CN105205295B - 一种行波型旋转超声电机的建模方法 - Google Patents

一种行波型旋转超声电机的建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种行波型旋转超声电机的建模方法，是一种TRUM的“电—机—力”混合模型的建模方法，包括以下步骤：第一步：建立“电能－高频振动机械能”过程的定子等效电路模型；第二步：建立“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型；第三步，确定接口参数，获得TRUM“电—机—力”混合模型。该方法以实现按照机电换能关系对电机机理进行解构，通过对各个部分采用不同的方法建模，最终通过合理的接口参数将各部分模型进行联结，从而建立能够反映电机特性并且易于分析的电机混合模型，克服了现有TRUM建模方法存在的无法对定子的齿状结构进行描述、计算难度、复杂度增大和不实用的缺陷。

Description

一种行波型旋转超声电机的建模方法
技术领域
本发明的技术方案涉及一种微特电机的建模方法，具体地说是一种行波型旋转超声电机的建模方法。
背景技术
行波型旋转超声电机(以下简称为TRUM)是一种应用较为广泛的超声电机，其工作原理是输入高频电压通过压电陶瓷的逆压电效应激发定子弹性体超声频段的机械振动，两相振动驻波在定子中合成行波，从而引起弹性体表面质点的椭圆形运动，依靠接触摩擦驱动转子。在原理中，存在着能量由电能到振动机械能以及振动机械能到转动动能的两个能量转换过程，关于TRUM的建模方法也均围绕这两个过程开展。目前，已有的TRUM建模方法包括：
(1)解析建模，顾名思义，即采用纯数学解析表达式对TRUM的整个运行机理进行描述，该方法最早由Hagood等人提出〔Hagood Nesbitt W IV,McFarland Andrew J.Modelingof a Piezoelectric Rotary Ultrasonic Motor[J].IEEE Transactions onUltrasonics,Ferroelectrics,and Frequency Control,1995,42(2):210-224.〕，并经不断完善，该方法的缺陷是基于沿电机圆周展开的二维平面模型进行建模，忽略了沿电机径向的动力学分布，并且该方法无法对定子的齿状结构进行描述。
(2)半解析建模，该方法由南京航空航天大学超声电机研究中心的陈超提出〔陈超,曾劲松,赵淳生.旋转型行波超声电机理论模型的仿真研究[J].振动与冲击,2006,25(2):130-133.〕，通过对定子划分子结构，设定边界条件对电机进行建模。该方法的缺陷是在定转子接触中建模，对定子采用了有限元的方法，计算难度和复杂度增大。
(3)等效电路法建模，等效电路通常只针对第一个能量传递过程，通过定子机电耦合方程的等效变化，获得定子的等效电路模型。文献〔颜佳佳,阮新波.旋转型行波超声电机的等效电路模型[J].中国电机工程学报,2009,29(15):80-87.〕等提出了利用等效电路模型对整体电机进行建模的方法。该方法的缺陷是拘泥等效电路，使模型对第二个能量关系的描述变得复杂且等效电路的模型参数均是根据理论推导获得的参数，不具有实际中定转子接触作用产生的力、位移、速度等具体含义。
上述建模方法存在的缺陷不利于TRUM的能量由电能到振动机械能以及振动机械能到转动动能的两个能量转换过程运行控制，有必要提出一种新的TRUM的建模方法，以克服上述现有技术的缺陷。
发明内容
针对现有技术中存在的问题，本发明的目的在于，提供一种行波型旋转超声电机的建模方法，是一种TRUM“电—机—力”混合模型的建模方法，克服了现有TRUM建模方法存在的无法对定子的齿状结构进行描述、计算难度、复杂度增大和不实用的缺陷。
本发明解决该技术问题采用以下技术方案来实现：
一种行波型旋转超声电机的建模方法，是一种TRUM的“电—机—力”混合模型的建模方法，包括以下步骤：
第一步：建立“电能－高频振动机械能”过程的定子等效电路模型
通过对实体电机输入端的测量确定定子的两相等效电路的参数，A相和B相静态电容均直接利用数字电桥测量获得，两相介电损耗电阻以及LRC支路的等效电感、等效电阻和等效电容均通过“导纳圆”法获得，利用由此获得的参数，将定子的两相等效电路描述成一种一端口电路网络结构，该网络为一个静态电容Cd、一个介电损耗电阻Rd和一个LRC支路三者并联的网络结构，其中LRC支路上还串联一个电压为uFc的受控电压源，通过该受控电压源来表示定转子接触作用对定子的反馈；定子的两相等效电路共地连接，构成“电能－高频振动机械能”过程的定子等效电路模型；
第二步：建立“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型
A、离散接触点的确定及其三维运动方程，
沿定子弹性体圆周表面分布有m个齿状结构，而贴在定子底面的两相压电陶瓷将在特定的激励电压作用下在定子中激发k个行波，k能整除m，根据行波的对称性，沿圆周任一个波长λ下的动力学状态相同，则在一个波长λ下分布有l＝m/k个定子齿；将每个定子齿与转子环形摩擦层的面接触等效为接触面中点的点接触，则确定了沿圆周一个波长λ下的l个离散接触点，并按顺序从0到l-1编号，编号为j的任一离散接触点沿圆周的位置为kθ(j)＝2πj/l，其中j＝0,1,…,l-1，则该离散接触点的径向r、周向θ和轴向z的三维运动方程可表示为公式(1)：
其中，Φr、Φθ和Φz分别为离散接触点在径向r、周向θ和轴向z的位移分布常数，w＝[wA,wB]T为两相振动模态，将从第一步建模中获得；
B、确定定子轴向运动而对转子产生的轴向压力，并求解接触边界，
B-1、确定定子轴向运动而对转子产生的轴向压力
由于定子轴向运动而对转子产生的轴向压力Fz可表示为各个离散轴向作用力之和，用公式(2)表示：
定转子一个波长下的接触范围仅存在于关于波峰对称的[-kθ0,kθ0]区间内，而各个离散接触点的离散轴向作用力又因实际定子齿与转子摩擦层的接触状态可分为全接触、部分接触和不接触三种，离散接触点的离散轴向作用力可表示为公式(3)：
式中，θteeth＝2π/m为每个定子齿的实际作用范围，为kθ(j)变换到以行波波峰的周向位置为原点的运动坐标系下的周向位置，对应关系为而z1为转子摩擦层未形变面的轴向位移，通过公式(4)得到：
z1＝Φzw(t)cos kθ0 (4)
为为避免时出现无穷大值所设置的补偿项， 为等效刚度系数，通过公式(5)求得；
其中rc为接触半径；cN为摩擦层的线性等效刚度系数，有cN＝E·b/h，E为摩擦材料的杨氏模量，b为摩擦层宽度，h为摩擦层厚度；θ0为接触边界；
B-2、求解接触边界θ0
式(3)中可进一步展开，并统一写成如下的形式：
则定子轴向运动而对转子产生的轴向压力Fz进行展开，展开式为公式(7)：
转子的轴向动力学方程：
式中，MR、DR分别为转子的质量和轴向阻尼，Fapplied为通过压簧将转子压在定子上的预压力，zR为转子轴向位移，且有：zR＝z1+z0，为TRUM的静态形变位移，为常数；
将公式(7)带入公式(8)，并进行Laplace变化，得到转子摩擦层未形变面的轴向位移z1的动态传递函数形式，即公式(9)：
将公式(9)带入公式(4)中，即可动态求解得到接触边界θ0；
C、求解离散接触点的周向和径向摩擦力
各个定子离散接触点作用于转子的摩擦力与离散轴向作用力成正比：
其中，μ为摩擦因数，
但各个定子离散接触点作用于转子的摩擦力在径向和周向的分量取决于定转子离散接触点间的相对速度，编号为j的定子离散接触点的径向、周向速度分别为用公式(11)表示：
如果离散接触点处转子的旋转线速度为vR，则定子离散接触点作用于转子的摩擦力在径向和周向两个方向上的分量和可表示为公式(12)：
其中，径向摩擦力不对转子做功，仅仅产生损耗；周向摩擦力所做的功也取决于离散接触点处的方向，周向摩擦力产生输出转矩Te：
D、获得输出转矩，建立“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型
周向摩擦力产生输出转矩Te，可用公式(13)表示：
结合电机的运动方程，即公式(14)：
其中，JR为转子的转动惯量，ωR为转子旋转角速度，Tload为负载转矩；离散接触点处转子的旋转线速度为vR，且满足关系：vR＝ωR·rc；
至此，建立好了“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型；
第三步，确定接口参数，获得TRUM“电—机—力”混合模型
第二步所需的两相振动模态w＝[wA,wB]T可通过第一步所建立的定子等效电路模型获得，即
其中，i1＝[i1A,i1B]T分别为A、B两相等效电路中LRC支路的电流，Θ为机电耦合常数；
第一步等效电路模型中受控电压源的电压uFc＝[uFcA,uFcB]T则由第二步求解得到：
其中FC＝[FCA,FCB]为定转子界面接触模态力：
其中
利用确定的两相振动模态w和受控电压源的电压uFc这两个接口参数，完成与第一步和第二步所建立的模型的连接，获得TRUM“电—机—力”混合模型，最终完成行波型旋转超声电机的建模。
本发明的技术方案具有如下有益效果：
本发明方法突出的实质性特点是，本发明由于电机运行过程当中主要有两个能量转换的过程：一个是定子压电陶瓷的“电能—高频振动机械能”的能量转换，另一个是定转子接触面的“高频振动机械能—转动动能”的能量转换，两个能量传递过程联结了电气原理(简称“电”)，机械振动(简称“机”)，摩擦驱动(简称“力”)在内的多元理论，因此本发明所建立的电机的混合模型称为TRUM“电—机—力”混合模型。
该方法以实现按照机电换能关系对电机机理进行解构，通过对各个部分采用不同的方法建模，最终通过合理的接口参数将各部分模型进行联结，从而建立能够反映电机特性并且易于分析的电机混合模型，该模型具有电气接口，可通过仿真软件，调用电气模块在仿真软件中设计驱动电路，从而直接和模型连接，通过模型仿真获得TRUM运行时的状态量，验证驱动器设计的正确与否，验证驱动效果如何；另外，可作为控制算法研究中的仿真试验模型，验证控制算法的稳定性、收敛性和控制效果，并对实际电机实验中不可测或不易测量的状态参数进行观测，为实际电机的控制提供参考。
与现有技术相比，本发明一种行波型旋转超声电机的建模方法显著的进步是，本发明从TRUM运行过程中的两个能量转换入手，在保留了等效电路模型对第一个能量转换过程的建模的基础上，创造性地针对第二个能量过程提出建立基于定子齿的离散接触子模型，并通过接口参数组成TRUM的混合模型。该建模方法为TRUM研究中驱动控制电路设计提供了电气输入接口(定子等效电路模型)，同时简化了定转子接触动力学研究中强耦合、非线性的求解过程(定转子离散接触模型)，但仍能准确反映电机的运行机理。从而实现了TRUM动力学理论分析和驱动控制研究的紧密结合，为TRUM的控制提供了模型基础。
本发明以实现按照机电换能关系对电机机理进行解构，对电机定子部分，采用定子等效电路方法进行建模，并且用导纳圆方法对定子等效电路中的参数进行辨识，而对于定转子接触部分，采用按定子齿离散的分析方法建模，最后通过合理的接口参数将各部分模型进行联结，最终建立TRUM“电—机—力”混合模型，该建模方法能更好的描述定子的齿状结构，且能够准确反映TRUM的电机内部接触动态过程，易于分析，计算简单，方便操作，能够广泛用于驱动电路设计和TRUM的性能研究中。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
图1为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的TRUM定子两相等效电路图；
图2为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的TRUM接触界面离散化示意图；
图3为一个波长下l＝8情况下，某时刻定转子接触区域沿圆周展开的定转子接触状态示意图；
图4为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的一种实施例中定子离散接触点速度和转子所受摩擦力的示意图；
图5为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的定转子离散接触模型框图；
图6为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的TRUM“电-机-力”混合模型结构框图；
图中，1.转子，2.定子，3.接触面，4.摩擦层。
具体实施方式
图1为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的TRUM定子两相等效电路图，也就是本发明方法所建立的定子等效电路模型，定子的A、B两相等效电路均为一个一端口电路网络结构，A相等效电路为一个静态电容CdA、一个介电损耗电阻RdA和一个LRC支路同时并联在A相电压uA两端构成，其中LRC支路由等效电感LmA、等效电阻RmA、等效电容CmA以及受控电压源的电压uFcA依次串联构成。B相等效电路为一个静态电容CdB、一个介电损耗电阻RdB和一个LRC支路同时并联在B相电压uB两端构成，其中LRC支路由等效电感LmB、等效电阻RmB、等效电容CmB以及受控电压源的电压uFcB依次串联构成。A相等效电路和B相等效电路的负极共地连接。受控电压源的电压uFcA、uFcB为定转子离散接触模型通过界面模态力FC对定子等效电路模型的反馈作用，有：
其中，uFc＝[uFcA,uFcB]T，Θ为机电耦合常数；
两相的LRC支路中等效电感分别为LmA、LmB，等效电阻RmA、RmB、等效电容CmA、CmB，这些参数可通过“导纳圆”法获得，所述“导纳圆”法为一种公知的测量压电陶瓷等效电路参数的方法；
两相的LRC支路中的电流i1A、i1B，也是定子等效电路模型与定转子离散接触模型间的接口参数，所需的两相振动模态w＝[wA,wB]T可通过i1＝[i1A,i1B]T得到：
图2为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的TRUM接触界面离散化示意图。图为TRUM的局部结构，上边一部分为圆形转子，即图中的1代表转子，转子边沿向下延伸形成环形的底面，底面上附有宽为b、厚为h的摩擦层4；下边一部分为定子，即图中的2代表定子，定子的上表面沿圆周分布有m个突出的定子齿，转子通过压簧压在定子上，每个定子齿与转子的摩擦层形成一个小的接触面3，平均接触半径为rc。将每个定子齿上的“面－面”接触作用等效为接触面中点的“点－点”接触，则实现了离散接触转化，根据行波的对称性，沿圆周任一个波长λ下的动力学状态相同，则在一个波长λ下分布有l＝m/k个定子齿，将每个定子齿与转子环形摩擦层的面接触等效为接触面中点的点接触，则确定了沿圆周一个波长λ下的l个离散接触点，图中按从左到右的顺序依次对l个离散接触点从0到l-1编号，编号为j的任一离散接触点沿圆周的位置为kθ(j)＝2πj/l；电机工作时，在三维柱坐标系(轴向ez、周向eθ、径向er)中，编号为j的离散接触点在三个坐标下的位移可表示为公式(1)：
其中，Φr、Φθ和Φz分别为离散接触点在径向r、周向θ和轴向z的位移分布常数，w＝[wA,wB]T为两相振动模态。
图3所示实施例为一个波长下l＝8情况下，某时刻定转子接触区域沿圆周展开的定转子接触状态示意图，沿圆周一个波长λ下有8个离散接触点，图中按从左到右的顺序依次对8个离散接触点从0到7编号，任一离散接触点用j表示，j＝0的离散接触点位于行波波峰处，图中给出的最后一个定子齿接触状态与j＝0相同，属于下一个行波波长的起始离散接触点。转子1在压簧作用下受到向下的预压力Fapplied压在定子2上，定子中两相模态合成行波的传播方向为向右，转子1在定子齿表面摩擦力作用下将向左运动，同时转子1在定子2的作用下向上运动，转子轴向位移为zR。z1为转子摩擦层未形变面的轴向位移，定子齿离散化后各个离散接触点如图中所示，其中编号j＝0,1,7的离散点处于全接触状态；j＝2,6的离散点处于部分接触状态，j＝3,4,5的离散点处于不接触状态，对应每个离散接触点，转子的摩擦层4可等效为8个具有等效刚度系数的弹簧。等效刚度系数通过公式(5)求得；
其中rc为接触半径；cN为摩擦层的线性等效刚度系数，有cN＝E·b/h，E为摩擦材料的杨氏模量，b为摩擦层宽度，h为摩擦层厚度；θ0为接触边界。
图4所示为本发明行波型旋转超声电机的建模方法的定子离散接触点速度和转子所受摩擦力的示意图，给出了定转子离散接触点j的径向速度、周向速度和摩擦力情况。图中的1代表转子，2代表定子，转子边沿向下延伸形成环形的底面，底面上附有宽为b、厚为h的摩擦层4；定子的上表面沿圆周分布有m个突出的定子齿，转子1通过压簧压在定子2上，每个定子齿与转子的摩擦层4形成一个小的接触面3。在三维柱坐标系(轴向ez、周向eθ、径向er)中，定子2的径向速度和周向速度分别为和转子1的线速度为vR，沿定子的周向定子离散接触点相对于转子的速度为则定子离散接触点相对于转子的速度的实际速度，即合成速度为
于是与定子接触点P相对应的转子接触点P′处所受到的径向和周向的摩擦力分别为和用公式(12)表示：
其中的表示定子离散接触点作用于转子的摩擦力，即离散接触点所受到的摩擦合力，与离散接触点的离散轴向作用力成正比且与合成速度vsys同向。
图5所示实施例表明，本发明定转子离散接触模型由本发明中的公式(1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(9)、(11)、(12)、(13)、(17)及其它展开后的运算关系连接而成。该模型按定子齿离散，将齿面接触转化为离散点接触，并通过关系获得一个波长λ下离散接触点在以行波波峰的周向位置为原点的运动坐标系下的周向位置模型以两相振动模态w＝[wA,wB]T为输入，经公式(1)获得各个离散接触点的轴向位移再经公式(3)计算得到不同接触状态下各离散接触点的离散轴向作用力其所需要的各离散接触点等效刚度系数由公式(5)计算得到；在计算各离散接触点的离散轴向作用力的过程中还需用到接触边界θ0的值，接触边界θ0可经以下步骤获得，通过公式(6)将改写成统一形式而获得然后依照公式(7)对定子轴向运动而对转子产生的轴向压力Fz进行展开，通过该展开形式得到F1，从而与预压力Fapplied做差，zR为转子轴向位移，且有：zR＝z1+z0，z0为TRUM的静态形变位移，为常数，再结合转子的轴向动力学方程，代入公式(9)，得到转子摩擦层未形变面的轴向位移z1，再根据公式(4)反解出接触边界θ0；
在得到各离散接触点的离散轴向作用力的同时，根据公式(10)得到各离散接触点所受到的摩擦合力并根据公式(11)获得的各个离散接触点的径向速度和周向速度再利用离散接触点处转子的旋转线速度vR，根据公式(12)计算出各个离散接触点对转子在径向和周向上的摩擦力分量从而根据公式(13)计算出定转子离散接触模型的输出转矩Te，输出转矩与Tload做差，根据电机的运动方程公式(14)，得到转子的角速度ωR；离散接触点处转子的旋转线速度vR则利用关系vR＝ωR·rc获得；将同时代入公式(17)得到定转子界面接触模态力FC；由此即得到了定转子离散接触模型。
图6所示实施例表明，本发明TRUM“电—机—力”混合模型由图1所示的定子等效电路模型和图5所示的定转子离散接触模型通过公式(15)和公式(16)连接而成，通过公式(15)将定子等效电路模型中的i1＝[i1A,i1B]T变换为两相振动模态w＝[wA,wB]T，通过公式(16)将定转子界面接触模态力FC转换为定子等效电路模型中受控电压源的电压uFc＝[uFcA,uFcB]T，从而将定子等效电路模型和定转子离散接触模型这两部分模型连接为一体，共同构成了TRUM“电—机—力”混合模型。
本发明中所提到的“定转子离散接触模型”均是指定子和转子间的离散接触模型的概念。
实施例
本实施例行波型旋转超声电机的建模方法(简称方法)，是一种TRUM的“电—机—力”混合模型的建模方法，包括以下步骤：
第一步：建立“电能－高频振动机械能”过程的定子等效电路模型
通过对实体电机输入端的测量确定定子的两相等效电路的参数，A相和B相静态电容均直接利用数字电桥测量获得，两相介电损耗电阻以及LRC支路的等效电感、等效电阻和等效电容均通过“导纳圆”法获得，利用由此获得的参数，将定子的两相等效电路描述成一种一端口电路网络结构，该网络为一个静态电容Cd、一个介电损耗电阻Rd和一个LRC支路三者并联的网络结构，其中LRC支路上还串联一个电压为uFc的受控电压源，通过该受控电压源来表示定转子接触作用对定子的反馈；定子的两相等效电路共地连接，构成“电能－高频振动机械能”过程的定子等效电路模型，该模型简称为定子等效电路模型；
A、B两相的静态电容CdA、CdB直接利用数字电桥测量获得，介电损耗电阻RdA、RdB以及LRC支路的等效电感LmA、LmB，等效电阻RmA、RmB和等效电容CmA、CmB均通过“导纳圆”法获得，所述“导纳圆”法为一种公知的测量压电陶瓷等效电路参数的方法；
第二步：建立“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型
A、离散接触点的确定及其三维运动方程，
沿定子弹性体圆周表面分布有m个齿状结构，而贴在定子底面的两相压电陶瓷将在特定的激励电压作用下在定子中激发k个行波，k能整除m，根据行波的对称性，沿圆周任一个波长λ下的动力学状态相同，则在一个波长λ下分布有l＝m/k个定子齿；将每个定子齿与转子环形摩擦层的面接触等效为接触面中点的点接触，则确定了沿圆周一个波长λ下的l个离散接触点，并按顺序从0到l-1编号，编号为j的任一离散接触点沿圆周的位置为kθ(j)＝2πj/l，其中j＝0,1,…,l-1，则该离散接触点的径向r、周向θ和轴向z的三维运动方程可表示为公式(1)：
其中，Φr、Φθ和Φz分别为离散接触点在径向r、周向θ和轴向z的位移分布常数，w＝[wA,wB]T为两相振动模态，将从第一步建模中获得；
B、确定定子轴向运动而对转子产生的轴向压力，并求解接触边界，
B-1、确定定子轴向运动而对转子产生的轴向压力
由于定子轴向运动而对转子产生的轴向压力Fz可表示为各个离散轴向作用力之和，用公式(2)表示：
定转子一个波长下的接触范围仅存在于关于波峰对称的[-kθ0,kθ0]区间内，而各个离散接触点的离散轴向作用力又因实际定子齿与转子摩擦层的接触状态可分为全接触、部分接触和不接触三种，离散接触点的离散轴向作用力可表示为公式(3)：
式中，θteeth＝2π/m为每个定子齿的实际作用范围，为kθ(j)变换到以行波波峰的周向位置为原点的运动坐标系下的周向位置，对应关系为而z1为转子摩擦层未形变面的轴向位移，通过公式(4)得到：
z1＝Φzw(t)cos kθ0 (4)
为为避免时出现无穷大值所设置的补偿项， 为等效刚度系数，通过公式(5)求得；
其中rc为接触半径；cN为摩擦层的线性等效刚度系数，有cN＝E·b/h，E为摩擦材料的杨氏模量，b为摩擦层宽度，h为摩擦层厚度；θ0为接触边界；
B-2、求解接触边界θ0
式(3)中可进一步展开，并统一写成如下的形式：
则定子轴向运动而对转子产生的轴向压力Fz进行展开，展开式为公式(7)：
转子的轴向动力学方程：
式中，MR、DR分别为转子的质量和轴向阻尼，Fapplied为通过压簧将转子压在定子上的预压力，zR为转子轴向位移，且有：zR＝z1+z0，为TRUM的静态形变位移，为常数；
将公式(7)带入公式(8)，并进行Laplace变化，得到转子摩擦层未形变面的轴向位移z1的动态传递函数形式，即公式(9)：
将公式(9)带入公式(4)中，即可动态求解得到接触边界θ0；
C、求解离散接触点的周向和径向摩擦力
各个定子离散接触点作用于转子的摩擦力与离散轴向作用力成正比：
其中，μ为摩擦因数，
但各个定子离散接触点作用于转子的摩擦力在径向和周向的分量取决于定转子离散接触点间的相对速度，编号为j的定子离散接触点的径向、周向速度分别为用公式(11)表示：
如果离散接触点处转子的旋转线速度为vR，则定子离散接触点作用于转子的摩擦力在径向和周向两个方向上的分量和可表示为公式(12)：
其中，径向摩擦力不对转子做功，仅仅产生损耗；周向摩擦力所做的功也取决于离散接触点处的方向，周向摩擦力产生输出转矩Te：
D、获得输出转矩，建立“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型
周向摩擦力产生输出转矩Te，可用公式(13)表示：
结合电机的运动方程，即公式(14)：
其中，JR为转子的转动惯量，ωR为转子旋转角速度，Tload为负载转矩；离散接触点处转子的旋转线速度为vR，且满足关系：vR＝ωR·rc；
至此，建立好了“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型，即定转子离散接触模型；
第三步，确定接口参数，获得TRUM“电—机—力”混合模型
第二步所需的两相振动模态w＝[wA,wB]T可通过第一步所建立的定子等效电路模型获得，即
其中，i1＝[i1A,i1B]T分别为A、B两相等效电路中LRC支路的电流，Θ为机电耦合常数；
第一步等效电路模型中受控电压源的电压uFc＝[uFcA,uFcB]T则由第二步求解得到：
其中FC＝[FCA,FCB]为定转子界面接触模态力：
其中
利用确定的两相振动模态w和受控电压源的电压uFc这两个接口参数，完成与第一步和第二步所建立的模型的连接，获得TRUM“电—机—力”混合模型，最终完成行波型旋转超声电机的建模。
本发明未述及之处适用于现有技术。

Claims (1)

1.一种行波型旋转超声电机的建模方法，是一种TRUM的“电—机—力”混合模型的建模方法，包括以下步骤：
第一步：建立“电能－高频振动机械能”过程的定子等效电路模型
通过对实体电机输入端的测量确定定子的两相等效电路的参数，A相和B相静态电容均直接利用数字电桥测量获得，两相介电损耗电阻以及LRC支路的等效电感、等效电阻和等效电容均通过“导纳圆”法获得，利用由此获得的参数，将定子的两相等效电路描述成一种一端口电路网络结构，该网络为一个静态电容Cd、一个介电损耗电阻Rd和一个LRC支路三者并联的网络结构，其中LRC支路上还串联一个电压为uFc的受控电压源，通过该受控电压源来表示定转子接触作用对定子的反馈；定子的两相等效电路共地连接，构成“电能－高频振动机械能”过程的定子等效电路模型；
第二步：建立“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型
A、离散接触点的确定及其三维运动方程，
沿定子弹性体圆周表面分布有m个齿状结构，而贴在定子底面的两相压电陶瓷将在特定的激励电压作用下在定子中激发k个行波，k能整除m，根据行波的对称性，沿圆周任一个波长λ下的动力学状态相同，则在一个波长λ下分布有l＝m/k个定子齿；将每个定子齿与转子环形摩擦层的面接触等效为接触面中点的点接触，则确定了沿圆周一个波长λ下的l个离散接触点，并按顺序从0到l-1编号，编号为j的任一离散接触点沿圆周的位置为kθ(j)＝2πj/l，其中j＝0,1,…,l-1，则该离散接触点的径向r、周向θ和轴向z的三维运动方程可表示为公式(1)：
<mrow> <msup> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msup> <mi>cosk&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msup> <mi>cosk&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <msup> <mi>sink&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <msup> <mi>cosk&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>z</mi> </msub> <msup> <mi>cosk&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>z</mi> </msub> <msup> <mi>sink&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>w</mi> <mi>A</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>w</mi> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Φr、Φθ和Φz分别为离散接触点在径向r、周向θ和轴向z的位移分布常数，w＝[wA,wB]T为两相振动模态，将从第一步建模中获得；
B、确定定子轴向运动而对转子产生的轴向压力，并求解接触边界，
B-1、确定定子轴向运动而对转子产生的轴向压力
由于定子轴向运动而对转子产生的轴向压力Fz可表示为各个离散轴向作用力之和，用公式(2)表示：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
定转子一个波长下的接触范围仅存在于关于波峰对称的[-kθ0,kθ0]区间内，而各个离散接触点的离散轴向作用力又因实际定子齿与转子摩擦层的接触状态可分为全接触、部分接触和不接触三种，离散接触点的离散轴向作用力可表示为公式(3)：
式中，θteeth＝2π/m为每个定子齿的实际作用范围，为kθ(j)变换到以行波波峰的周向位置为原点的运动坐标系下的周向位置，对应关系为而z1为转子摩擦层未形变面的轴向位移，通过公式(4)得到：
z1＝Φzw(t)coskθ0 (4)
为为避免 <mrow> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <msup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>k&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> 时出现无穷大值所设置的补偿项， <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>k&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>e</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>sink&amp;theta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>;</mo> </mrow> 为等效刚度系数，通过公式(5)求得；
其中rc为接触半径；cN为摩擦层的线性等效刚度系数，有cN＝E·b/h，E为摩擦材料的杨氏模量，b为摩擦层宽度，h为摩擦层厚度；θ0为接触边界；
B-2、求解接触边界θ0
式(3)中可进一步展开，并统一写成如下的形式：
<mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>1</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则定子轴向运动而对转子产生的轴向压力Fz进行展开，展开式为公式(7)：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mi>=k</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>f</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>k</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>R</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
转子的轴向动力学方程：
<mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>R</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>R</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>R</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>R</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>p</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，MR、DR分别为转子的质量和轴向阻尼，Fapplied为通过压簧将转子压在定子上的预压力，zR为转子轴向位移，且有：zR＝z1+z0，为TRUM的静态形变位移，为常数；
将公式(7)带入公式(8)，并进行Laplace变化，得到转子摩擦层未形变面的轴向位移z1的动态传递函数形式，即公式(9)：
<mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>M</mi> <mi>R</mi> </msub> <msup> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>R</mi> </msub> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>R</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>p</mi> <mi>p</mi> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将公式(9)带入公式(4)中，即可动态求解得到接触边界θ0；
C、求解离散接触点的周向和径向摩擦力
各个定子离散接触点作用于转子的摩擦力与离散轴向作用力成正比：
<mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;mu;f</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，μ为摩擦因数，
但各个定子离散接触点作用于转子的摩擦力在径向和周向的分量取决于定转子离散接触点间的相对速度，编号为j的定子离散接触点的径向、周向速度分别为用公式(11)表示：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msup> <mi>cosk&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>r</mi> </msub> <msup> <mi>sink&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <msup> <mi>sink&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <msup> <mi>cosk&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>A</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>w</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
如果离散接触点处转子的旋转线速度为vR，则定子离散接触点作用于转子的摩擦力在径向和周向两个方向上的分量和可表示为公式(12)：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>R</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>R</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>R</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，径向摩擦力不对转子做功，仅仅产生损耗；周向摩擦力所做的功也取决于离散接触点处的方向，周向摩擦力产生输出转矩Te：
D、获得输出转矩，建立“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型
周向摩擦力产生输出转矩Te，可用公式(13)表示：
<mrow> <msub> <mi>T</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>k</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
结合电机的运动方程，即公式(14)：
<mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>R</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d&amp;omega;</mi> <mi>R</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>a</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，JR为转子的转动惯量，ωR为转子旋转角速度，Tload为负载转矩；离散接触点处转子的旋转线速度为vR，且满足关系：vR＝ωR·rc；
至此，建立好了“高频振动机械能－转动动能”过程的定转子离散接触模型；
第三步，确定接口参数，获得TRUM“电—机—力”混合模型
第二步所需的两相振动模态w＝[wA,wB]T可通过第一步所建立的定子等效电路模型获得，即
<mrow> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <mfrac> <msub> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;Theta;</mi> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，i1＝[i1A,i1B]T分别为A、B两相等效电路中LRC支路的电流，Θ为机电耦合常数；
第一步等效电路模型中受控电压源的电压uFc＝[uFcA,uFcB]T则由第二步求解得到：
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>F</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mi>C</mi> </msub> <mi>&amp;Theta;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中FC＝[FCA,FCB]为定转子界面接触模态力：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>C</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中 <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>;</mo> </mrow>
利用确定的两相振动模态w和受控电压源的电压uFc这两个接口参数，完成与第一步和第二步所建立的模型的连接，获得TRUM“电—机—力”混合模型，最终完成行波型旋转超声电机的建模。
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