CN105004315B - 低动态水平/方位角在线测量装置及测量方法 - Google Patents
低动态水平/方位角在线测量装置及测量方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明涉及一种低动态水平/方位角在线测量装置及测量方法。本发明测量装置包括有：对水平/方位角进行探测和成像的探测成像单元，用于对所述探测成像单元的成像信息进行图像采集和图像处理以求解水平/方位角的信息处理单元；用于显示水平/方位角测量结果的显示器，以及用于进行控制和信息输入的键盘。所述探测成像单元包括有：在低动态条件下保持空间角度稳定的稳定靶标单元，设置在所述稳定靶标单元的正上方，用于拍摄所述稳定靶标单元的探测状态信息的靶标成像单元，以及将所述稳定靶标单元和所述靶标成像单元固定连接在一起的连接件。本发明解决了低动态条件下物体水平/方位角状态变化监测和大型结构变形测量等方面的难题。
Description
技术领域
本发明涉及一种空间角度的实时测量装置及测量方法，具体地说是一种低动态水平/方位角在线测量装置及测量方法。
背景技术
空间角度的测量是工程测量的重要组成部分。随着科学和生产的不断发展，空间角度测量越来越广泛地应用于机械、建筑、航空、航天、航海等各个领域。目前空间角度测量主要凭借陀螺仪来完成。然而使用陀螺仪进行角度测量时，其测量误差的积分效应会使测量精度越来越低，所以在使用一段时间后需要对其测量装置进行校准以消除累计误差。消除累计误差的方法有很多种，其中直接给定高精度角度基准(积分初始角)是一种较为便捷的方法。
除了利用陀螺仪测量空间角度外，在低动态条件下还有利用重力测量角度的各种倾斜检测仪器，例如倾角传感器、电子水平仪以及光学自准直水平测量装置，这些测量装置的成本随着测量精度的提高而大幅度增加，且这类方法只能对水平角进行测量，要测量竖直角则需要再加入罗盘等测量仪器，这样又增加了测量装置的体积质量和成本。
发明内容
本发明的目的之一就是提供一种低动态水平/方位角在线测量装置，以解决用陀螺仪测量空间角度存在误差较大的问题。
本发明的目的之二就是提供一种低动态水平/方位角在线测量方法，以实时监测被测对象空间角度的变化，且可以为陀螺仪累计误差的消除提供基准。
本发明的目的之一是这样实现的：一种低动态水平/方位角在线测量装置，包括有：对水平/方位角进行探测和成像的探测成像单元，用于对所述探测成像单元的成像信息进行图像采集和图像处理以求解水平/方位角的信息处理单元；用于显示水平/方位角测量结果的显示器，以及用于进行控制和信息输入的键盘。
所述探测成像单元包括有：
稳定靶标单元，用于在低动态条件下保持空间角度的稳定；
靶标成像单元，设置在所述稳定靶标单元的正上方，用于拍摄所述稳定靶标单元的探测状态信息；以及
连接件，将所述稳定靶标单元和所述靶标成像单元固定连接在一起。
所述稳定靶标单元包括：开设有半球形内腔的靶标座，放置在所述靶标座内腔中的中空半球形浮体，内置于所述半球形浮体底部的平面光源，设置在所述半球形浮体顶面的靶板，以及设置在所述半球形浮体顶面的条形磁铁。
在所述靶标座的内腔中充有悬浮液，在所述靶板的板面上开有若干条状透光孔，所述条状透光孔构成相互交叉的线条图案。
所述信息处理单元是包含有图像采集模块、图像处理模块和角度求解模块的嵌入式分析控制系统。
所述靶标成像单元是内设有可进行角度测量和垂直度测量的准直系统的CCD感光元件。
所述靶板的板面与所述CCD感光元件的光轴相垂直。
本发明测量装置采用稳定靶标加光学摄影的方式在线测量水平/方位角信息，利用地球重力和磁场力的作用，设计一个在低动态条件下相对世界坐标系稳定不变的靶标；利用CCD感光元件对靶标上的透光图案成像，再通过对靶标图像进行图像处理来求解被测对象水平/方位角变化。稳定靶标单元利用悬浮液对靶板的浮力作用，使靶板始终与大地水平面保持平行；在靶板下方嵌入条形磁铁，利用地球磁场力对条形磁铁的作用，使靶板的方位保持稳定。靶标内部自带光源，以保证能在光照条件不好的环境中使用。
本发明测量装置具有体积质量小、成本造价低、精度有保证的特点，采用光学摄影装置和稳定靶标作为基本平台，并利用稳定靶标单元为水平/方位角的测量提供基准，将光学摄影测量技术与稳定靶标技术有机结合在一起，解决低动态条件下物体水平/方位角状态变化监测、大型结构变形测量以及外场环境下快速消除陀螺仪累计误差等方面的难题。
本发明的目的之二是这样实现的：一种低动态空间角度的实时测量方法，包括以下步骤：
a、设置如权利要求1所述的低动态水平/方位角在线测量装置；
b、将探测成像单元水平放置，并将信息处理单元与靶标成像单元通过数据线相接，观察显示器所显示的数值，调整靶标成像单元中的CCD感光元件的光轴与靶板的位置，保证CCD感光元件的光轴与靶板的板面相垂直；
c、将探测成像单元固定在被测设备上，开启半球形浮体内部的光源，在被测设备的空间角度发生变化时，CCD感光元件的光轴也随着被测设备发生空间角度的变化，半球形浮体在悬浮液的浮力作用下，一直与大地水平面保持平行，CCD感光元件的光轴与半球形浮体顶面的靶板之间的角度发生变化，利用CCD感光元件对靶板上的透光孔的图案成像，通过对靶板透光孔的成像进行图像采集和图像处理；
d、通过键盘输入指令，将CCD感光元件拍摄的靶板成像的图像信息传输到信息处理单元中的图像采集模块，根据CCD感光元件在不同位置、不同角度所拍到靶板透光孔的线条图像，建立成像线条上任意点在世界坐标系下的坐标与其成像点在图像坐标系下的坐标间的映射关系，经过图像处理模块和角度求解模块的计算，将被测设备的水平角度和俯仰角度求解出来，并送显示器予以显示。
求解水平/方位角的计算方法如下：
第一步，建立靶标成像单元的投影模型：
图像坐标系以靶标成像单元所成图像左上角为原点，横纵轴分别为xy方向，单位为像素数；像平面坐标系以光轴与像平面的交点Ou为原点，xy轴分别为像平面的水平和垂直轴；CCD感光元件的坐标系以光心Oc为原点，光轴为z轴，xy轴方向分别平行于像平面的水平和垂直轴；世界坐标系可根据实际情况选取；
理想的小孔模型下的空间点在世界坐标系下的坐标Pw(xw,yw,zw)T与其投影点在图像坐标系下的坐标p(u,v)T间的映射关系为：
式(1)中，A是反映靶标成像单元内部参数的矩阵，其中f是靶标成像单元的焦距，dx，dy是CCD感光元件的横向和纵向间距，u0，v0是主点坐标；zc是空间点在摄像机坐标系下的z坐标值；R是一个3×3的旋转正交阵，表示靶标成像单元坐标系与世界坐标系的旋转关系，T是3×1的平移向量，表示两坐标系间的位置关系；
第二步，计算靶标成像单元坐标系与世界坐标系相对关系：
将世界坐标系选取为：以L1L3交点Ow为圆心，L1，L3分别为x轴和y轴方向，按右手系规则确定z轴。为确定旋转矩阵R，建立消隐点坐标系OABC：光心O为原点,以OA为x轴,OB为y轴，OC为OA与OB向量的交积方向；
在建立靶标成像单元的投影模型中，靶标成像单元的内部参数u0、v0、dx、dy和f已经在使用前进行精确标定，可以认为是已知量，消隐点A和B的在图像坐标系中的坐标(uA,vA)和(uB,vB)可以通过图像处理的手段获取，那么在靶标成像单元坐标系下有：
构成OABC坐标系z轴方向的向量与都垂直，则有：
设向量进行归一化后的向量分别为a，b，c，消隐点坐标系OABC下a，b，c分别为3个坐标轴上的单位向量，则OABC坐标系与靶标成像单元坐标系的旋转矩阵R'满足：
[a b c]＝R'I (4)
式(4)中的I为单位矩阵，即可得到R'＝[a b c]；
第三步，判断世界坐标系与消隐点坐标系OABC间的方向关系：
世界坐标系的xw和yw轴会在像平面上投影形成两个方向x'和y'，两个消隐点位置与x'和y'则有四种可能情况；利用世界坐标原点Ow投影点的坐标O'w,利用投影向量与x'，y'的符号即可判断世界坐标系与消隐点坐标系间的方向关系，最后得到成像单元坐标系与世界坐标系的旋转矩阵R；
设旋转矩阵利用如下公式就能求出被测设备的水平角度和俯仰角度：
本发明测量水平/方位角的基本思路是：利用地球重力和磁场力的作用，设计一个在低动态条件下相对地理坐标系稳定不变的靶标。当靶标成像单元与稳定靶标的相对位置和相对角度发生变化时拍摄到靶标图像也随之发生变化，那么利用靶标的图像信息以及靶标成像单元相关的内部参数就可以求解靶标成像单元水平/方位角度的变化量。由于靶标成像单元与被测设备固联，所以靶标成像单元的角度变化同时也反映了被测设备的角度变化。
靶板的线条图案上的任意点在世界坐标系下的坐标与其成像点在图像坐标系下的坐标间的映射关系的模型需建立图像坐标系、像平面坐标系、靶标成像单元坐标系和世界坐标系。
本发明在控制系统中根据相机投影模型建立稳定靶标成像涉及到的各个不同坐标系间的转换方程。通过推导出理想的小孔模型下,稳定靶标上任意点在世界坐标系下的坐标与其所成像点在图像坐标系下的坐标间的映射关系，可以求出靶标成像单元坐标系与世界坐标系的旋转关系，进而求出靶标成像单元以及被测设备的水平/方位角度变化。
本发明测量方法利用嵌入式分析控制系统和显示器减小了空间角度测量装置的体积，方便野外实时测量。本发明测量方法通过稳定靶标技术、摄影测量技术以及嵌入式系统的有机结合，减小了空间角度测量装置的体积和质量，降低了成本造价，可保证在野外实时测量空间角度的精度，同时还可以为陀螺仪消除累计误差提供基准，在后期图像处理中计算量比较小，处理速度快，保证了测量的实时性。
附图说明
图1是本发明测量装置的总体组成示意图。
图2是探测成像单元的结构示意图。
图3是稳定靶标单元中靶板所刻图案。
图4是靶标成像单元中成像的几何模型。
图5是井字形靶板图案投影几何模型。
具体实施方式
如图1和图2所示，本发明低动态水平/方位角在线测量装置包括探测成像单元1、与探测成像单元1连接的信息处理单元2、显示器6和键盘7。
探测成像单元1包括稳定靶标单元10、靶标成像单元8和连接件9。稳定靶标单元10在低动态条件下保持空间角度的稳定；靶标成像单元8设置在稳定靶标单元10正上方，与被测设备连接，接收稳定靶标单元10的像，并将该像传至信息处理单元2，以计算被测设备的空间角度值。在靶标成像单元8中设有用于角度测量和垂直度测量的准直系统；连接件9将稳定靶标单元10和靶标成像单元8固定连接在一起。
如图2所示，稳定靶标单元10包括靶标座10-1、半球形浮体10-2、光源10-6、靶板10-3和条形磁铁10-4等，半球形浮体10-2的底面为半球形曲面，在靶标座10-1上开设有半球状内腔10-7，内腔10-7的球半径大于半球形浮体10-2的球半径。半球形浮体10-2放置于靶标座10-1的内腔10-7中，在内腔10-7中充有悬浮液10-5，将半球形浮体10-2浮起。悬浮液的水平面低于半球形浮体10-2的顶面，半球形浮体10-2的顶面位于靶标座10-1的内腔上沿的下方，靶板10-3封接在半球形浮体10-2的顶面，在靶板的板面上开设有条形透光孔，条形透光孔形成线条相互交叉的图案。在半球形浮体10-2内的底部固定有平面光源10-6，在半球形浮体10-2顶面的靶板下表面设置有条形磁铁10-4。
靶标成像单元8采用CCD感光元件，CCD感光元件的光轴与靶板10-3的板面相垂直。靶标成像单元8对靶板10-3上的线条图案进行图像采集。
靶板10-3采用硫化锌玻璃作为基底材料，在加工制作时，首先在硫化锌玻璃基底材料上镀铬，然后再根据设计好的两组正交的平行线进行光刻加工，从而在镀铬的硫化锌玻璃上形成图3所示的“井字形”的透光条孔线条图案。靶板10-3下方的光源发出可见光，透过靶板10-3上的透光条孔后，就可以向靶标成像单元8投射相对应的线条图案。本发明提出的“井字形”图案的透射靶板，加工简单，而且在后期图像处理中的计算量比较小，处理速度快，保证了测量的实时性。
如图1所示，信息处理单元2用于采集并处理探测成像单元1的图像信息。信息处理单元2为嵌入式分析控制系统，其中包括图像采集模块3、图像处理模块4和角度求解模块5。图像采集模块3用来接收CCD感光元件在不同位置、不同角度所拍摄到靶板10-3井字形线条的图像；图像处理模块4建立图像坐标系、像平面坐标系、摄像机坐标系和世界坐标系，以分析图像采集模块3所采集的图像在世界坐标系下的坐标与其成像点在图像坐标系下的坐标间的映射关系，由角度求解模块5将被测设备的水平角和俯仰角求解出来。
本发明中的显示器6为液晶显示器。本发明中的信息处理单元2采用集成化设计，利用嵌入式分析控制系统和液晶显示器减小了系统体积，方便野外在线使用。
本发明低动态水平/空间角在线测量方法的具体操作步骤是：
(1)将探测成像单元1水平放置，将信息处理单元2与靶标成像单元用数据线相接，观察显示器6所显示的数值，调整CCD感光元件的光轴与靶板10-4的位置，保证CCD感光元件的光轴与靶板的板面垂直。
(2)将探测成像单元1固定安装在被测设备上，开启半球形浮体10-2底部的光源，被测设备空间角度发生变化时，CCD感光元件的光轴也随着被测设备发生空间角度的变化，半球形浮体10-2和靶板10-4在悬浮液的浮力作用下，一直与大地水平面保持平行，CCD感光元件的光轴与靶板10-4的板面之间的角度发生变化，利用CCD感光元件对靶板上的井字形线条图案成像，通过对靶板的成像进行图像处理以求解被测设备的空间角度；
(3)通过键盘7输入指令，将CCD感光元件中的悬浮液靶板的成像传输到信息处理单元2中的图像采集模块3，根据CCD感光元件在不同位置、不同角度所拍到靶板井字形线条的图像，建立靶板井字形线条上任意点在世界坐标系下的坐标与其成像点在图像坐标系下的坐标间的映射关系，经过图像处理模块4和角度求解模块5将被测设备的水平角和测量角求解出来，并在显示器6上显示出来。
参考图4、图5所示，本发明利用所接收到的靶标井字形成像求解被测物水平/方位角的计算方法如下：
第一步，建立靶标成像单元的投影模型：
定义如下坐标系，如图3所示，图像坐标系以靶标成像单元所成图像左上角为原点，横纵轴分别为xy方向，单位为像素数；像平面坐标系以光轴与像平面的交点Ou为原点，xy轴分别为像平面的水平和垂直轴；摄相机坐标系以光心Oc为原点，光轴为z轴，xy轴方向分别平行于像平面的水平和垂直轴。世界坐标系可根据实际情况进行选取，本发明对世界坐标系的选取见后文所述。
可以推导出理想的小孔模型下,空间点在世界坐标系下的坐标Pw(xw,yw,zw)T与其投影点在图像坐标系下的坐标p(u,v)T间的映射关系为：
式(1)中，A是反映靶标成像单元内部参数的矩阵，其中f是靶标成像单元的焦距，dx，dy是CCD感光元件的横向和纵向间距，u0，v0是主点坐标。zc是空间点在摄像机坐标系下的z坐标值。R是一个3×3的旋转正交阵，表示靶标成像单元坐标系与世界坐标系的旋转关系,T是3×1的平移向量,表示两坐标系间的位置关系。
欧氏空间中两条平行直线相交于无穷远点，理想的小孔模型下，这两条平行直线经过靶标成像单元得到的投影也为直线，且一般情况下其投影线相交，交点称为消隐点，它是无穷远点在像平面上的投影。可以证明连接摄像机光心与空间平行线在投影平面形成的消隐点的连线，必平行于空间平行线。本发明采用一种两组正交平行直线的“井字形”靶板图案，如图4所示，该图案理想投影的情况如图5所示。空间直线L1∥L2，L3∥L4，L1⊥L3，L1和L2的像l1，l2交于消隐点A，L3和L4的像l3,l4交于消隐点B,则由定理可知,光心O与消隐点A、B的连线分别平行于原平行直线：OA∥L1，OB∥L3，则OA⊥OB，O位于以AB为直径的球上。
第二步，计算靶标成像单元坐标系与世界坐标系相对关系：
将世界坐标系选取为：以L1L3交点Ow为圆心，L1，L3分别为x轴和y轴方向，按右手系规则确定z轴。为确定旋转矩阵R，建立消隐点坐标系OABC：光心O为原点,以OA为x轴,OB为y轴，OC为OA与OB向量的交积方向。
OA∥L1，OB∥L3，且都满足右手系规则，显然坐标系OABC与世界坐标系具有平行的性质，所以可以先求靶标成像单元坐标系与OABC坐标系的旋转关系。
在建立靶标成像单元的投影模型中，靶标成像单元的内部参数u0、v0、dx、dy和f已经在使用前进行精确标定，可以认为是已知量。消隐点A和B的在图像坐标系中的坐标(uA,vA)和(uB,vB)可以通过图像处理的手段获取。那么在靶标成像单元坐标系下有：
构成OABC坐标系z轴方向的向量与都垂直，则有：
设向量进行归一化后的向量分别为a，b，c，消隐点坐标系OABC下a，b，c分别为3个坐标轴上的单位向量，则OABC坐标系与靶标成像单元坐标系的旋转矩阵R'满足：
[a b c]＝R'I (4)式(4)中的I为单位矩阵，即可得到R'＝[a b c]。
由于两平行直线上的向量有同向和反向两种情况，世界坐标系与靶标成像单元坐标系的旋转矩阵R并不一定等于R'，所以还必须判断世界坐标系与消隐点坐标系OABC间的方向关系。世界坐标系的xw和yw轴会在像平面上投影形成两个方向x'和y'，两个消隐点位置与x'和y'则有四种可能情况。利用世界坐标原点Ow投影点的坐标O'w,利用投影向量与x'，y'的符号即可判断世界坐标系与消隐点坐标系间的方向关系，最后得到成像单元坐标系与世界坐标系的旋转矩阵R。
设旋转矩阵利用如下公式就能求出被测设备的水平角度和俯仰角度：
Claims (6)
1.一种低动态水平/方位角在线测量装置，其特征是，包括有：对水平/方位角进行探测和成像的探测成像单元，用于对所述探测成像单元的成像信息进行图像采集和图像处理以求解水平/方位角的信息处理单元；用于显示水平/方位角测量结果的显示器，以及用于进行控制和信息输入的键盘；
所述探测成像单元包括有：
稳定靶标单元，用于在低动态条件下保持空间角度的稳定；
靶标成像单元，设置在所述稳定靶标单元的正上方，用于拍摄所述稳定靶标单元的探测状态信息；以及
连接件，将所述稳定靶标单元和所述靶标成像单元固定连接在一起；
所述稳定靶标单元包括：开设有半球形内腔的靶标座，放置在所述靶标座内腔中的中空半球形浮体，内置于所述半球形浮体底部的平面光源，设置在所述半球形浮体顶面的靶板，以及设置在所述半球形浮体顶面的条形磁铁；
在所述靶标座的内腔中充有悬浮液，在所述靶板的板面上开有若干条状透光孔，所述条状透光孔构成相互交叉的线条图案；
所述靶板采用硫化锌玻璃作为基底材料，在硫化锌玻璃基底材料上镀铬，在镀铬的硫化锌玻璃上形成“井字形”的透光条孔线条图案。
2.根据权利要求1所述的低动态水平/方位角在线测量装置，其特征是，所述信息处理单元是包含有图像采集模块、图像处理模块和角度求解模块的嵌入式分析控制系统。
3.根据权利要求1所述的低动态水平/方位角在线测量装置，其特征是，所述靶标成像单元是内设有可进行角度测量和垂直度测量的准直系统的CCD感光元件。
4.根据权利要求3所述的低动态水平/方位角在线测量装置，其特征是，所述靶板的板面与所述CCD感光元件的光轴相垂直。
5.一种低动态水平/方位角在线测量方法，其特征是，包括以下步骤：
a、设置如权利要求1所述的低动态水平/方位角在线测量装置；
b、将探测成像单元水平放置，并将信息处理单元与靶标成像单元通过数据线相接，观察显示器所显示的数值，调整靶标成像单元中的CCD感光元件的光轴与靶板的位置，保证CCD感光元件的光轴与靶板的板面相垂直；
c、将探测成像单元固定在被测设备上，开启半球形浮体内部的光源，在被测设备的空间角度发生变化时，CCD感光元件的光轴也随着被测设备发生空间角度的变化，半球形浮体在悬浮液的浮力作用下，一直与大地水平面保持平行，CCD感光元件的光轴与半球形浮体顶面的靶板之间的角度发生变化，利用CCD感光元件对靶板上的透光孔的图案成像，通过对靶板透光孔的成像进行图像采集和图像处理；
d、通过键盘输入指令，将CCD感光元件拍摄的靶板成像的图像信息传输到信息处理单元中的图像采集模块，根据CCD感光元件在不同位置、不同角度所拍到靶板透光孔的线条图像，建立成像线条上任意点在世界坐标系下的坐标与其成像点在图像坐标系下的坐标间的映射关系，经过图像处理模块和角度求解模块的计算，将被测设备的水平角度和俯仰角度求解出来，并送显示器予以显示。
6.根据权利要求5所述的低动态水平/方位角在线测量方法，其特征是，求解水平/方位角的计算方法如下：
第一步，建立靶标成像单元的投影模型：
图像坐标系以靶标成像单元所成图像左上角为原点，横纵轴分别为xy方向，单位为像素数；像平面坐标系以光轴与像平面的交点Ou为原点，xy轴分别为像平面的水平和垂直轴；CCD感光元件的坐标系以光心Oc为原点，光轴为z轴，xy轴方向分别平行于像平面的水平和垂直轴；世界坐标系可根据实际情况选取；
理想的小孔模型下的空间点在世界坐标系下的坐标Pw(xw,yw,zw)T与其投影点在图像坐标系下的坐标p(u,v)T间的映射关系为：
式(1)中，A是反映靶标成像单元内部参数的矩阵，其中f是靶标成像单元的焦距，dx，dy是CCD感光元件的横向和纵向间距，u0，v0是主点坐标；zc是空间点在摄像机坐标系下的z坐标值；R是一个3×3的旋转正交阵，表示靶标成像单元坐标系与世界坐标系的旋转关系，T是3×1的平移向量，表示两坐标系间的位置关系；
第二步，计算靶标成像单元坐标系与世界坐标系相对关系：
将世界坐标系选取为：以L1L3交点Ow为圆心，L1，L3分别为x轴和y轴方向，按右手系规则确定z轴；为确定旋转矩阵R，建立消隐点坐标系OABC：光心O为原点,以OA为x轴,OB为y轴，OC为OA与OB向量的交积方向；
在建立靶标成像单元的投影模型中，靶标成像单元的内部参数u0、v0、dx、dy和f已经在使用前进行精确标定，认为是已知量，消隐点A和B的在图像坐标系中的坐标(uA,vA)和(uB,vB)通过图像处理的手段获取，那么在靶标成像单元坐标系下有：
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
设向量进行归一化后的向量分别为a，b，c，消隐点坐标系OABC下a，b，c分别为3个坐标轴上的单位向量，则OABC坐标系与靶标成像单元坐标系的旋转矩阵R'满足：
[a b c]＝R'I (4)
式(4)中的I为单位矩阵，即可得到R'＝[a b c]；
第三步，判断世界坐标系与消隐点坐标系OABC间的方向关系：
世界坐标系的xw和yw轴会在像平面上投影形成两个方向x'和y'，两个消隐点位置与x'和y'则有四种可能情况；利用世界坐标原点Ow投影点的坐标O'w,利用投影向量与x'，y'的符号即可判断世界坐标系与消隐点坐标系间的方向关系，最后得到成像单元坐标系与世界坐标系的旋转矩阵R；
设旋转矩阵利用如下公式即可求出被测设备的水平角度和俯仰角度：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>&phi;</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mi>r</mi>
<mi>c</mi>
<mi>t</mi>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
<mfrac>
<msub>
<mi>r</mi>
<mn>32</mn>
</msub>
<msub>
<mi>r</mi>
<mn>33</mn>
</msub>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>&theta;</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>arcsinr</mi>
<mn>31</mn>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>&psi;</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mi>r</mi>
<mi>c</mi>
<mi>t</mi>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
<mfrac>
<msub>
<mi>r</mi>
<mn>21</mn>
</msub>
<msub>
<mi>r</mi>
<mn>11</mn>
</msub>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>.</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
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