CN105550513A - 一种两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法，属于材料性能预测技术领域。包括针对两相材料复合结构过渡区建立了过渡区等效力学性能预测的细观力学模型。模型中引入了过渡区由分段均匀介质层构成以及细观力学中颗粒夹杂复合材料的思想，将一种材料假定为基体相，另一种假定为夹杂相。然后通过细观力学中等效力学属性预测的Mori-Tanaka场平均理论建立过渡区的等效模量预测方法。从而得到了各个均匀介质层等效力学属性的显式描述形式以及过渡区等效模量沿梯度方向的变化表述形式，为过渡区等效模量的预测提供了直观而便于应用的理论分析方法，为复合结构力学性能的进一步理论分析研究以及工程中针对这一结构的设计和优化提供了理论基础。

Description

一种两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法

技术领域

本发明属于材料性能预测技术领域，具体涉及一种两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法。

背景技术

两相材料复合结构是将两种材料属性不同的材料通过激光焊接或传统的复合材料成形技术，将两种材料连接为一个整体的复合结构，因此这种复合结构可以根据工程应用实际要求来进行设计。比如由两相材料构成的工字梁复合结构，其由构成复合结构的材料1区、材料2区以及由两种材料构成的过渡区三个部分构成。

复合结构过渡区域由非单一匀质材料构成，对复合结构的性能表征和疲劳断裂行为等均会产生显著的影响。因此，为了揭示这种两相材料复合结构的力学行为机理和基础问题本质，并为这种结构的工程应用提供失效判据和设计准则，需要提供一种针对其过渡区的等效模量预测方法。

发明内容

为了解决上述问题，本发明针对两相材料复合结构过渡区，给出一种等效模量的预测方法。

本发明两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法，主要包括以下步骤：

步骤一、将过渡区自基体相向夹杂相方向划分为多个均匀介质层，所述基体相与夹杂相分别为所述两相材料复合结构内的两种单一材料，所述过渡区为所述两相材料复合结构内基体相与夹杂相混合的区域；

步骤二、建立夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系；

步骤三、设定通过复合材料总平均场量是各夹杂相相应场量体积平均的均匀化处理从而得到等效弹性模量显式描述。

优选的是，建立夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系包括：

假定过渡区均匀介质层受到均匀应力的作用，基体相的平均应力和应变分别为σ₀和ε₀，相应的夹杂相的平均应力和应变分别为σ₁和ε₁，依据场量平均理论可得：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=(1-V){\mathrm{\σ}}_0+{\mathrm{V\σ}}_1---\left(1\right)$

其中V＝V(x)为每一均匀介质层中夹杂相的体积分数,且夹杂相和基体相的体积分数遵守体积守恒原则,引入过渡区的等效刚度张量L，则可得每一均匀介质层的平均应力-应变关系为：

$\mathrm{\σ}=L\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}---\left(2\right)$

当基体相中无夹杂相存在时，基体相在外加均匀应力作用下的应力-应变关系为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=L_0{\mathrm{\ϵ}}^0---\left(3\right)$

当夹杂相存在于基体相中时，基体相产生扰动应力和扰动应变而在夹杂相中产生的扰动应力和应变相对于基体相的扰动应力和应变分别存在应力和应变差值σ′和ε′，则基体相和夹杂相的应力-应变关系分别为：

${\mathrm{\σ}}_0=\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}+\widetilde{\mathrm{\σ}}=L_0({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})---\left(4\right)$

${\mathrm{\σ}}_1=\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}+\widetilde{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\σ}=L_1({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′})---\left(5\right)$

其中基体相和夹杂相内的应变分别为：

${\mathrm{\ϵ}}_0={\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\ϵ}}_1={\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′}---\left(7\right)$

由式(3)(4)联立获得扰动应力和扰动应变满足关系：

$\widetilde{\mathrm{\σ}}=L_0\widetilde{\mathrm{\ϵ}}---\left(8\right)$

依据Eshelby等效夹杂理论，所述夹杂相内的应力-应变关系可由基体相的刚度张量来表征，其表征为：

${\mathrm{\σ}}_1=L_1({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′})=L_0({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′}-{\mathrm{\ϵ}}^{*})---\left(9\right)$

其中ε^*为等效本征应变，且扰动应变差值与等效本征应变间存在关系：

ε′＝Sε^*(10)

式(10)中的符号S为Eshelby张量，其是与夹杂的形状以及材料的泊松比相关的量，所述材料泊松比ν与体积模量K和剪切模量G间的关系为：

$\mathrm{\ν}=\frac{2G+3K}{2(G+3K)}---\left(11\right)$

进一步由式(4)(9)(10)联立获得扰动应力差为：

σ′＝L₀(ε′-ε^*)＝L₀(S-I)ε^*(12)

结合上式与式(1)(4)(8)(9)共同联立获得扰动应力和扰动应变分别为：

$\widetilde{\mathrm{\σ}}=-{\mathrm{V\σ}}^{\′}=-{\mathrm{VL}}_0(S-I){\mathrm{\ϵ}}^{*}---\left(13\right)$

$\widetilde{\mathrm{\ϵ}}=-V(S-I){\mathrm{\ϵ}}^{*}---\left(14\right)$

将式(10)(14)代入式(9)中，进一步得到等效本征应变为：

ε^*＝{L₀+(L₁-L₀)[VI+(1-V)S]}^-1(L₀-L₁)ε⁰(15)

从而基于场平均理论，由式(6)(7)(10)(14)(15)联立获得过渡区每一均匀介质层在外加均匀应力边界条件下产生的平均应变为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}=(1-V){\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{V\ϵ}}_1={\mathrm{\ϵ}}^0+{\mathrm{V\ϵ}}^{*}\\ =\{I+V{\[L_0+(L_1-L_0)(VI+(1-V\left)S\right)\]}^{-1}(L_0-L_1)\}{\mathrm{\ϵ}}^0\\ =\{I+V{\[L_0+(L_1-L_0)(VI+(1-V\left)S\right)\]}^{-1}(L_0-L_1)\}{L}_0^{-1}\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}\end{array}---\left(16\right)$

进而由式(2)和(16)联立得到与夹杂相体积分数以及各相材料刚度张量相关的过渡区任一均匀介质层的等效模量为：

L＝{I+V[L₀+(L₁-L₀)(VI+(1-V)S)]^-1(L₀-L₁)}^-1L₀(17)。

在上述方案中优选的是，设定夹杂颗粒为球型夹杂，从而求得式(11)中材料的泊松比，其包括：

Eshelby张量包含两个独立分量α和β，由这两个独立分量表示的Eshelby张量的四阶张量形式为：

$S_{ijkl}=\frac{1}{3}{\mathrm{\α\δ}}_{ij}{\mathrm{\δ}}_{kl}+\frac{1}{2}\mathrm{\β}({\mathrm{\δ}}_{il}{\mathrm{\δ}}_{jk}+{\mathrm{\δ}}_{ik}{\mathrm{\δ}}_{jl}-\frac{2}{3}{\mathrm{\δ}}_{ij}{\mathrm{\δ}}_{kl})---\left(18\right)$

进一步由基体相的体积模量K₀和剪切模量G₀简写为：

S＝(9K₀K_p,4G₀G_p)＝(α,β)(19)

其中 $\begin{array}{cc}{K}_p=\frac{1}{3(4G_0+3K_0)},& G_p=\frac{3(2G_0+K_0)}{{10g}_0(4G_0+3K_0)}\end{array},$

同时均匀介质层的等效模量以及基体和夹杂的模量均包含两个独立变量，即分别由体积模量和剪切模量表示为：

L＝(3K,2G)，L₀＝(3K₀,2G₀)，L₁＝(3K₁,2G₁)(20)

则由式(17)(19)(20)得到过渡区每一均匀介质层的等效体积模量和等效剪切模量分别为：

$K=\frac{K_0+(K_1-K_0)(V+9(1-V\left)K_0{K}_p\right)}{1+9(1-V)(K_1-K_0)K_p}---\left(21\right)$

$G=\frac{G_0+(V+4(1-V\left)G_0{G}_p\right)(G_1-G_0)}{1+4(1-V)(G_1-G_0)G_p}---\left(22\right)$

从而由式(11)得到均匀介质层的泊松比。

在上述方案中优选的是，在所述步骤三中，对于构成过渡区的各相材料，夹杂相的体积分数分布函数如下：

$V\left(x\right)={(1-\frac{x}{h})}^n---\left(23\right)$

依据体积守恒原则，得到过渡区基体相的体积分数分布为：

$V_0\left(x\right)=1-{(1-\frac{x}{h})}^n---\left(24\right)$

其中h为过渡区的厚度，n为描述过渡区分层层数的变量，x为由基体相向夹杂相的过渡距离，由式(17)(21)(22)以及式(23)(24)联立得到描述过渡区沿复合结构梯度方向等效模量的变化趋势，即过渡区的等效模量与x的关系显式：

$L={\{I+{(1-\frac{x}{h})}^n{\[L_0+(L_1-L_0)({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^{n}I+(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)S\right)\]}^{-1}(L_0-L_1)\}}^{-1}{L}_0---\left(25\right)$

$K=\frac{K_0+(K_1-K_0)({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n+9(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)K_0{K}_p\right)}{1+9(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n)(K_1-K_0)K_p}---\left(26\right)$

$G=\frac{G_0+({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n+4(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)G_0{G}_p\right)(G_1-G_0)}{1+4(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n)(G_1-G_0)G_p}---\left(27\right).$

本发明主要构思是：基于Eshelby等效夹杂原理将多夹杂问题转变为单夹杂问题，引入了本征应变和等效本征应变参量，以及Eshelby张量，建立了夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系，进而通过复合材料总平均场量是各夹杂相相应场量体积平均的均匀化处理而得到等效弹性模量显式描述的方法。

本发明解决方案：针对两相材料复合结构过渡区等效力学属性的预测，模型中引入了过渡区由分段均匀介质层构成以及细观力学中颗粒夹杂复合材料的思想，将一种材料假定为基体相，另一种假定为夹杂相，通过细观力学中等效力学属性预测的Mori-Tanaka场平均理论分析方法，建立了过渡区等效力学性能预测的细观力学模型。

本发明得到了各个均匀介质层等效力学属性的显式描述形式以及过渡区等效模量沿梯度方向的变化表述形式，为过渡区等效模量的预测提供了直观而便于应用的理论分析方法，为复合结构力学性能的进一步理论分析研究以及工程中针对这一结构的设计和优化提供了理论基础。

附图说明

图1为本发明两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法的一优选实施例的两相材料结构示意图。

图2为图1所示实施例的过渡区细观力学模型示意图。

图3为图1所示实施例的Eshelby等效夹杂原理示意图。

具体实施方式

为使本发明实施的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行更加详细的描述。在附图中，自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。下面结合附图对本发明的实施例进行详细说明。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明保护范围的限制。

本发明针对两相材料复合结构过渡区，给出一种等效模量的预测方法。

本发明两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法，主要包括以下步骤：

步骤一、将过渡区自基体相向夹杂相方向划分为多个均匀介质层，所述基体相与夹杂相分别为所述两相材料复合结构内的两种单一材料，所述过渡区为所述两相材料复合结构内基体相与夹杂相混合的区域；

步骤二、建立夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系；

步骤三、设定通过复合材料总平均场量是各夹杂相相应场量体积平均的均匀化处理从而得到等效弹性模量显式描述。

需要说明的是，本实施例中，首先设定过渡区是由两相材料构成的颗粒夹杂复合材料区，并将其中一种材料定义为基体，另一种材料定义为夹杂，如图1所示，即过渡区是由两相材料构成的颗粒夹杂复合材料，并且假定当任一材料为基体时，另一种材料为颗粒夹杂相，且颗粒体积分数呈梯度分布的，即当红色所示材料为基体相时，蓝色颗粒夹杂相的体积分数从0到1呈梯度变化。本实施例中，1为夹杂相，2为基体相，3为过渡区。

另外，本实施例中，设定过渡区是由一系列均匀介质层集合而成的，其力学性能是沿着过渡区的厚度方向连续变化的，如图1所示，所述过渡区被划分为多段均匀的介质层，自下而上以x表示，也可参考图2(a)。

本实施例中，模型中采用的细观代表单元的尺度远远小于宏观尺度，在宏观尺度上表现为过渡区的一个质点。参考图2(b)、(c)。

本实施例中洪，依据过渡区力学属性同样沿着厚度方向呈梯度变化的特性，将过渡区理想化为分段均匀材料，即其由多个均匀介质层集合而成，如图2(a)所示。综合以上过程，将复合结构过渡区等效为分段的颗粒夹杂均匀介质层，从细观力学的角度，建立如图2所示的细观力学模型，利用细观力学方法分析各个均匀介质层的等效力学属性，以及过渡区呈梯度分布的等效力学属性变化趋势。

如图2(a)所示，过渡区理想化为分段均匀介质层，过渡区的力学属性沿着x方向呈梯度变化。图2(b)所示为各均匀介质层的颗粒夹杂代表单元，各均匀介质层的材料基本属性可通过细观力学方法分析代表单元的场平均结果来描述。在细观力学分析中，基于单夹杂中颗粒夹杂与基体的体积百分比与多夹杂中颗粒夹杂和基体相的体积百分比是相同的假定，将图2(b)所示的多夹杂问题转变为如图2(c)所示的单夹杂问题。

预测复合材料等效模量的细观力学分析方法中，由于Mori-Tanaka场平均理论细观力学方法不仅考虑了不同材料间细观结构的相互作用对材料等效模量的影响，而且还描述了材料的形状对材料宏观力学性能的影响，并且这一理论方法可以得到显式表达的等效模量预测结果，使得结果直观而便于应用，故文中采用了这一方法来预测过渡区每一均匀介质层的等效力学属性，进而依据夹杂相沿梯度方向的体积分数分布来预测过渡区宏观等效力学性能沿过渡区的变化趋势。

Mori-Tanaka场平均理论方法是基于Eshelby等效夹杂原理将多夹杂问题转变为单夹杂问题，引入了本征应变和等效本征应变参量，以及Eshelby张量，建立了夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系，进而通过复合材料总平均场量是各夹杂相相应场量体积平均的均匀化处理而得到等效弹性模量显式描述的方法。

假定如图2(b)所示的微结构颗粒增强过渡区均匀介质层受到均匀应力的作用，基体相的平均应力和应变分别为σ₀和ε₀，相应的夹杂相的平均应力和应变分别为σ₁和ε₁，依据场量平均理论可得：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=(1-V){\mathrm{\σ}}_0+{\mathrm{V\σ}}_1---\left(1\right)$

其中V＝V(x)为每一均匀介质层中夹杂相的体积分数,且夹杂相和基体相的体积分数遵守体积守恒原则,引入过渡区的等效刚度张量L，则可得每一均匀介质层的平均应力-应变关系为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=L\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}---\left(2\right)$

当基体相中无夹杂相存在时，基体相在外加均匀应力作用下的应力-应变关系为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=L_0{\mathrm{\ϵ}}^0---\left(3\right)$

当夹杂相存在于基体相中时，基体相产生扰动应力和扰动应变而在夹杂相中产生的扰动应力和应变相对于基体相的扰动应力和应变分别存在应力和应变差值σ′和ε′，则基体相和夹杂相的应力-应变关系分别为：

${\mathrm{\σ}}_0=\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}+\widetilde{\mathrm{\σ}}=L_0({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})---\left(4\right)$

${\mathrm{\σ}}_1=\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}+\widetilde{\mathrm{\σ}}+\mathrm{\σ}=L_1({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′})---\left(5\right)$

其中基体相和夹杂相内的应变分别为：

${\mathrm{\ϵ}}_0={\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\ϵ}}_1={\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′}---\left(7\right)$

由式(3)(4)联立获得扰动应力和扰动应变满足关系：

$\widetilde{\mathrm{\σ}}=L_0\widetilde{\mathrm{\ϵ}}---\left(8\right)$

依据Eshelby等效夹杂理论获得夹杂相内的应力-应变关系可由基体相的刚度张量表征为：

${\mathrm{\σ}}_1=L_1({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′})=L_0({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′}-{\mathrm{\ϵ}}^{*})---\left(9\right)$

其中ε^*为等效本征应变，且扰动应变差值与等效本征应变间存在关系：

ε′＝Sε^*(10)

式(10)中的符号S为Eshelby张量，其是与夹杂的形状以及材料的泊松比相关的量，而泊松比ν与体积模量K和剪切模量G间的关系为：

$\mathrm{\ν}=\frac{2G+3K}{2(G+3K)}---\left(11\right)$

进一步由式(4)(9)(10)可得扰动应力差为：

σ′＝L₀(ε′-ε^*)＝L₀(S-I)ε^*(12)

结合上式与式(1)(4)(8)(9)可得扰动应力和扰动应变分别为：

$\widetilde{\mathrm{\σ}}=-{\mathrm{V\σ}}^{\′}=-{\mathrm{VL}}_0(S-I){\mathrm{\ϵ}}^{*}---\left(13\right)$

$\widetilde{\mathrm{\ϵ}}=-V(S-I){\mathrm{\ϵ}}^{*}---\left(14\right)$

将式(10)(14)代入式(9)则可以进一步得到等效本征应变为：

ε^*＝{L₀+(L₁-L₀)[VI+(1-V)S]}^-1(L₀-L₁)ε⁰(15)

从而基于场平均理论，由式(6)(7)(10)(14)(15)获得过渡区每一均匀介质层在外加均匀应力边界条件下产生的平均应变为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}=(1-V){\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{V\ϵ}}_1={\mathrm{\ϵ}}^0+{\mathrm{V\ϵ}}^{*}\\ =\{I+V{\[L_0+(L_1-L_0)(VI+(1-V\left)S\right)\]}^{-1}(L_0-L_1)\}{\mathrm{\ϵ}}^0\\ =\{I+V{\[L_0+(L_1-L_0)(VI+(1-V\left)S\right)\]}^{-1}(L_0-L_1)\}{L}_0^{-1}\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}\end{array}---\left(16\right)$

进而由式(2)和(16)联立得到与夹杂相体积分数以及各相材料刚度张量相关的过渡区任一均匀介质层的等效模量为：

L＝{I+V[L₀+(L₁-L₀)(VI+(1-V)S)]^-1(L₀-L₁)}^-1L₀(17)。

设定夹杂颗粒为球型夹杂，从而求得式(11)中材料的泊松比，其包括：

Eshelby张量包含两个独立分量α和β，由这两个独立分量表示的Eshelby张量的四阶张量形式为：

$S_{ijkl}=\frac{1}{3}{\mathrm{\α\δ}}_{ij}{\mathrm{\δ}}_{kl}+\frac{1}{2}\mathrm{\β}({\mathrm{\δ}}_{il}{\mathrm{\δ}}_{jk}+{\mathrm{\δ}}_{ik}{\mathrm{\δ}}_{jl}-\frac{2}{3}{\mathrm{\δ}}_{ij}{\mathrm{\δ}}_{kl})---\left(18\right)$

进一步由基体相的体积模量K₀和剪切模量G₀简写为：

S＝(9K₀K_p,4G₀G_p)＝(α,β)(19)

其中 $\begin{array}{cc}{K}_p=\frac{1}{3(4G_0+3K_0)},& G_p=\frac{3(2G_0+K_0)}{{10g}_0(4G_0+3K_0)}\end{array}.$

同时均匀介质层的等效模量以及基体和夹杂的模量均包含两个独立变量，即分别由体积模量和剪切模量表示为：

L＝(3K,2G)，L₀＝(3K₀,2G₀)，L₁＝(3K₁,2G₁)(20)

则由式(17)(19)(20)得到过渡区每一均匀介质层的等效体积模量和等效剪切模量分别为：

$K=\frac{K_0+(K_1-K_0)(V+9(1-V\left)K_0{K}_p\right)}{1+9(1-V)(K_1-K_0)K_p}---\left(21\right)$

$G=\frac{G_0+(V+4(1-V\left)G_0{G}_p\right)(G_1-G_0)}{1+4(1-V)(G_1-G_0)G_p}---\left(22\right)$

从而由式(11)则得到均匀介质层的泊松比。

在所述步骤三中，对于构成过渡区的各相材料，夹杂相的体积分数分布函数如下：

$V\left(x\right)={(1-\frac{x}{h})}^n---\left(23\right)$

依据体积守恒原则，得到过渡区基体相的体积分数分布为：

$V_0\left(x\right)=1-{(1-\frac{x}{h})}^n---\left(24\right)$

其中h为过渡区的厚度，n为描述过渡区分层层数的变量，x为由基体相向夹杂相的过渡距离，由式(17)(21)(22)以及式(23)(24)联立得到描述过渡区沿复合结构梯度方向等效模量的变化趋势，即过渡区的等效模量与x的关系显式：

$L={\{I+{(1-\frac{x}{h})}^n{\[L_0+(L_1-L_0)({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^{n}I+(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)S\right)\]}^{-1}(L_0-L_1)\}}^{-1}{L}_0---\left(25\right)$

$K=\frac{K_0+(K_1-K_0)({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n+9(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)K_0{K}_p\right)}{1+9(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n)(K_1-K_0)K_p}---\left(26\right)$

$G=\frac{G_0+({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n+4(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)G_0{G}_p\right)(G_1-G_0)}{1+4(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n)(G_1-G_0)G_p}---\left(27\right).$

本发明主要构思是：基于Eshelby等效夹杂原理将多夹杂问题转变为单夹杂问题，引入了本征应变和等效本征应变参量，以及Eshelby张量，建立了夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系，进而通过复合材料总平均场量是各夹杂相相应场量体积平均的均匀化处理而得到等效弹性模量显式描述的方法。

本发明解决方案：针对两相材料复合结构过渡区等效力学属性的预测，模型中引入了过渡区由分段均匀介质层构成以及细观力学中颗粒夹杂复合材料的思想，将一种材料假定为基体相，另一种假定为夹杂相，通过细观力学中等效力学属性预测的Mori-Tanaka场平均理论分析方法，建立了过渡区等效力学性能预测的细观力学模型。

本发明得到了各个均匀介质层等效力学属性的显式描述形式以及过渡区等效模量沿梯度方向的变化表述形式，为过渡区等效模量的预测提供了直观而便于应用的理论分析方法，为复合结构力学性能的进一步理论分析研究以及工程中针对这一结构的设计和优化提供了理论基础。

最后需要指出的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制。尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (4)

1.一种两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法，其特征在于，包括：

步骤一、将过渡区自基体相向夹杂相方向划分为多个均匀介质层，所述基体相与夹杂相分别为所述两相材料复合结构内的两种单一材料，所述过渡区为所述两相材料复合结构内基体相与夹杂相混合的区域；

步骤二、建立夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系；

步骤三、设定通过复合材料总平均场量是各夹杂相相应场量体积平均的均匀化处理从而得到等效弹性模量显式描述。

2.如权利要求1所述的两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法，其特征在于：建立夹杂相平均应变同基体相平均应变间的联系包括：

假定过渡区均匀介质层受到均匀应力的作用，基体相的平均应力和应变分别为σ₀和ε₀，相应的夹杂相的平均应力和应变分别为σ₁和ε₁，依据场量平均理论可得：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=(1-V){\mathrm{\σ}}_0+{\mathrm{V\σ}}_1---\left(1\right)$

其中V＝V(x)为每一均匀介质层中夹杂相的体积分数,且夹杂相和基体相的体积分数遵守体积守恒原则,引入过渡区的等效刚度张量L，则可得每一均匀介质层的平均应力-应变关系为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=L\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}---\left(2\right)$

当基体相中无夹杂相存在时，基体相在外加均匀应力σ作用下的应力-应变关系为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}=L_0{\mathrm{\ϵ}}^0---\left(3\right)$

当夹杂相存在于基体相中时，基体相产生扰动应力σ～和扰动应变ε～，而在夹杂相中产生的扰动应力和应变相对于基体相的扰动应力和应变分别存在应力和应变差值σ′和ε′，则基体相和夹杂相的应力-应变关系分别为：

${\mathrm{\σ}}_0=\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}+\widetilde{\mathrm{\σ}}=L_0({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}})---\left(4\right)$

${\mathrm{\σ}}_1=\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}+\widetilde{\mathrm{\σ}}+{\mathrm{\σ}}^{\′}=L_1({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′})---\left(5\right)$

其中基体相和夹杂相内的应变分别为：

${\mathrm{\ϵ}}_0={\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\ϵ}}_1={\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′}---\left(7\right)$

由式(3)(4)联立获得扰动应力和扰动应变满足关系：

$\widetilde{\mathrm{\σ}}=L_0\widetilde{\mathrm{\ϵ}}---\left(8\right)$

依据Eshelby等效夹杂理论，所述夹杂相内的应力-应变关系可由基体相的刚度张量来表征，其表征为：

${\mathrm{\σ}}_1=L_1({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′})=L_0({\mathrm{\ϵ}}^0+\widetilde{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\ϵ}}^{\′}-{\mathrm{\ϵ}}^{*})---\left(9\right)$

其中ε^*为等效本征应变，且扰动应变差值与等效本征应变间存在关系：

ε′＝Sε^*(10)

式(10)中的符号S为Eshelby张量，其是与夹杂的形状以及材料的泊松比相关的量，所述材料的泊松比ν与体积模量K和剪切模量G间的关系为：

$\mathrm{\ν}=\frac{2G+3K}{2(G+3K)}---\left(11\right)$

进一步由式(4)(9)(10)联立获得扰动应力差为：

σ′＝L₀(ε′-ε^*)＝L₀(S-I)ε^*(12)

结合上式与式(1)(4)(8)(9)共同联立获得扰动应力和扰动应变分别为：

$\widetilde{\mathrm{\σ}}=-{\mathrm{V\σ}}^{\′}=-{\mathrm{VL}}_0(S-I){\mathrm{\ϵ}}^{*}---\left(13\right)$

$\widetilde{\mathrm{\ϵ}}=-V(S-I){\mathrm{\ϵ}}^{*}---\left(14\right)$

将式(10)(14)代入式(9)中，进一步得到等效本征应变为：

ε^*＝{L₀+(L₁-L₀)[VI+(1-V)S]}^-1(L₀-L₁)ε⁰(15)

从而基于场平均理论，由式(6)(7)(10)(14)(15)联立获得过渡区每一均匀介质层在外加均匀应力边界条件下产生的平均应变为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}=\left(1-V\right){\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{V\ϵ}}_1={\mathrm{\ϵ}}^0+{\mathrm{V\ϵ}}^{*}\\ =\left\{I+V{\[L_0+\left(L_1-L_0\right)\left(VI+\left(1-V\right)S\right)\]}^{-1}\left(L_0-L_1\right)\right\}{\mathrm{\ϵ}}^0\\ =\left\{I+V{\[L_0+\left(L_1-L_0\right)\left(VI+\left(1-V\right)S\right)\]}^{-1}\left(L_0-L_1\right)\right\}{L}_0^{-1}\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}\end{array}---\left(16\right)$

进而由式(2)和(16)联立得到与夹杂相体积分数以及各相材料刚度张量相关的过渡区任一均匀介质层的等效模量为：

L＝{I+V[L₀+(L₁-L₀)(VI+(1-V)S)]^-1(L₀-L₁)}^-1L₀(17)。

3.如权利要求2所述的两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法，其特征在于：设定夹杂颗粒为球型夹杂，从而求得式(11)中材料的泊松比，其包括：

Eshelby张量包含两个独立分量α和β，由这两个独立分量表示的Eshelby张量的四阶张量形式为：

$S_{ijkl}=\frac{1}{3}{\mathrm{\α\δ}}_{ij}{\mathrm{\δ}}_{kl}+\frac{1}{2}\mathrm{\β}({\mathrm{\δ}}_{il}{\mathrm{\δ}}_{jk}+{\mathrm{\δ}}_{ik}{\mathrm{\δ}}_{jl}-\frac{2}{3}{\mathrm{\δ}}_{ij}{\mathrm{\δ}}_{kl})---\left(18\right)$

进一步由基体相的体积模量K₀和剪切模量G₀简写为：

S＝(9K₀K_p,4G₀G_p)＝(α,β)(19)

其中 $K_p=\frac{1}{3(4G_0+3K_0)},$ $G_p=\frac{3(2G_0+K_0)}{10G_0(4G_0+3K_0)},$

同时均匀介质层的等效模量以及基体和夹杂的模量均包含两个独立变量，即分别由体积模量和剪切模量表示为：

L＝(3K,2G)，L₀＝(3K₀,2G₀)，L₁＝(3K₁,2G₁)(20)

则由式(17)(19)(20)得到过渡区每一均匀介质层的等效体积模量和等效剪切模量分别为：

$K=\frac{K_0+(K_1-K_0)(V+9(1-V\left)K_0{K}_p\right)}{1+9(1-V)(K_1-K_0)K_p}---\left(21\right)$

$G=\frac{G_0+\left(V+4\left(1-V\right)G_0{G}_p\right)\left(G_1-G_0\right)}{1+4\left(1-V\right)\left(G_1-G_0\right)G_p}---\left(22\right)$

从而由式(11)得到所述材料泊松比。

4.如权利要求3所述的两相材料复合结构过渡区的等效弹性模量预测方法，其特征在于：在所述步骤三中，对于构成过渡区的各相材料，夹杂相的体积分数分布函数如下：

$V\left(x\right)={(1-\frac{x}{h})}^n---\left(23\right)$

依据体积守恒原则，得到过渡区基体相的体积分数分布为：

$V_0\left(x\right)=1-{(1-\frac{x}{h})}^n---\left(24\right)$

其中h为过渡区的厚度，n为描述过渡区分层层数的变量，x为由基体相向夹杂相的过渡距离，由式(17)(21)(22)以及式(23)(24)联立得到描述过渡区沿复合结构梯度方向等效模量的变化趋势，即过渡区的等效模量与x的关系显式：

$L={\{I+{(1-\frac{x}{h})}^n{\[L_0+(L_1-L_0)({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^{n}I+(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)S\right)\]}^{-1}(L_0-L_1)\}}^{-1}{L}_0---\left(25\right)$

$K=\frac{K_0+(K_1-K_0)({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n+9(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)K_0{K}_p\right)}{1+9\left(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\right)(K_1-K_0)K_p}---\left(26\right)$

$G=\frac{G_0+({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n+4(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\left)G_0{G}_p\right)(G_1-G_0)}{1+4\left(1-{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^n\right)(G_1-G_0)G_p}---\left(27\right).$