CN1050427C - 模糊多准则图象重建的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种模糊多准则图象重建的方法。首先提出了图象的模糊表示方法，又提出反映图象质量的模糊准则函数，用这套模糊准则函数建立多准则优化图象重建的数学模型。在求解这个多准则优化问题中，巧妙地运用付里叶变换技术和帕塞伐定理，把空间域多准则优化的复杂计算转化为频域的简单计算，快速有效地实现了频谱优化过程。实际的和计算机模拟的频谱数据的实验结果都表明模糊多准则图象重建法的图象质量大大优于传统图象重建法的图象质量。

Description

模糊多准则图象重建的方法

本发明属于磁共振成象技术领域

磁共振成象技术也叫核磁共振成象技术，是近几年来随着计算机技术，电子技术和超导技术的飞速发展而出现的一项重要的新兴的应用于诊断的技术，已被广泛应用于临床医学，由于它在提供组织化学信息方面的潜在能力以及对人体没有因放射性引起的电离损害作用等优点，已成为当前众所瞩目的医用图象方法。

但是，磁共振成象技术是一种信噪比很难提高的、成象时间长(相对X-CT)的技术。从而导致磁共振成象设备十分昂贵，严重制约着磁共振成象技术的推广应用。大多数核磁共振成象设备中都采集样品离散频谱数据。实践中，人们为满足扫描时间的要求，常不得不采用采集含噪声的、不完整的频谱数据。对于这种含噪声的不完整的频谱数据，现在都直接采用付里叶逆变换法重建出图象。这种图象清晰度较差，有伪影。国际上已把多准则优化思想用于图象重建，但是现有的多准则优化图象重建技术只适用于投影数据优化图象重建，不适用于频谱数据的优化图象重建；因计算费时的局限，不能满足医用临床诊断实时要求。对于这种含噪声的不完整的频谱数据，重建出高质量的图象是磁共振成象技术的一个十分重要的研究课题。完成这一课题有利于降低磁共振成象设备的成本。

本发明的目的是把含噪声的不完整的频谱数据重建出高质量的磁共振图象。本发明的构思

先对含噪声的不完整的磁共振频谱数据进行多准则优化，弥补数据采集中的缺陷。然后再用付里叶逆变换法重建出磁共振图象。由于数字图象品质评价往往带有模糊性，模糊性的问题最好用模糊数学的理论来解决。我们从模糊数学理论出发，提出一套评价数字图象模糊准则函数，建立了一个相应的适合频谱优化的多准则数学模型，给出了多准则图象重建算法。本发明的内容

1.建立模糊多准则模型

模糊多准则重建图象问题，根据实际测得的不完整的含噪声的频谱数据，通过多准则优化，用快速付里叶逆变换，去重建出最佳的图象。

设X是n维的重建图象的灰度矢量。如果图象由M行、N列个象素组成，则n＝NxM，并且第(I-1)N+J个分量表示第I行，第J列象素的灰度。用F[·]表示付里叶变换以F^-1[·]表示付里逆变换，那么F[X]表示n维的X的频谱数据矢量。若Y⁰是实际测得的频谱数据矢量，则

                      Y⁰＝F[X]+E⁰其中E⁰是n维的包含在Y⁰里的噪声的频谱矢量。重建图象的灰度矢量X的分量应是非负实数。这样就要求F^-1[Y⁰]的分量为非负实数，因为

                      F^-1[Y⁰]＝X+F^-1[E⁰]但事实上，在MR成象系统中，的分量是复数。设

            F^-1[Y⁰]＝{a₁+ib₁，...，a_n+ib_n}^T    ……(1)取 $X^0=\{\sqrt{a_1^2+b_1^2},\…,\sqrt{a_n^2+b_n^2}{\}}^T----\left(2\right)$

Y＝F[X⁰]                                       ……(3)显然，F^-1[Y]与F^-1[Y⁰]的各分量具有对应相等的模，它们表示的灰度图象完全一样。用F^-1[Y]来代替F^-1[Y⁰]是合情合理的，因为我们关心的是图象的灰度，而不是图象象素值的相位。X⁰是Y⁰直接付里叶逆变换得到的图象灰度矢量，是X⁰的频谱矢量。设E是包含在Y里的噪声，则X、Y和E三者之间的关系为：

Y＝F^-1[X]+E    ……(4)

根据查德1965年给出的模糊子集的定义及表示的方法，我们给出图象的模糊集表示，其定义如下：

定义(一)：任给一幅n＝M×N个象素的图象，其灰度矢量为

                     X＝{X₁，...，x_n}^T其中x_i表示X的第[i/N]+1行、第i-N*[i/N]列个象素的灰度([i/N]表示i除以N取整)。以图象象素的集合为研讨对象，称为论域，记为U。把灰度矢量X的灰度(分量)归一化映射 ${\mathrm{\μ}}_A\left(x_i\right)=\frac{x_i}{x_{\max }}$ 即：

μ_A：U→[0，1]，x_i→μ_A(x_i)；  i＝1，2，...，n；    ……(5)就确定了一幅图象X在论域U中的模糊子集

                    A＝{μ_A(x₁)，…，μ_A(x_n)}称A为图象X的模糊集。其中μ_A(x_i)叫作x_i对A的隶属度，x_max是X的最大分量，即图象的最大灰度。

我们从图象的模糊集表示出发，按图象与最清晰图象接近程度，导出图象的模糊度准则函数；按图象与最平滑图象的接近程度，导出图象的平滑模糊度准则函数；从重建图象的频谱数据与原始频谱最接近，导出图象的误差度准则函数。

(1)模糊度准则函数

用‖-‖表示矢量的模。图象X的模糊度准则函数为： $f_1\left(X\right)=1=1-\frac{4}{n}{\left|\right|\frac{X}{x_{\max 1}}-0.5I\left|\right|}^2----\left(6\right)$ 其中，I＝{1，1，...，1}^T，x_max是图象灰度矢量X中的最大分量，即图象最大灰度。n是图象象素数。若图象X₁、X₂，有

                   f₁(X₁)＞f₁(X₂)则意味着图象X₁比X₂更模糊。

(2)模糊平滑度准则函数

由于噪声、测量误差的影响，使得有些图象往往带有激烈的起伏波动，使图象不清晰。为了消除这种不良的影响，图象必须足够平滑。图象的模糊平滑度准则函数为 $f_2\left(X\right)=\frac{1}{n}{\left|\right|\frac{\mathrm{QX}}{x_{\max 2}}\left|\right|}^2----\left(7\right)$ 其中，X_max2是灰度矢量QX中的最大分量，n是论域U上的象素数。若图象X₁、X₂有

                 f₂(X₁)＞f₂(X₂)则意味着图象X₁比X₂更不平滑。

(3)模糊误差度准则函数

为了使优化重建图象的频谱数据与原始频谱数据的偏差‖F[X⁰]-F[X]‖尽量小，由帕塞伐定理：‖F[X⁰]-F[X]‖²＝n‖X⁰-X‖²，我们建立X和X⁰的相对海明距离，从而得到模糊误差度准则函数： $f_3\left(X\right)=\frac{1}{n}{\left|\right|\frac{X}{x_{\max 3}}-\frac{X^0}{x_{\max }^0}\left|\right|}^2----\left(8\right)$ 其中，X⁰如式(2)所示，X表示重建图象的灰度矢量，x_max3，x_max ⁰分别是X和X⁰的最大分量。若图象X₁、X₂有

                    f₃(X₁)＞f₃(X₂)则意味着图象X₁比X₂更差的精度。

(4)约束条件

当数据包含噪声时，该问题的恰当的约束形式是要求原始频谱数据和多准则优化重建图象的频谱数据的差别的x统计

C＝‖F[X⁰]-F[X]‖²    ……(9)小于某个假设的噪声量C₀，C₀可以通过图象灰度无起伏的平滑区来估计。按帕塞伐理论：有‖F[X⁰]-F[X]‖²＝n‖X⁰-X‖²；所以约束条件又可以写成：

‖X⁰-X‖²＝C⁰                        ……(10)其中

X⁰如式(2)所示。

(5)多准则优化模型

模糊多准则优化图象重建就是在解空间中，选择一个非劣的解矢量X，使得各准则函数在某种优化策略下的同时达到最优。综合上述想法，我们把模糊多准则归纳为以下多准则问题：

约束：‖X⁰-X‖²＝C⁰；i＝1，2，...，n；X⁰如式(2)所示；x_max ⁰是X⁰的最大分量；

x_max1，x_max2，x_max3分别是f₁(X)，f₂(X)，f₃(X)单准则优化图象重建的图象的最大灰度；

Q是n×n二阶差分算子矩阵；

2.模糊多准则模型的计算方法

我们用线性加权和法把多准则问题变为单准则问题，用拉格朗日乘子λ化约束问题为无约束问题，则有： $V(X,\mathrm{\λ})=\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{l}_i{f}_i\left(X\right)+\mathrm{\λ}({\left|\right|X^0-X\left|\right|}^2-C^0)---\left(12\right)$ 其中

l_i≥0；i＝1，2，3。我们对V(X，λ)求极值，对它取一阶导数等于零并整理得方程：

(I+γ(-4b₁I+b₂Q^TQ+b₃I)X＝b₄X⁰-b₅I         ……(13)i＝1，2，3；

b₅＝2b₁γx_max1，I＝{1，1，...，1}^T，I是单位矩阵；Q^T是Q的转置矩阵，γ必须调整到满足约束条件为止。

为了从上式中直接求出X，要碰到计算一个庞大的由N×M个线性方程组成的线性方程组。所幸的是，二阶差分算子矩阵Q是一个分块循环矩阵，可利用它来简化计算。式(13)可以化为

       u＝0，1，...，M-1；v＝0，1，...，N-1；

                                       ……(14)其中

X⁰由式(2)给出；我们对频谱 进行付里叶反变换就可得到的多准则优化图象。式(14)表明：Q矩阵对角化带来减少多准则优化重建工作量的好处，空域中繁重的计算转入频域计算。

现在最突出的一个问题是要求γ被调整到满足约束条件

                          ‖X⁰-X‖²＝C⁰只有当γ满足约束条件时，式(14)才是多准则问题的最优解。γ是用迭代方法来确定的。我们先定义剩余向量R为

                           R＝X-X⁰可以从数学上证明：‖R‖²是γ的单调增加函数，我们力求调整γ，使

‖R‖²＝C⁰±a                                      ……(15)式中a是准确度因子。因为‖R‖²是γ的单调增加函数，所以要找到满足式(15)的γ是容易的。但是，‖R‖²需要先求X，得进行一次付里叶逆变换，会增加计算工作量大。我们利用帕塞伐定理：‖F[X⁰]-F[X]‖²＝n‖X⁰-X‖²，得： ${\left|\right|R\left|\right|}^2={\left|\right|\hat{X}(u,v)-\widehat{X^0}(u,v)\left|\right|}^2----\left(16\right)$ 因此，我们只要在知道原始频谱的条件下，就按式(14)计算

再按式(16)算出‖R‖²，从而作出调整γ的决策。

综合上述内容得本发明方法的操作步骤如下：

1.对缺损不足行的原始频谱数据进行补零扩充，指定准确度因子a；

2.预处理原始频谱数据

  计算：F^-1[Y⁰]，设得F^-1[Y⁰]＝{a₁+ib₁，...，a_n+ib_n}^T，令 $X^0=\{\sqrt{a_1^2+b_1^2},\…,\sqrt{a_n^2+b_n^2}{\}}^T$

  求出最大灰度，估计噪声C⁰，

  计算：

3.先进行各模糊单准则优化，以确定模糊多准则使用的有关参数

  j＝1到3反复执行(1)到(5)

(1) $x_{\max i}=x_{\max }^0$

(2)令：

(3)指定一个γ的初始值

(4)计算：

  ① $b_i=\frac{l_i}{{{\mathrm{nx}}_{\max 1}^2}^2},i=\mathrm{1,2,3},b_4=1+\frac{b_3{\mathrm{\γx}}_{\max 3}}{x_{\max }^0},b_5={2b}_1{\mathrm{\γx}}_{\max 1}$

  ②

  ③ ${\left|\right|R\left|\right|}^2={\left|\right|\hat{X}(u,v)-\widehat{X^0}(u,v)\left|\right|}^2$

  ④若‖R‖²＝C⁰±a不满足，则a)γ＝γ+0.5γ(1-‖R‖²/C⁰)，b)转(4)

(5)对

由付里叶变换解得X_j ^*，X_j ^*的最大分量为x_maxj及拉及格朗日乘子的倒数为γ_j；

4.用α法确定加权系数，即解下列线性方程组，确定l₁，l₂，l₃：

5.计算：

  (1)取初始γ＝l₁γ₁+l₂γ₂+l₃γ₃

  (2)计算：

    ① $b_i=\frac{l_i}{{{\mathrm{nx}}_{\max 1}^2}^2},$ i＝1，2，3， $b_4=1+\frac{b_3{\mathrm{\γx}}_{\max 3}}{x_{\max }^0},$ b₅＝2b₁γx_maxj

    ②

    ③ ${\left|\right|R\left|\right|}^2={\left|\right|\hat{X}(u,v)-\widehat{X^0}(u,v)\left|\right|}^2$

    ④若‖R‖²＝C⁰±a不满足，则a)γ＝γ+0.5γ(1-‖R‖²/C⁰)，b)转(2)

(3)对

由付里叶变换解得X^*；

6.输出最佳图象；

7.结束。本发明的突出效果

我们的模糊多准则优化图象重建算法的测试是在一台AST386/40的微机上进行的。为了对多目标优化图象重建的算法效果有一个比较清楚的认识，我们把模糊多准则重建的图象与直接付里叶变换重建的图象用三种办法比较。以说明模糊多准则重建算法的优越性。第一种办法是直接图象的比较(为清晰起见，有关附采用照片)。就是用不同方法重建出来的图象进行直接比较。它直观地对不同的图象进行比较。但是，由于这种办法，人的主观成分含量较多，加上人眼睛分辨率的限制，对图象识别能力较弱，识别精度低。第二种办法是在图象平面中某一条线上的灰度变化用一条曲线来表示，并用以这条直线上位置为横坐标，以这位置上的灰度为纵坐标。为了方便，我们把这种曲线叫做图象的线图。图1(b)是图1(a)的第42行和84行线图。第三种方法是进行保真计算。这种办法需要知道原始标准图象，原始标准图象是数据完整，并且不含噪声，没有任何畸变的图象频谱重建的图象。对于受某种污染的频谱数据，以某种方法重建的图象与原始标准图象的接近程度，来表示这种图象重建算法的优劣。保真度准则有许多计算公式，我们采用以下二种准则：

归一化均方误差，即 $\mathrm{\σ}=\frac{\underset{I=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{J=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{I,J}^0-x_{I,J})}^2}{\underset{I=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{J=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(x_{I,J}^0-\mathrm{\μ})}^2}$

归一化绝对误差，即 $E=\frac{\underset{I=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{J=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}|x_{I,J}^0-x_{I,J}|}{\underset{I=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{J=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}|x_{I,J}^0-\mathrm{\μ}|}$

其中

、x_I，J分别是标准图象和重建图象的第1行第J列的图象素灰度值。μ是标准图象的灰度均值。M是图象的行数，N是图象的列数。

我们对模糊多准则优化图象重建算法的考察是分别对含噪声磁共振频谱数据和缺损磁共振频谱数据两种情况进行的。实现具体情况分别介绍如下。

对含噪声的磁共振频谱数据实施情况

对含噪声的磁共振频谱数据多准则优化的实现是对两种不同的磁共振频谱数据进行的。一种情况是计算机模拟产生的含百分之十噪声的核磁共振频谱数据。样本图象是人头模型，图象尺寸是128×128，如图1(a)所示。第二种情况是实际的含噪声的核磁共振频谱数据。它是深圳安科公司提供的核磁共振人头截面频谱数据，图象由256×256个象素组成。

图1(c)(e)是计算机模拟频谱数据分别用直接付里叶变换法、模糊多准则法重建的图象。图1(e)看上去既清晰又平滑，且不模糊；得到了最佳图象，与原始标准图象的线图(见图1(a))很接近。这就是多准则的特点。图1(d)(f)是对应图1(c)(e)的第42行和第84的线图。图1(e)(f)较图1(c)(d)更较接近图1(a)(b)。表1是以图1(a)为标准图象，对图1(c)(e)的保真度计算表。从保真度指标看，模糊多准则重建的图象二项指标都较低。这说明模糊多准则优化重建的图象更接近原始图象。模糊多准则优化的均方误差和绝对误差比直接付里叶变换的均方误差和绝对误差低一个数量级。

                         表1算法                归一化均方误差          归一化均方误差直接付里叶变换          0.098772                0.094027模糊多准则              0.007377                0.005118

图2(a)(c)是实际频谱数据分别用直接付里叶变换法、模糊多准则法重建的图象。图2(b)(d)是对应图2(a)(c)的第85和第170行线图。图2(c)对比度大。所有细节保存完好。图2(c)所有细节保存完好，锯齿纹也弱(按人头模型中推断，锯齿纹是噪声)。所以，我们有理由认为，图2(c)为最佳解。

由表1和图1，2说明：对含噪声的磁共振频谱数据，模糊多准则优化重建的图象大大优于传统的直接付里叶变换法和单准则优化法重建的图象。

对缺损磁共振频谱数据实施情况

对缺损磁共振频谱数据多准则优化的实现是对两种不同的缺损频谱数据进行的。这二种缺损频谱数据都是深圳安科公司提供的核磁共振人头截面的缺损频谱数据。第一种是取自一幅图象的最前面的128行磁共振频谱数据，它磁共振信号的一半信息给去掉了。第二种是取自一幅图象的最中间的128行磁共振频谱数据，它是去掉了128行高频的磁共振频谱数据，图象能量损失较少。为了下面述说方便，我们把这两种数据分别计记为缺损频谱数据1°和2°。缺损频谱数据模糊多准则优化是在补零法的基础上进行的。我们把缺损频谱补零扩充后，直接用付里叶变换重建图象的方法叫补零法。

图3(a)(b)(c)是深圳安科公司提供的”分辨率样品”频谱数据”图象尺寸为256×256，t_R＝0.5秒，平均次数为4，T₁加权；其中图3(a)是256行完整的频谱数据重建的图象；图3(b)是2°频谱数据用补零法重建的图象，采集数据的时间为256秒；图3(c)是与图3(b)同样的频谱数据，但用模糊多目标优化重建的图象。从图3(b)与图3(a)比较看到，图3(b)有明显的伪影，一块块白斑十分明显(在图3(a)中没有这些白斑，所以，推断伪影)。图3(c)对这种白斑就有所以，推断伪影)。图3(c)对这种白斑就依稀难见。这说明，多目标优化能使伪影消除，而且效果十分理想。从噪声的角度看，图3(c)也比图3(b)要好的多。表2是用归一化均方误差、归一化绝对误差、数据采集时间和重建图象时间四个方面，对补零法和多目标优化法进行考查。其中归一化均方误差，归一化绝对误差计算都以图3(a)为标准图象。

                     表2重建方法       归一化均方差   归一化绝对差    数据采集时间    重建图象时间补零法          0.1038789      0.2054043         256秒           100秒优化法          0.0127863      0.0267198         256秒           256秒

图4(a)(c)是深安科公司提供的实际人头横切面1°型缺损频谱数据分别用补零法和模糊多准则优化法重建的图象，图4(b)(d)分别是图4(a)(c)第85行和第128行的线图。图表3意义与表2类同，其中归一化均方误差，归一化绝对误差计算都以图2(a)作为标准图象。

                     表3重建方法    归一化均方差    归一化绝对差    数据采集时间    重建图象时间补零法       0.3033662       0.5154027         256秒          100秒优化法       0.0156354       0.0352110         256秒          256秒

图5(a)(c)是深安科公司提供的实际人头横切面2°型缺损频谱数据分别用补零法和模糊多准则优化法重建的图象，图5(b)(d)分别是图5(a)(c)第85行和第128行的线图。图表4意义与表2类同，其中归一化均方误差，归一化绝对误差计算都以图2(a)作为标准图象。

                           表4重建方法    归一化均方差    归一化绝对差    数据采集时间    重建图象时间补零法       0.1334845       0.2657857          256秒           100秒优化法       0.0254567       0.0456198          256秒           256秒

从图象比较看，图4(c)比图4(a)清晰，更接近图2(a)；图5(c)比图5(a)清晰，更接近图2(a)。从线图比较看，图4(d)比图4(b)噪声大(锯齿波纹多)，更接近图2(b)；图5(c)比图5(a)噪声大(锯齿波纹多)，更接近图2(b)。图5(b)有明显的伪影，见图5(b)右图的A峰(这个峰图2(b)中都不曾出现，所以，断为伪影)，它将导致医生误诊。而图5(d)右图就没有这个A峰，就说明多目标优化有消除伪影的功效。这也说明了多准则法更好于传统的补零法。表3和表4意在说明，实际人头横切面缺损频谱数据的图象也有类似于分辨率样品缺损频谱数据的图象的结果。

由表2，3，4和图3至5说明：对缺损磁共振频谱数据，模糊多准则优化重建的图象大大优于传统的直接付里叶变换法重建的图象。

为什么多目标优化重建图象会比常规补零法重建的图象更好呢？我们可以这样理解：补零法采集的频谱数据直接用零代替，尽管高频部分图像信号弱能量少。但毕竟还有小量图象信息隐含其中。毫无疑问，补零完全放弃了这部分图像信息。而优化法却不一样，它根据一幅应该具有某些的属性，对那些未采集来的频谱数据安排一个多目标优化意义下的最佳频谱数据代替。这样就挽救了部分本属丢失的图象信息和能量。很大程度上挽回了由于频谱数据不足带来的对图象质量的影响。图象应该具有的属性就反映在多目标优化的目标函数和约束条件之中。例如，切片的图象应该局部光滑的，有比较高的清晰度等等。所以，对于缺损频谱数据的优化法图象重建是卓有成效。在某种意义上讲，缺损频谱数据的补零法重建图象以是图象的质量(如伪影，图象变粗糙)为代价换来了缩短成像时间。

综上所述：由于磁共振成象要经常遇到含噪声、缺损的频谱数据的图象重建问题。而传统的付里叶变换技术，不能解决这个问题，最大熵多准则优化投影数据图象重建的也不能解决频谱数据的优化问题。我们在图象表示中引进了模糊集表示后，方便得到了关于图象主要质量指标的量化形式，这些模糊图象目标函数，代替最大熵等传统的图象目标函数进行模糊多目标优化图象重建。具有独特的方便的特点，它能有效地利用快速付里叶变换法，使多目标优化速度大大缩短(与最大熵多准则优化投影数据图象重建方法比较)，是常规磁共振成象的两倍左右。使得这种办法能够满足临床应用要求。模糊多准则算法强调各种准则都达到令人满意的水平，它与单准则优化相比较，有更好的图象质量指标。不论对含噪声的磁共振频谱数据还是缺损的磁共振频谱数据，实际的磁共振频谱数据还是计算机模拟的磁共振频谱数据的实践结果，都表表明了模糊多准则优化图象重建算法是一种高精度的图象重建法，保证重建的图象与原始图象有很大的相似性或接近性，图象的质量大大优于用传统方法重建的图象。重建速度能够满足临床应用要求。

Claims (3)

1. 模糊多准则图象重建的方法，其特征在于采用下列步骤：

   1.对缺损不足行的原始频谱数据进行补零扩充。指定准确度因子a；
2. 2.预处理原始频谱数据

     计算：F^-1[Y⁰]，设得F^-1[Y⁰]＝{a₁+ib₁，...，a_n+ib_n}^T，令 $X^0=\{\sqrt{a_1^2+b_1^2},\…,\sqrt{a_n^2+b_n^2}{\}}^T$

     求出最大灰度，估计噪声C⁰

     计算：F[X⁰]，记为

   
3. 3.先进行各模糊单准则优化，以确定模糊多准则使用的有关参数，

     j＝1到3反复执行(1)到(5)

     (1) $x_{\max i}=x_{\max }^0$

     (2)令：

     (3)指定一个γ的初始值

     (4)计算：

       ① $b_i=\frac{l_1}{{{\mathrm{nx}}_{\max 1}^2}^2},i=\mathrm{1,2,3}{,b}_4=1+\frac{b_3{\mathrm{\γx}}_{\max 3}}{x_{\max }^0},b_5=2b_1{\mathrm{\γx}}_{\max 1}$

       ②

   

       ③ ${\left|\right|R\left|\right|}^2={\left|\right|\hat{X}(u,v)-\widehat{X^0}(u,v)\left|\right|}^2$

       ④若‖R‖²＝C⁰±a不满足，则a)γ＝γ+0.5γ(1-‖R‖²/C⁰)，b)转(4)

   (5)对 由付里叶变换解得X_j ^*，X_j ^*的最大分量为x_maxj及拉及格朗日乘子的倒数为γ_j；

   4)用α法确定加权系数，即解下列线性方程组，确定l₁，l₂，l₃：

   

   5)计算：

     (1)取初始γ＝l₁γ1+l₂γ₂+l₃γ₃

     (2)计算：

       ① $b_i=\frac{l_i}{{{\mathrm{nx}}_{\max l}^2}^2},i=\mathrm{1,2,3},b_4=1+\frac{b_3{\mathrm{\γx}}_{\max 3}}{x_{\max }^0},b_5={2b}_1{\mathrm{\γx}}_{\max 1}$

       ②

   

            u＝0，1，...，M-1  v＝0，1，...，N-1

       ③ ${\left|\right|R\left|\right|}^2={\left|\right|\hat{X}(u,v)-\widehat{X^0}(u,v)\left|\right|}^2$

       ④若‖R‖²＝C⁰±a不满足，则a)γ＝γ+0.5γ(1-‖R‖²/C⁰)，b)转(2)

     (3)对

   

   由付里叶变换解得X^*；

   6)输出最佳图象；

   7)结束。

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