CN104913985A - 基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置和测定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，包括气枪、子弹、入射杆、透射杆、应变片、桥盒和一个与计算机相连的数据采集系统，所述入射杆中部粘贴应变片，应变片通过桥盒与数据采集系统相连，在入射杆和透射杆上分别设置套头，所述套头上均设置垫块，混凝土试件夹设于两杆上的垫块之间；本发明所述一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置和测定方法将混凝土损伤理论引入冲击荷载下受弯混凝土损伤的测定中去，克服了冲击荷载下受弯混凝土破坏时间短这一困难，得到混凝土受弯时其抗拉强度与破坏时间的关系曲线；克服了试验难以测得透射波这一难题，同时在波的叠加时大大减小了误差。

Description

基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置和测定方法

技术领域

本发明属于冲击动力学领域，具体涉及一种混凝土损伤测量方法，尤其是涉及一种冲击荷载下混凝土弯拉损伤过程的定量描述方法。

背景技术

随着我国经济社会的快速发展，土木建筑材料的种类越来越多。自上个世纪起，由于低成本、高强度的优点，混凝土在土木工程材料中一直占据着主导地位。众所周知，混凝土是一种典型的准脆性材料，其抗拉强度远远小于其抗压强度，因此在工程中，混凝土往往被制作成各种各样的受压构件来进行压力的承担。但是，往往在地震以及一些工程活动中，混凝土不可避免地会受到各种各样的拉力作用，这种情况十分容易导致建筑物及构筑物失去其正常的使用功能，尤其当混凝土受到长时间荷载作用情况下，混凝土内部的细微裂缝会不断扩展，其抗拉强度不断降低，最终混凝土发生破坏。

因此，研究混凝土这类准脆性材料的抗拉力学性能至关重要，目前混凝土抗拉力学性能的研究越来越受到广泛关注。同时，目前国内外已有损伤这一概念来描述混凝土等脆性材料的破坏过程，将损伤引入应力-应变关系，并逐步对轴压混凝土以及轴拉混凝土损伤进行研究，一部分研究其应力-时间关系，还有一部分研究损伤变量D，并取得了不少成果，其中，以累积破坏准则(CFC)和损伤变量D具有代表性。但是，实际生活中混凝土经常会被用作受弯构件，其受弯时损伤的测量不容忽视，特别在冲击荷载作用下受弯混凝土破坏时间极短，在该加载方式下其损伤的测量和计算十分困难。目前虽然有对静载下弯拉混凝土损伤的研究，但是仍未见冲击荷载下受弯混凝土损伤规律的测量和定量描述方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种能够基于霍普金森压杆(SHPB)技术下混凝土弯曲韧性测量方式的混凝土损伤测量方法。

以累积破坏准则(CFC)为理论指导，以SHPB实验装置为试验基础，采用混凝土弯曲韧性的测量方式，提出一种基于SHPB技术下混凝土弯曲韧性测量方式的混凝土损伤测量方法。

本发明解决上述技术问题所采用的技术思路是：基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，包括气枪、子弹、入射杆、透射杆、应变片、桥盒和一个与计算机相连的数据采集系统，所述入射杆中部粘贴应变片，进行入射波和反射波的测量，应变片通过桥盒与数据采集系统相连，在入射杆和透射杆上分别设置套头，所述套头上均设置垫块，混凝土试件夹设于两杆上的垫块之间。

优选的是，所述入射杆和透射杆端面光滑平整，且垂直于杆长方向。

优选的是，所述垫块均涂抹润滑剂，用于减小摩擦。

优选的是，混凝土试件的加载面表面涂抹有润滑剂，用于减小摩擦。

优选的是，所述混凝土试件为长方体。

一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定方法，包括以下步骤：

(1)将冲击气压分别调整为0.10Mpa，0.15Mpa，0.20Mpa以及0.25Mpa，对子弹进行施压，使得子弹具有以不同的冲击力撞击入射杆，从而在入射杆中产生入射波，入射波沿入射杆方向传播，由于混凝土试件断裂所需时间小于波沿横梁方向传播进而传入透射杆所需的时间，所以试件断裂时透射杆尚未响应，入射波尚未传入透射杆，因此透射波几乎为零，入射波在混凝土试件断裂之后反射回入射杆成为反射波，反射波的波形也由入射杆中部的应变片测得。

(2)反射应变与时间的定量关系：由于本试验中入射波和反射波由同一个应变片测得，因此测得的入射波与透射波并不同步，本试验对入射波的反射过程进行模拟来确定反射波的开始时间，从而得到与入射波同步的反射波数据，入射波和与之同步的反射波的关系表示为式1：

${\mathrm{\ϵ}}_r\left(t\right)={\mathrm{\ϵ}}_i\left(t\right)-{\∫}_0^t\frac{2{\mathrm{\ϵ}}_i\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\τ}}_f}}\×(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}-\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\τ}}_f}}{e}^{\frac{t-\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_f}}erfc(\sqrt{\frac{t-\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_f}}))d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，ε_i(t)为入射应变，η＝4EIα³，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，Z_B为波阻抗，ε_r(t)为与入射波同步的反射应变。

将入射应变和与之同步的反射应变代入式2和式3中：

式2：V_c(t)＝-C_B(ε_i(t)-ε_r(t))

式3：F_c(t)＝-C_BZ_B(ε_i(t)+ε_r(t))

其中，V_c(t)为冲击速度，F_c(t)为冲击力，C_B为杆中应力波的波速，ε_i(t)为入射应变，Z_B为波阻抗，ε_r(t)为与入射波同步的反射应变。

(3)抗拉强度与时间的定量关系：混凝土试件的瞬时弹性动态响应为式4：

$\mathrm{\ω}(x,t)={\∫}_0^t{G}_1(t-\mathrm{\τ}){\mathrm{\Ω}}_1(x,\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^t(G_1(t-\mathrm{\τ})+G_2(t-\mathrm{\τ})){\mathrm{\Ω}}_2(x,\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}$

其中： ${\mathrm{\Ω}}_1(x,\mathrm{\τ})=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}t}}cos\left(\frac{{\mathrm{\α}}^2{x}^2}{2t}\right),{\mathrm{\Ω}}_2(x,\mathrm{\τ})=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}t}}sin\left(\frac{{\mathrm{\α}}^2{x}^2}{2t}\right)$

$G_1\left(t\right)={\∫}_0^t\frac{V_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ},G_2\left(t\right)={\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{4{\mathrm{EI\α}}^3}d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，ω(x,t)为沿试件方向各个位置的挠度，t为时间，x为沿着试件方向的坐标，横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积。

将ω(x,t)对x进行一次和两次偏导，得出在试件中心的转角和弯矩为式5和式6：

式5： $\mathrm{\ψ}(0,t)=-2\mathrm{\α}{\∫}_0^t\frac{V_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}+\frac{1}{4{\mathrm{EI\α}}^2}{\∫}_0^t{F}_c\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}$

式6： $M(0,t)=\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}-2{\mathrm{EI\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，M(0,t)为跨中弯矩，ψ(0,t)为跨中转角。

将初始转角等于零代入式5，得断裂发生前入射杆末端冲击速度与冲击力之间的关系见式7：

$V_c\left(t\right)=\frac{1}{2\mathrm{\η}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}\left(t-\mathrm{\τ}\right)}}d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，η＝4EIα³，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力。

将式7代入式6得到式8：

$M(0,t)=\frac{1}{4\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}=2{\mathrm{EI\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，M(0,t)为跨中弯矩。

从而推导出厚度方向的最大拉应力即抗拉强度见式9：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=\frac{\mathrm{\α}M(0,t)}{2I}=\frac{a}{8I\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}={\mathrm{aE\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，a为试件截面边长，σ(t)为抗拉强度。

(4)混凝土试件弯拉强度与时间的定量关系：本试验以累积破坏准则为指导，其具体表示为见式10：

${{\∫}_0^{t_c}\[\frac{\mathrm{\σ}\left(t\right)}{{\mathrm{\σ}}_{c0}}\]}^{n}dt=t_{c0},t_c\≤t_{c0},\mathrm{\σ}\≥{\mathrm{\σ}}_{c0}$

其中，σ_c0为准静态拉伸强度，t_c0为临界破坏时间，n为材常数。方程的边界条件为σ(t_c0)＝σ_c0，当t_c≥t_c0时，σ＝σ_c0＝常数。

假设试验过程中应力率A_f恒定，则：

σ(t)＝A_ft，即式

将式11代入式10积分得：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_{c0}{\[(n+1)\frac{t_{c0}}{t}\]}^{1/n}$

σ_t和t即为式9中试件沿厚度方向的最大拉应力及其所对应的时间，使用1stOpt中差分进化法对试验所计算得到的σ_t和t进行拟合，得到参数n＝0.477、σ_c0＝1.393MPa和t_c0＝35.848μs，从而得到混凝土弯拉强度与时间的定量关系。

本发明所达到的有益效果：本发明所述一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置和测定方法将混凝土损伤理论引入冲击荷载下受弯混凝土损伤的测定中去，克服了冲击荷载下受弯混凝土破坏时间短这一困难，得到混凝土受弯时其抗拉强度与破坏时间的关系曲线；所述基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置和测定方法对反射波的反射过程进行了模拟，克服了试验难以测得透射波这一难题，同时在波的叠加时大大减小了误差。

附图说明

图1为本发明的结构示意图。

图2为冲击气压为0.25MPa情况下所得的应变-时间关系曲线。

图3为冲击气压为0.25MPa情况下所得的冲击力-时间关系曲线。

图4为冲击气压为0.25MPa情况下计算的强度-时间关系曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

如图1所示，一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，包括气枪10、子弹20、入射杆30、透射杆60、应变片70、桥盒80和一个与计算机相连的数据采集系统90，所述入射杆30中部粘贴应变片70，进行入射波和反射波的测量，应变片70通过桥盒80与数据采集系统90相连，在入射杆30和透射杆60上分别设置套头40，所述套头40上均设置垫块50，混凝土试件100夹设于两杆上的垫块50之间，所述入射杆30和透射杆60端面光滑平整，且垂直于杆长方向，所述垫块50均涂抹润滑剂，用于减小摩擦，混凝土试件100的加载面表面涂抹有润滑剂，用于减小摩擦，所述混凝土试件100为长方体。

一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定方法，包括以下步骤：

(1)将冲击气压分别调整为0.10Mpa，0.15Mpa，0.20Mpa以及0.25Mpa，对子弹20进行施压，使得子弹20具有以不同的冲击力撞击入射杆30，从而在入射杆30中产生入射波，入射波沿入射杆30方向传播，由于混凝土试件100断裂所需时间小于波沿横梁方向传播进而传入透射杆60所需的时间，所以混凝土试件100断裂时透射杆60尚未响应，入射波尚未传入透射杆60，因此透射波几乎为零，入射波在混凝土试件100断裂之后反射回入射杆30成为反射波，反射波的波形也由入射杆30中部的应变片70测得。

(2)反射应变与时间的定量关系：如图2所示，以0.25MPa为例，由于本试验中入射波和反射波由同一个应变70测得，因此测得的入射波与透射波并不同步，本试验对入射波的反射过程进行模拟来确定反射波的开始时间，从而得到与入射波同步的反射波数据，入射波和与之同步的反射波的关系表示为式1：

${\mathrm{\ϵ}}_r\left(t\right)={\mathrm{\ϵ}}_i\left(t\right)-{\∫}_0^t\frac{2{\mathrm{\ϵ}}_i\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\τ}}_f}}\×\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}-\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\τ}}_f}}{e}^{\frac{t-\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_f}}erfc\left(\sqrt{\frac{t-\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_f}}\right)\right)d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，ε_i(t)为入射应变，η＝4EIα³，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，Z_B为波阻抗，ε_r(t)为与入射波同步的反射应变。

将入射应变和与之同步的反射应变代入式2和式3中：

式2：V_c(t)＝-C_B(ε_i(t)-ε_r(t))

式3：F_c(t)＝-C_BZ_B(ε_i(t)+ε_r(t))

其中，V_c(t)为冲击速度，F_c(t)为冲击力，C_B为杆中应力波的波速，ε_i(t)为入射应变，Z_B为波阻抗，ε_r(t)为与入射波同步的反射应变。

(3)抗拉强度与时间的定量关系：如图3和图4所示，以0.25MPa为例，图中圈出位置为试件破坏点，混凝土试件的瞬时弹性动态响应为式4：

$\mathrm{\ω}(x,t)={\∫}_0^t{G}_1(t-\mathrm{\τ}){\mathrm{\Ω}}_1(x,\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}-{\∫}_0^t(G_1(t-\mathrm{\τ})+G_2(t-\mathrm{\τ})){\mathrm{\Ω}}_2(x,\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}$

其中： ${\mathrm{\Ω}}_1(x,\mathrm{\τ})=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}t}}cos\left(\frac{{\mathrm{\α}}^2{x}^2}{2t}\right),{\mathrm{\Ω}}_2(x,\mathrm{\τ})=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}t}}sin\left(\frac{{\mathrm{\α}}^2{x}^2}{2t}\right)$

$G_1\left(t\right)={\∫}_0^t\frac{V_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ},G_2\left(t\right)={\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{4{\mathrm{EI\α}}^3}d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，ω(x,t)为沿试件方向各个位置的挠度，t为时间，x为沿着试件方向的坐标，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积。

将ω(x,t)对x进行一次和两次偏导，得出在试件中心的转角和弯矩为式5和式6：

式5： $\mathrm{\ψ}(0,t)=-2\mathrm{\α}{\∫}_0^t\frac{V_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}+\frac{1}{4{\mathrm{EI\α}}^2}{\∫}_0^t{F}_c\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}$

式6： $M(0,t)=\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}-2{\mathrm{EI\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，M(0,t)为跨中弯矩，ψ(0,t)为跨中转角。

将初始转角等于零代入式5，得断裂发生前入射杆末端冲击速度与冲击力之间的关系见式7：

$V_c\left(t\right)=\frac{1}{2\mathrm{\η}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}\left(t-\mathrm{\τ}\right)}}d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，η＝4EIα³，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力。

将式7代入式6得到式8：

$M(0,t)=\frac{1}{4\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}=2{\mathrm{EI\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，M(0,t)为跨中弯矩。

从而推导出厚度方向的最大拉应力即抗拉强度见式9：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=\frac{\mathrm{\α}M(0,t)}{2I}=\frac{a}{8I\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}={\mathrm{aE\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，a为试件截面边长，σ(t)为抗拉强度。图中圈出的部分即为试件的破坏点，与冲击力-时间关系曲线上的点一致。

(4)混凝土试件弯拉强度与时间的定量关系：本试验以累积破坏准则(CFC)为指导，其具体表示为见式10：

${{\∫}_0^{t_c}\[\frac{\mathrm{\σ}\left(t\right)}{{\mathrm{\σ}}_{c0}}\]}^{n}dt=t_{c0},t_c\≤t_{c0},\mathrm{\σ}\≥{\mathrm{\σ}}_{c0}$

其中，σ_c0为准静态拉伸强度，t_c0为临界破坏时间，n为材常数。方程的边界条件为σ(t_c0)＝σ_c0，当t_c≥t_c0时，σ＝σ_c0＝常数。

假设试验过程中应力率A_f恒定，则：

σ(t)＝A_ft，即式

将式11代入式10积分得：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_{c0}{\[(n+1)\frac{t_{c0}}{t}\]}^{1/n}$

σ_t和t即为式9中试件沿厚度方向的最大拉应力及其所对应的时间，使用1stOpt中差分进化法(Differential Evolution)对试验所计算得到的σ_t和t进行拟合，得到参数n＝0.477、σ_c0＝1.393MPa和t_c0＝35.848μs，从而得到混凝土弯拉强度与时间的定量关系。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，包括气枪、子弹、入射杆、透射杆、应变片、桥盒和一个与计算机相连的数据采集系统，所述入射杆中部粘贴应变片，应变片通过桥盒与数据采集系统相连，在入射杆和透射杆上分别设置套头，所述套头上均设置垫块，混凝土试件夹设于两杆上的垫块之间。

2.根据权利要求1所述的基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，所述入射杆和透射杆端面光滑平整，且垂直于杆长方向。

3.根据权利要求1所述的基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，所述垫块均涂抹润滑剂，用于减小摩擦。

4.根据权利要求1所述的基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，混凝土试件的加载面表面涂抹有润滑剂，用于减小摩擦。

5.根据权利要求1所述的基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定装置，其特征是，所述混凝土试件为长方体。

6.一种基于非平衡状态的混凝土冲击弯拉损伤的测定方法，采用权利要求1-5任一项所述的测定装置，包括以下步骤：

(1)将冲击气压分别调整为0.10Mpa，0.15Mpa，0.20Mpa以及0.25Mpa，对子弹进行施压，使得子弹具有以不同的冲击力撞击入射杆，从而在入射杆中产生入射波，入射波沿入射杆方向传播，入射波在混凝土试件断裂之后反射回入射杆成为反射波，反射波的波形也由入射杆中部的应变片测得。

(2)反射应变与时间的定量关系：本试验对入射波的反射过程进行模拟来确定反射波的开始时间，从而得到与入射波同步的反射波数据，入射波和与之同步的反射波的关系表示为式1：

${\mathrm{\ϵ}}_r\left(t\right)={\mathrm{\ϵ}}_i\left(t\right)-{\∫}_0^t\frac{2{\mathrm{\ϵ}}_i\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{{\mathrm{\τ}}_f}}\×\left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}-\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\τ}}_f}}{e}^{\frac{t-\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_f}}erfc\left(\sqrt{\frac{t-\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\τ}}_f}}\right)\right)d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，ε_i(t)为入射应变，η＝4EIα³，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，Z_B为波阻抗，ε_r(t)为与入射波同步的反射应变。

将入射应变和与之同步的反射应变代入式2和式3中：

式2：V_c(t)＝-C_B(ε_i(t)-ε_r(t))

式3：F_c(t)＝-C_BZ_B(ε_i(t)+ε_r(t))

其中，V_c(t)为冲击速度，F_c(t)为冲击力，C_B为杆中应力波的波速，ε_i(t)为入射应变，Z_B为波阻抗，ε_r(t)为与入射波同步的反射应变。

(3)抗拉强度与时间的定量关系：混凝土试件的瞬时弹性动态响应为式4：

$\mathrm{\ω}(x,t)={\∫}_0^t{G}_1(t-\mathrm{\τ}){\mathrm{\Ω}}_1(x,\mathrm{\τ})d\mathrm{\τ}-{\∫}_0^t(G_1(t-\mathrm{\τ})+G_2(t-\mathrm{\τ})){\mathrm{\Ω}}_2(x,\mathrm{\τ})d\mathrm{\τ}$

其中： ${\mathrm{\Ω}}_1(x,\mathrm{\τ})=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}t}}cos\left(\frac{{\mathrm{\α}}^2{x}^2}{2t}\right),{\mathrm{\Ω}}_2(x,\mathrm{\τ})=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\π}t}}sin\left(\frac{{\mathrm{\α}}^2{x}^2}{2t}\right)$

$G_1\left(t\right)={\∫}_0^t\frac{V_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ},G_2\left(t\right)={\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{4{\mathrm{EI\α}}^3}d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，ω(x,t)为沿试件方向各个位置的挠度，t为时间，x为沿着试件方向的坐标，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积。

将ω(x,t)对x进行一次和两次偏导，得出在试件中心的转角和弯矩为式5和式6：

式5： $\mathrm{\ψ}(0,t)=-2\mathrm{\α}{\∫}_0^t\frac{V_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}+\frac{1}{4{\mathrm{EI\α}}^2}{\∫}_0^t{F}_c\left(\mathrm{\τ}\right)d\mathrm{\τ}$

式6： $M(0,t)=\frac{1}{2\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}-2{\mathrm{EI\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，M(0,t)为跨中弯矩，ψ(0,t)为跨中转角。

将初始转角等于零代入式5，得断裂发生前入射杆末端冲击速度与冲击力之间的关系见式7：

$V_c\left(t\right)=\frac{1}{2\mathrm{\η}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}\left(t-\mathrm{\τ}\right)}}d\mathrm{\τ}$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，η＝4EIα³，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力。

将式7代入式6得到式8：

$M(0,t)=\frac{1}{4\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}(t-\mathrm{\τ})}}d\mathrm{\τ}=2{\mathrm{EI\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，M(0,t)为跨中弯矩。

从而推导出厚度方向的最大拉应力即抗拉强度见式9：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=\frac{\mathrm{\α}M(0,t)}{2I}=\frac{a}{8I\mathrm{\α}}{\∫}_0^t\frac{F_c\left(\mathrm{\τ}\right)}{\sqrt{\mathrm{\π}\left(t-\mathrm{\τ}\right)}}d\mathrm{\τ}={\mathrm{aE\α}}^2{V}_c\left(t\right)$

其中，t为时间，V_c(t)为冲击速度，E为试件的弹性模量，I为试件沿横截面中心线的惯性矩，ρ为试件密度，S为试件横截面面积，F_c(t)为冲击力，a为试件截面边长，σ(t)为抗拉强度。

(4)混凝土试件弯拉强度与时间的定量关系：本试验以累积破坏准则为指导，其具体表示为见式10：

${{\∫}_0^{t_c}\[\frac{\mathrm{\σ}\left(t\right)}{{\mathrm{\σ}}_{c0}}\]}^{n}dt=t_{c0},t_c\≤t_{c0},\mathrm{\σ}\≥{\mathrm{\σ}}_{c0}$

其中，σ_c0为准静态拉伸强度，t_c0为临界破坏时间，n为材常数。方程的边界条件为σ(t_c0)＝σ_c0，当t_c≥t_c0时，σ＝σ_c0＝常数。

假设试验过程中应力率A_f恒定，则：

σ(t)＝A_ft，即式11

将式11代入式10积分得：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_{c0}{\[(n+1)\frac{t_{c0}}{t}\]}^{1/n}$

σ_t和t即为式9中试件沿厚度方向的最大拉应力及其所对应的时间，使用1stOpt中差分进化法对试验所计算得到的σ_t和t进行拟合，得到参数n＝0.477、σ_c0＝1.393MPa和t_c0＝35.848μs，从而得到混凝土弯拉强度与时间的定量关系。