CN105260774A - 一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法 - Google Patents

Abstract

一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法，首先，基于构象空间退火思想，根据退火过程将整个差分进化算法分为两个阶段：全局探测模态阶段和模态内局部增强阶段；然后，在第一阶段，根据动态小生境半径值来选取差分个体，避免选取相似度较高的个体，从而根据差分限制变异策略生成高质量的新个体来维持种群的多样性，确保探测到所有模态；在第二阶段，根据种子个体的邻近个体生成新个体，从而对已探测到的模态进行高度搜索，以加快算法收敛速度。本发明简单、高效、优化结果良好、可以适用于大多数多模态优化问题。

Description

一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法

技术领域

本发明涉及一种智能优化、计算机应用领域，尤其涉及的是，一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法。

背景技术

在工程实践中存在着许多多模态优化问题，这些问题不仅需要在可行域内求得问题的一个全局最优解，往往还需要得到其它全局最优解和一些有意义局部最优解。例如，神经网络的结构及其权值的优化问题，现代投资组合问题及复杂系统参数及结构辨识问题等都是多模态优化问题。因此，如何构造出一种优化算法，使得其能够找到问题的所有全局最优解和尽可能多的局部最优解，即如何有效地求解多模态优化问题，是计算科学、智能优化等领域一个亟需解决的问题。

进化算法，作为一种基于种群的随机性搜索算法，比传统的优化算法有着更好的优势。在进化过程中，算法保持一定数量较好的种群，如果某些种群在整个进化过程中能够一直存活下来，则算法不仅能够得到最优解，而且能够获得一系列质量较好的局部最优解。然而，由于进化算法的贪婪特性，算法最后往往收敛至某个单一的最优解。鉴于此，探测并保存较好的模态成为多模态优算法的难点所在，也是算法设计的关键。

针对上述问题，国内外学者在进化算法中引入小生境思想，利用小生境方法来改进进化算法的进化策略，因此提出了一系列基于小生境的多模态优化方法，这些方法虽然在某些情况下能够解决一些多模态优化问题，但是由于多模态优化问题的解的个数不确定性、问题维数的不确定性以及适应度曲面的复杂性，这些方法对于一些实际应用问题仍力不从心。此外，小生境半径的取值也是一个极其具有挑战性的工作，小生境半径过大会导致形成过多的生境，从而导致计算量大，而达不到应有的效果，过小又会导致探测不到某些小于生境半径的模态，从而不能保证多模收敛。

因此，现有的多模态优化方法存在着缺陷，需要改进。

发明内容

为了克服现有的多模态优化方法的参数选择难、对于一些实际应用问题无法得到所有的全局最优解和质量较高的局部最优解、解的质量不高、计算量大等不足，本发明提出一种简单、高效、优化结果良好的、可以适用于大多数多模态优化问题的基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法，所述方法包括以下步骤：

1)初始化：设置种群规模N_P，交叉概率C_R，增益常数F，小生境半径阈值d_cut，函数评价次数阈值e_cut，种子个体附近个体的数目m；

2)随机生成初始种群P＝{x¹,x²,...,x^Np}，xⁱ,i＝1,2,…,Np表示种群中的第i个个体；

3)计算出各个体的目标函数值，并按目标函数值升序排序；

4)将当前种群中目标函数值最小的个体设置为种子个体x^seed，且将其它个体设置为自由个体，即未标记为种子的个体；

5)计算小生境半径：

5.1)根据公式(1)计算初始半径值d_initial；

$d_{initial}=\left(\underset{i=1}{\overset{N_p}{\Σ}}\underset{k=i+1}{\overset{N_P}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{\left(x_j^i-x_j^k\right)}^2}\right)/\left(N_p\left(N_p-1\right)/2\right)---\left(1\right)$

其中，表示种群中第i个个体xⁱ的第j维元素，表示种群中第k个个体x^k的第j维元素，N为问题维数，N_P为种群规模；

5.2)根据公式(2)计算小生境半径值r_d，其中FEs为函数评价次数；

$r_d=d_{initial}\·{\mathrm{as}}^{FEs}---\left(2\right)$

$as={\left(\frac{d_{cut}}{d_{initial}}\right)}^{\frac{1}{e_{cut}}}---\left(3\right)$

5.3)根据公式(4)确定当前小生境半径值r；

$r=\left\{\begin{array}{cc}{r}_d& if(r_d>d_{cut})\\ d_{cut}& if(r_d\≤d_{cut})\end{array}\right.---\left(4\right)$

6)扰动生成新个体：

6.1)如果在第一阶段，即小生境半径r大于阈值d_cut，则从整个种群中任意选取3个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_p},a≠b≠c}；

6.2)根据公式(5)计算差分个体x^b和x^c之间的欧氏距离d；

$d=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^b-x_j^c)}^2}---\left(5\right)$

其中，分别为种群中第b、c个个体的第j维元素；

6.3)判断d是否大于小生境半径r，若不满足，则重新从整个种群中随机选取差分个体x^b和x^c并返回步骤6.2)，直到满足d＞r为止；

6.4)根据公式(6)所示的差分限制变异策略进行变异：

$v_j^i=x_j^a+F\·(x_j^b-x_j^c),\left|\right|x^b-x^c\left|\right|>r---\left(6\right)$

其中，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，j＝1,2,…,N，N为问题维数，||x^b-x^c||＞r表示差分个体x^b和x^c之间的距离大于小生境半径r；

6.5)根据公式(7)进行交叉生成新个体trialⁱ：

${\mathrm{trial}}_j^i=\left\{\begin{array}{cc}{v}_j^i& \begin{array}{ccc}if(randb\left(0,1\right)\≤C_R& or& j=rnbr\left(j\right)\end{array}\\ x_j^i& otherwise\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，j＝1,2,…,N，表示种群中第i个目标个体对应的新个体trialⁱ的第j维元素，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，randb(0,1)表示为随机产生0到1之间的小数，rnbr(j)表示随机产生1到N之间的整数，C_R表示交叉概率；

6.6)如果在第二阶段，即小生境半径r小于或等于阈值d_cut，则根据公式(8)所示的各个体到种子个体的欧氏距离d_i选取种子个体x^seed的m个邻近体x^neigh：

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}---\left(8\right)$

其中，为种子个体x^seed的第j维元素；

6.7)根据公式(9)所示的种子邻近变异策略分别生成K＝-0.5和K＝1.5的变异个体：

$v_j^i=x_j^{seed}+K\·(x_j^{seed}-x_j^{neigh})---\left(9\right)$

其中，为种子邻近个体x^neigh的第j维元素；

6.8)根式公式(7)对步骤6.6)生成的变异个体进行交叉生成新个体；

7)对每个新个体进行种群更新：

7.1)根据公式(10)计算出当前种群中各个体与新个体trial的欧氏距离，并找出与其最近的个体x_nearest；

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-{\mathrm{trial}}_j^i)}^2}---\left(10\right)$

7.2)如果trial与x_nearest的距离d_nearest小于当前小生境半径r，且trial的目标函数值小于x_nearest的目标函数值，则trial替换x_nearest；

7.3)如果trial与x_nearest的距离d_nearest大于当前小生境半径r，则找出当前种群中目标函数值最大的个体x_worst，若trial的目标函数值小于x_worst的目标函数值，则trial替换x_worst；

8)选取新种子：

8.1)根据公式(11)计算出当前种群中各自由个体与种子个体x^seed的平均距离d_ave，其中，N_F为自由个体的数目；

$d_{ave}=\underset{i=1}{\overset{N_F}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}/N_F---\left(11\right)$

8.2)如果某一自由个体与当前种子个体x^seed之间的距离大于d_ave，则将其标记为新种子；

9)如果当前种群中的所有个体都为种子个体，则为一代结束，并返回步骤3)；

10)判断是否满足终止条件，如果满足，则保存结果并退出。

进一步，所述步骤10)中，终止条件为函数评价次数。当然，也可以为其他终止条件。

本发明的技术构思为：基于构象空间退火思想，根据退火过程将整个差分进化算法分为两个阶段：全局探测模态阶段和模态内局部增强阶段；在第一阶段，根据动态小生境半径值来选取差分个体，避免选取相似度较高的个体，从而根据差分限制变异策略生成高质量的新个体来维持种群的多样性，确保探测到所有模态；在第二阶段，根据种子个体的邻近个体生成新个体，从而对已探测到的模态进行高度搜索，以加快算法收敛速度。

本发明的有益效果表现在：一方面，根据退火策略来动态调整小生境半径，避免参数选择不当而影响算法的性能；另一方面，根据动态退火过程将算法分为两个阶段，并在各阶段设计合适的变异策略来生成新个体，在保证算法多模收敛的同时加快算法的收敛速度，从而求得高质量的解。

附图说明

图1是基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法基本流程图。

图2是种子邻近变异策略示意图。其中，A为种子个体，B和E和A的邻近个体，C和D为邻近个体B分别在K＝1.5和K＝-0.5时根据邻近变异策略生成的新个体，F和G为邻近个体E分别在K＝1.5和K＝-0.5时根据邻近变异策略生成的新个体。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1和图2，一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法，包括以下步骤：

1)初始化：设置种群规模N_P，交叉概率C_R，增益常数F，小生境半径阈值d_cut，函数评价次数阈值e_cut，种子个体附近个体的数目m；

2)随机生成初始种群P＝{x¹,x²,...,x^Np}，xⁱ,i＝1,2,…,Np表示种群中的第i个个体；

3)计算出各个体的目标函数值，并按目标函数值升序排序；

4)将当前种群中目标函数值最小的个体设置为种子个体x^seed，且将其它个体设置为自由个体，即未标记为种子的个体；

5)计算小生境半径：

5.1)根据公式(1)计算初始半径值d_initial；

$d_{initial}=\left(\underset{i=1}{\overset{N_p}{\Σ}}\underset{k=i+1}{\overset{N_P}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^k)}^2}\right)/\left(N_p\right(N_p-1)/2)---\left(12\right)$

其中，表示种群中第i个个体xⁱ的第j维元素，表示种群中第k个个体x^k的第j维元素，N为问题维数，N_P为种群规模；

5.2)根据公式(2)计算小生境半径值r_d，其中FEs为函数评价次数；

r_d＝d_initial·as^FEs(13)

$as={\left(\frac{d_{cut}}{d_{initial}}\right)}^{\frac{1}{e_{cut}}}---\left(14\right)$

5.3)根据公式(4)确定当前小生境半径值r；

$r=\left\{\begin{array}{cc}{r}_d& if\left(r_d>d_{cut}\right)\\ d_{cut}& if\left(r_d\≤d_{cut}\right)\end{array}\right.---\left(15\right)$

6)扰动生成新个体：

6.1)如果算法在第一阶段，即小生境半径r大于阈值d_cut，则从整个种群中任意选取3个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_p},a≠b≠c}；

6.2)根据公式(5)计算差分个体x^b和x^c之间的欧氏距离d；

$d=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^b-x_j^c)}^2}---\left(16\right)$

其中，分别为种群中第b、c个个体的第j维元素；

6.3)判断d是否大于小生境半径r，若不满足，则重新从整个种群中随机选取差分个体x^b和x^c并返回步骤6.2)，直到满足d＞r为止；

6.4)根据公式(6)所示的差分限制变异策略进行变异：

$v_j^i=x_j^a+F\·(x_j^b-x_j^c),\left|\right|x^b-x^c\left|\right|>r---\left(17\right)$

其中，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，j＝1,2,…,N，N为问题维数，||x^b-x^c||＞r表示差分个体x^b和x^c之间的距离大于小生境半径r；

6.5)根据公式(7)进行交叉生成新个体trialⁱ：

${\mathrm{trial}}_j^i=\left\{\begin{array}{cc}{v}_j^i& \begin{array}{ccc}if(randb\left(0,1\right)\≤C_R& or& j=rnbr\left(j\right)\end{array}\\ x_j^i& otherwise\end{array}\right.---\left(18\right)$

其中，j＝1,2,…,N，表示种群中第i个目标个体对应的新个体trialⁱ的第j维元素，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，randb(0,1)表示为随机产生0到1之间的小数，rnbr(j)表示随机产生1到N之间的整数，C_R表示交叉概率；

6.6)如果算法在第二阶段，即小生境半径r小于或等于阈值d_cut，则根据公式(8)所示的各个体到种子个体的欧氏距离d_i选取种子个体x^seed的m个邻近体x^neigh：

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}---\left(19\right)$

其中，为种子个体x^seed的第j维元素；

6.7)根据公式(9)所示的种子邻近变异策略分别生成K＝-0.5和K＝1.5的变异个体：

$v_j^i=x_j^{seed}+K\·(x_j^{seed}-x_j^{neigh})---\left(20\right)$

其中，为种子邻近个体x^neigh的第j维元素；

6.8)根式公式(7)对步骤6.6)生成的变异个体进行交叉生成新个体；

7)对每个新个体进行种群更新：

7.1)根据公式(10)计算出当前种群中各个体与新个体trial的欧氏距离，并找出与其最近的个体x_nearest；

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-{\mathrm{trial}}_j^i)}^2}---\left(21\right)$

7.2)如果trial与x_nearest的距离d_nearest小于当前小生境半径r，且trial的目标函数值小于x_nearest的目标函数值，则trial替换x_nearest；

7.3)如果trial与x_nearest的距离d_nearest大于当前小生境半径r，则找出当前种群中目标函数值最大的个体x_worst，若trial的目标函数值小于x_worst的目标函数值，则trial替换x_worst；

8)选取新种子：

8.1)根据公式(11)计算出当前种群中各自由个体与种子个体x^seed的平均距离d_ave，其中，N_F为自由个体的数目；

$d_{ave}=\underset{i=1}{\overset{N_F}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}/N_F---\left(22\right)$

8.2)如果某一自由个体与当前种子个体x^seed之间的距离大于d_ave，则将其标记为新种子；

9)如果当前种群中的所有个体都为种子个体，则为一代结束，并返回步骤3)；

10)判断是否满足终止条件，如果满足，则保存结果并退出。

进一步，所述步骤10)中，终止条件为函数评价次数。当然，也可以为其他终止条件。

本实施例以经典的2维Shubert函数为实施例，一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法，其中包含以下步骤：

1)初始化：设置种群规模N_P＝100，交叉概率C_R＝0.5，增益常数F＝0.5，小生境半径阈值d_cut＝2.0，函数评价次数阈值e_cut＝10000，种子个体附近个体的数目m＝2；

2)随机生成初始种群P＝{x¹,x²,...,x^Np}，xⁱ,i＝1,2,…,Np表示种群中的第i个个体；

3)计算出各个体的目标函数值，并按目标函数值升序排序；

4)将当前种群中目标函数值最小的个体设置为种子个体x^seed，且将其它个体设置为自由个体，即未标记为种子的个体；

5)计算小生境半径：

5.1)根据公式(1)计算初始半径值d_initial；

$d_{initial}=\left(\underset{i=1}{\overset{N_p}{\Σ}}\underset{k=i+1}{\overset{N_P}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{\left(x_j^i-x_j^k\right)}^2}\right)/\left(N_p\left(N_p-1\right)/2\right)---\left(23\right)$

其中，表示种群中第i个个体xⁱ的第j维元素，表示种群中第k个个体x^k的第j维元素，N为问题维数，N_P为种群规模；

5.2)根据公式(2)计算小生境半径值r_d，其中FEs为函数评价次数；

r_d＝d_initial·as^FEs(24)

$as={\left(\frac{d_{cut}}{d_{initial}}\right)}^{\frac{1}{e_{cut}}}---\left(25\right)$

5.3)根据公式(4)确定当前小生境半径值r；

$r=\left\{\begin{array}{cc}{r}_d& if(r_d>d_{cut})\\ d_{cut}& if(r_d\≤d_{cut})\end{array}\right.---\left(26\right)$

6)扰动生成新个体：

6.1)如果算法在第一阶段，即小生境半径r大于阈值d_cut，则从整个种群中任意选取3个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_p},a≠b≠c}；

6.2)根据公式(5)计算差分个体x^b和x^c之间的欧氏距离d；

$d=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^b-x_j^c)}^2}---\left(27\right)$

其中，分别为种群中第b、c个个体的第j维元素；

6.3)判断d是否大于小生境半径r，若不满足，则重新从整个种群中随机选取差分个体x^b和x^c并返回步骤6.2)，直到满足d＞r为止；

6.4)根据公式(6)所示的差分限制变异策略进行变异：

$v_j^i=x_j^a+F\·(x_j^b-x_j^c),\left|\right|x^b-x^c\left|\right|>r---\left(28\right)$

其中，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，j＝1,2,…,N，N为问题维数，||x^b-x^c||＞r表示差分个体x^b和x^c之间的距离大于小生境半径r；

6.5)根据公式(7)进行交叉生成新个体trialⁱ：

${\mathrm{trial}}_j^i=\left\{\begin{array}{cc}{v}_j^i& \begin{array}{ccc}if(randb\left(0,1\right)\≤C_R& or& j=rnbr\left(j\right)\end{array}\\ x_j^i& otherwise\end{array}\right.---\left(29\right)$

其中，j＝1,2,…,N，表示种群中第i个目标个体对应的新个体trialⁱ的第j维元素，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，randb(0,1)表示为随机产生0到1之间的小数，rnbr(j)表示随机产生1到N之间的整数，C_R表示交叉概率；

6.6)如果算法在第二阶段，即小生境半径r小于或等于阈值d_cut，则根据公式(8)所示的各个体到种子个体的欧氏距离d_i选取与种子个体x^seed最近的个体x^neigh；

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}---\left(30\right)$

其中，为种子个体x^seed的第j维元素

6.7)根据公式(9)所示的种子邻近变异策略分别生成K＝-0.5和K＝1.5的变异个体；

$v_j^i=x_j^{seed}+K\·(x_j^{seed}-x_j^{neigh})---\left(31\right)$

其中，为种子邻近个体x^neigh的第j维元素；

6.8)根式公式(7)对步骤6.6)生成的变异个体进行交叉生成新个体；

7)对每个新个体进行种群更新：

7.1)根据公式(10)计算出当前种群中各个体与新个体trial的欧氏距离，并找出与其最近的个体x_nearest；

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-{\mathrm{trial}}_j^i)}^2}---\left(32\right)$

7.2)如果trial与x_nearest的距离d_nearest小于当前小生境半径r，且trial的目标函数值小于x_nearest的目标函数值，则trial替换x_nearest；

7.3)如果trial与x_nearest的距离d_nearest大于当前小生境半径r，则找出当前种群中目标函数值最大的个体x_worst，若trial的目标函数值小于x_worst的目标函数值，则trial替换x_worst；

8)选取新种子：

8.1)根据公式(11)计算出当前种群中各自由个体与种子个体x^seed的平均距离d_ave，其中，N_F为自由个体的数目；

$d_{ave}=\underset{i=1}{\overset{N_F}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}/N_F---\left(33\right)$

8.2)如果某一自由个体与当前种子个体x^seed之间的距离大于d_ave，则将其标记为新种子；

9)如果当前种群中的所有个体都为种子个体，则为一代结束，并返回步骤3)；

10)判断是否函数评价次数是否达到了30000，如果已达到，则保存结果并退出。

以2维Shubert函数为实施例，本方法在30次独立运行中均找到了2维Shubert函数的所有全局最优解(18个)和其他一些高质量的局部最优解，成功率为100％。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出来的优良优化效果，显然本发明不仅适合上述实施例，而且可以应用到实际工程中的各个领域(如蛋白质结构预测，电力系统，路径规划等优化问题)，同时在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及内容的前提下可对其做种种变化加以实施。

Claims (2)

1.一种基于构象空间退火的两阶段差分进化多模态优化方法，其特征在于：所述优化方法包括以下步骤：

1)初始化：设置种群规模N_P，交叉概率C_R，增益常数F，小生境半径阈值d_cut，函数评价次数阈值e_cut和种子个体附近个体的数目m；

2)随机生成初始种群P＝{x¹,x²,...,x^Np}，xⁱ,i＝1,2,…,Np表示种群中的第i个个体；

3)计算出各个体的目标函数值，并按目标函数值升序排序；

4)将当前种群中目标函数值最小的个体设置为种子个体x^seed，且将其它个体设置为自由个体，即未标记为种子的个体；

5)计算小生境半径：

5.1)根据公式(1)计算初始半径值d_initial；

$d_{initial}=\left(\underset{i=1}{\overset{N_p}{\Σ}}\underset{k=i+1}{\overset{N_P}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_i^k)}^2}\right)/\left(N_p\right(N_p-1)/2)---\left(1\right)$

其中，表示种群中第i个个体xⁱ的第j维元素，表示种群中第k个个体x^k的第j维元素，N为问题维数，N_P为种群规模；

5.2)根据公式(2)计算小生境半径值r_d，其中FEs为函数评价次数；

r_d＝d_initial·as^FEs(2)

$as={\left(\frac{d_{cut}}{d_{initial}}\right)}^{\frac{1}{e_{cut}}}---\left(3\right)$

5.3)根据公式(4)确定当前小生境半径值r；

$r=\left\{\begin{array}{cc}{r}_d& if(r_d>d_{cut})\\ d_{cut}& if\left(r_d\≤d_{cut}\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

6)扰动生成新个体：

6.1)如果在第一阶段，即小生境半径r大于阈值d_cut，则从整个种群中任意选取3个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_p},a≠b≠c}；

6.2)根据公式(5)计算差分个体x^b和x^c之间的欧氏距离d；

$d=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^b-x_j^c)}^2}---\left(5\right)$

其中，分别为种群中第b、c个个体的第j维元素；

6.3)判断d是否大于小生境半径r，若不满足，则重新从整个种群中随机选取差分个体x^b和x^c并返回步骤6.2)，直到满足d＞r为止；

6.4)根据公式(6)所示的差分限制变异策略进行变异：

$v_j^i=x_j^a+F\·(x_j^b-x_j^c),\left|\right|x^b-x^c\left|\right|>r---\left(6\right)$

其中，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，j＝1,2,…,N，N为问题维数，||x^b-x^c||＞r表示差分个体x^b和x^c之间的距离大于小生境半径r；

6.5)根据公式(7)进行交叉生成新个体trialⁱ：

${\mathrm{trial}}_j^i=\left\{\begin{array}{cc}{v}_j^i& \begin{array}{ccc}if(randb\left(0,1\right)\≤C_R& or& j=rnbr\left(j\right)\end{array}\\ x_j^i& otherwise\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，j＝1,2,…,N，表示种群中第i个目标个体对应的新个体trialⁱ的第j维元素，为种群中第i个目标个体对应的变异个体的第j维元素，randb(0,1)表示为随机产生0到1之间的小数，rnbr(j)表示随机产生1到N之间的整数，C_R表示交叉概率；

6.6)如果在第二阶段，即小生境半径r小于或等于阈值d_cut，则根据公式(8)所示的各个体到种子个体的欧氏距离d_i选取种子个体x^seed的m个邻近体x^neigh：

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}---\left(8\right)$

其中，为种子个体x^seed的第j维元素；

6.7)根据公式(9)所示的种子邻近变异策略分别生成K＝-0.5和K＝1.5的变异个体：

$v_j^i=x_j^{seed}+K\·(x_j^{seed}-x_j^{neigh})---\left(9\right)$

其中，为种子邻近个体x^neigh的第j维元素；

6.8)根式公式(7)对步骤6.6)生成的变异个体进行交叉生成新个体；

7)对每个新个体进行种群更新：

7.1)根据公式(10)计算出当前种群中各个体与新个体trial的欧氏距离，并找出与其最近的个体x_nearest；

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-{\mathrm{trial}}_j^i)}^2}---\left(10\right)$

7.2)如果trial与x_nearest的距离d_nearest小于当前小生境半径r，且trial的目标函数值小于x_nearest的目标函数值，则trial替换x_nearest；

7.3)如果trial与x_nearest的距离d_nearest大于当前小生境半径r，则找出当前种群中目标函数值最大的个体x_worst，若trial的目标函数值小于x_worst的目标函数值，则trial替换x_worst；

8)选取新种子：

8.1)根据公式(11)计算出当前种群中各自由个体与种子个体x^seed的平均距离d_ave，其中，N_F为自由个体的数目；

$d_{ave}=\underset{i=1}{\overset{N_F}{\Σ}}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{(x_j^i-x_j^{seed})}^2}/N_F---\left(11\right)$

8.2)如果某一自由个体与当前种子个体x^seed之间的距离大于d_ave，则将其标记为新种子；

9)如果当前种群中的所有个体都为种子个体，则为一代结束，并返回步骤3)；

10)判断是否满足终止条件，如果满足，则保存结果并退出。

2.如权利要求1所述的一种基于动态小生境半径差分进化的多模态优化方法，其特征在于：所述步骤10)中，终止条件为函数评价次数。