CN105242680B - 一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法 - Google Patents

Abstract

一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法，本发明涉及相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法。本发明为了解决现有控制方案中控制器的设计复杂，求解过程麻烦，脉冲控制下航天器相对轨道转移过程对未知因素的应变能力弱，采用滑模控制，控制器会频繁切换，引起系统抖振，而且在现有的方法中没有考虑到实际工程中的控制器存在饱和，不能在有限时间内收敛到期望值以及在实际的工程应用中有一定的限制的问题。具体方法为：建立相对轨道运动动力学模型；将相对轨道运动动力学模型C‑W方程进行解耦，得到解耦后的双积分系统；根据解耦后的双积分系统设计有限时间饱和控制器。本发明应用于航天领域。

Description

一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制 方法

技术领域

本发明涉及相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法。

背景技术

随着我国政治、经济、科技等的快速发展，我国综合国力不断增强，航天事业也取得了一个又一个进步。从2000年开始，我国的航天事业进入了一个快速发展的重要阶段，从标志着我国在美国和前苏联之后拥有载人航天能力的“神舟”五号飞船的成功发射到“天宫”一号的成功对接，表明我国的航天事业已经走在了世界的前列。“神舟”五号的凯旋象征着我国已经掌握了载人航天技术。从“嫦娥”一号到“天宫”一号，表明我国不仅掌握了自主发射月球探测器的技术，还拥有了初步建立空间站的能力。

空间技术的发展逐渐从空间利用提升为空间控制，相对非合作目标的在轨服务、跟踪、监测等问题的研究越来越受到航天大国的关注和重视[1](苏晏,李克行,黎康.非合作目标追踪与相对状态保持控制技术研究[J].空间控制技术与应用,2010,06:51-55.)。相对轨道控制在空间非合作目标的跟踪、监测等空间任务中起到了举足轻重的作用，随着航天器机动性的增强，对空间非合作目标的跟踪与监测的精度、范围等要求也越来越高，干扰和打击的难度更是进一步加大，研究航天器的相对轨道转移已经成为航天领域的热点与难点。

目前航天器相对轨道控制大多采用脉冲控制的策略。文献[2]刘胜,钱勇,施伟璜,赵庆广.基于C-W方程的近程导引制导与控制方法[J].上海航天,2014,01:1-6.)根据C-W方程，给出了双脉冲和多脉冲控制策略，以控制精度和燃耗为控制指标，采用闭环多脉冲控制，并比较了双脉冲、等时间间隔多脉冲和闭环多脉冲的控制方法，得出闭环6脉冲具有一定的工程应用价值。文献[3](Luo Y Z,Zhang J,Li H,et al.Interactive optimizationapproach for optimal impulsive rendezvous using primer vector andevolutionary algorithms[J].ActaAstronautica,2010,67(3):396-405.)针对交会对接问题，结合基向量理论和进化算法，给出了燃料最优的非线性脉冲控制方法，优化设计的方法是寻求最优数量的脉冲以及最优脉冲矢量，该最优控制策略增加了一个交互式的中间脉冲。

虽然基于脉冲的相对轨道控制算法在工程上易于实现，但是由于脉冲控制的作用时间短，从而导致航天器无法灵活的应变未知因素，尽管在目前的工程应用上还无法实现连续控制，但是却可以实现近似逼近连续控制。文献[4](Yang X,Gao H,Shi P.Robustorbital transfer for low earth orbit spacecraft with small-thrust[J].Journalof the Franklin Institute,2010,347(10):1863-1887.)研究了处在低轨道卫星的自主交会的轨道控制问题，根据C-W方程将交会过程分解成位于轨道平面内的运动和位于平面外的运动，考虑小推力约束的条件下，基于线性矩阵不等式技术提出并证明了鲁棒控制器存在的充分条件。文献[5](Ma L,Meng X,Liu Z,et al.Suboptimal power-limitedrendezvous with fixed docking direction and collision avoidance[J].Journal ofGuidance,Control,and Dynamics,2012,36(1):229-239.)讨论了包含输入约束、燃料最优、障碍躲避的飞行器交会控制设计问题,并提出了所谓的两阶段高斯伪谱法，将飞行器轨迹优化问题转化成降维的二次规划问题，并给出了求解方案。但是，现在使用的连续控制方法基本上是利用渐近稳定的思想设计的，其稳定时间理论上是无穷大，而且为减小机动时间，完成快速机动，渐近稳定的控制器需增大增益，这不仅会放大系统噪声，而且在实际系统中难于实现。

方案一

文献[6](吴硕.空间相对轨道机动的鲁棒控制[D].哈尔滨工业大学,2011.)第3.2节针对目标航天器处在近圆轨道上时，研究了在轨道平均角速度摄动下的鲁棒性控制，针对航天器相对轨道C-W方程，基于PD状态反馈模型跟踪，进行了鲁棒性控制器设计。

方案的具体内容如下：

设两航天器处在小偏心率的近圆轨道上，采用C-W方程描述其相对运动关系：

式中，a_x,a_y,a_z是控制量，ω＝ω₀+Δω为轨道角速度，|Δω|≤k。

取x＝[x y z]^T，u＝[a_x a_y a_z]，y＝[x y z]^T，则式(4-1)可变为：

设计比例微分控制器为

将控制器代入式(4-2)，并化简成一阶形式：

矩阵对(F_e,M_e)具有对角形式的约当标准型Λ＝diag(s₁,s₂,…,s₆)的反馈控制器完全参数化形式如下：

V＝[N(s₁)g₁,N(s₂)g₂,…,N(s₆)g₆] (4-5)

W＝[D(s₁)g₁,D(s₂)g₂,…,D(s₆)g₆]

其中为自由参数向量，V_q是闭环系统矩阵对(F_e,M_e)相应的右特征向量矩阵。N(s)和D(s)满足右互质分解式：

(s²M₂+sM₁+M₀)^-1B＝N(s)D^-1(s) (4-6)

选取灵敏度的度量指标：

T_qi是(F_e,M_e)特征值s_i的左特征向量。(F_e,M_e)的阶参数摄动使s_i产生阶摄动。

提出综合性能指标：

其中α_i和β是加权系数。

根据指定的相对轨道机动任务，确定相应的跟踪信号，得到对应的参考模型：

是参考模型状态，则：

设Λ_m＝diag(s_m1,s_m2,…,s_m6)。则满足渐近跟踪的控制输入：

其中和满足：

通过性能指标(4-9)，由式(4-6)求解反馈控制器，进一步根据预设模型和式(4-12)、式(4-13)求解前馈控制器，从而完成轨道平均角速度摄动下的相对运动系统的鲁棒性控制器设计。

方案的缺点描述如下：

方案中控制器的设计相对复杂，求解过程比较麻烦，而且该控制方案并没有考虑到实际工程中的控制器存在饱和的问题，这限制了该控制方案的应用。同时，此控制方案并不能在有限时间内收敛到期望值。

方案二

文献[7](邬树楠,吴国强,孙兆伟.接近非合作目标的航天器相对轨道有限时间控制[J].大连理工大学学报,2013,06:885-892.)针对相对轨道的动力学方程，根据非奇异终端滑模技术，设计了航天器相对轨道有限时间控制器。

方案的具体内容如下：

追踪航天器与目标航天器的相对运动方程为

控制目标是使得两航天器的相对位置与相对速度在有限时间内达到其中v是追踪航天器停靠的目标位置。

设计控制器为：

其中k,k₁,k₂>0，a,b为奇数且满足b>a>0，τ＝η-v，且切换函数为

方案的缺点描述如下：

该控制方案虽然系统的控制目标是有限时间完成的，但是由于采用的是滑模控制，系统的控制器会频繁切换，引起系统抖振，而且该控制方案没能考虑到实际系统中控制器总是存在饱和的，也就是说该控制方案不是一个饱和的控制方案，在实际的工程应用中有一定的限制。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有控制方案中控制器的设计复杂，求解过程麻烦，脉冲控制下航天器相对轨道转移过程对未知因素的应变能力弱，采用滑模控制，控制器会频繁切换，引起系统抖振，而且在现有的方法中没有考虑到实际工程中的控制器存在饱和，不能在有限时间内收敛到期望值以及在实际的工程应用中有一定的限制的问题，而提出了一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、建立相对轨道运动动力学模型；

步骤二、将相对轨道运动动力学模型C-W方程进行解耦，得到解耦后的双积分系统；

步骤三、根据解耦后的双积分系统设计有限时间饱和控制器。

发明效果

1)本发明的控制器的形式为式(3-3)，相比其他的控制算法设计简单，不需要复杂的求解过程；

2)为解决脉冲控制下航天器相对轨道转移过程对未知因素的应变能力弱的缺点以及由于控制器频繁切换引起抖振问题，本专利采用连续控制方案，可以灵活应变航天器的未知因素；

3)为解决现有控制方案中系统的稳定是渐近稳定即稳定时间理论上为无穷大的问题，本专利采用有限时间控制理论设计有限时间控制器，使得系统状态能够在有限时间内稳定到平衡点；例如在实施例中，系统在大约4300s时已经达到稳定状态。

4)为了解决实际工程应用中控制器存在饱和，使得控制方案更具有工程应用价值，本专利结合饱和控制理论，设计的控制器为饱和控制器，可直接应用到实际的工程中。例如，在实施例中，要求控制器的最大输出幅值不超过，1m/s²所设计的控制器的输出幅值不超过0.6m/s²，满足控制器输出要求。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2为相对运动坐标系与地心惯性坐标系的关系图，O_I为地心，O_I-X_IY_IZ_I为地球惯性坐标系，ρ为追踪航天器与目标航天器之间的相对距离，r_s为目标航天器与地心的距离，r_c为追踪航天器与地心的距离，X_I、Y_I和Z_I为地球惯性坐标系三个坐标轴；

图3为y＝tanh(x)曲线与y＝x曲线图；

图4为i轴方向的位置x随时间变化曲线图；

图5为j轴方向的位置y随时间变化曲线图；

图6为k轴方向的位置z随时间变化曲线图；

图7为轨道转移的空间轨迹图；

图8为i轴控制加速度u_x随时间变化曲线图；

图9为j轴控制加速度u_y随时间变化曲线图；

图10为k轴控制加速度u_z随时间变化曲线图。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法，其特征在于，一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、建立相对轨道运动动力学模型；

步骤二、将相对轨道运动动力学模型C-W方程进行解耦，得到解耦后的双积分系统；

步骤三、根据解耦后的双积分系统设计有限时间饱和控制器。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中建立相对轨道运动动力学模型；具体过程为：

记目标航天器为o，追踪航天器为c，相对轨道运动坐标系为目标航天器o的轨道坐标系o-ijk，i、j、k为目标航天器三个坐标轴；轨道坐标系o-ijk与地心惯性坐标系O_I-X_IY_IZ_I的关系如图2所示；

在不考虑摄动的情况下，目标航天器的轨道为圆轨道，即e＝0，追踪航天器和目标航天器相对距离较近，一般为几十公里，取一次近似进行线性化，得到航天器相对轨道运动动力学模型的常系数线性微分方程组，称为hill方程，也称Clohessey-Whiltshire方程，得到相对轨道运动动力学模型，即C-W方程

式中，n为目标航天器的平均运动角速度，r_s为目标航天器到地心的距离，μ是地球引力常数；x为追踪航天器相对目标航天器的相对位置在o-ijk坐标系i轴上的分量，y为追踪航天器相对目标航天器的相对位置在o-ijk坐标系j轴上的分量，z为追踪航天器相对目标航天器的相对位置在o-ijk坐标系k轴上的分量，分别是x、y、z的一阶导数，分别为x、y、z的二阶导数，u_x为追踪航天器在o-ijk坐标系上i轴方向上施加的主动控制量，u_y为追踪航天器在o-ijk坐标系上j轴方向上施加的主动控制量，u_z为追踪航天器在o-ijk坐标系上k轴方向上施加的主动控制量。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中将相对轨道运动动力学模型C-W方程进行解耦，得到解耦后的双积分系统；具体过程为：

目标航天器处于地球静止轨道，目标航天器的平均运动角速度为：

对于两航天器相对距离较近的轨道转移问题，距离一般为几十公里，则n²与距离乘积的数量级一般为10^-5m/s²，n与速度乘积的数量级一般为10^-4m/s²，而连续控制所能达到的控制量的数量级一般为10^-2m/s²，

将相对轨道运动动力学模型按目标航天器的三个坐标轴i、j、k方向解耦，分别为目标航天器的三个坐标轴i、j、k方向的三个子系统的状态变量，T为转置，分别设计沿追踪航天器三个坐标轴i、j、k方向上施加的主动控制量u_x，u_y，u_z，得到解耦后的每一子系统都是形如式(3-2)所示的双积分系统，

式中，x₁为三个子系统中相对位置x，y，z，x₂为三个子系统中相对速度x₁、x₂为x₁(t)、x₂(t)的缩写，u为主动控制量u_x，u_y，u_z的通用表达式，u为u(t)的缩写。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤三中根据解耦后的双积分系统设计有限时间饱和控制器；具体过程为：

根据解耦后的双积分系统(3-2)，考虑到在实际的工程应用中，控制器的输出幅值是有一定的限制的，也就是说控制器是存在饱和的，因此，本专利利用有限时间稳定齐次性定理和饱和控制理论进行有限时间饱和控制器设计；

控制器的形式如下：

式中，u为主动控制量u_x，u_y，u_z的通用表达式，k₁为常数，k₂为常数，α₁为常数，α₂为常数；

因为tanh(|x₁|)≤1，tanh(|x₂|)≤1，由α₁,α₂知0<α₁<1,0<α₂<1，故 按照式(3-3)设计的控制器的幅值|u|≤k₁+k₂，由和知和是连续的函数，即式(3-3)设计的控制器是一个连续的控制器，综上可知，按照式(3-3)设计的控制器是一个连续的饱和控制器；

将控制器(3-3)代入双积分系统(3-2)，得

证明系统(3-4)全局渐近稳定以及全局有限时间稳定，过程为：

(1)全局渐近稳定

选取Lyapunov(李亚普诺夫)函数

式中，Lyapunov为李亚普诺夫函数，s为李亚普诺夫函数中的积分变量；

对其求导，可得

从式(3-6)得出函数V不是增函数，函数V极限存在且是有界的，则状态x₁和x₂有界；

求二阶导，可得

得出有界，一致连续，由Barbalat引理，即，假定x:[0,∞)→R一阶连续，且可微，而且t→∞时存在极限，那么若存在且有界，那么知则x₂→0，根据式(3-4)知有界，因此x₁和x₂一致连续；观察x₁x₂的运动方程

式中，t为时间；

则，对g₁(t)求一阶导，可得

得出有界，从而g₁(t)是一致连续的，由x₂→0知，g₂(t)→0，因此，由引理，即：假设函数f(t):R⁺→R是可导的，且当t→∞时极限存在。如果其导函数可以写成两个函数的和：

其中g₁(t)一致连续，若则有

知g₁(t)→0，x₁→0；因此，系统(3-4)全局渐近稳定；

(2)全局有限时间稳定

只要能证明系统(3-10)在Ω＝{(x₁,x₂)||x₁|≤0.5,|x₂|≤0.5}内是有限时间稳定的就能说明系统(3-4)是有限时间稳定的；

将等效后的控制器(3-10)代入双积分系统(3-2)，得到

第一步证明系统(3-11)在Ω内全局有限时间稳定，Ω＝{(x₁,x₂)||x₁|≤0.5,|x₂|≤0.5}；

选取Lyapunov函数

对其求导可得

得出函数V₁不是增函数，函数V₁极限存在且是有界的，则状态x₁和x₂有界；

则可验证有界，所以一致连续；根据Barbalat引理得到从而x₂→0，根据式(3-11)可得有界，因此x₁和x₂一致连续；观察x₁x₂的运动方程

因此，由引理:假设函数f(t):R⁺→R是可导的，且当t→∞时极限存在。如果其导函数可以写成两个函数的和：

其中g₁(t)一致连续，若则有

知h₁(t)→0，则x₁→0；系统(3-11)全局渐近稳定；

再证明具有负的齐次度。

根据齐次度的定义，

得到系统(3-11)的齐次度所以，

由有限时间稳定齐次性定理，得出系统(3-11)是全局有限时间稳定的；

综上所述，系统(3-4)全局有限时间稳定；

因此，控制器(3-3)为有限时间饱和控制器。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例的一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法，具体是按照以下步骤制备的：

为了证明本专利能够在有限的时间内完成相对轨道的转移任务，以50km到10km的最优转移为例，取[x₀，y₀，z₀]＝[24000，40000，18000]m，[x_f，y_f，z_f]＝[4800，8000，3600]m，要求末状态误差小于200m，每个坐标轴方向的连续推力所产生的控制加速度幅值不超过1m/s²。

选取实际值与期望值之差作为状态变量，按照式(3-3)分别对i轴、j轴、k轴设计控制器，由于要求控制加速度幅值不超过1m/s²，因此在参数选取的过程中应该使得k₁+k₂≤1，选取控制器参数：i轴参数k_1x＝0.3,k_2x＝0.3,α_1x＝0.8，j轴参数k_1y＝0.283,k_2y＝0.28,α_1y＝0.8，k轴参数k_1z＝0.3,k_2z＝0.3,α_1z＝0.8，使得k_1x+k_2x≤1，k_1y+k_2y≤1，k_1z+k_2z≤1，从而使得控制器的输出满足幅值要求。

1.1仿真结果与分析

图4、图5、图6追踪航天器在接近目标航天器过程中轨道参数随时间变化的曲线，从图中可以看出，系统的状态是在有限时间内到达期望值的，从局部图可以看出，经过大约4300s，追踪航天器完成轨道转移任务。在即将完成轨道转移阶段，轨道参数的变化比较剧烈。

图7为追踪航天器轨道转移的空间轨迹。

图8、图9、图10为追踪航天器三轴控制加速度随时间变化曲线，从图中可以看出，控制器的输出小于1m/s²，且是饱和的，满足控制要求。控制加速度在起始阶段和即将完成轨道转移阶段的控制加速度比较大，其余时刻控制加速度非常的小，这是因为在起始阶段实际轨道和期望值之间相差较大，即将完成轨道转移阶段，追踪航天器的轨道参数变化比较剧烈。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (1)

1.一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法，其特征在于一种相对非合作目标的航天器相对轨道有限时间抗饱和控制方法具体是按照以下步骤进行的：

步骤一、建立相对轨道运动动力学模型；

步骤二、将相对轨道运动动力学模型C-W方程进行解耦，得到解耦后的双积分系统；

步骤三、根据解耦后的双积分系统设计有限时间饱和控制器；

所述步骤一中建立相对轨道运动动力学模型；具体过程为：

记目标航天器为o，追踪航天器为c，相对轨道运动坐标系为目标航天器o的轨道坐标系o-ijk，i、j、k为目标航天器o的三个坐标轴；

在不考虑摄动的情况下，目标航天器的轨道为圆轨道，取一次近似进行线性化，得到相对轨道运动动力学模型，即C-W方程

式中，n为目标航天器的平均运动角速度，r_s为目标航天器到地心的距离，μ是地球引力常数；x为追踪航天器相对目标航天器的相对位置在o-ijk坐标系i轴上的分量，y为追踪航天器相对目标航天器的相对位置在o-ijk坐标系j轴上的分量，z为追踪航天器相对目标航天器的相对位置在o-ijk坐标系k轴上的分量，分别是x、y、z的一阶导数，分别为x、y、z的二阶导数，u_x为追踪航天器在o-ijk坐标系上i轴方向上施加的主动控制量，u_y为追踪航天器在o-ijk坐标系上j轴方向上施加的主动控制量，u_z为追踪航天器在o-ijk坐标系上k轴方向上施加的主动控制量；

所述步骤二中将相对轨道运动动力学模型C-W方程进行解耦，得到解耦后的双积分系统；具体过程为：

目标航天器处于地球静止轨道，目标航天器的平均运动角速度为：

将相对轨道运动动力学模型按目标航天器的三个坐标轴i、j、k方向解耦，分别为追踪航天器相对目标航天器的三个坐标轴i、j、k方向的三个子系统的状态变量，T为转置，分别设计追踪航天器在o-ijk坐标系三个坐标轴i、j、k方向上施加的主动控制量u_x，u_y，u_z，得到解耦后的每一子系统都是形如式(3-2)所示的双积分系统，

式中，x₁为三个子系统中相对位置x，y，z，x₂为三个子系统中相对速度x₁、x₂为x₁(t)、x₂(t)的缩写，u为主动控制量u_x，u_y，u_z的通用表达式，u为u(t)的缩写；

所述步骤三中根据解耦后的双积分系统设计有限时间饱和控制器；具体过程为：

根据解耦后的双积分系统(3-2)，利用有限时间稳定齐次性定理和饱和控制理论进行有限时间饱和控制器设计；

控制器的形式如下：

其中，

式中，u为主动控制量u_x，u_y，u_z的通用表达式，k₁为常数，k₂为常数，α₁为常数，α₂为常数；

因为tanh(|x₁|)≤1，tanh(|x₂|)≤1，由α₁,α₂知0<α₁<1,0<α₂<1，故 按照式(3-3)设计的控制器的幅值|u|≤k₁+k₂，由和知和是连续的函数，即式(3-3)设计的控制器是一个连续的控制器，综上可知，按照式(3-3)设计的控制器是一个连续的饱和控制器；

将控制器(3-3)代入双积分系统(3-2)，得

证明系统(3-4)全局渐近稳定以及全局有限时间稳定，过程为：

(1)全局渐近稳定

选取Lyapunov函数

式中，Lyapunov为李亚普诺夫函数，s为李亚普诺夫函数中的积分变量；

对其求导，可得

从式(3-6)得出函数V不是增函数，函数V极限存在且是有界的，则状态x₁和x₂有界；

求二阶导，可得

得出有界，一致连续，知则x₂→0，根据式(3-4)知有界，因此x₁和x₂一致连续；观察x₁x₂的运动方程

式中，t为时间；

记

则，对g₁(t)求一阶导，可得

得出有界，从而g₁(t)是一致连续的，由x₂→0知，g₂(t)→0，g₁(t)→0，x₁→0；因此，系统(3-4)全局渐近稳定；

(2)全局有限时间稳定

由(1)的结果可知，系统(3-4)在有限时间内进入区域Ω＝{(x₁,x₂)||x₁|≤0.5,|x₂|≤0.5}，根据y＝tanh(x)曲线与y＝x曲线，知此时等效为 等效为其中，控制器等效为

将等效后的控制器(3-10)代入双积分系统(3-2)，得到

证明系统(3-11)在Ω内全局有限时间稳定，Ω＝{(x₁,x₂)||x₁|≤0.5,|x₂|≤0.5}；

选取Lyapunov函数

对其求导可得

得出函数V₁不是增函数，函数V₁极限存在且是有界的，则状态x₁和x₂有界；

则可验证有界，所以一致连续，得到从而x₂→0，根据式(3-11)可得有界，因此x₁和x₂一致连续；观察x₁x₂的运动方程

记则由x₁有界可得有界，则h₁(t)是一致连续的；由x₂→0知h₂(t)→0；知h₁(t)→0，则x₁→0；系统(3-11)全局渐近稳定；

由有限时间稳定齐次性定理，得出系统(3-11)是全局有限时间稳定的；

综上所述，系统(3-4)全局有限时间稳定；

因此，控制器(3-3)为有限时间饱和控制器。