CN104954099B - 译码迭代次数约束下累积无率码的优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种译码迭代次数约束下累积无率码的优化设计方法。本发明考虑到译码复杂度和码率的折中，基于外部信息转移(extrinsic information transfer,EXIT)图的渐近收敛分析，提出一种有限译码迭代次数约束下的非系统累积无率(accumulate rateless,AR)码的优化设计方法，并给出此优化问题的数学模型。通过求解该优化问题可以得到任一译码迭代次数约束下纠错性能最好的非系统AR码的编码度分布函数。在有限的译码迭代次数下，所提出的方法设计的编码能获得更好的纠错性能，且译码迭代次数越小，性能优势越明显。这种方法在编码设计时考虑了译码迭代次数，在译码复杂度和译码时延受限的实际应用中有着重要的意义。
Description
技术领域
本发明是关于信息通信领域中利用无率编码—累积无率码对信息进行编码时，降低译码复杂度，实现译码复杂度-码率折中的编码设计方法。
背景技术
传统的信道编码在设计时，通常先根据信道状态信息(channel stateinformation,CSI)估计信道参数，根据这个参数设计一个码率固定的信道纠错编码。当估计的信道性能差于实际的信道性能时，虽然可以实现可靠传输，但是造成了传输的浪费，因为此时可以使用更高码率的信道纠错编码；当估计的信道性能优于实际的信道性能时，不能实现可靠的传输，此时需要更低码率的信道纠错编码。因此，一种新的能够自适应信道状态，同时具有良好编码增益的高效信道编码近年来被广泛研究与应用，这就是无率码。
顾名思义，无率码即一种码率不受约束限制的编码，又被形象地称为喷泉码，其本质是一种前向递增冗余码。与传统的固定码率的信道编码不同，无率码在发送端编码时并不固定码率，它能够根据信道状态源源不断地产生编码符号，直到接收端译码成功恢复出发送端原始消息并反馈确认(acknowledge,ACK)信息。在传输过程中，接收端译码器只关心成功接收的编码符号数目，而并不关心哪些编码符号被成功接收还是发生了差错或丢失，只要收集到足够数目的编码符号，译码器即可以尝试译码。如果译码失败，接收端可以再多接收一些编码符号然后继续尝试译码，接收端可以一直重复这个过程直到译码成功，一旦译码成功，接收端即向发送端反馈1比特的ACK信息以告知发送端译码成功，然后发送端停止发送即可，这样就完成了整个传输过程。此时，实际传输的码率取决于实际发送的编码符号数目，而需要发送的编码符号数目则取决于当时的信道状况。可见，无率码具有自适应链路信道状态的特性，其编码码率可以随传输过程中的瞬时信道状态而自适应地改变。这些特性使得无率码非常适于时变信道中的传输。
数字喷泉码最初是为了实现删除信道中高效可靠的传输而提出的。Luby在2002年提出了第一种实用的喷泉码—LT(Luby Transform)码，其在删除信道下有很好的性能。LT码的基本结构和非规则非系统的低密度生成矩阵(low density generator matrix,LDGM)码类似，也可以用于噪声信道。但在噪声信道下，LDGM码存在高错误平层，且不会随着分组长度的增加而有所改善。级联一个高码率的预编码的Raptor码有效地改善了错误平层的问题，但同时也增加了编码和译码的复杂度。为了进一步降低级联预编码带来的高复杂度，提出了累积无率(accumulate rateless,AR)码的概念，它由在LDGM无率码编码器后级联一个累加器构成。这种码在高斯白噪声(additive white Gaussian noise,AWGN)信道下与Raptor码有着相当的性能，但编译码的复杂度更低。
LT码在噪声信道中的高错误平层主要由两方面的原因引起，一是Tanner图中编码节点的度值恒为1，二是编码时由于随机选择信息节点而导致度值较小的信息节点存在。在AR码的Tanner图(图1)中，编码节点呈“之”字形结构，这解决了第一个问题。对于第二个问题，可采用优先选择度值最小的信息节点来产生校验节点的方法，使得各个信息节点的度数基本一致(假设为ds)来解决。这样信息节点度分布为即绝大多数信息节点的度都为ds(可能会存在极少数的信息节点度为ds+1或ds-1)。AR码的编码过程如下：
(1)根据校验节点度分布ρ(x)随机产生一个度值d；
(2)通过优先选择度值最小的信息节点选择d个信息节点；
(3)将这d个信息节点进行模2加产生中间比特bq(q＝1,2,…)；
(4)当前编码比特cq由当前中间比特bq和前一编码比特cq模2加得到，设c0＝0，则
cq＝bq q＝1
(1)
＝(bq+cq-1)mod2 q＝2，3，...
假设信息比特的长度为K，当编码比特的长度为N时，由K·ds＝N·(∑jρj/j)-1可得，非系统AR码的瞬时码率R为
其中j表示校验节点的度数，ρj表示度为j的校验节点连接的边占所有边的比例。
假设编码比特经过二进制相移键控(binary phase shift keying,BPSK)调制后在AWGN信道中传输。接收向量y＝x+n，其中x是调制后的码字对应的信号向量，n表示均值为0、方差的高斯白噪声向量，其中N0/2表示双边噪声功率谱密度。若编码码率为R，则信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)为
接收符号的对数似然比值(logarithm likelihood ratios,LLRs)定义为
其中p(y|x)表示输入信号Pr(x＝±1)＝1/2的条件下，AWGN信道的输出信号y的条件概率密度函数。则接收符号LLRs的方差为
无率码在AWGN信道下的译码一般采用置信传播(belief propagation,BP)译码算法。这种算法通过在变量节点和校验节点间迭代地传递消息进行译码。AR码的译码器包括三个部分：变量节点译码器(variable node decoder,VND)，校验节点译码器(check nodedecoder,CND)和累加器译码器(accumulator decoder,ACC)。累加器译码器能够获得信道中的观测值。通常，将ACC和CND作为一个译码单元，即ACC&CND译码器。AR码使用BP算法进行译码时，信息的更新包括变量节点的信息更新和校验节点的信息更新两类，其中变量节点的信息更新又包括信息节点的信息更新和编码节点的信息更新。非系统AR码的BP译码算法的迭代过程如下：
(1)变量节点的信息更新
变量节点的信息更新分为信息节点的信息更新和编码节点的信息更新。从信息节点u到校验节点ci的输出信息为
其中，m[c′,u]表示校验节点c′到信息节点u的输出信息；N(u)表示信息节点u的邻近节点，即与u相连的校验节点c1,c2,…ck，k为信息节点u的度值；N(u)\ci表示除了校验节点ci的u的邻近节点。
非系统AR码的编码节点的度值为2，则从编码节点e到校验节点ci输出的信息m[e,ci],i＝1,2为
m[e,ci]＝Fr(e)+m[c′,e],c′∈N(e)\ci (7)
其中，m[c′,e]表示校验节点c′到编码节点e的输出信息；N(e)表示编码节点e的邻近节点，即与e相连的校验节点c1,c2；N(e)\ci表示除了校验节点ci的e的邻近节点，Fr(e)为信道观测值的对数似然比。
(2)校验节点的信息更新
校验节点c到信息节点u和编码节点e的输出信息分别为
其中，n为校验节点的度值。
(3)对每个信息节点的所有输入信息求和
如果s(u)≥0，信息位u译为0，否则为1。
(4)如果译码后的信息比特无差错，则译码结束；否则，进行下一次迭代，直至达到最大译码迭代次数。
目前的无率码设计方法多以最大化码率为目标设计优化的校验节点度分布以获得逼近容量的性能。这种码设计中优化的方向是获得逼近信道容量的最大码率，它的错误概率会随着码长和译码迭代次数的增加而减小。这种编码在设计时没有考虑译码迭代时的收敛速度，在BP译码时需要进行非常多次(理论上是无穷多次)的迭代才能获得预期的性能，这无疑带来了很大的译码复杂度。这使得其在译码复杂度和译码延时有限的实际应用中十分受限。
发明内容
本发明的目的在于给出一种非系统AR码的编码设计方法，得到有限译码迭代次数约束下性能最好的非系统AR码的校验节点度分布，从而实现译码复杂度和译码性能的折中。
本发明的分析过程如下：一般的编码设计方法为获得逼近容量的性能，通常以最大化编码码率为目标，即在给定信道条件下，最大化公式(2)给出的码率。ds一定时，其等价于最小化此时，优化问题可表述如下：
s.t.g(y)>f-1(y),y∈[0,1)
其中，第一个约束条件为保证译码成功的充分条件，由译码器本次迭代所传递的信息必须大于上次迭代传递的信息得到。第二个约束条件为非系统AR码的译码开始条件，即必须有度为1的校验节点存在。通过对一系列离散的ds值求解问题(11)可以得到优化的校验节点度分布，即使得码率最大的ds值和ρ(x)作为最优解。
然而，这种度分布优化问题在设计过程中并未考虑译码复杂度。前面有指出，这种最大化码率的编码为在最优码率下实现预期的误比特率(bit error rate,BER)性能，在BP译码时需要进行非常多次(理论上是无穷多次)的迭代，这无疑带来了很大的译码复杂度。而在实际情况下，译码器的译码复杂度都是有限的，因此考虑降低译码复杂度的码的设计至关重要，然而这是以降低码率为代价的。
译码迭代次数对BP译码算法的译码复杂度有着至关重要的影响。因此，我们设计一种有限译码迭代次数约束下性能最好的码，从而实现译码复杂度-码率的折中。非系统AR码译码时，进行L次迭代后的平均误比特率如下式：
其中，Q(·)定义为
因此，容易想到，在L一定时，只需要将问题(11)中的目标函数换为非系统AR码的平均误比特率Pe，就可以使得其经过一定的译码迭代次数后错误概率最小。由于J-1(·)是一个连续单调递增函数，而Q(·)是一个连续单调递减函数，最小化Pe等价于在L次迭代后使译码器间传递的信息y(L)最大化。由此，我们便可以得到有限译码迭代次数约束下性能最好的非系统AR码，在译码迭代次数有限时，其性能要优于传统的以最大化码率为目标设计的编码，且译码迭代次数越小，性能差异越明显。这在译码复杂度和译码延时有限的实际应用中有着重要的意义。
经过以上分析，本发明采用的技术方案是：译码迭代次数约束下AR码的优化设计方法，AR码的译码器包括变量节点译码器(variable node decoder,VND)，校验节点译码器(check node decoder,CND)和累加器译码器(accumulator decoder,ACC)。通常，将ACC和CND作为一个译码单元，即ACC&CND译码器。AR码使用BP译码算法进行译码，译码迭代次数对BP译码算法的译码复杂度有着至关重要的影响，其特征在于：非系统AR码采用BP译码算法译码时，在进行L次迭代后的平均误比特率Pe如下式：
其中，ds表示信息节点的度数(本发明采用优先选择度值最小的信息节点来产生校验节点的方法，使得各个信息节点的度数基本一致(假设为ds))；y＝f(x)定义为ACC&CND的EXIT函数(x表示ACC&CND的先验输入互信息IA,ACC&CND，y表示ACC&CND的输出互信息IE,ACC&CND)；y(L)表示L次译码迭代后ACC&CND的输出互信息。另外，由EXIT原理可知，L次译码迭代后，度为ds的信息节点的对数似然比值服从对称高斯分布其中Q(·)定义为
在L一定时，只需要求得经L次迭代后的平均误比特率Pe的最小值，就可以使得非系统AR码经过一定的译码迭代次数后的错误概率最小。由于J-1(·)是一个连续单调递增函数，而Q(·)是一个连续单调递减函数，最小化Pe等价于在L次迭代后使译码器间传递的信息y(L)最大化；据此，有限译码迭代次数约束下最大化译码器间传递信息的优化问题可表述如下：
s.t.g(y)>f-1(y),y∈[0,1)
x(0)＝0,y(0)＝f(x(0))
x(l)＝g(y(l-1)),l＝1,2,...L
y(l)＝f(x(l))，l＝1,2,...L
其中，表示优化的校验节点度分布，ρj表示度为j的校验节点连接的边占所有边的比例，dc表示校验节点的最大度；x＝g(y)定义为VND的EXIT函数(x表示VND的输出互信息IE,VND，y表示VND的先验输入互信息IA,VND)；f-1(y)表示ACC&CND的先验输入互信息IA,ACC&CND；ε为任意小的正数；f(x)表示ACC&CND的输出互信息IE,ACC&CND；σLch表示接收符号对数似然比值的方差。
在上式中，所有的约束条件关于ρj都是线性的；通过求解该优化问题可以得到任一译码迭代次数约束下纠错性能最好的非系统AR码的校验节点度分布。
根据该编码方案设计的非系统AR码，考虑了译码迭代次数，相比较现有的以最大化码率为目标设计的编码，在译码迭代次数有限时，有着更好的纠错性能，且译码迭代次数越小，性能优势越明显，实现了译码复杂度和译码性能的折中。
附图说明
图1为AR码的Tanner图；
图2为非系统AR码的译码器结构；
图3为非系统AR码的EXIT图；
图4为信道容量C＝3/4bit/symbol的BIAWGN信道下，LT码、Raptor码和非系统AR码的BER性能仿真比较(其中Raptor码的预编码是码率为0.95的(3,60)的规则LDPC码，非系统AR码的度分布通过求解本发明提出的以最大化译码器间传递信息为目标的优化问题得到)；
图5、图6和图7分别为信道容量C＝3/4bit/symbol、C＝2/3bit/symbol和C＝1/2bit/symbol的BIAWGN信道下，固定最大译码迭代次数L＝20、80、150时，以最大化码率和最大化译码器间传递信息为目标优化的非系统AR码的BER性能仿真。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述：
根据AR码的译码算法分析，我们知道AR码的译码器有VND、ACC&CND两个分量译码器(参见图2)，所以有两类EXIT曲线，IE,VND～IA,VND和IE,ACC&CND～IA,ACC&CND曲线。我们可以得到非系统AR码的两条EXIT曲线对应的函数的表达式：
其中，IE,VND表示VND的输出互信息，IA,VND表示VND先验输入互信息；IE,ACC&CND表示合并的ACC和CND的输出互信息，IA,CND表示CND的先验输入互信息，ACC的输出互信息和先验输入互信息则分别由IE,ACC和IA,ACC表示。J(·)定义为传输的BPSK符号与接收符号LLRs之间的互信息，表达式如下
其中ξ为积分变量。J(σ)是单调递增函数，因此它存在唯一的反函数σ＝J-1(I)。为了简便起见，我们使用下面的近似表达式来计算J(·)和J-1(·)。
其中，H1＝0.3073，H2＝0.8935，H3＝1.1064。
在非系统AR码的EXIT图(图3)中，x轴表示VND的输出互信息IE,VND以及ACC&CND的先验输入互信息IA,ACC&CND。y轴表示VND的先验输入互信息IA,VND以及ACC&CND的输出互信息IE,ACC&CND。我们定义ACC&CND的EXIT函数为y＝f(x)，VND的EXIT函数为x＝g(y)，其中x＝IE,VND＝IA,ACC&CND，y＝IA,VND＝IE,ACC&CND，因此两者的具体表达式可由公式(17)和(18)得到。
令表示ACC&CND经l次迭代后的输出互信息，表示相应的先验输入互信息。那么进行l次迭代的信息进化轨迹可表示为
y(l)＝f(x(l))，x(l)＝g(y(l-1)) (22)
初始值为x(0)＝0，y(0)＝f(0)。将公式(22)中的等式相互代入可以得到，y(l)＝f(g(y(l-1)))。进一步可得，L次迭代后的ACC&CND的输出互信息为
y(L)＝hL(y(0))＝hL(f(0)) (23)
其中，h(y)＝f(g(y))。经过足够多的迭代次数后，译码器会收敛于一个固定点y＝f(g(y))＝h(y)，对于性能良好的码，这个点通常在y值接近于1时出现。此外，EXIT图中的两条EXIT曲线必须遵循以下原则：ACC&CND的EXIT曲线必须要在VND的EXIT曲线之上，两条曲线必不能相交，这样才能保证一个译码通道的打开。两条曲线间的区域面积越小，所设计的码字性能越好，越接近香农限。
据此，有限译码迭代次数约束下最大化译码器间传递信息的优化问题可表述如下：
s.t.g(y)>f-1(y),y∈[0,1)
x(0)＝0,y(0)＝f(x(0))
x(l)＝g(y(l-1)),l＝1,2,...L
y(l)＝f(x(l))，l＝1,2,...L
在上式中，所有的约束条件关于ρj都是线性的。因此，如果目标函数y(L)是凹的，那么上述问题将是一个凸优化问题。ACC&CND的EXIT函数f(x)可以用下式表示：
其中，fj表示度为j的ACC&CND的转移函数。那么
可见，y是关于ρj的线性函数。那么在问题(24)中，目标函数和约束条件都是线性的，因此这是一个线性规划。而任何线性规划都是凸优化问题，据此可知，问题(24)是一个凸优化问题。
对任意L值，都可以通过求解式(24)得到优化的校验节点度分布。观察式(24)，可以看到，约束条件与最大迭代次数L都是相互独立的，且此优化问题只需知道f(x)和g(y)的表达式，而这对许多编码都是可得的。
图4给出信道容量C＝3/4bit/symbol(噪声标准差σn＝0.6770)的BIAWGN信道下的LT码、Raptor码和非系统AR码的BER性能，最大译码迭代次数设定为150。其中，LT码采用文献[VENKIAH A,POULLIAT C,DECLERCQ D.Jointly decoded raptor codes:analysis anddesign for the BIAWGN channel[J].EURASIP Journal on Wireless Communicationsand Networking,2009,2009(16):1-11.]中的度分布、Raptor码的预编码为码率为0.95的(3,60)的规则LDPC码、非系统AR码的度分布通过求解本发明提出的最大化译码器间传递信息的优化问题(24)得到。从图中可以看到，非系统AR码和Raptor码有着相当的BER性能，甚至优于Raptor码。LT码虽然在码率较大时有更好的性能，但是存在较高的错误平层，BER并不能随码率的下降而迅速下降，而非系统AR码和Raptor码则在仿真中没有出现错误平层。可见，AR码有效地改善了LT码在噪声信道中的错误平层问题，有着与Raptor码相近，甚至更好的BER性能。与Raptor码级联一个预编码器相比，AR码仅需级联一个累加器，大大降低了编译码的复杂度，更便于实现。
图5、图6和图7分别给出信道容量C＝3/4bit/symbol(σn＝0.6770)、C＝2/3bit/symbol(σn＝0.7666)和C＝1/2bit/symbol(σn＝0.9786)的BIAWGN信道下，固定最大译码迭代次数L＝20、80、150时，以最大化码率和本发明提出的以最大化译码器间传递信息为目标优化的非系统AR码的BER性能仿真结果。图中的横坐标为码率的倒数。最大化码率的度分布通过求解式(11)得到，该优化结果与译码时限制的最大迭代次数L无关；而通过求解优化问题(24)可以得到在某一固定的L条件下，译码器间传递信息最大化的校验节点度分布。表1为三种不同的信道容量下，采用本发明提出的最大化信息传递的设计方法得到的不同译码迭代次数限制下的最优非系统AR码的校验节点度分布。
表1
仿真结果表明，在译码迭代次数限制的约束条件下，本发明提出的最大化译码器间传递信息的设计方法设计的编码性能优于以最大化码率为目标的设计方法设计的编码。从仿真图5-7中可以看出，在迭代限制次数较小时，本发明设计的编码的性能优势较为明显。随着迭代限制次数的增大，该性能优势逐渐减小，这是因为以最大化码率为目标设计的编码是在假设可进行无限多次迭代的情况下进行优化得到的，当译码迭代的限制次数很大后，该码的译码性能会逐渐逼近其设计性能。
Claims (2)
1.译码迭代次数约束下累积无率码的优化设计方法，累积无率码的译码器包括变量节点译码器(VND)，校验节点译码器(CND)和累加器译码器(ACC)，将ACC和CND作为一个译码单元，即ACC&CND译码器，累积无率码使用置信传播(BP)译码算法进行译码，其特征在于：非系统累积无率码使用BP译码算法译码时，进行L次迭代后的平均误比特率Pe如下式：
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其中，ds表示信息节点的度数；y(L)表示L次译码迭代后ACC&CND的输出互信息；另外，由EXIT原理可知，L次译码迭代后，度为ds的信息节点的对数似然比值服从对称高斯分布其中Q(·)定义为
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在L一定时，只需要求得经L次迭代后的平均误比特率Pe的最小值，就可以使得非系统累积无率码经过一定的译码迭代次数后的错误概率最小；由于J-1(·)是一个连续单调递增函数，而Q(·)是一个连续单调递减函数，最小化Pe等价于在L次迭代后使译码器间传递的信息y(L)最大化；据此，有限译码迭代次数约束下最大化译码器间传递信息的优化问题可表述如下：
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</mrow>
</mrow>
x(0)＝0,y(0)＝f(x(0))
x(l)＝g(y(l-1)),l＝1,2,...L
y(l)＝f(x(l))，l＝1,2,...L
其中，表示优化的校验节点度分布，ρj表示度为j的校验节点连接的边占所有边的比例，dc表示校验节点的最大度；y＝f(x)为ACC&CND的EXIT函数，x表示ACC&CND的先验输入互信息IA,ACC&CND，y表示ACC&CND的输出互信息IE,ACC&CND，也就是VND的先验输入互信息IA,VND；x＝g(y)为VND的EXIT函数，x为VND的输出互信息IE,VND，也就是下一次迭代时ACC&CND的先验输入互信息IA,ACC&CND，也就是ACC&CND的输出互信息IE,ACC&CND；相应，f-1(y)表示ACC&CND的输出互信息为y时的先验输入互信息IA,ACC&CND；f(x)表示ACC&CND输入互信息为x时的输出互信息IE,ACC&CND；ε为任意小的正数；σLch表示信道对数似然比值的方差；
在上式中，所有的约束条件关于ρj都是线性的；通过求解该优化问题可以得到任一译码迭代次数约束下纠错性能最好的累积无率码的校验节点度分布；
J-1(·)为J(·)的反函数，J(·)定义为传输的BPSK符号与接收符号的对数似然比值之间的互信息，表达式如下：
<mrow>
<mi>J</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>&pi;</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mi>&sigma;</mi>
</mrow>
</mfrac>
<msubsup>
<mo>&Integral;</mo>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&infin;</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>+</mo>
<mi>&infin;</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>exp</mi>
<mo>{</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&xi;</mi>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>/</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>}</mo>
<mo>&CenterDot;</mo>
<msub>
<mi>log</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mi>&xi;</mi>
</mrow>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&xi;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中ξ为积分变量。
2.根据权利要求1所述译码迭代次数约束下累积无率码的优化设计方法，其特征在于：使用下面的近似表达式来计算J(·)和J-1(·)：
<mrow>
<mi>J</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&ap;</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msup>
<mn>2</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>H</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msup>
<mi>&sigma;</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>H</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>H</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>J</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>I</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&ap;</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msub>
<mi>H</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mfrac>
<msub>
<mi>log</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>I</mi>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msub>
<mi>H</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
</mfrac>
</msup>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>H</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，H1＝0.3073，H2＝0.8935，H3＝1.1064。
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- 2015-06-17 CN CN201510341093.9A patent/CN104954099B/zh active Active
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