矢量；δp_⊥、δf_⊥分别为矢量δp_⊥、δf_⊥的大小；

由主动加速度定义可知导弹按照标准控制飞行等价于主动加速度为零，经过推导可得导弹在主动加速度a_a作用下标控脱靶量一阶导数与主动加速度的关系为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{R}}_{\mathrm{ca}}\&cong;[(\frac{V_{\mathrm{ca}}{V}_{\mathrm{ca}}^T}{V_{\mathrm{ca}}^T{V}_{\mathrm{ca}}}-I_n){\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{rv}}(x^{*}\left(t\right),t_{\mathrm{ca}}-t)+\frac{V_{\mathrm{ca}}{R}_{\mathrm{ca}}^T}{V_{\mathrm{ca}}^T{V}_{\mathrm{ca}}}{\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{vv}}(x^{*}\left(t\right),t_{\mathrm{ca}}-t)]a_a---\left(14\right)$

式中Φ_rv、Φ_vv为标准弹道摄动转移矩阵Φ的分块矩阵，n为导弹运动状态的维数，I_n为n维单位矩阵；

设计标控脱靶量控制律为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{R}}_{ca}=-\frac{R_{ca}}{\mathrm{\&tau;}}+{\mathrm{\&rho;V}}_{ca}---\left(15\right)$

式中τ、ρ为制导律设计参数，标控脱靶量在式(15)所示控制律作用下将以指数形式趋近于零，在3τ时长内减小95％，

结合式(14)、(15)可得中制导需要的导弹主动加速度大小为：

$a_a=-\frac{R_{ca}\&CenterDot;\&lsqb;(\frac{V_{ca}{V}_{ca}^T}{V_{ca}^T{V}_{ca}}-I_n)\left(\begin{array}{cc}{I}_{n/2}& (t_{ca}-t_f)\&times;I_{n/2}\\ 0\&times;I_{n/2}& I_{n/2}\end{array}\right){\mathrm{\&Phi;}}_{rv}\left(x^{*}\right(t),t_f-t)u_{\&perp;}\&rsqb;}{\mathrm{\&tau;}{\left|(\frac{V_{ca}{V}_{ca}^T}{V_{ca}^T{V}_{ca}}-I_n)\left(\begin{array}{cc}{I}_{n/2}& (t_{ca}-t_f)\&times;I_{n/2}\\ 0\&times;I_{n/2}& I_{n/2}\end{array}\right){\mathrm{\&Phi;}}_{rv}\left(x^{*}\right(t),t_f-t)u_{\&perp;}\right|}^2}---\left(16\right)$

式中Φ_rv、Φ_vv为标准弹道摄动转移矩阵Φ的分块矩阵，n为导弹运动状态的维数，I_n、I_n/2为维数分别为n和n/2的单位矩阵，τ为中制导律设计参数，取值为0.1s；

如式(13)所示a_a为导弹攻角α的函数，具体函数关系由导弹动力学模型决定；由α与a_a的函数关系可解得a_a对应的导弹攻角α_c即为中制导指令攻角。