CN104933312A - 一种基于SimRank的结点相似度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于SimRank的结点相似度计算方法，包括以下步骤：1)将多关系网络用邻接矩阵形式表示，采用非迭代的结点相似度矩阵S表示多关系网络的结点相似度；2)建立Eigen-SimRank模型，对计算结点相似度矩阵S所需的各相关矩阵信息进行分析；3)若网络结构不发生变化，则根据与计算该多关系网络相似度矩阵S的相关矩阵信息，对多关系网络中的结点相似度进行计算；4)若网络结构发生变化，则采用Eigen-SimRank动态更新算法对相关矩阵信息进行更新，得到网络结构变化后计算相似度矩阵所需要的新的相关矩阵信息；5)根据更新后的相关矩阵信息，对结点相似度进行计算；6)根据计算得到的相似度计算结果，对多关系网络中各结点之间的相似度值进行分析。本发明可以广泛应用于网络结构中结点相似度计算领域。

Description

一种基于SimRank的结点相似度计算方法

技术领域

本发明涉及多关系网络中相似度计算领域，特别是关于一种基于SimRank的结点相似度计算方法。

背景技术

近年来，由于互联网浪潮的席卷，在计算机应用领域产生了数量大量网络，而在此基础上产生的大量应用，例如在社交网络中产生的边预测以及电子商务中产生的推荐系统，其均是通过结点之间相似度计算技术和Top-k查询技术，根据用户结点本身的属性和特征，为用户提供更精确、更符合用户期望的信息。然而，这些研究也有一定的局限性，其中之一就是这些相关研究在进行查询时都没有考虑某个特定的视角。互联网发展到今天，一个网络中的结点之间，已经不再单纯的只有一种关系，结点之间可能存在着很多很多的关系。这种网络中结点之间存在着多种关系的网络即为多关系网络。采用已有的查询技术在多关系网络中进行查询时，并没有考虑某个特定的视角，因此查询结果可能并不完全符合用户的需求。

查询时考虑特定视角能为用户提供更符合用户需求的信息，因此能在一定程度上满足这一要求。考虑特定视角的查询相较已有的查询技术而言虽然在一定程度上能为用户提供更多有用的信息，但是在本质上它们都是利用相似度计算算法来计算结点之间的相似度，并依据这个相似度值的高低返回相应的结果给用户。一般来说，两个结点之间的相似度指的是根据这两个结点之间的路径而计算出的一个介于0和1之间的数值。经过多年的研究，现在计算两个结点间相似度比较成熟的算法有谷歌公司提出的PageRank，以及PageRank的变式Personalized PageRank；Random Walk以及RandomWalk的变式Random Walk with Restart，以及SimRank等。以SimRank为例，SimRank的核心思想是：两个结点是相似的，如果它们周围的邻居结点也是相似的话。因此，原始的SimRank计算是一种迭代计算的方法。迭代计算带来的最大的问题就是计算的效率问题。已经有研究证实，SimRank原始的迭代计算式当网络规模很大时是一种计算效率很低的计算方法。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种基于SimRank的结点相似度计算方法。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种基于SimRank的结点相似度计算方法，包括以下步骤：1)首先将多关系网络用邻接矩阵形式表示，将原始迭代的SimRank计算式变式为矩阵计算式，即采用非迭代的结点相似度矩阵S表示多关系网络的结点相似度，结点相似度矩阵S表示为：

其中，c是衰减系数，矩阵为矩阵W的转置矩阵，矩阵W是多关系网络邻接矩阵的列归一化矩阵，矩阵I是单位矩阵；

2)建立Eigen-SimRank模型，对计算结点相似度矩阵S所需的各相关矩阵信息进行分析，得到与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息；3)若网络结构不发生变化，则直接根据步骤2)中分析得到的与计算该多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息，对多关系网络中的结点相似度进行计算；4)若网络结构发生变化，则采用Eigen-SimRank动态更新算法对步骤2)中分析得到的与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息进行更新，得到网络结构变化后计算结点相似度矩阵所需要的新的相关矩阵信息；5)根据步骤4)中得到的网络结构变化后计算结点相似度矩阵所需的新的相关矩阵信息，对结点相似度进行计算，计算方法同步骤3)；6)根据计算得到的相似度计算结果，对多关系网络中各结点之间的相似度值进行分析，将满足预先设定的相似度阈值的各结点返回给多关系网络的相关网络应用中。

所述步骤3)中，对多关系网络中的结点相似度进行计算时包括两种情况：

①对多关系网络G中所有结点两两间的相似度进行计算时：

若是首次计算，则首先根据多关系网络G的邻接矩阵M，计算得到与计算结点相似度矩阵S的相关矩阵信息并进行存储；若不是首次计算，则直接根据存储的相关矩阵信息对结点相似度矩阵S进行计算，计算公式为：

vec(S)＝(1-c)(vec(I)+cPLV)；

其中，矩阵矩阵L＝(Q^-1-cI)^-1，矩阵V＝P^-1vec(I)，矩阵矩阵矩阵Q^-1为矩阵Q的逆矩阵，矩阵和分别是矩阵的特征值对角矩阵和特征向量矩阵，矩阵是矩阵的逆矩阵，矩阵和矩阵V均为与计算结点相似度矩阵S的相关矩阵信息；

②对多关系网络G中任意指定的两个结点i和j之间的相似度进行计算时：

若是首次计算，则首先根据多关系网络G的邻接矩阵M，计算得到与计算结点相似度矩阵S相关矩阵信息并进行存储；若不是首次计算，则直接根据存储的相关矩阵信息对结点相似度进行计算，计算公式如下：

S(i,j)＝(1-c)(I(i,j)+cP((i-1)n+j,:)LV)；

其中，P((i-1)n+j,:)表示矩阵P的第(i-1)n+j行。

所述步骤4)中，采用Eigen-SimRank动态更新算法对所述步骤2)中分析得到的与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息进行更新的方法为：

假设当前时刻为t时刻，前一时刻是t-1时刻，矩阵表示t-1时刻多关系网络G的列归一化邻接矩阵的转置，则t时刻多关系网络G的列归一化邻接矩阵的转置矩阵为：

其中，矩阵为从t-1时刻到t时刻网络结构变化的增量；

利用t-1时刻计算相似度矩阵所需的相关矩阵信息P^t-1、L^t-1、V^t-1以及得到：

在上式左右两端分别左乘矩阵右乘矩阵得到：

对上式进行进一步处理，得到更新后的各相关矩阵信息为：

其中，矩阵矩阵矩阵

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明由于采用了非迭代的计算方式来计算多关系网络中各结点之间的相似度，相较于原有采用迭代式的计算方式，在时间效率上有了大大的提升。2、本发明由于可以将与计算多关系网络中结点相似度的相关矩阵信息存储到磁盘中，当网络结构发生变化时，根据原有相关矩阵信息以及网络结构变化的增量，即可获得网络结构变化后计算结点相似度的相关矩阵信息，不仅仅适用于静态网络，还适应网络结构动态变化的情况，大大的提高了其适用性。本发明可以广泛应用于网络结构中结点相似度计算领域。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明进行详细的描述。

本发明包括以下步骤：

1)首先将多关系网络用邻接矩阵形式表示，将原始迭代的SimRank计算式变式为矩阵计算式，即采用非迭代的结点相似度矩阵S表示多关系网络的结点相似度。

多关系网络表示为：

G＝(V,E)      (1)

其中，V是多关系网络中的结点集，结点集V中的每个结点v表示多关系网络中的一个实体；E是多关系网络中的边，代表着结点间的关系，一条E中的边连接两个V中的结点。

SimRank是以迭代的方式去计算多关系网络中各结点之间的相似度，其计算式表示为：

其中，c是衰减系数，是取值为(0,1)之间的一个常数；I(a)表示结点a的入度结点集合，I(b)表示结点b的入度结点集合，|I(a)|和|I(b)|分别表示I(a)和I(b)集合中的结点数；I_i(a)表示I(a)中的第i个结点，I_j(b)表示I(b)中的第j个结点，且1≤i≤|I(a)|，1≤j≤|I(b)|。考虑到某个结点总是与它自己最为相似，故规定S(a,a)＝1。同时，避免出现分母为0的情况，规定当或是时，S(a,b)＝0。

以矩阵M表示多关系网络G的邻接矩阵，并对矩阵M的列作归一化处理之后得到其列归一化矩阵W，则式(2)可以改写为如下的结点相似度矩阵形式：

其中，矩阵S是结点相似度矩阵，矩阵为列归一化矩阵W的转置矩阵，矩阵I是单位矩阵。可以看出，式(3)满足Sylvester等式，即当矩阵和W已知的时候便能够解出结点相似度矩阵S。

2)建立Eigen-SimRank模型，对计算结点相似度矩阵S所需的各相关矩阵信息进行分析，得到与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息。

为方便理解，下面对相关数学理论知识进行简单介绍。

a、矩阵的特征值和特征向量：

定义：实数λ是n×n矩阵A的特征值，当且仅当存在一个n×1的非空向量x₀，使得:

Ax＝λx₀         (4)

或者，等价地，满足：

(A-λI_n)x₀＝0       (5)

其中，I_n是秩为n的单位矩阵。

相应的，n×1的非空向量x₀是特征值是λ相较于矩阵A的特征向量。现令x₁，x₂，…，x_m代表m个n×1向量，矩阵X＝(x₁，...x_m)，则x₁，x₂，…，x_m这m个n×1向量是n×n矩阵A的特征向量，当且仅当存在一个对角矩阵D＝{d_j}，满足：

AX＝XD          (6)

其中，d₁，d₂，…，d_m是矩阵A的特征值，它们各自对应的特征向量分别为x₁，x₂，…，x_m。我们注意到，矩阵AX和矩阵XD的第j列分别是Ax_j和d_jx_j，通过在式子的左右两端各自乘以特征向量矩阵X的逆矩阵X^-1，得到下面的等式：

A＝XDX^-1      (7)

b、Kronecker乘积：

定义：令B为s×t矩阵，以及C为p×q矩阵，则矩阵B和C的Kronecker乘积，用符号表示，其是一个sp×tq矩阵，定义如下：

性质1：m×n阵B₁，r×s矩阵B₂，n×p矩阵B₃，以及s×t矩阵B₄，满足如下公式：

性质2：n阶方阵C₁和C₂，则它们的Kronecker乘积满足如下等式：

式中，矩阵C₁ ^-1、C₂ ^-1分别是矩阵C₁、C₂的逆矩阵。

性质3：假设n×n矩阵C₃有特征值ξ，ξ对应的特征向量是y₀；同理，p×p矩阵C₄有特征值τ，对应的特征向量是z₀，那么，ξτ是矩阵的特征值，其对应的特征向量为也即：

c、Vec运算符：

定义：令s维列向量r_i表示s×t矩阵R的第i列，也即R＝(r₁,...,r_t)，则vec(R)表示一个s*t维列向量，它是将R的列从上至下堆叠而成，其定义如下：

性质：m×n矩阵R₁，n×p矩阵R₂，p×q矩阵R₃，也即矩阵R₁，R₂，R₃满足矩阵乘法的定义，那么它们之间满足以下等式：

其中，矩阵为矩阵R₃的转置矩阵。

根据上述相关数学知识的介绍，以及著名的Sylvester等式，式(3)中的结点相似度矩阵S可以写成如下形式：

从式(14)可以看出，矩阵包含了计算结点相似度矩阵S的所有信息。若是能够计算出矩阵也就计算出了多关系网络中任意结点之间的相似度。然而，由于矩阵是n²×n²规模的矩阵，其中n是多关系网络中的结点数，也是矩阵的阶数。因此，直接计算的效率会比较低，并不能达到加速计算的效果，所以，还需要在公式(14)的基础之上继续对vec(S)的计算式进行优化。

由Kronecker乘积的定义、矩阵特征值和特征向量的定义和性质、公式(9)以及Sherman-Morrison定理对式(14)进行进一步改写，即可得到Eigen-SimRank计算结点间相似度公式为：

vec(S)＝(1-c)(I+cP(Q^-1-cI)^-1P^-1)vec(I)   (15)

其中，矩阵Q是矩阵的特征值矩阵，矩阵Q^-1是特征值矩阵Q的逆矩阵；矩阵P是矩阵的特征向量矩阵，矩阵P^-1是特征向量矩阵P的逆矩阵。

从式(15)可以看到，矩阵P、Q、Q^-1和P^-1包含了计算结点间相似度的所有信息。由于矩阵Q是矩阵的特征值矩阵，也即矩阵Q是对角矩阵，因此，矩阵Q的逆矩阵Q^-1以及矩阵(Q^-1-cI)^-1的矩阵信息很容易计算。但是，因为矩阵P是矩阵的特征向量矩阵，而矩阵是n²×n²规模的矩阵，因此矩阵P也是n²×n²规模的矩阵，计算矩阵P的逆矩阵P_- ¹仍然会是效率比较低的。因此，需对式(15)中的n²×n²矩阵的计算这一计算过程进行降维处理。

由于矩阵P是的特征向量矩阵，而矩阵是矩阵在Kronecker乘积的作用下得到的，并且矩阵本身也是矩阵，满足式(7)，也即矩阵可以写成矩阵特征值矩阵、特征向量矩阵的乘积形式，即：

其中，矩阵是矩阵的特征值矩阵，矩阵是矩阵的特征向量矩阵，矩阵是矩阵的逆矩阵。

由于矩阵和分别是矩阵的特征值对角矩阵和特征向量矩阵，根据式(11)有矩阵的特征值矩阵Q与矩阵的特征值矩阵以及矩阵特征向量矩阵P与矩阵的特征向量矩阵之间的关系如下：

以及

因为根据式(9)、式(17)以及式(18)可知：

又因为因此得到下面的等式：

从式(18)、式(19)、式(20)中可以看到，式(15)中涉及到的n²×n²矩阵的相关计算全部转化为了n×n矩阵的计算，也即对矩阵P、Q和P^-1的计算转换为了对矩阵和的计算。矩阵和包含了计算结点间相似度所需要的全部信息。

3)若网络结构不发生变化，则直接根据步骤2)中分析得到的与计算该多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息，对多关系网络中的结点相似度进行计算。

①对多关系网络G中所有结点两两间的相似度进行计算时：

若是首次计算，则首先根据多关系网络G的邻接矩阵M，计算得到与计算结点相似度矩阵S的相关矩阵信息，即矩阵的特征值矩阵特征向量矩阵特征向量矩阵的逆矩阵以及矩阵L和矩阵V，并存储在磁盘中。若不是首次计算，则直接从磁盘中读取存储的相关矩阵信息对结点相似度矩阵进行计算即可。根据步骤2)中的分析可知，结点相似度矩阵S的计算公式为：

vec(S)＝(1-c)(vec(I)+cPLV)            (21)

其中，矩阵L＝(Q^-1-cI)^-1，矩阵V＝P^-1vec(I)。

②对多关系网络G中任意指定的两个结点i和j之间的相似度进行计算时：

由于在一些科研场景中，有时候并不需要所有结点间的相似度，而只是关注特定结点对之间的相似度。此时，如果用式(21)来计算，由于多计算了一些当前不关注的结点间的相似度，就会带来额外的一些时间消耗。我们注意到，在式(21)中，P的行数和vec(S)维数相等，P的某一行只参与到了vec(S)中对应分量的计算，而vec(S)的一个分量表示的就是相应两个结点间的相似度值，因此，在计算两个结点间相似度时，只需取P的对应的行元素参与计算即可。所以，当需要计算两个结点i和j之间的相似度时，与步骤①相同，若是首次计算，则首先根据多关系网络G的邻接矩阵M，计算得到与计算结点相似度矩阵S的相关矩阵信息，并存储在磁盘中。若不是首次计算，则直接从磁盘中读取存储的相关矩阵信息对结点相似度进行计算，计算公式如下：

S(i,j)＝(1-c)(I(i,j)+cP((i-1)n+j,:)LV)    (22)

其中，P((i-1)n+j,:)表示矩阵P的第(i-1)n+j行。

4)若网络结构发生变化，则采用Eigen-SimRank动态更新算法对步骤2)中分析得到的与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息进行更新，得到网络结构变化后计算结点相似度矩阵S所需要的新的相关矩阵信息。

Eigen-SimRank动态更新算法是指根据前一时刻存储的与计算多关系网络相似度矩阵的相关矩阵信息以及网络结构变化的增量，动态的更新当前时刻网络结构下计算相似度矩阵需要的矩阵信息。具体的，假设当前时刻为t时刻，前一时刻是t-1时刻，矩阵表示t-1时刻多关系网络G的列归一化邻接矩阵的转置。假设从t-1时刻到t时刻，网络结构变化的增量为矩阵也即矩阵满足：

利用t-1时刻计算相似度矩阵所需的相关矩阵信息P^t-1、Lt-1、Vt-1以及得到：

在式(24)左右两端分别左乘矩阵以及右乘矩阵得到：

令矩阵计算矩阵T的低秩近似。假设矩阵T＝xyz，又由于因此式(25)可以表示为：

在式(26)左右两端分别左乘矩阵以及右乘矩阵得到t时刻更新的矩阵和如下：

根据式(9)即可得到更新后的矩阵P^t为：

同理，得到更新后的矩阵L^t和V^t为：

L^t＝(Y^-1-cI)^-1

                    (29)

V^t＝ZV^t-1

其中，

5)根据步骤4)中得到的网络结构变化后计算相似度矩阵所需的新的相关矩阵信息，对结点相似度进行计算，计算方法同步骤3)，在此不再赘述。

6)根据计算得到的相似度计算结果，对多关系网络中各结点之间的相似度值进行分析，将满足预先设定的相似度阈值的各结点返回给多关系网络的相关网络应用中。

上述各实施例仅用于说明本发明，其中公式中的变化量名称、符号及单位等都是可以有所变化的，凡是在本发明技术方案的基础上进行的等同变换和改进，均不应排除在本发明的保护范围之外。

Claims (3)

1.一种基于SimRank的结点相似度计算方法，包括以下步骤：

1)首先将多关系网络用邻接矩阵形式表示，将原始迭代的SimRank计算式变式为矩阵计算式，即采用非迭代的结点相似度矩阵S表示多关系网络的结点相似度，结点相似度矩阵S表示为：

其中，c是衰减系数，矩阵为矩阵W的转置矩阵，矩阵W是多关系网络邻接矩阵的列归一化矩阵，矩阵I是单位矩阵；

2)建立Eigen-SimRank模型，对计算结点相似度矩阵S所需的各相关矩阵信息进行分析，得到与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息；

3)若网络结构不发生变化，则直接根据步骤2)中分析得到的与计算该多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息，对多关系网络中的结点相似度进行计算；

4)若网络结构发生变化，则采用Eigen-SimRank动态更新算法对步骤2)中分析得到的与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息进行更新，得到网络结构变化后计算结点相似度矩阵所需要的新的相关矩阵信息；

5)根据步骤4)中得到的网络结构变化后计算结点相似度矩阵所需的新的相关矩阵信息，对结点相似度进行计算，计算方法同步骤3)；

6)根据计算得到的相似度计算结果，对多关系网络中各结点之间的相似度值进行分析，将满足预先设定的相似度阈值的各结点返回给多关系网络的相关网络应用中。

2.如权利要求1所述的一种基于SimRank的结点相似度计算方法，其特征在于：所述步骤3)中，对多关系网络中的结点相似度进行计算时包括两种情况：

①对多关系网络G中所有结点两两间的相似度进行计算时：

若是首次计算，则首先根据多关系网络G的邻接矩阵M，计算得到与计算结点相似度矩阵S的相关矩阵信息并进行存储；若不是首次计算，则直接根据存储的相关矩阵信息对结点相似度矩阵S进行计算，计算公式为：

vec(S)＝(1-c)(vec(I)+cPLV)；

其中，矩阵矩阵L＝(Q^-1-cI)^-1，矩阵V＝P^-1vec(I)，矩阵矩阵矩阵Q^-1为矩阵Q的逆矩阵，矩阵和分别是矩阵的特征值对角矩阵和特征向量矩阵，矩阵是矩阵的逆矩阵，矩阵L和矩阵V均为与计算结点相似度矩阵S的相关矩阵信息；

②对多关系网络G中任意指定的两个结点i和j之间的相似度进行计算时：

若是首次计算，则首先根据多关系网络G的邻接矩阵M，计算得到与计算结点相似度矩阵S相关矩阵信息并进行存储；若不是首次计算，则直接根据存储的相关矩阵信息对结点相似度进行计算，计算公式如下：

S(i,j)＝(1-c)(I(i,j)+cP((i-1)n+j,:)LV)；

其中，P((i-1)n+j,:)表示矩阵P的第(i-1)n+j行。

3.如权利要求1或2所述的一种基于SimRank的结点相似度计算方法，其特征在于：所述步骤4)中，采用Eigen-SimRank动态更新算法对所述步骤2)中分析得到的与计算多关系网络结点相似度矩阵S的相关矩阵信息进行更新的方法为：

假设当前时刻为t时刻，前一时刻是t-1时刻，矩阵表示t-1时刻多关系网络G的列归一化邻接矩阵的转置，则t时刻多关系网络G的列归一化邻接矩阵的转置矩阵为：

其中，矩阵为从t-1时刻到t时刻网络结构变化的增量；

利用t-1时刻计算相似度矩阵所需的相关矩阵信息P^t-1、L^t-1、V^t-1以及得到：

在上式左右两端分别左乘矩阵右乘矩阵得到：

对上式进行进一步处理，得到更新后的各相关矩阵信息为：

L^t＝(Y^-1-cI)^-1

             ；

V^t＝ZV^t-1

其中，矩阵矩阵矩阵