CN104980216A

CN104980216A - 多输入多输出可见光mimo系统

Info

Publication number: CN104980216A
Application number: CN201510317099.2A
Authority: CN
Inventors: 魏凌; 张洪明; 宋健; 郎凯
Original assignee: Tsinghua University
Current assignee: Tsinghua University; State Grid Corp of China SGCC; Zhengzhou Power Supply Co of Henan Electric Power Co
Priority date: 2015-06-10
Filing date: 2015-06-10
Publication date: 2015-10-14

Abstract

本发明公开了一种多输入多输出可见光MIMO系统，包括：接收机，接收机包括多个PD接收器；多个光源，多个光源位于不同的方位，其中，多个光源中任意两个光源与接收机之间的连线不在同一直线上；控制器，控制器在训练阶段分别独立地控制每个光源以不同的功率发射光信号，以根据接收机接收到的每个光源的光强得到增益矩阵，并且在通信阶段控制多个光源同时发射光信号，并根据增益矩阵和此时接收机接收到的光强得到每个光源的发射功率，从而区分不同光源发射的光信号。本发明实施例的系统可以有效降低各个子信道之间的相关性，提高空间复用效率，获取空间复用增益。

Description

多输入多输出可见光MIMO系统

技术领域

本发明涉及无线通信技术领域，特别涉及一种多输入多输出可见光MIMO系统。

背景技术

可见光通信技术是利用可见光波段作为光载波来进行通信的一种无线通信技术，能够实现高速数据传输。相比于传统的无线通信技术，可见光通信技术具有效率高，无电磁干扰，绿色环保等特点。

具体地，可见光通信技术是将信息通过驱动电路，高速调制到LED光信号上进行传输，接收端利用光电二极管(PD)等光电转换器将光信号转换成电信号，并解调出有效信息，实现通信功能。

其中，将MIMO技术应用于可见光通信中，可以实现在不增加系统带宽以及发射功率的情况下，提高频谱利用效率，进而提高数据传输速率；也可以实现同时支持多用户和多业务信息收发的功能。但由于可见光通信是采用强度调制和直接检测，缺少频率和相位信息，各个不同LED子信道之间干扰严重，有很强的相关性，很难分解出各个子信道的信息，导致无法获取空间复用增益。

相关技术中，在成像MIMO系统中，接收机由多个像元构成，通过不同方向上LED发来的光信号投射到不同的像元上，来消除各个子信道之间的干扰，但是成像MIMO对于LED的位置比较敏感，位置的改变，可以导致来自不同LED的光信号投射到相同的像元上，导致无法区分，限制了其在移动场景中的应用，因此有待改进。

发明内容

本发明旨在至少在一定程度上解决上述相关技术中的技术问题之一。

为此，本发明的目的在于提出一种多输入多输出可见光MIMO系统，该系统可以降低各个子信道之间的相关性，提高空间复用效率。

为达到上述目的，本发明实施例提出了一种多输入多输出可见光MIMO系统，包括：接收机，所述接收机包括多个PD接收器，所述多个PD接收器的接收面法线分别朝向多个方向设置；多个光源，所述多个光源位于不同的方位，其中，所述多个光源中任意两个光源与所述接收机之间的连线不在同一直线上；控制器，所述控制器在训练阶段分别独立地控制每个光源以不同的功率发射光信号，以根据所述接收机接收到的每个光源的光强得到增益矩阵，并且在通信阶段控制所述多个光源同时发射光信号，并根据所述增益矩阵和此时接收机接收到的光强得到每个光源的发射功率，从而区分不同光源发射的光信号。

根据本发明实施例提出的多输入多输出可见光MIMO系统，通过独立的控制每个光源以不同的功率发射光信号，以根据接收到的每个光源的光强得到增益矩阵，并同时控制多个光源发射光信号，从而根据增益矩阵和每个光源的发射功率区分不同光源发射的光信号，有效降低各个子信道之间的相关性，提高空间复用效率，从而获取空间复用增益。

另外，根据本发明上述实施例的多输入多输出可见光MIMO系统还可以具有如下附加的技术特征：

进一步地，在本发明的一个实施例中，所述光源可以为3个，所述PD接收器可以为3个，3个PD接收器两两垂直设置。

进一步地，在本发明的一个实施例中，当所述多个光源同时发射光信号时，所述控制器用于根据如下公式得到每个光源的光强，其中，所述公式为：

Pt＝Pr*H^-1，

其中，Pt为t时刻发送的信号功率，Pr为所述接收机接收到的光强，H^-1为所述增益矩阵H满秩。

进一步地，在本发明的一个实施例中，所述控制器还用于根据所述多个光源的坐标对所述接收机进行定位。

进一步地，在本发明的一个实施例中，所述控制器根据如下公式对所述接收机进行定位，所述公式为：

\begin{matrix} u 0 = \frac{H 12 * H 21 * u 1 - H 22 * H 11 * u 2 - H 11 * H 21 * (v 1 - v 2)}{H 12 * H 21 - H 22 * H 11}, \\ v 0 = \frac{H 11 * H 22 * v 1 - H 12 * H 21 * v 2 - H 12 * H 22 * (u 1 - u 2)}{H 11 * H 22 - H 12 * H 21}, \\ w 0 = \frac{H 11 * H 33 * w 1 - H 13 * H 31 * w 2 - H 13 * H 33 * (u 1 - u 3)}{H 11 * H 33 - H 13 * H 31}, \end{matrix}

其中，(u1，v1，w1)、(u2，v2，w2)和(u3，v3，w3)分别为第一光源、第二光源和第三光源的坐标，并且，

H = [\begin{matrix} H 1 \\ H 2 \\ H 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} H 11 & H 12 & H 13 \\ H 21 & H 22 & H 23 \\ H 31 & H 32 & H 33 \end{matrix}] .

本发明附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1为根据本发明实施例的多输入多输出可见光MIMO系统的结构示意图；

图2为根据本发明一个实施例的多输入多输出可见光MIMO系统的结构示意图；

图3为根据本发明一个实施例的多个光源的入射方向示意图；以及

图4为根据本发明一个实施例的接收机和多个光源的坐标示意图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。在本发明的描述中，“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”、“固定”等术语应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，第一特征在第二特征之“上”或之“下”可以包括第一和第二特征直接接触，也可以包括第一和第二特征不是直接接触而是通过它们之间的另外的特征接触。而且，第一特征在第二特征“之上”、“上方”和“上面”包括第一特征在第二特征正上方和斜上方，或仅仅表示第一特征水平高度高于第二特征。第一特征在第二特征“之下”、“下方”和“下面”包括第一特征在第二特征正上方和斜上方，或仅仅表示第一特征水平高度小于第二特征。

下面参照附图描述根据本发明实施例提出的多输入多输出可见光MIMO系统。参照图1所示，该多输入多输出可见光MIMO系统10包括：接收机100、多个光源200和控制器300。

其中，接收机100包括多个PD接收器101，多个PD接收器101的接收面法线分别朝向多个方向设置。多个光源200位于不同的方位，多个光源200中任意两个光源与接收机100之间的连线不在同一直线上。控制器300在训练阶段分别独立地控制每个光源以不同的功率发射光信号，以根据接收机100接收到的每个光源的光强得到增益矩阵，并且在通信阶段控制多个光源200同时发射光信号，并根据增益矩阵和此时接收机100接收到的光强得到每个光源的发射功率，从而区分不同光源发射的光信号。本发明实施例的系统10无需安装成像装置，对姿态敏感低，体积小，性能出色，并且可以有效降低各个子信道之间的相关性，提高空间复用效率，获取空间复用增益。

在本发明的实施例中，接收机100可以采用立体结构的PD阵列构成。其中，PD阵列上，不同PD接收器(以下简称PD)的朝向不同。来自不同方向光源如LED(为方便理解，以下都以光源为LED进行举例说明)发射的光信号通过不同的角度投射到接收机100上，在多个PD101上分别形成相应的光强分布。根据预编码技术，可以分别训练得到每个LED单独发射光信号时，所有PD上形成的光强分布，光强值可以构成DC增益矩阵。然后，当所有LED同时工作，发射不同的光信号时，通过DC增益矩阵和解相关的算法，从而可以有效的分解出所有子信道的光信号，在不影响系统性能的情况下，实现可见光MIMO接入功能。

其中，本发明实施例可以用于空间调制的可见光MIMO系统，通过空间复用技术，获取空间复用增益，从而提高频谱利用率和数据传输速率；也可以应用于支持多用户和多业务同时收发的可见光系统，只需要满足PD阵列中，PD的数量不小于发射端LED的数量，即PD接收器的数量不小于光源的数量，每个LED可以单独支持一个用户和业务的数据传输功能；同时，由于每个LED发射的光信号在PD阵列中形成的光强分布与LED相对于接收机的方位角相关，可以利用多个LED的光信号，辅以解析几何的推导，就可以实现基于可见光通信的室内精确定位功能(关于定位功能将会在下面实施例进行详细赘述)。

进一步地，在本发明的一个实施例中，光源可以为3个，PD接收器可以为3个，3个PD接收器两两垂直设置。具体地，3个PD接收器可以两两垂直以构成立体角形状设置，从而能够最大化子信道之间的差异，降低相关性。

进一步地，在本发明的一个实施例中，当多个光源同时发射光信号时，控制器用于根据如下公式得到每个光源的光强，其中，公式为：

Pt＝Pr*H^-1，

其中，Pt为t时刻发送的信号功率，Pr为所述接收机接收到的光强，H^-1为增益矩阵H满秩。

进一步地，在本发明的一个实施例中，控制器300根据如下公式对接收机100进行定位，训练结算，3个PD接收的光强矢量可以恰好等于相应光源的位置矢量，公式为：

\begin{matrix} u 0 = \frac{H 12 * H 21 * u 1 - H 22 * H 11 * u 2 - H 11 * H 21 * (v 1 - v 2)}{H 12 * H 21 - H 22 * H 11}, \\ v 0 = \frac{H 11 * H 22 * v 1 - H 12 * H 21 * v 2 - H 12 * H 22 * (u 1 - u 2)}{H 11 * H 22 - H 12 * H 21}, \\ w 0 = \frac{H 11 * H 33 * w 1 - H 13 * H 31 * w 2 - H 13 * H 33 * (u 1 - u 3)}{H 11 * H 33 - H 13 * H 31}, \end{matrix}

H = [\begin{matrix} H 1 \\ H 2 \\ H 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} H 11 & H 12 & H 13 \\ H 21 & H 22 & H 23 \\ H 31 & H 32 & H 33 \end{matrix}] .

在本发明的实施例中，由三个PD朝向相互垂直构成立方体的接收机100，其可以大大降低不同LED发射光信号之间的相关性，提高解相关算法的鲁棒性，更好的实现MIMO接入功能。

具体地，参照图2所示，三个LED作为发射端，从不同的方位发射携带信息的光信号，三个PD朝向相互垂直，作为接收端，同时接收三路不同的光信号。首先，第一个阶段，采用预编码技术，每个时隙，只有一个LED工作，其余两个LED不发光。例如，时隙1只有LED 1工作，发射信号功率归一化为1的光信号，此时，在PD 1，PD 2，PD 3上分别接收到的光强，记为H1＝(H11，H12，H13)。同理，时隙2只有LED 2工作，信号功率归一化为1，此时，三个PD接收到的光强记为H2＝(H21，H22，H23)；时隙3只有LED3工作信号功率归一化为1，接收到的光强记为H3＝(H31，H32，H33)，从而获得当前LED和PD结构下的DC增益矩阵H＝(H1；H2；H3)，如下：

H = [\begin{matrix} H 1 \\ H 2 \\ H 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} H 11 & H 12 & H 13 \\ H 21 & H 22 & H 23 \\ H 31 & H 32 & H 33 \end{matrix}] .

然后，第二阶段，三个LED同时发送光信号，假设某一个时刻，发送的信号功率为Pt＝(Pt1，Pt2，Pt3)，三个PD上接收到的光强为Pr＝(Pr1，Pr2，Pr3)。二者满足的关系如下：

Pr＝Pt*H。

于是，通过接收到的Pr矢量，只需要H矩阵满秩，则可以通过已知的H矩阵，反解出发射的信号Pt，从而同时解码出三路信号，如下：

Pt＝Pr*H^-1。

在本发明实施例的特殊的立方体PD结构下，以接收机中心为坐标原点，LED相对于接收机的坐标为Di＝(xi，yi，zi)。与Hi矢量同方向。举例而言，LED1的坐标为D1＝(x1，y1，z1)，则H1＝k1*D1，k为常数，与距离和入射角相关。同时，对于LED2和LED3也有规律：H2＝k2*D2，H3＝k3*D3。因此，只需要保证D矩阵D＝(D1；D2；D3)满秩，即三个LED不在同一条直线上，那么，H矩阵也满秩，则Pt就可以成功反解。

进一步地，在本发明的一个实施例中，控制器300还用于根据多个光源200的坐标对接收机100进行定位。

正因为在上述特殊结构下，Hi矢量和Di矢量满足这个特殊关系，信道差异非常直观；同时，改变接收机的姿态，并不影响不同LED入射角之间的夹角，姿态敏感度低；最后，辅以解析几何的简单推导和计算，可以通过三个LED的位置坐标，快速定位出接收器的坐标，实现高精度的室内定位功能。

具体地，针对每一路信号，本发明实施例可以通过最大合并比的方法来提取信号。最大合并比的方法是抑制剩余两路信号，从而提取出某一路信号的迫零方法。假设三个LED的入射方向如图3所示。

参照图3所示，为了求解LED1的信号，需要通过H2和H3矢量计算出与二者都正交的d方向矢量。

将接收到的Pt矢量与d矢量做内积，则

Pt*d＝Pr*H*d，

\begin{matrix} Pt * d = (\Pr 1, \Pr 2, \Pr 3) * [\begin{matrix} H 1 \\ H 2 \\ H 3 \end{matrix}] * d, \\ Pt * d = (\Pr 1, \Pr 2, \Pr 3) * [\begin{matrix} H 1 * d \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], \end{matrix}

Pt*d＝Pr1*H1*d，

Pr1＝Pt*d/(H1*d)。

可见，本发明实施例可以分解出LED1对应的Pr1信号。利用最大合并比的方法，可以有效的降低运算复杂度，提高算法的效率，可以支持多用户和多业务同时收发功能的要求。

进一步地，在立体结构的接收机100中，可以利用PD阵列上光强的分布不同，采用光指纹技术，可以实现高精度的定位功能。在本发明提出的立方体PD接收机结构的例子中，利用Hi矢量和Di矢量的特殊关系，可以大大简化定位算法，计算复杂度低，定位精度高。

参照图4所示，当接收机坐标与地理坐标系方向相同时，在地理坐标系下，如果已知H1，H2，H3以及(u1，v1，w1)、(u2，v2，w2)、(u3，v3，w3)，且满足关系式：

H1＝(H11,H12,H13)＝k1*(u1-u0,v1-v0,w1-w0)，

H2＝(H21,H22,H23)＝k2*(u2-u0,v2-v0,w2-w0)，

H3＝(H31,H32,H33)＝k3*(u3-u0,v3-v0,w3-w0)。

k1、k2和k3为常数，是未知量，接收机100的坐标为(u0，v0，w0)。本发明实施例提出一种简单的，高精度的定位算法，设计如下：九个方程，从而可以利用以下六个方程来求解接收机100的坐标(u0，v0，w0)：

H11＝k1*(u1-u0)；

H12＝k1*(v1-v0)；

H13＝k1*(w1-w0)；

H21＝k2*(u2-u0)；

H22＝k2*(v2-v0)；

H23＝k2*(w2-w0)；

可以求得接收机100的坐标如下：

\begin{matrix} u 0 = \frac{H 12 * H 21 * u 1 - H 22 * H 11 * u 2 - H 11 * H 21 * (v 1 - v 2)}{H 12 * H 21 - H 22 * H 11} \\ v 0 = \frac{H 11 * H 22 * v 1 - H 12 * H 21 * v 2 - H 12 * H 22 * (u 1 - u 2)}{H 11 * H 22 - H 12 * H 21} \\ w 0 = \frac{H 11 * H 33 * w 1 - H 13 * H 31 * w 2 - H 13 * H 33 * (u 1 - u 3)}{H 11 * H 33 - H 13 * H 31} \end{matrix}

可见，只需要两个LED，便可以求得接收机100的坐标，实现高精度的室内定位。如果能同时接收到三个LED，将三个LED两两组合，用上述算法求解接收机100的坐标，再将得到的所有结果相加取均值，作为最终结果，可以最大的提高定位精度本发明实施例的算法简单，计算复杂度低，定位精度高。

综上所述，在本发明的实施例中，基于立体结构PD阵列接收机的MIMO接入技术，可以用于空间调制技术，多用户多业务同时收发功能，在实现MIMO接入功能时，可以同时实现高精度的可见光室内定位功能。其中，立体结构的PD阵列接收机，可以由任意多个PD，任意PD朝向构成的立体结构的PD阵列接收机，例如一个立体结构的PD阵列接收机例子，由三个PD朝向互相垂直的立方体结构接收机，不但可以大大简化MIMO接入算法，同时，也可以大大简化定位算法，降低计算复杂度。

综上所述，本发明实施例是在可见光通信系统中，使用立体空间中多个不同朝向的PD阵列组成接收机，同时接收来自不同方向的多个LED即光源的信号，利用LED入射光的方向性差异，在接收机的PD阵列上形成不同的光强分布，并利用解相关的算法来区分不同LED发送的信号，实现同时接收并区分多路可见光信号的功能。合理设计立体空间中PD阵列的结构，可以大大降低各个子信道之间的相关性，从而获取空间复用增益。该可见光MIMO接入技术既可以应用于空间调制的可见光MIMO系统，也可以应用于同时支持多用户和多业务收发的可见光系统，而且，在实现MIMO接入功能的同时，还可以实现基于可见光通信的室内精确定位功能。在本发明的实施例中，设计了一种结构作为例子，即三个PD朝向互相垂直的立方体PD结构接收机，其具有很好的性能，大大降低了各个子信道之间的相关性，同时，可见光定位算法也可以大大简化。

具体地，本发明实施例的多输入多输出可见光MIMO系统具有以下优点：

1、接收机体积小。传统的平面PD方案是通过增大PD之间的间距来降低各个子信道之间的相关性，本发明采用的是立体结构的PD阵列，通过不同朝向的PD使得接收到的光信号差异性变大，从而缩小PD之间间距，接收机体积得以变小。

2、信道差异直观。立体结构的PD阵列，降低了各个子信道之间的相关性，减少子信道之间的干扰。其中，发明中设计了一个接收机例子，即三个PD朝向互相垂直的立方体接收机结构，其光强分布矢量和发射LED的方位坐标同向，信道差异非常直观，性能出色。

3、姿态敏感度低。接收机姿态的改变，不会影响各个子信道光信号入射方向的夹角，PD接收的光信号强度矢量的模保持稳定，具有对姿态敏感度低的特点。

4、可以实现高精度的室内定位功能。PD阵列中形成的光强分布与LED相对于接收机的方位角相关。发明中设计的一个接收机例子，即三个PD朝向互相垂直的立方体接收机结构，三个PD上光强值组成的矢量和空间方位同向，可以快速精确的实现定位，大大定位算法的复杂度。

根据本发明实施例提出的多输入多输出可见光MIMO系统，通过独立的控制每个光源以不同的功率发射光信号，以根据接收到的每个光源的光强得到增益矩阵，并同时控制多个光源发射光信号，从而根据增益矩阵和每个光源的发射功率区分不同光源发射的光信号，有效降低各个子信道之间的相关性，提高空间复用效率，从而获取空间复用增益，并且可以实现精确定位功能。

应当理解，本发明的各部分可以用硬件、软件、固件或它们的组合来实现。在上述实施方式中，多个步骤或方法可以用存储在存储器中且由合适的指令执行系统执行的软件或固件来实现。例如，如果用硬件来实现，和在另一实施方式中一样，可用本领域公知的下列技术中的任一项或他们的组合来实现：具有用于对数据信号实现逻辑功能的逻辑门电路的离散逻辑电路，具有合适的组合逻辑门电路的专用集成电路，可编程门阵列(PGA)，现场可编程门阵列(FPGA)等。

本技术领域的普通技术人员可以理解实现上述实施例方法携带的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件完成，所述的程序可以存储于一种计算机可读存储介质中，该程序在执行时，包括方法实施例的步骤之一或其组合。

此外，在本发明各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理模块中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个模块中。上述集成的模块既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能模块的形式实现。所述集成的模块如果以软件功能模块的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，也可以存储在一个计算机可读取存储介质中。

上述提到的存储介质可以是只读存储器，磁盘或光盘等。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims

1.一种多输入多输出可见光MIMO系统，其特征在于，包括：

接收机，所述接收机包括多个PD接收器，所述多个PD接收器的接收面法线分别朝向多个方向设置；

多个光源，所述多个光源位于不同的方位，其中，所述多个光源中任意两个光源与所述接收机之间的连线不在同一直线上；

控制器，所述控制器在训练阶段分别独立地控制每个光源以不同的功率发射光信号，以根据所述接收机接收到的每个光源的光强得到增益矩阵，并且在通信阶段控制所述多个光源同时发射光信号，并根据所述增益矩阵和此时接收机接收到的光强得到每个光源的发射功率，从而区分不同光源发射的光信号。

2.根据权利要求1所述的多输入多输出可见光MIMO系统，其特征在于，所述光源为3个，所述PD接收器为3个，3个PD接收器两两垂直设置。

3.根据权利要求2所述的多输入多输出可见光MIMO系统，其特征在于，当所述多个光源同时发射光信号时，所述控制器用于根据如下公式得到每个光源的光强，其中，所述公式为：

Pt=Pr*H^-1，

4.根据权利要求2所述的多输入多输出可见光MIMO系统，其特征在于，所述控制器还用于根据所述多个光源的坐标对所述接收机进行定位。

5.根据权利要求4所述的多输入多输出可见光MIMO系统，其特征在于，所述控制器根据如下公式对所述接收机进行定位所述公式为：

u 0 = \frac{H 12 * H 21 * u 1 - H 22 * H 11 * u 2 - H 11 * H 21 * (v 1 - v 2)}{H 12 * H 21 - H 22 * H 11},

v 0 = \frac{H 11 * H 22 * v 1 - H 12 * H 21 * v 2 - H 12 * H 22 * (u 1 - u 2)}{H 11 * H 22 - H 12 * H 21},

w 0 = \frac{H 11 * H 33 * w 1 - H 13 * H 31 * w 2 - H 13 * H 33 * (u 1 - u 3)}{H 11 * H 33 - H 13 * H 31},

H = [\begin{matrix} H 1 \\ H 2 \\ H 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} H 11 & H 12 & H 13 \\ H 21 & H 22 & H 23 \\ H 31 & H 32 & H 33 \end{matrix}] .