CN104702403A - 有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法 - Google Patents

Abstract

有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，涉及一种混沌系统内部扰动实现方法。它是为了解决有限精度使混沌系统存在的短周期和奇点问题。本发明采用在混沌映射内部加入扰动的方式，有效地解决了有限精度带来的短周期和奇点问题。并且内部加扰方式可以对非均匀分布的混沌映射进行加扰，如切比雪夫映射(Chebyshev)和罗杰斯蒂(Logistic)映射等。理论分析和仿真结果表明，内部加扰方法产生的混沌序列可以有效扩展周期，并且避免混沌映射进入奇点状态。仿真结果表明加扰后的混沌序列具有良好的混沌性能。

Description

有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法

技术领域

本发明涉及一种混沌系统内部扰动实现方法。

背景技术

混沌系统是一类非线性确定性系统，具有初值敏感性和伪随机性，在安全通信和扩频通信领域具有广阔的应用前景。混沌映射定义在连续实数域内。然而在实际的数字系统应用中，实数的精度为记忆性所限制。记忆长度越长就越接近理论值。而储存长度不可能是无限的，因此存在量化误差导致有限精度效应。有限精度效应使混沌系统具有短周期和奇点问题，这限制了它的应用。

目前对于有限精度问题有四种常用的解决方法，分别是提高缓冲空间、级联多个混沌系统、通过复杂的量化提取周期和对混沌系统施加扰动。提高缓冲空间可以有效降低有效精度的影响，减小系统步入奇点的可能性。但缓冲空间仍然是有限的。它不会从根本上消除有限精度的影响。级联多个混沌系统提高了系统的复杂性。理论上它可以避免许多奇点，但是它不能有效解决量化误差带来的有限精度问题。复杂量化可以扩展周期，但是也不能从根本上解决问题，它对非常短的周期以及奇点情况不起作用。

发明内容

本发明是为了解决有限精度使混沌系统存在的短周期和奇点问题，从而提供一种有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法。

帐篷映射(Tent)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Tent映射混沌系统的表达式为：

$x_{n+1}=f_t\left(x_n\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x_n}{{\mathrm{\&mu;}}_t},0<x_n<{\mathrm{\&mu;}}_t\\ \frac{1-x_n}{1-{\mathrm{\&mu;}}_t},{\mathrm{\&mu;}}_t\&le;x_n<1\end{array}\right.$

式中：u_t是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；f_t是Tent映射下混沌序列生成函数；

在Tent映射混沌系统中混沌序列中加入扰动λ_n，则加入扰动后的混沌系统表达如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_a(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{n+1}=g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)\end{array}\right.$

其中：λ_n是非混沌序列；f_a是Tent映射下混沌序列生成函数；g是扰动序列生成函数；

函数f_a和g的构建遵守以下原则：

1)、函数f_a和函数f_t的结构相应，且有相同的范围；f_a保持混沌系统的动态；

2)、在有限精度下，△λ≠0；△是最小量化误差，λ是扰动序列；

3)、扰动的幅度小于x_n，扰动是非单调并且关于0对称的，在定义范围内有各态历经性；

4)、加入的扰动不改变混沌序列的分布；

5)、函数f_a的最小周期等于扰动的周期。

切比雪夫映射(Chebyshev)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Chebyshev映射混沌系统的表达式为：

x_n+1＝f_c(x_n)＝cos(μ_carccos(x_n))

式中：u_c是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；f_c是Chebyshev映射混沌系统表达式；

计算Chebyshev映射混沌系统的概率分布，获得：

$p\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{1-x^2}}& \left|x\right|\&le;1\\ 0& \left|x\right|>1\end{array}\right.$

在Chebyshev映射混沌系统中选择序列值的概率分布为均匀分布的位置加入扰动：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a^{\&prime;}\_c}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=\cos \left({\mathrm{\&mu;}}_c(\arccos \left(x_n\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_n)\right)\\ g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=\cos \left(n\right)\end{array}\right.$

其中：λ_n是非混沌序列；f_{a'_c}是加扰后混沌序列表达式；

则加入扰动后的混沌系统表达如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_c\left(u_n\right)=\cos (\mathrm{\&mu;}\&CenterDot;u_n)\\ u_n=\arccos \left(x_n\right)\end{array}\right.$

式中：μ是该映射下生成混沌序列的参数；u_n是概率为均匀分布的生成混沌序列的中间函数；；

函数f_a和g的构建遵守以下原则：

1)、函数f_a和函数f_c的结构相应，且有相同的范围；f_a保持混沌系统的动态；

2)、在有限精度下，△λ≠0；

3)、扰动的幅度小于xn，扰动是非单调并且关于0对称的，在定义范围内有各态历经性；

4)、加入的扰动不改变混沌序列的分布；

5)、函数f_a的最小周期等于扰动的周期。

罗杰斯蒂(Logistic)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Logistic映射混沌系统的表达式为：

x_n+1＝f_l(x_n)＝1-μ_lx_n ²

式中：u_l是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；f_l是Logistic映射下混沌序列生成函数；

使用反函数：

x＝cos(arccos(x))

对Chebyshev映射混沌系统的表达式进行处理，获得：

$\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_l\left(x_n\right)=1-{\mathrm{\&mu;}}_l{x_n}^2\\ =1-{\mathrm{\&mu;}}_l{\cos }^2\left(\arccos \left(x_n\right)\right)\\ =1-{\mathrm{\&mu;}}_l\frac{1-\cos \left(2\arccos \left(x_n\right)\right)}{2}\end{array}$

对于全映射有μ_l＝2，则：

x_n+1＝f_l(x_n)＝cos(2arccos(x_n))

则加入扰动：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a\_l}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=1-{\mathrm{\&mu;}}_l\frac{1-\cos \left(2(\arccos \left(x_n\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_n)\right)}{2}\\ g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=\cos \left(n\right)\end{array}\right.$

式中：f_{a_l}是加扰后Chebyshev映射下混沌序列生成函数。

函数f_a和g的构建遵守以下原则：

1)、函数f_a和函数f_l的结构相应，且有相同的范围；f_a保持混沌系统的动态；

2)、在有限精度下，△λ≠0；

3)、扰动的幅度小于信号x_n的幅度，扰动是非单调并且关于0对称的，在定义范围内有各态历经性；

4)、加入的扰动不改变混沌序列的分布；

5)、函数f_a的最小周期等于扰动的周期。

本发明采用在混沌映射内部加入扰动的方式，有效地解决了有限精度带来的短周期和奇点问题。并且内部加扰方式可以对非均匀分布的混沌映射进行加扰，如切比雪夫映射(Chebyshev)和罗杰斯蒂(Logistic)映射等。本发明适用于安全通信和扩频通信领域具有广阔的应用前景。

附图说明

图1是Tent映射的周期性示意图；

图2是Logistic映射的周期性示意图；

图3是Chebyshev映射的周期性示意图；

图4是Tent映射f_t的概率分布示意图；

图5是Tent映射f_{a_t}的概率分布示意图；

图6是切比雪夫映射的概率分布示意图；

图7是加扰Chebyshev映射的概率分布示意图；

图8是u_n的概率分布示意图；

图9是f_{a_t}的概率分布示意图；

图10是初始Chebyshev映射的自适应性能仿真示意图；

图11是余弦加扰Chebyshev映射的自适应性能仿真示意图；

图12是初始Tent映射的自适应性能仿真示意图；

图13是取模加扰Tent映射的自适应性能仿真示意图；

图14是加扰混沌映射的互相关性能仿真示意图；

图15是余弦加扰Chebyshev映射的初值敏感性仿真示意图；

图16是取模加扰Chebyshev映射的初值敏感性仿真示意图；

图17是余弦加扰Tent映射的初值敏感性仿真示意图；

图18是取模加扰Tent映射的初值敏感性仿真示意图；

具体实施方式

具体实施方式一、有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，它是帐篷映射(Tent)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Tent映射混沌系统的表达式为：

$x_{n+1}=f_t\left(x_n\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x_n}{{\mathrm{\&mu;}}_t},0<x_n<{\mathrm{\&mu;}}_t\\ \frac{1-x_n}{1-{\mathrm{\&mu;}}_t},{\mathrm{\&mu;}}_t\&le;x_n<1\end{array}\right.$

式中：u_t是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；

在Tent映射混沌系统中混沌序列中加入扰动λ_n，则加入扰动后的混沌系统表达如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_a(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{n+1}=g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)\end{array}\right.$

其中：λ_n是非混沌序列；

Tent映射的概率分布为均匀分布，因此扰动可以直接加在函数表达式的后面。如果使用取模函数作为扰动，那么改进后的Tent映射可以如下表示：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a\_t}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mod}(\frac{x_n}{{\mathrm{\&mu;}}_t}+{\mathrm{\&lambda;}}_n),0\&le;x_n<{\mathrm{\&mu;}}_t\\ \mathrm{mod}(\frac{1-x_n}{1-{\mathrm{\&lambda;}}_n}+{\mathrm{\&lambda;}}_n),{\mathrm{\&mu;}}_t\&le;x_n\&le;1\end{array}\right.\\ g_t\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=0.01\mathrm{mod}\left(\sqrt{2}n\right)-0.005\end{array}\right.$

为了确保f_{a_t}的范围与初始Tent映射f_t的范围相同，使用了取模函数“mod(x)”，该函数输出x的小数位。f_{a_t}和f_t的概率分布在图4和图5中给出。

使用取模函数作为扰动，则加扰后的Tent映射表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a\_t}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mod}(\frac{x_n}{{\mathrm{\&mu;}}_t}+{\mathrm{\&lambda;}}_n),0\&le;x_n<{\mathrm{\&mu;}}_t\\ \mathrm{mod}(\frac{1-x_n}{1-{\mathrm{\&lambda;}}_n}+{\mathrm{\&lambda;}}_n),{\mathrm{\&mu;}}_t\&le;x_n\&le;1\end{array}\right.\\ g_t\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=0.01\mathrm{mod}\left(\sqrt{2}n\right)-0.005\end{array}\right.$

式中：mod(x)为取模函数。

具体实施方式二、有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，它是切比雪夫映射(Chebyshev)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Chebyshev映射混沌系统的表达式为：

x_n+1＝f_c(x_n)＝cos(μ_carccos(x_n))

式中：u_c是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；

计算Chebyshev映射混沌系统的概率分布，如图6所示，获得：

$p\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{1-x^2}}& \left|x\right|\&le;1\\ 0& \left|x\right|>1\end{array}\right.$

它不是一个均匀分布，直接加入扰动会改变映射平衡。直接加扰后，建立了新的平衡，概率分布不再关于0对称。不同参数的映射表达式有不同的对称点。扰动应该选择序列值的概率分布为均匀分布的位置加入。

于是，改变Chebyshev映射的表达式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_c\left(u_n\right)=\cos (\mathrm{\&mu;}\&CenterDot;u_n)\\ u_n=\arccos \left(x_n\right)\end{array}\right.$

u_n的概率分布按图8所示为均匀分布。因此在u_n处加入扰动不会改变概率分布。例如加入如下扰动：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a^{\&prime;}\_c}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=\cos \left({\mathrm{\&mu;}}_c(\arccos \left(x_n\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_n)\right)\\ g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=\cos \left(n\right)\end{array}\right.$

如图9所示，新的映射同初始Chebyshev映射有相同的概率分布。

具体实施方式三、有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，它是罗杰斯蒂(Logistic)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Logistic映射混沌系统的表达式为：

x_n+1＝f_l(x_n)＝1-μ_lx_n ²

式中：u_l是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；

使用反函数：

x＝cos(arccos(x))

对Chebyshev映射混沌系统的表达式进行处理，获得：

$\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_l\left(x_n\right)=1-{\mathrm{\&mu;}}_l{x_n}^2\\ =1-{\mathrm{\&mu;}}_l{\cos }^2\left(\arccos \left(x_n\right)\right)\\ =1-{\mathrm{\&mu;}}_l\frac{1-\cos \left(2\arccos \left(x_n\right)\right)}{2}\end{array}$

对于全映射有μ_l＝2，则：

x_n+1＝f_l(x_n)＝cos(2arccos(x_n))

则加入扰动：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a\_l}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=1-{\mathrm{\&mu;}}_l\frac{1-\cos \left(2(\arccos \left(x_n\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_n)\right)}{2}\\ g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=\cos \left(n\right)\end{array}\right.$

u_t、u_l和u_c是用相同的映射生成不同的混沌序列的参数。令μ_t＝0.25，μ_l＝μ_c＝0.4，令x₀为以0.001为步长且从0.0005到0.9995的值。储存长度为双精度浮点型，图1至3给出了三种映射的周期。

仿真结果显示这三种映射在有限精度情况下有严格的周期性和奇异性。Tent映射的平均周期比其它两种要长。但所有的周期都比它们在双浮点精度存储条件下应有的周期小得多。统计结果在表1中给出。

表1

周期性的根源在于混沌系统表达式的类型。唯一的变数就是混沌序列本身。当x_j＝x_i时必定存在循环。为了打破循环就需要加入扰动。令λ表示扰动，带扰动的混沌系统表达如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_a(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{n+1}=g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)\end{array}\right.$

这种形式与二维的混沌映射形式相似。区别是λ并非混沌序列，在有限精度下必须确保△λ≠0。

f_a和g的构建需要遵守以下原则。

1、f_a和f的结构应该相似，并且有相同的范围。f_a必须保持混沌系统的动态。

2、在有限精度下△λ不能总为0，否则λ_n将是一个常数。那么x_n+1＝f_a(x_n,λ_n)将变为x_n+1＝f_a(x_n)。

3、扰动的幅度应当比x_n稍小。扰动应该是非单调并且关于0对称的，在定义范围内有各态历经性，比如余弦函数和取模函数等。如果扰动比x_n大，就如同加入了太多扰动特性一样改变混沌系统的性能。然而如果扰动比x_n小太多，那么扰动就会因为有限精度而被忽略。

4、加入的扰动不允许改变混沌序列的分布。一个便捷的方法是在均匀分布的位置加入扰动。这样在加入扰动后在相同的位置还是均匀分布。

5、f_a的最小周期等于扰动的周期，为了确保f_a的周期，扰动的周期应该尽可能长。

下面对本发明的效果进行仿真验证。

加扰混沌系统的性能

加扰后混沌序列有与加扰前相同的特性。加扰函数包括带有不同参数的余弦函数和取模函数。仿真中使用的二进制序列可以通过门限函数从实数序列中获得。

Tent映射：

$V_t\left(x_n\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x_n>0.5\\ 0,& x_n\&le;0.5\end{array}\right.$

Chebyshev映射：

$V_c\left(x_n\right)=\left\{\begin{array}{cc}1,& x_n>0\\ 0,& x_n\&le;0\end{array}\right.$

平衡性能：混沌序列平衡性能的仿真结果在表2中给出。加扰函数有不同的形式和幅值。系统的初始值是0.6665231，它会生成一个没有干扰的周期相对比较长的序列。所有的序列都有4×7¹⁰个数。结果显示加扰的序列有更好的平衡性能，并且扰动的形式和幅值对平衡性能的影响不大。

表2

自相关和互相关：Tent映射和Chebyshev映射的加扰序列有很好的自相关特性。图10至13对加扰序列和初始序列进行了比较。

统计结果在表3中列出。结果指出加扰的混沌映射有更好的自相关特性。加扰混沌映射的平均幅值甚至比初始的还要小。

表3

图14给出了不同长度的初始序列和加扰混沌序列的互相关值。加扰混沌序列与初始序列几乎有同样的互相关特性。不同的加扰方式下有所区别。

表4和表5给出了不同加扰方式下Chebyshev映射和Tent映射的游程。如表所示，不同的加扰形式对游程性能有一些不同影响。加扰的幅值对Chebyshev映射几乎没有影响但却对Tent映射影响很大。这些图涉及到混沌映射的相空间。总体看来，小幅值的余弦加扰有最稳定的游程性能。

表4

表5

初值敏感性：用初值0.6665231和0.6665232生成混沌序列，结果在图15至图18中给出。所有加扰的混沌序列对初始值都很敏感。加扰的Chebyshev序列要比加扰的Tent序列要敏感。在一个混沌映射中余弦加扰和取模加扰有相同的性能。

本发明采用在混沌映射内部加入扰动的方式，有效地解决了有限精度带来的短周期和奇点问题。并且内部加扰方式可以对非均匀分布的混沌映射进行加扰，如切比雪夫映射(Chebyshev)和罗杰斯蒂(Logistic)映射等。理论分析和仿真结果表明，内部加扰方法产生的混沌序列可以有效扩展周期，并且避免混沌映射进入奇点状态。仿真结果表明加扰后的混沌序列具有良好的混沌性能。

Claims (7)

1.有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，其特征是：它是帐篷映射(Tent)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Tent映射混沌系统的表达式为：

$x_{n+1}=f_t\left(x_n\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x_n}{{\mathrm{\&mu;}}_t},0<x_n<{\mathrm{\&mu;}}_t\\ \frac{1-x_n}{1-{\mathrm{\&mu;}}_t},{\mathrm{\&mu;}}_t\&le;x_n<1\end{array}\right.$

式中：u_t是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；f_t是Tent映射下混沌序列生成函数；

在Tent映射混沌系统中混沌序列中加入扰动λ_n，则加入扰动后的混沌系统表达如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_a(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{n+1}=g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)\end{array}\right.$

其中：λ_n是非混沌扰动序列；f_a是加扰后的Tent映射函数；g是扰动序列生成函数；

函数f_a和g的构建遵守以下原则：

1)、函数f_a和函数f_t的结构相应，且有相同的范围；f_a保持混沌系统的动态；

2)、在有限精度下，△λ≠0；△是最小量化误差，λ是扰动序列；

3)、扰动的幅度小于x_n，扰动是非单调并且关于0对称的，在定义范围内有各态历经性；

4)、加入的扰动不改变混沌序列的分布；

5)、函数f_a的最小周期等于扰动的周期。

2.根据权利要求1所述的有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，其特征在于使用取模函数作为扰动，则加扰后的Tent映射表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a\_t}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{mod}(\frac{x_n}{{\mathrm{\&mu;}}_t}+{\mathrm{\&lambda;}}_n),0\&le;x_n<{\mathrm{\&mu;}}_t\\ \mathrm{mod}(\frac{1-x_n}{1-{\mathrm{\&lambda;}}_n}+{\mathrm{\&lambda;}}_n),{\mathrm{\&mu;}}_t\&le;x_n\&le;1\end{array}\right.\\ g_t\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=0.01\mathrm{mod}\left(\sqrt{2}n\right)-0.005\end{array}\right.$

式中：mod(x)为取模函数，f_{a_t}为加扰后Tent映射函数；g_t为扰动序列生成函数。

3.根据权利要求1所述的有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，其特征在于μ_t＝0.25。

4.有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，其特征是：它是切比雪夫映射(Chebyshev)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Chebyshev映射混沌系统的表达式为：

x_n+1＝f_c(x_n)＝cos(μ_carccos(x_n))

式中：u_c是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；f_c是Chebyshev映射下混沌序列生成函数；

计算Chebyshev映射混沌系统的概率分布，获得：

$p\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\&pi;}\sqrt{1-x^2}}& \left|x\right|\&le;1\\ 0& \left|x\right|>1\end{array}\right.$

在Chebyshev映射混沌系统中直接加入扰动：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a^{\&prime;}\_c}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=\cos \left({\mathrm{\&mu;}}_c(\arccos \left(x_n\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_n)\right)\\ g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=\cos \left(n\right)\end{array}\right.$

其中：λ_n是非混沌序列；f_{a'_c}是直接加扰后Chebyshev映射下混沌序列生成函数；选择序列值的概率分布为均匀分布的位置加入扰动后的混沌系统表达如下：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_c\left(u_n\right)=\cos (\mathrm{\&mu;}\&CenterDot;u_n)\\ u_n=\arccos \left(x_n\right)\end{array}\right.$

式中：μ是该映射下生成混沌序列的参数；u_n是概率为均匀分布的生成混沌序列的中间函数；

函数f_a和g的构建遵守以下原则：

1)、函数f_a和函数f_c的结构相应，且有相同的范围；f_a保持混沌系统的动态；

2)、在有限精度下，△λ≠0；

3)、扰动的幅度小于x_n，扰动是非单调并且关于0对称的，在定义范围内有各态历经性；

4)、加入的扰动不改变混沌序列的分布；

5)、函数f_a的最小周期等于扰动的周期。

5.根据权利要求4所述的有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，其特征在于μ_c＝0.4。

6.有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，其特征是：它是罗杰斯蒂(Logistic)混沌系统的内部扰动实现方法，具体为：

Logistic映射混沌系统的表达式为：

x_n+1＝f_l(x_n)＝1-μ_lx_n ²

式中：u_l是映射生成的混沌序列的参数；n为正整数；x_n是0.0005至0.9995之间的值，且每次取值的步长为0.001；f_l是Logistic映射下混沌序列生成函数；

使用反函数：

x＝cos(arccos(x))

对Chebyshev映射混沌系统的表达式进行处理，获得：

$\begin{array}{c}{x}_{n+1}=f_l\left(x_n\right)=1-{\mathrm{\&mu;}}_l{x_n}^2\\ =1-{\mathrm{\&mu;}}_l{\cos }^2\left(\arccos \left(x_n\right)\right)\\ =1-{\mathrm{\&mu;}}_l\frac{1-\cos \left(2\arccos \left(x_n\right)\right)}{2}\end{array}$

对于全映射有μ_l＝2，则：

x_n+1＝f_l(x_n)＝cos(2arccos(x_n))

则加入扰动：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{a\_l}(x_n,{\mathrm{\&lambda;}}_n)=1-{\mathrm{\&mu;}}_l\frac{1-\cos \left(2(\arccos \left(x_n\right)+{\mathrm{\&lambda;}}_n)\right)}{2}\\ g\left({\mathrm{\&lambda;}}_n\right)=\cos \left(n\right)\end{array}\right.$

式中：f_{a_l}是Chebyshev映射下混沌序列生成函数；

函数f_a和g的构建遵守以下原则：

1)、函数f_a和函数f_l的结构相应，且有相同的范围；f_a保持混沌系统的动态；

2)、在有限精度下，△λ≠0；

3)、扰动的幅度小于信号x_n的幅度，扰动是非单调并且关于0对称的，在定义范围内有各态历经性；

4)、加入的扰动不改变混沌序列的分布；

5)、函数f_a的最小周期等于扰动的周期。

7.根据权利要求6所述的有限精度下的混沌系统内部扰动实现方法，其特征在于μ_l＝0.4。