CN105046008A - 分段非线性隔振器及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分段非线性隔振器及其设计方法，该方法首先采用解析法即平均法得到分段非线性隔振器的振动响应的幅频表达式；根据该幅频表达式得到响应极值与振动系统各参数之间的关系表达式，并采用数值解法得到响应极值的正确解及解的个数，获得响应极值的个数随振动系统参数的变化规律；分析分段非线性隔振器主要结构参数如阻尼比的不同量值和基础激励的大小对频率岛的影响及与响应极值个数的变化规律：若响应极值的个数大于1则振动响应可能会发生频率岛现象，否则不会出现；最后根据基础激励和阻尼比大小确定分段非线性隔振器的结构参数，从而设计出避免频率岛现象的分段非线性隔振器。本发明可以方便地得到消除频率岛的条件，可操作性强。

Description

分段非线性隔振器及其设计方法

技术领域

本发明属于隔振技术领域，涉及一种具有分段刚度特性的非线性隔振器，特别是涉及一种分段非线性隔振器及其设计方法。

背景技术

分段刚度振动系统在工程机械中普遍存在，比如分段非线性隔振器，这类非线性振动系统在某些系统参数下其振动响应可能会出现频率岛现象。频率岛指的是处于振动系统主共振响应之上的独立封闭的曲线。频率岛现象的产生会放大振动响应，不利于振动的隔离，故需要分析频率岛现象发生的条件，并设计出避免出现频率岛现象的分段非线性隔振器。

现有技术的隔振器消除频率岛现象的方法大多为解析方法：先利用平均法或是谐波平衡法等得到响应的幅频关系表达式，再得到响应的极值与振动系统参数的显式解析表达式，然后根据解的个数得到消除频率岛的条件。另一种方法为数值解法：即通过四阶龙格——库塔法得到各振动系统参数下的响应幅频曲线，然后通过观察曲线判断有无出现频率岛现象。

上述的解析方法仅适用于简单的分段线性隔振器，但对于相对复杂的分段非线性隔振器，难以得到响应极值与振动系统参数的显式解析表达式，不能获得针对分段非线性隔振器消除频率岛的条件。而上述数值解法则是需要经过大量数值计算才能得到响应幅频曲线而且是只能得到稳定解，其非稳定解也无法获得，故要得到消除频率岛的条件则非常耗时，因此可操作性差。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足之处，提供一种分段非线性隔振器及其设计方法，通过分析和选择合理的隔振系统参数，设计出避免出现频率岛现象的分段非线性隔振器，可以方便地得到消除频率岛的条件，可操作性强。

为解决上述现有技术的技术问题，本发明采用以下技术方案。

本发明的一种分段非线性隔振器的设计方法，对振动系统中采用的分段非线性隔振器进行设计，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤一、针对分段非线性隔振器采用平均法得到振动响应的幅频表达式；

步骤二、根据所述的振动响应的幅频表达式得到振动响应极值与振动系统各参数之间的关系表达式；

步骤三、采用数值解法求取振动响应极值A_m的正确解以及解的个数，从而得到振动响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律曲线；

步骤四、分析分段非线性隔振器主要结构参数如阻尼比ζ的不同量值和基础激励Y对出现频率岛现象的影响以及与振动响应极值A_m个数的变化规律的关系：若振动响应极值A_m个数大于1则振动响应可能会发生频率岛现象，否则不会出现频率岛现象；

步骤五、根据基础激励Y的大小选择合理的阻尼比ζ并根据所述步骤四的分析结果确定分段非线性隔振器的结构参数δ，避免出现频率岛现象。

进一步地，在所述步骤一中，所述的针对分段非线性隔振器采用平均法得到振动响应的幅频表达式，其具体实现方式为：

由振动微分方程

$\stackrel{\·\·}{x}+2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}+g\left(x\right)={\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)---\left(1\right)$

其中:x为被隔振设备运动的位移，为被隔振设备运动的速度，为被隔振设备运动的加速度，ζ为隔振器的阻尼比，Ω为频率比，Y为基础激励的幅值，t为基础激励施加的时间，g(x)为分段恢复力函数，其表达式为

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\α}x+{\mathrm{\γ}}_1{x}^3+{\mathrm{\γ}}_2{x}^5& \left(\right|x|\≤x_d)\\ x& \left(\right|x|>x_d)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：α，γ₁，γ₂分别为各项系数，其表达式为：α＝1-2βδ，γ₁＝β(1-δ)，γ₂＝3β(1-δ)/4，β为水平弹簧与竖直弹簧的刚度比，δ为水平弹簧的预压缩长度；

根据平均法引入虚拟变量ε，令Ω²＝1+εσ，σ为调谐参数，则式(1)可以改写为

$\stackrel{\·\·}{x}+{\mathrm{\Ω}}^2\stackrel{\·}{x}=\mathrm{\ϵ}f(x,\stackrel{\·}{x})---\left(3\right)$

其中：

$f(x,\stackrel{\·}{x})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)-2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}-(a-1)x-{\mathrm{\γ}}_1{x}^3-{\mathrm{\γ}}_2{x}^5+\mathrm{\σ}x& \left(\right|x|\≤x_d)\\ {\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)-2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}+\mathrm{\σ}x& \left(\right|x|>x_d)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中x_d为隔振器对应于分段点处的临界位移；

假设方程的近似解析解的形式为x＝Acos(Ωt+θ)，其中响应幅值A和初相位θ是关于时间t的函数；应用平均法可以得到

其中 为响应的相位；

若振动响应幅值A≤x_d，将式(4)第一个公式代入式(5)和式(6)并在[0,2π]内积分可以得到

Φ(A,Ω)＝2ζΩA(7)

$\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})=H_1+\mathrm{\σ}A+A=-(A\mathrm{\α}+\frac{3}{4}{\mathrm{\γ}}_1{A}^3+\frac{5}{8}{\mathrm{\γ}}_2{A}^5)+\mathrm{\σ}A+A---\left(8\right)$

令ε＝1可以得到稳定解；将式(7)和式(8)分别代入式(5)和式(6)可以得到振动响应的幅频和相频表达式

$(A^2-Y^2){\mathrm{\Ω}}^4+(4{\mathrm{\ζ}}^2{A}^2+2{\mathrm{AH}}_1){\mathrm{\Ω}}^2+{H_1}^2=0---\left(9\right)$

$tan\mathrm{\θ}=\frac{\mathrm{\Φ}(A,\mathrm{\Ω})}{\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})}=\frac{2\mathrm{\ζ}A\mathrm{\Ω}}{H_1+{\mathrm{A\Ω}}^2}---\left(10\right)$

若振动响应幅值A＞x_d，根据解的形式，分段点满足 为对应于分段点处的相位，将式(4)代入式(5)和式(6)并在内分段积分可以得到振动响应的幅频和相频表达式

Φ(A,Ω)＝2ζΩA(11)

(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₂)Ω²+H₂ ²＝0(13)

$tan\mathrm{\θ}=\frac{\mathrm{\Φ}(A,\mathrm{\Ω})}{\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})}=\frac{2\mathrm{\ζ}A\mathrm{\Ω}}{H_2+{\mathrm{A\Ω}}^2}---\left(14\right)$

分别联合式(9)、(13)和式(10)、(14)得到完整的振动响应的幅频表达式。

进一步地，在所述步骤二中，所述的根据所述振动响应的幅频表达式得到振动响应极值与振动系统各参数之间的关系表达式的过程为：

先根据(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₂)Ω²+H₂ ²＝0(13)

得到激励频率的表达式

${\mathrm{\Ω}}_{1,2}=\sqrt{\frac{-\left(4A^2{\mathrm{\ζ}}^2+2{\mathrm{AH}}_2\right)\±\sqrt{{\left(4A^2{\mathrm{\ζ}}^2+2{\mathrm{AH}}_2\right)}^2-4\left(A^2-Y^2\right)H_2^2}}{2\left(A^2-Y^2\right)}}---\left(15\right)$

令Ω₁＝Ω₂可以得到振动响应的极值A_m与系统参数的关系表达式

${(4A_m^2{\mathrm{\ζ}}^2+2A_m{H}_2)}^2-4(A_m^2-Y^2)H_2^2=0---\left(16\right)$

简化式(16)可以得到

$4A_m^4{\mathrm{\ζ}}^4+4A_m^3{\mathrm{\ζ}}^2{H}_2+Y^2{H}_2^2=0---\left(17\right)$

式(17)即为振动响应极值A_m与振动系统各参数之间的关系表达式，其中H₂的表达式见式(12)。

进一步地，在所述步骤三中，所述的采用数值解法求取振动响应极值A_m的正确解以及解的个数，从而得到振动响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律曲线，是指：

对于所述的振动响应极值A_m与振动系统各参数之间的关系表达式

$4A_m^4{\mathrm{\ζ}}^4+4A_m^3{\mathrm{\ζ}}^2{H}_2+Y^2{H}_2^2=0---\left(17\right)$

采用集成了高斯牛顿法的fsolve函数的数值法来求解；其过程是：给定不同的初始值并选择正实数解以确定正确解，通过改变参数δ的值，即可得到不同δ值时A_m的正确解以及解的个数，从而得到响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律。

本发明的分段非线性隔振器，包括支撑基座(1)、支撑板(4)、设置于所述的支撑板(4)和所述的支撑基座(1)下基板之间的竖直线性弹簧(5)、两个水平线性弹簧(9)，所述的分段非线性隔振器关于所述的竖直线性弹簧(5)的中心线左右两侧结构对称，其特征在于，在所述的支撑基座(1)的左侧基板、右侧基板上分别设置有一个滑槽滑块机构；所述的两个水平线性弹簧(9)的一端分别与所述的支撑基座(1)的左侧基板、右侧基板相联接，另一端与同侧基板上的所述的滑槽滑块机构的滑块(3)相联接；所述的滑块(3)可带动所述的水平线性弹簧(9)在所述的滑槽滑块机构的水平滑槽(2)进行水平方向移动；所述的滑块(3)上还安装有可以自由转动的滚轮(8)；所述支撑板4的左右两侧分别与一个挡板(6)的内侧相固定；所述挡板(6)的外侧均安装有一个半圆形凸轮(7)；所述滚轮(8)可沿所述半圆形凸轮(7)的外表面滚动。

本发明与现有技术相比，具有以下显著优点：

(1)本发明分段非线性隔振器设计方法通过解析方法并结合数值法能获取到振动响应极值的个数与系统参数之间的关系曲线，可以有效地得到频率岛现象发生的分段非线性隔振器参数范围和条件。

(2)本发明所应用的设计方法能够根据频率岛发生的条件确定分段非线性隔振器的系统参数，有效地得到抑制分段非线性隔振器振动响应出现频率岛现象的条件，从而为该类隔振器工程上的设计带来方便。

(3)本发明利用水平弹簧与竖直弹簧的组合来达到高静低动刚度的效果。处于压缩状态的水平弹簧通过滚轮和凸轮装置实现在竖直方向产生负刚度，从而与正刚度抵消使得隔振器在平衡位置具有高静刚度和低动刚度。如果隔振器的结构参数选的合理甚至能实现准零刚度，能够有效地提高低频隔振的范围。

附图说明

图1为本发明的一种分段非线性隔振器的设计方法流程图。

图2为本发明的一种分段非线性隔振器实施例的分段恢复力函数与位移之间的关系曲线。

图3为本发明的一种分段非线性隔振器实施例的振动响应极值与参数之间的关系曲线。

图4为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中无频率岛现象时振动响应幅频曲线。

图5为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中有频率岛现象时振动响应幅频曲线。

图6为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中阻尼比大小对频率岛形状的影响。

图7为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中基础激励大小对频率岛形状的影响。

图8为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中解析解与数值解结果对比。

图9为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中的结构图。

其中，1支撑基座，2水平滑槽，3滑块，4支撑板，5竖直线性弹簧，6挡板，7凸轮，8滚轮，9水平线性弹簧。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述。

图1所示为本发明的一种分段非线性隔振器的设计方法流程图，该设计方法，包括以下几个步骤：

步骤一：针对分段非线性隔振器，采用平均法得到响应的幅频表达式，具体为：

由振动微分方程

$\stackrel{\·\·}{x}+2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}+g\left(x\right)={\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)---\left(1\right)$

其中:x为被隔振设备运动的位移，为被隔振设备运动的速度，为被隔振设备运动的加速度，ζ为隔振器的阻尼比，Ω为频率比，Y为基础激励的幅值，t为基础激励施加的时间，g(x)为分段恢复力函数，其表达式为

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\α}x+{\mathrm{\γ}}_1{x}^3+{\mathrm{\γ}}_2{x}^5& \left(\right|x|\≤x_d)\\ x& \left(\right|x|>x_d)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：α，γ₁，γ₂分别为各项系数，其表达式为：α＝1-2βδ，γ₁＝β(1-δ)，γ₂＝3β(1-δ)/4，β为水平弹簧与竖直弹簧的刚度比，δ为水平弹簧的预压缩长度；

根据平均法引入虚拟变量ε，令Ω²＝1+εσ，σ为调谐参数，则式(1)可以改写为

$\stackrel{\·\·}{x}+{\mathrm{\Ω}}^2\stackrel{\·}{x}=\mathrm{\ϵ}f(x,\stackrel{\·}{x})---\left(3\right)$

其中：

$f(x,\stackrel{\·}{x})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)-2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}-(a-1)x-{\mathrm{\γ}}_1{x}^3-{\mathrm{\γ}}_2{x}^5+\mathrm{\σ}x& \left(\right|x|\≤x_d)\\ {\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)-2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}+\mathrm{\σ}x& \left(\right|x|>x_d)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中x_d为隔振器对应于分段点处的临界位移；

假设方程的近似解析解的形式为x＝Acos(Ωt+θ)，其中响应幅值A和初相位θ是关于时间t的函数；应用平均法可以得到

其中 为响应的相位；

若振动响应幅值A≤x_d，将式(4)第一个公式代入式(5)和式(6)并在[0,2π]内积分可以得到

Φ(A,Ω)＝2ζΩA(7)

$\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})=H_1+\mathrm{\σ}A+A=-(A\mathrm{\α}+\frac{3}{4}{\mathrm{\γ}}_1{A}^3+\frac{5}{8}{\mathrm{\γ}}_2{A}^5)+\mathrm{\σ}A+A---\left(8\right)$

令ε＝1可以得到稳定解。将式(7)和式(8)分别代入式(5)和式(6)可以得到振动响应幅频和相频表达式

(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₁)Ω²+H₁ ²＝0(9)

$tan\mathrm{\θ}=\frac{\mathrm{\Φ}(A,\mathrm{\Ω})}{\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})}=\frac{2\mathrm{\ζ}A\mathrm{\Ω}}{H_1+{\mathrm{A\Ω}}^2}---\left(10\right)$

若振动响应幅值A＞x_d，根据解的形式，分段点满足 为对应于分段点处的相位，将式(4)代入式(5)和式(6)并在内分段积分可以得到振动响应的幅频和相频表达式

Φ(A,Ω)＝2ζΩA(11)

(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₂)Ω²+H₂ ²＝0(13)

$tan\mathrm{\θ}=\frac{\mathrm{\Φ}(A,\mathrm{\Ω})}{\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})}=\frac{2\mathrm{\ζ}A\mathrm{\Ω}}{H_2+{\mathrm{A\Ω}}^2}---\left(14\right)$

分别联合式(9)、(13)和式(10)、(14)得到完整的幅频和相频表达式。

步骤二：根据幅频表达式得到振动响应极值A_m与系统各参数之间的关系表达式，具体为：先根据

(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₂)Ω²+H₂ ²＝0(13)

得到激励频率的表达式

${\mathrm{\Ω}}_{1,2}=\sqrt{\frac{-\left(4A^2{\mathrm{\ζ}}^2+2{\mathrm{AH}}_2\right)\±\sqrt{{\left(4A^2{\mathrm{\ζ}}^2+2{\mathrm{AH}}_2\right)}^2-4\left(A^2-Y^2\right)H_2^2}}{2\left(A^2-Y^2\right)}}---\left(15\right)$

令Ω₁＝Ω₂可以得到振动响应的极值A_m与系统参数的关系表达式

${(4A_m^2{\mathrm{\ζ}}^2+2A_m{H}_2)}^2-4(A_m^2-Y^2)H_2^2=0---\left(16\right)$

简化式(16)可以得到

$4A_m^4{\mathrm{\ζ}}^4+4A_m^3{\mathrm{\ζ}}^2{H}_2+Y^2{H}_2^2=0---\left(17\right)$

式(17)即为振动响应极值A_m与系统参数间的最终表达式，其中H₂的表达式见式(12)。

步骤三：采用数值解法求取振动响应极值A_m的正确解以及解的个数，从而得到振动响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律曲线，是指：

对于所述的振动响应极值A_m与振动系统各参数之间的关系表达式

$4A_m^4{\mathrm{\ζ}}^4+4A_m^3{\mathrm{\ζ}}^2{H}_2+Y^2{H}_2^2=0---\left(17\right)$

本发明方法采用集成了高斯牛顿法的fsolve函数来求解式(17)。由于高斯牛顿法是局部最优化算法，只能得到局部最优解，故需要给定不同的初始值并选择正实数解以确定正确解。通过改变参数δ的值，即可得到不同δ值时A_m的正确解以及解的个数，即得到了响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律。图3所示为：参数Y＝0.04，ζ＝0.02，x_d＝0.6，β＝0.7时振动响应极值A_m与参数δ之间的关系曲线。图中，P和Q分别为虚线处对应的δ点，P点处的虚线对应于响应极值A_m个数的分界线，Q点处的虚线与隔振器刚度为零相对应，即虚线的右边系统是不稳定的。

步骤四：分析响应极值A_m个数的变化规律，若个数大于1则振动响应可能会发生频率岛现象，否则响应不会出现频率岛现象。图3表明当δ＜0.542、而其它参数同上时，极值A_m仅有1个，振动响应不会出现频率岛现象，正如图4中本发明的一种分段非线性隔振器实施例中无频率岛现象时振动响应幅频曲线所示；反之，当0.542＜δ＜0.714,而且其它参数同上时，极值A_m存在2个，故振动响应可能会出现频率岛现象，如图5所示为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中有频率岛现象时振动响应幅频曲线。另外，增加振动系统的阻尼比ζ和减小基础激励的大小Y也能够有效地减小频率岛出现的参数范围,如图6和图7所示，其中虚线为频率岛和负刚度区域的分界线。图6为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中阻尼比大小对频率岛形状的影响。图7为本发明的一种分段非线性隔振器实施例中基础激励大小对频率岛形状的影响。

步骤五：根据基础激励Y的大小选择合理的阻尼比ζ，并根据步骤四的分析结果确定所述分段非线性隔振器的结构参数δ，使其位于P点左侧的区域，由此可以使得所设计出的分段非线性隔振器避免出现频率岛现象。

本发明分段非线性隔振器的结构参数主要为：竖直弹簧刚度k_v，水平弹簧刚度k_h，凸轮半径r₂，滚轮半径r₁，水平弹簧预压缩量l，阻尼c。其他参数只有基础激励Y。对结构参数无量纲化：β＝k_h/k_v，δ＝l/(r₁+r₂)，其中m为被隔振设备的质量。这些无量纲化的结构参数即为分析中所用参数。本发明所述设计方法虽然仅分析了不同阻尼比ζ与基础激励Y时水平弹簧预压缩量δ对频率岛现象的影响，其他结构参数β和x_d对频率岛的影响也可用同样的方法得到。得到无频率岛现象的条件后，根据公式即可得到各结构参数。

该设计方法的可行性可由数值解来加以验证，分段非线性隔振器在出现频率岛现象时由解析方法得到的幅频响应曲线与数值解法得到的结果如图8所示。从图中可以看出解析解与数值解吻合的很好，验证了频率岛现象的存在。频率岛的下半部分无法得到数值解是因为这部分的解是不稳定的，是无法用数值解模拟出来的。

图9所示为本发明一个实施例的分段非线性隔振器结构，包括支撑基座1，所述支撑基座1的左边和右边安装有水平滑槽2；所述滑槽2中装有一个可以沿水平方向自由移动的滑块3，所述支撑基座1与滑块3分别与被压缩的水平线性弹簧9的两端相连接；所述滑块3安装有可以自由转动的滚轮8；所述支撑基座1的中部安装一个竖直的线性弹簧5，所述弹簧5的另一端与支撑板4相连；所述支撑板4与左右两侧的挡板6固定连接，所述挡板6的外侧安装有半圆形凸轮7；所述滚轮8与凸轮7的外表面相接触且可以沿凸轮7的表面滚动。

所述弹簧5两侧的结构对称，用于基础隔振时，所述基座1、支撑板4、挡板6以及凸轮7可以沿竖直方向运动，所述滑块3和滚轮8可以沿水平方向运动。

所述支撑板4运动的幅度较小时，滚轮8沿着凸轮7表面滚动；当所述支撑板4运动幅度较大时，滚轮8与凸轮7分开并沿着挡板外表面滚动。

本发明的分段非线性隔振器的工作原理是：设集中质量m为受保护的设备。竖直弹簧分别与支撑板和隔振器的基础相连，主要用于承受载荷，其刚度为k_v；所述的凸轮滚轮弹性装置由半圆形凸轮和滚轮及水平线性弹簧构成，水平弹簧两端分别于滚轮和基础相连，其刚度为k_h；凸轮与滚轮的半径分别为r₂和r₁；阻尼器提供的阻尼为c；隔振器受到基础激励y的作用，质量m的运动位移为x。图9中未示出集中质量m和阻尼器。隔振器在受载状态下处于静平衡转态时，凸轮与滚轮的中心在水平方向平齐。由凸轮、滚轮构成的凸轮滚轮弹性装置在竖直方向上产生与竖直弹簧相反的力，也就是说凸轮滚轮弹性装置在竖直方向上提供了负刚度。当隔振器选择合适的结构参数，隔振器在静平衡位置处的动刚度可以很小甚至为零，于是隔振器可以具有很低的固有频率，从而可以提高隔振器的隔振频带，使之也可适用于低频隔振；同时不会降低隔振器的静刚度和影响其承载能力。当隔振器受到的基础激励较小时，滚轮沿着凸轮表面滚动，且两者一直保持接触状态，这是隔振器的主要工作区域，此时隔振系统的恢复力为连续非线性的；当基础激励较大时，滚轮与凸轮肯定会分开，此时凸轮滚轮弹性装置不再工作，无法提供负刚度，载荷仅由竖直弹簧支撑，此时振动系统的恢复力为线性的。于是可以得到如公式(2)所示的恢复力，其恢复力曲线如图2所示。本发明利用水平弹簧与竖直弹簧的组合来达到高静低动刚度的效果，处于压缩状态的水平弹簧通过滚轮和凸轮装置实现在竖直方向产生负刚度，从而与正刚度抵消使得隔振器在平衡位置具有高静刚度和低动刚度。如果隔振器的结构参数选的合理甚至能实现准零刚度，能够极大地提高低频隔振的范围。

Claims (5)

1.一种分段非线性隔振器的设计方法，对振动系统中采用的分段非线性隔振器进行设计，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤一、针对分段非线性隔振器采用平均法得到振动响应的幅频表达式；

步骤二、根据所述的振动响应的幅频表达式得到振动响应极值与振动系统各参数之间的关系表达式；

步骤三、采用数值解法求取振动响应极值A_m的正确解以及解的个数，从而得到振动响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律曲线；

步骤四、分析分段非线性隔振器主要结构参数如阻尼比ζ的不同量值和基础激励Y对出现频率岛现象的影响以及与振动响应极值A_m个数的变化规律的关系：若振动响应极值A_m个数大于1则振动响应可能会发生频率岛现象，否则不会出现频率岛现象；

步骤五、根据基础激励Y的大小选择合理的阻尼比ζ并根据所述步骤四的分析结果确定分段非线性隔振器的结构参数δ，避免出现频率岛现象。

2.根据权利要求1所述的一种分段非线性隔振器的设计方法，其特征在于，在所述步骤一中，所述的针对分段非线性隔振器采用平均法得到振动响应的幅频表达式，其具体实现方式为：

由振动微分方程

$\stackrel{\·\·}{x}+2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}+g\left(x\right)={\mathrm{\Ω}}^{2}Y\cos \left(\mathrm{\Ωt}\right)---\left(1\right)$

其中:x为被隔振设备运动的位移，为被隔振设备运动的速度，为被隔振设备运动的加速度，ζ为隔振器的阻尼比，Ω为频率比，Y为基础激励的幅值，t为基础激励施加的时间，g(x)为分段恢复力函数，其表达式为

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\α}x+{\mathrm{\γ}}_1{x}^3+{\mathrm{\γ}}_2{x}^5& \left(\right|x|\≤x_d)\\ x& \left(\right|x|>x_d)\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：α，γ₁，γ₂分别为各项系数，其表达式为：α＝1-2βδ，γ₁＝β(1-δ)，γ₂＝3β(1-δ)/4，β为水平弹簧与竖直弹簧的刚度比，δ为水平弹簧的预压缩长度；

根据平均法引入虚拟变量ε，令Ω²＝1+εσ，σ为调谐参数，则式(1)可以改写为

$\stackrel{\·\·}{x}+{\mathrm{\Ω}}^2\stackrel{\·}{x}=\mathrm{\ϵ}f(x,\stackrel{\·}{x})---\left(3\right)$

其中

$f(x,\stackrel{\·}{x})=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)-2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}-(a-1)x-{\mathrm{\γ}}_1{x}^3-{\mathrm{\γ}}_2{x}^5+\mathrm{\σ}x& \left(\right|x|\≤x_d)\\ {\mathrm{\Ω}}^{2}Ycos\left(\mathrm{\Ω}t\right)-2\mathrm{\ζ}\stackrel{\·}{x}+\mathrm{\σ}x& \left(\right|x|>x_d)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中x_d为隔振器对应于分段点处的临界位移；

假设方程的近似解析解的形式为x＝Acos(Ωt+θ)，其中响应幅值A和初相位θ是关于时间t的函数；

应用平均法可以得到

其中 为响应的相位；

若振动响应幅值A≤x_d，将式(4)第一个公式代入式(5)和式(6)并在[0,2π]内积分可以得到

Φ(A,Ω)＝2ζΩA(7)

$\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})=H_1+\mathrm{\σ}A+A=-(A\mathrm{\α}+\frac{3}{4}{\mathrm{\γ}}_1{A}^3+\frac{5}{8}{\mathrm{\γ}}_2{A}^5)+\mathrm{\σ}A+A---\left(8\right)$

令ε＝1可以得到稳定解。将式(7)和式(8)分别代入式(5)和式(6)可以得到振动响应幅频和相频表达式

(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₁)Ω²+H₁ ²＝0(9)

$tan\mathrm{\θ}=\frac{\mathrm{\Φ}(A,\mathrm{\Ω})}{\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})}=\frac{2\mathrm{\ζ}A\mathrm{\Ω}}{H_1+{\mathrm{A\Ω}}^2}---\left(10\right)$

若振动响应幅值A＞x_d，根据解的形式，分段点满足 为对应于分段点处的相位，将式(4)代入式(5)和式(6)并在内分段积分可以得到振动响应的幅频和相频表达式

Φ(A,Ω)＝2ζΩA(11)

(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₂)Ω²+H₂ ²＝0(13)

$tan\mathrm{\θ}=\frac{\mathrm{\Φ}(A,\mathrm{\Ω})}{\mathrm{\Ψ}(A,\mathrm{\Ω})}=\frac{2\mathrm{\ζ}A\mathrm{\Ω}}{H_2+{\mathrm{A\Ω}}^2}---\left(14\right)$

分别联合式(9)、(13)和式(10)、(14)得到完整的振动响应的幅频表达式。

3.根据权利要求1所述的一种分段非线性隔振器的设计方法，其特征在于，在所述步骤二中，所述的根据所述振动响应的幅频表达式得到振动响应极值与振动系统各参数之间的关系表达式的过程为：

先根据(A²-Y²)Ω⁴+(4ζ²A²+2AH₂)Ω²+H₂ ²＝0(13)

得到激励频率的表达式

${\mathrm{\Ω}}_{1,2}=\sqrt{\frac{-\left(4A^2{\mathrm{\ζ}}^2+2{\mathrm{AH}}_2\right)\±\sqrt{{\left(4A^2{\mathrm{\ζ}}^2+2{\mathrm{AH}}_2\right)}^2-4\left(A^2-Y^2\right)H_2^2}}{2\left(A^2-Y^2\right)}}---\left(15\right)$

令Ω₁＝Ω₂可以得到振动响应的极值A_m与系统参数的关系表达式

${(4A_m^2{\mathrm{\ζ}}^2+2A_m{H}_2)}^2-4(A_m^2-Y^2)H_2^2=0---\left(16\right)$

简化式(16)可以得到

$4A_m^4{\mathrm{\ζ}}^4+4A_m^3{\mathrm{\ζ}}^2{H}_2+Y^2{H}_2^2=0---\left(17\right)$

式(17)即为振动响应极值A_m与振动系统各参数之间的关系表达式，其中H₂的表达式同式(12)。

4.根据权利要求1所述的一种分段非线性隔振器的设计方法，其特征在于，在所述步骤三中，所述的采用数值解法求取振动响应极值A_m的正确解以及解的个数，从而得到振动响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律曲线，是指：

对于所述的振动响应极值A_m与振动系统各参数之间的关系表达式

$4A_m^4{\mathrm{\ζ}}^4+4A_m^3{\mathrm{\ζ}}^2{H}_2+Y^2{H}_2^2=0---\left(17\right)$

采用集成了高斯牛顿法的fsolve函数的数值法来求解；其过程是：给定不同的初始值并选择正实数解以确定正确解，通过改变参数δ的值，即可得到不同δ值时A_m的正确解以及解的个数，从而得到响应极值A_m的个数随系统参数的变化规律。

5.一种如权利要求1至4任一项所述的设计方法而实现的分段非线性隔振器，包括支撑基座(1)、支撑板(4)、设置于所述的支撑板(4)和所述的支撑基座(1)下基板之间的竖直线性弹簧(5)、两个水平线性弹簧(9)，所述的分段非线性隔振器关于所述的竖直线性弹簧(5)的中心线左右两侧结构对称，其特征在于，在所述的支撑基座(1)的左侧基板、右侧基板上分别设置有一个滑槽滑块机构；所述的两个水平线性弹簧(9)的一端分别与所述的支撑基座(1)的左侧基板、右侧基板相联接，另一端与同侧基板上的所述的滑槽滑块机构的滑块(3)相联接；所述的滑块(3)可带动所述的水平线性弹簧(9)在所述的滑槽滑块机构的水平滑槽(2)进行水平方向移动；所述的滑块(3)上还安装有可以自由转动的滚轮(8)；所述支撑板4的左右两侧分别与一个挡板(6)的内侧相固定；所述挡板(6)的外侧均安装有一个半圆形凸轮(7)；所述滚轮(8)可沿所述半圆形凸轮(7)的外表面滚动。