CN104539330B - 一种三维多输入多输出垂直码本设计方法 - Google Patents

一种三维多输入多输出垂直码本设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，包括1)初始化变量i＝0，计算初始的外环下倾角θmax，令计算第i个码字的衰减为δ的波束方向θi；3)计算第i个码字波束对应的衰减为δ的内环下倾角4)令i＝i+1返回步骤2继续计算直至θmin覆盖范围对应的最下倾斜角；5)根据得到的θ0,θ1,...,θi计算垂直码字，得到垂直码本。本发明方法克服了传统的DFT码本仅仅从均匀划分倾斜角的角度设计垂直码本，从水平面上接收信号功率的角度设计码本，提高了所设计码本的效率。并且可以控制最大的衰减情况，提高了设计的灵活性。

Description

一种三维多输入多输出垂直码本设计方法
技术领域
本发明涉及一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，属于无线通信技术领域。
背景技术
大规模MIMO带来的好处主要体现在以下几个方面:第一,大规模MIMO的空间分辨率与现有MIMO相比显著增强,能深度挖掘空间维度资源,使得网络中的多个用户可以在同一时频资源上利用大规模MIMO提供的空间自由度与基站同时进行通信,从而在不需要增加基站密度和带宽的条件下大幅度提高频谱效率。第二,大规模MIMO可将波束集中在很窄的范围内,从而大幅度降低干扰。第三,可大幅降低发射功率,从而提高功率效率。
目前大部分的信道模型都是二维的，与二维信道相适应的波束成形主要是针对水平面上的波束成形。然而根据最新的信道测量的结果，无线信道的传播路径在垂直方向上也有较大的角度扩展。采用均匀平面阵列(UPA)等结构的天线阵列可以在水平方向和垂直方向波束赋形，这极大的提高链路增益，并且降低了对相邻站点的干扰。
为了降低系统的反馈量，接收机不是直接的反馈信道状态信息，而是根据位置和接收信噪比等信息选择最优的波束成形权重值，该权重值保存在预先设计好的码本中，因此，接收端仅仅需要反馈该权重值在码本中的位置即可在发射端恢复出该波束成形权重值。
DFT码本是一种在UPA中广泛采用的码本，DFT码本使得波束方向可以均匀的分布在倾斜角上，每个波束将能量集中到一个环形的区域上，然而该方案没有考虑到波束投影到地面在环形区域的内环和外环由于路径长短的不同而造成的的衰减不同。
针对现有技术的不足，本发明提供了一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，使得码本投影到水平面之后覆盖的范围的衰减在δ以内。
发明内容
发明目的：本发明针对现有方案的不足，提出了一种新的垂直码本的设计，该方案可以保证在天线的覆盖的任意位置，总能从码本中找到一个码字，使得该位置接收功率的相对于波束方向上的接收功率的衰减小于δ。
技术方案：为了实现上述发明目的，本发明采用如下技术方案：
一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，包括如下步骤：
(1)初始化变量i＝0，计算初始的外环下倾角θmax，θmax的计算公式如下；
(公式1)
其中，R为基站的覆盖范围的半径，hBS为基站相对于移动台的高度，atan(·)表示反正切函数；定义变量
(2)计算第i个码字的波束方向θi，即搜索θi，使得如下公式成立：
(公式2)
其中，δ表示允许的衰减，表示波束方向为θi的波束在方向的阵列因子，的计算公式如下：
(公式3)
其中，表示均匀平面阵列垂直方向的天线数，Θ(θi)＝cos(θi)×dv/λ，dv表示垂直方向天线间隔，λ表示波长；
(3)得到第i个码字的波束方向θi后，计算第i个码字的内环下倾角即搜索使得如下公式成立：
(公式4)
表示波束方向为θi的波束在方向的阵列因子；
(4)判断是否成立，若进入步骤(5)，否则，令i＝i+1，返回步骤(2)，其中，θmin为覆盖范围对应的最小倾斜角，实际系统要求覆盖的区域为一个从R′到R的环形区域时，则θmin＝atan(R′/hBS)，特别的，当要求覆盖的区域为范围为R的圆时，θmin＝0；
(5)根据步骤(2)计算得到的θ0,θ1,...,θi，计算垂直码字cj，j＝1,…,i，cj的计算公式如下；
(公式5)码字c0,c1,...,ci即构成了垂直码本。
进一步的，步骤(2)中在区间上搜索θi，其中为满足如下方程的θi的值：
(公式6)
该方程的解可以取为的解，从而得到的计算公式为：
(公式7)
进一步的，根据函数R1(θ)在区间上单调递增的性质，步骤(2)中采用二分搜索的方式在区间上搜索θi，使得
|R1(θi)-δ|≤ε (公式8)
其中，δ表示允许的衰减，ε表示可以接受的误差。二分搜索的具体步骤包括：
(2.1)初始化变量变量
(2.2)计算变量c＝(a+b)/2的值，计算R1(c)的值；
(2.3)如果|R1(c)-δ|≤ε，则终止迭过程，取θi＝c，否则，执行步骤(2.4)；
(2.4)如果R1(c)-δ＞ε，则令b＝c,否则，令a＝c，返回步骤(2.2)。
进一步的，步骤(3)中在区间上搜索其中的计算公式为：
(公式9)
进一步的，根据函数R2(θ)在区间上的单调递增的特性，步骤(3)中采用二分搜索的方式在区间上搜索使得
(公式10)
其中，δ表示允许的衰减，ε表示可以接受的误差。二分搜索的具体步骤包括：
(3.1)初始化变量变量b＝θi；
(3.2)计算变量c＝(a+b)/2的值，计算R2(c)的值；
(3.3)如果|R2(c)-δ|≤ε，则终止迭过程，取否则，执行步骤(3.4)；
(3.4)如果R2(c)-δ＞ε，则令b＝c,否则，令a＝c，返回步骤(3.2)。
有益效果:本发明所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法克服了传统的DFT码本仅仅从均匀划分倾斜角的角度设计垂直码本，从水平面上接收信号功率的角度设计码本，提高了所设计码本的效率。并且可以控制最大的衰减情况，提高了设计的灵活性。
附图说明
图1垂直码字设计方法示意图；
图2为垂直码本设计算法流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明一种三维多输入多输出垂直码本设计方法的具体实施方式作进一步详细说明。应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利。
UPA由按照行列排列的天线元素构成，水平距离是dh，垂直距离是dv。每一个天线元素连接一个移相器，以实现水平方向和垂直方向的波束赋形。使用θt和γt来表示方位角和俯仰角，基站天线阵列的响应矢量可表示成
(公式11)
其中，
发明所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，主要涉及到垂直方向上的阵列响应矢量
在具体实施方式中，如图1所示，以表1所示系统的配置信息构建码本。基站的高度为32m,移动台处于地面，小区的半径是500。基站端垂直方向的天线数天线垂直方向的间距是λ/2，本具体实施例将这些具体数值代入本发明的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法中，结合码本的设计的算法流程图，如图2所示，详细描述一种三维多输入多输出垂直码本设计方法。
表1 实施例中系统的配置情况
1.初始化变量i＝0，计算初始的外环下倾角θmax，θmax的计算公式如下；
(公式12)
定义变量
计算第i个码字的波束方向θi，即搜索θi，使得
(公式13)
其中，表示波束方向为θi的波束在方向的阵列因子，定义为：
(公式14)
特别的，当i＝0时，在随后的计算过程中，由前一次的计算给出；
3.计算码字i对应的衰减为δ的内环的下倾角计算公式如下:
(公式15)
其中，的定义如公式14所示，不同的地方是θi的取值为根据公式13计算得到的结果，将公式13所得的θi代入后，即可得到一个关于的函数；
4.如果进入步骤4，否则，令i＝i+1，返回步骤2，本实施中，基站要求覆盖半径为R的圆形区域，因此，可以取θmin＝0；
5.根据步骤2计算所得的θ0,θ1,...,θi，计算垂直码字cj，j＝1,…,i，cj的定义如下；
(公式16)
码字c0,c1,...,ci即构成了垂直码本。
步骤2中的搜索过程中，为了确保下倾角在波束的主瓣范围内，所以搜索的范围可
以限制为在区间上，其中的一种计算方法是使得波束方向为的波
束在下倾角为的位置处阵列因子为0，的求解公式如下：
(公式17)
下面以i＝0为例，说明该步骤，首先计算计算公式如下：
(公式18)因此，可以确定搜索的区间为(1.2515,1.5069)。
根据函数R1(θ)在区间上单调递增的性质，采用二分搜索的方式搜索θi，使得
|R1(θi)-δ|≤ε (公式19)
其中，δ表示允许的衰减，ε表示可以接受的误差。二分搜索的具体步骤如下：
1)初始化
2)计算c＝(a+b)/2的值，计算R1(c)的值；
3)如果|R1(c)-δ|≤ε则，终止迭过程，取θi＝c，否则，执行步骤4；
4)如果R1(c)-δ＞ε，则令b＝c,否则，令a＝c，返回步骤2。
算法终止时，变量c即为所求的θi的数值解。
同样，步骤3中的搜索过程中，为了保证下倾角在波束的主瓣宽度内，可以限制搜索的范围在在区间上，其中的计算方法与公式18类似，在本实施例所给的参数条件下，dv＝λ/2，此时公式可以简化为：
(公式20)
根据函数R2(θ)在区间上的单调递增的特性，采用二分搜索的方法搜索使得
(公式21)
其中，δ表示允许的衰减，ε表示可以接受的误差。具体的搜索方法步骤与前文所述的步骤类似。
应当指出，在不脱离本发明原理的前提下，本领域技术人员对本发明还可以做出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (8)

1.一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)初始化变量i＝0，计算初始的外环下倾角θmax，θmax的计算公式如下；
<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>tan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>R</mi> <msub> <mi>h</mi> <mi>BS</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> (公式1)
其中，R为基站的覆盖范围的半径，hBS为基站相对于移动台的高度，atan(·)表示反正切函数；定义变量
(2)计算第i个码字的波束方向θi，即搜索θi，使得如下公式成立：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>AF</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msubsup> <mi>N</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> (公式2)
其中，δ表示允许的衰减，表示波束方向为θi的波束在方向的阵列因子，的计算公式如下：
<mrow> <mi>AF</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mi>N</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> (公式3)
其中，表示均匀平面阵列垂直方向的天线数，Θ(θi)＝cos(θi)×dv/λ，dv表示垂直方向天线间隔，λ表示波长；
(3)得到第i个码字的波束方向θi后，计算第i个码字的内环下倾角即搜索使得如下公式成立：
<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>in</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>in</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>AF</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>in</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msubsup> <mi>N</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> (公式4)
表示波束方向为θi的波束在方向的阵列因子；
(4)判断是否成立，若进入步骤(5)，否则，令i＝i+1，返回步骤(2)，其中，θmin为覆盖范围对应的最小倾斜角，当要求覆盖的区域为一个从R′到R的环形区域时，θmin＝atan(R′/hBS)，当要求覆盖的区域为范围为R的圆时，θmin＝0；
(5)根据步骤(2)计算得到的θ0,θ1,...,θi，计算垂直码字cj，j＝1,…,i，cj的计算公式如下；
<mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <msup> <mrow> <mn>1</mn> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>N</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>]</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> (公式5)
码字c0,c1,...,ci即构成了垂直码本。
2.根据权利要求1所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，步骤(2)中在区间上搜索θi，其中为满足如下方程的θi的值：
<mrow> <mi>AF</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <msubsup> <mi>N</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;Theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> (公式6)
其中，表示波束方向为θi的波束在方向的阵列因子。
3.根据权利要求2所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，的计算公式为：
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>arccos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <msubsup> <mi>N</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> (公式7)
其中，表示均匀平面阵列垂直方向的天线数，dv表示垂直方向天线间隔，λ表示波长。
4.根据权利要求2或3所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，步骤(2)中采用二分搜索的方式在区间上搜索θi，使得
|R1(θi)-δ|≤ε (公式8)
其中，δ表示允许的衰减，ε表示可以接受的误差。
5.根据权利要求4所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，所述采用二分搜索的方式在区间上搜索θi的步骤包括：
(2.1)初始化变量变量
(2.2)计算变量c＝(a+b)/2的值，计算R1(c)的值；
(2.3)如果|R1(c)-δ|≤ε，则终止迭过程，取θi＝c，否则，执行步骤(2.4)；
(2.4)如果R1(c)-δ＞ε，则令b＝c,否则，令a＝c，返回步骤(2.2)。
6.根据权利要求1所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，步骤(3)中在区间上搜索其中的计算公式为：
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>arccos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <msubsup> <mi>N</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> (公式9)
其中，表示均匀平面阵列垂直方向的天线数，dv表示垂直方向天线间隔，λ表示波长。
7.根据权利要求6所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，步骤(3)中采用二分搜索的方式在区间上搜索使得
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>in</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> </mrow> (公式10) 2
其中，δ表示允许的衰减，ε表示可以接受的误差。
8.根据权利要求7所述的一种三维多输入多输出垂直码本设计方法，其特征在于，所述采用二分搜索的方式在区间上搜索的步骤包括：
(3.1)初始化变量变量b＝θi；
(3.2)计算变量c＝(a+b)/2的值，计算R2(c)的值；
(3.3)如果|R2(c)-δ|≤ε，则终止迭过程，取否则，执行步骤(3.4)；
(3.4)如果R2(c)-δ＞ε，则令b＝c,否则，令a＝c，返回步骤(3.2)。
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