CN104503952B - 一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法 - Google Patents
一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法 Download PDFInfo
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Abstract
一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法，首先确定目标系统中对单指数衰减信号有影响的物理因素，比如系统噪声和系统响应时间(也称上升时间)等，统称为影响因素。在对单指数衰减信号取对数进行线性化的过程中，计算影响因素带来的偏差，以偏差为阈值条件截取有效信号数据点。利用有效信号数据点进行加权线性最小二乘运算得到单指数衰减函数的相关参数。本方法综合考虑了系统影响因素，在缩短了算法耗时的基础上提升了拟合精度，适用于腔衰荡技术中的衰荡时间常数提取和荧光寿命分析等技术领域。
Description
技术领域
本发明涉及一种改进的加权线性最小二乘方法，适用于需要进行单指数衰减函数拟合的技术领域，例如光腔衰荡技术领域和荧光寿命分析等。
背景技术
很多物理现象都可以由单指数衰减函数来描述，比如生物物理学中的荧光寿命分析、核物理中的反射衰变、化学物理学中的光腔衰荡光谱技术以及医学成像等。因此，精确提取单指数衰减函数的时间常数和振幅十分重要(Andrei A.Istratov,and OlegF.Vyvenko,“Exponential analysis in physical phenomena”,Rev.Sci.Instrum.70,1999,1233-1257)。目前针对单指数衰减函数的参数提取有许多方法可以采用，大概可以分为两大类：一类首先对目标信号进行离散采样，然后进行后续处理，比如数值拟合法和频域分析法；另一类直接对目标信号连续积分，利用几个不同时间段的积分结果，计算信号振幅和信号时间常数。后一类方法从某种程度上来说，也相当于一种离散采样的方法。总体而言，离散采样，特别是其中的数值拟合方法，在单指数衰减信号分析领域应用较为广泛。
根据单指数衰减函数取对数后即成为线性函数的特性，线性最小二乘算法成为一种应用较早的处理方法(A.O’Keefe and D.A.G.Deacon,“Cavity ringdown opticalspectrometer for absorption measurements using pulsed laser sources”,Rev.Sci.Instrum.59,1988,2544-2551)。线性最小二乘算法运算速度快，但容易受系统噪声影响。随后提出的加权线性最小二乘方法在噪声敏感性方面有所改善，但是仍未彻底解决这一问题。因而尽管线性算法简单快速，后续仍发展出对噪声不敏感的非线性最小二乘拟合和频域分析等一系列方法。这些方法各有所长，在不同系统或不同环境中能表现出各自的优势，已经能够满足单指数衰减函数分析的需要。然而，针对受实际系统中某些物理因素影响而产生畸变的单指数衰减信号，目前还普遍采用非线性最小二乘方法进行处理，这种方法虽然精确，但是运行时间较长。本发明通过对加权线性最小二乘方法进行改进，保留了这种方法简单快速的优势，进一步减弱了其噪声敏感性，同时考虑了系统影响因素对单指数衰减信号造成的偏差，在信号畸变后仍能进行快速、精确的参数拟合。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：单指数衰减信号在受系统噪声影响并经系统调制后，仍能快速、精确地提取参数是十分必要的。本发明提供了一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法，通过分析、计算系统影响因素对信号造成的偏差进行信号数据点截取，利用截取后的信号数据点进行加权线性最小二乘拟合。本发明提供的方法，不仅保留了加权线性最小二乘方法简单快速的特点，同时综合考虑了系统的影响因素，具有更广泛的适用性。
本发明要解决其技术问题所采用的技术方案是：确定目标系统中对单指数衰减信号的影响因素。计算影响因素在单指数衰减信号线性化过程中带来的偏差，以偏差为阈值条件截取有效信号数据点。利用有效信号数据点进行加权线性最小二乘运算提取单指数衰减函数的相关参数。
具体实现步骤如下：
步骤(1)、确定目标系统(比如腔衰荡系统)中对单指数衰减信号有影响的因素，统一记为Fsystem，Fsystem中包含系统噪声noise，计算噪声均值Nmean；预采集单指数衰减信号，确定时间常数参考值t0；确定信号数据点截取阈值thresh。
其中，时间常数参考值t0的确定，可以直接采用系统理论值或实验经验值；也可以采用任何一种单指数衰减函数的时间常数提取方法进行计算，包括连续积分法、频域分析法或数值拟合法等；信号数据点截取阈值thresh主要作用是限制影响因素Fsystem造成的线性化偏差，thresh应为远小于1的某一正数，但不宜太小，否则会导致截取的数据点过少甚至为零，影响后续的拟合运算。
步骤(2)、采集目标系统的单指数衰减信号，确定信号幅值参考值A0。
信号幅值参考值A0的确定，可以直接设置为信号本身的最大值或第一个信号值；也可以采用任何一种单指数衰减函数的信号幅值提取方法进行计算，包括连续积分法、频域分析法或数值拟合法等。
步骤(3)、根据单指数衰减信号的幅值参考值A0、时间常数参考值t0，构建单指数衰减信号模型；计算在对该信号模型取对数进行线性化的过程中，影响因素Fsystem对信号中各个数据点带来的偏差Ei，i为信号数据点个数。
构建单指数衰减信号模型的具体过程为：将信号模型表示为S，
其中，t为时间，devia为一个常数偏置量，一般为了去背景噪声使devia＝Nmean。从理论上说devia可以为任意数值，不过实际操作中以0≤devia≤Nmean为宜，这样在后续截取数据点的操作中能保留更多的数据点。
偏差Ei的计算步骤为：
步骤①、将信号模型S两边取对数进行线性化，得到线性化结果L：
步骤②、L右边最后一项即为取对数线性化过程中Fsystem造成的偏差，对该项进行泰勒展开，并只保留展开式的第一项，记为E：
步骤③、对E以序列的形式表示即得到Ei：
N为信号数据点总数目，ti为自变量序列(一般系统中均为时间序列)。
步骤(4)、计算信号模型中满足∣Ei∣≤thresh的信号数据点区间(或单独数据点)，截取原始信号中这些信号数据点区间(或单独数据点)的信号数据作为有效数据点。
步骤(5)、确定有效信号数据点在执行加权线性最小二乘方法过程中的权重，按照加权线性最小二乘方法提取所需的参数。
信号数据点权重的确定过程为：有效信号数据点总数为K，其中第k个数据点的权重值Wk可以直接设为：
也可以在上述权重值的基础上进一步经过迭代计算确定。
本发明的原理是：首先，分析确定目标系统中对单指数衰减信号有影响的因素。在对单指数衰减信号取对数进行线性化的过程中，计算影响因素带来的偏差，以偏差为阈值条件截取信号数据点。利用截取得到的信号点进行加权线性最小二乘运算得到单指数衰减函数的相关参数。
本发明与现有技术相比具有如下优点：本发明提供一种改进的加权线性最小二乘方法，在单指数衰减信号受系统影响产生畸变后仍能快速精确拟合相关参数。相比于普通加权线性最小二乘方法，本方法进一步减弱了对噪声的敏感性，同时考虑了系统调制对信号的影响；相比于非线性最小二乘方法，本方法能够更快速的实现畸变后单指数衰减信号的参数拟合提取。总之，本方法是一种简单高效的单指数衰减函数拟合方法。
附图说明
图1为本发明的一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法的基本流程图；
图2为本发明的一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法在光腔衰荡技术中进行光腔衰荡时间常数拟合提取的实施结果。
具体实施方式
如附图1所示，以一个连续波光腔衰荡系统为例，讲述本发明的具体实施方法：
步骤(1)、确定目标系统中对单指数衰减信号有影响的因素，统一记为Fsystem，Fsystem中包含系统噪声noise，计算噪声均值Nmean；预采集单指数衰减信号，确定时间常数参考值t0；确定信号数据点截取阈值thresh。
其中，时间常数参考值t0设为系统理论值，信号数据点截取阈值thresh设为0.01。本实施例中，系统的Fsystem由系统响应时间(也称上升时间)tc对单指数衰减信号造成的偏移项Ft和系统背景噪声noise构成。在连续波光腔衰荡技术中，Ft的具体表达式为：
在这里，t为时间，A为单指数衰减信号真实幅值，本实施例中取A＝1，τ为单指数衰减信号真实的时间常数(即腔衰荡时间常数)，在本实施例中取τ＝1.2μs；系统响应时间tc设为0.3μs。
本实施例中，noise设为一组均值Nmean＝0.02，标准差为0.005的符合正态分布的随机值。
步骤(2)、采集目标系统的单指数衰减信号，确定信号幅值参考值A0。本实施例中，信号幅值参考值A0直接设置为信号本身的最大值。
步骤(3)、根据单指数衰减信号的幅值参考值A0、时间常数参考值t0，构建单指数衰减信号模型；计算在对该信号模型取对数进行线性化的过程中，影响因素Fsystem对信号中各个数据点带来的偏差Ei，i为信号数据点个数。
构建单指数衰减信号模型的具体过程为：将信号模型表示为S，
本实施例中，取devia＝0.019，为一个略小于Nmean的数值。
偏差Ei的计算步骤为：
步骤①、将信号模型S两边取对数进行线性化，得到线性化结果L：
步骤②、L右边最后一项即为取对数线性化过程中Fsystem造成的偏差，对该项进行泰勒展开，并只保留展开式的第一项，记为E：
步骤③、对E以序列的形式表示即得到Ei。
N为信号数据点总数目，ti为自变量序列(在本系统中为时间序列)。在本实施例中，时间序列对应的是各个数据点的采集时刻，采样率设为10MHz。
步骤(4)、计算信号模型中满足∣Ei∣≤thresh的信号数据点区间(或单独数据点)，截取原始信号中这些信号数据点区间(或单独数据点)的信号数据作为有效数据点。
步骤(5)、确定有效信号数据点在执行加权线性最小二乘方法过程中的权重，按照加权线性最小二乘方法提取所需的参数。在本实施例中，有意义的参数为光腔衰荡时间常数。
在本实施例中，信号数据点权重直接设为：
附图2给出了本实施例的光腔衰荡系统中1000个畸变的单指数衰减信号的光腔衰荡时间常数提取结果，统计得到的光腔衰荡时间常数平均值τm＝1.198±0.015μs。τm的中心值相对于真实值仅有不到0.2％的误差；同时，分析每个单指数衰减信号平均耗时0.66ms，这说明本发明涉及方法是快速、有效的。
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。
Claims (4)
1.一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法，其特征在于实现步骤如下：
步骤(1)、确定目标系统中对单指数衰减信号有影响的因素，统一记为Fsystem，Fsystem中包含系统噪声noise，计算噪声均值Nmean；预采集单指数衰减信号，确定时间常数参考值t0；确定信号数据点截取阈值thresh；
步骤(2)、采集腔衰荡系统的单指数衰减信号，确定信号幅值A的参考值A0；
步骤(3)、根据单指数衰减信号的幅值参考值A0、时间常数参考值t0，构建单指数衰减信号模型；计算在对该信号模型取对数进行线性化的过程中，影响因素Fsystem对信号中各个数据点带来的偏差Ei，i为信号数据点个数；
步骤(4)、计算信号模型中满足∣Ei∣≤thresh的信号数据点区间或单独数据点，截取原始信号中这些信号数据点区间或单独数据点的信号数据作为有效数据点；
步骤(5)、确定有效信号数据点在执行加权线性最小二乘方法过程中的权重，按照加权线性最小二乘方法进行拟合，并提取腔衰荡系统中的衰荡时间常数；
所述构建单指数衰减信号模型的具体过程为：将信号模型表示为S，
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<mi>a</mi>
</mrow>
其中，t为时间，devia为一个常数偏置量。
2.根据权利要求1所述的一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法，其特征在于：步骤(1)所述的时间常数参考值t0的确定，直接采用目标系统理论值或实验经验值；或采用任何一种单指数衰减函数的时间常数提取方法进行计算，具体包括连续积分法、频域分析法或数值拟合法。
3.根据权利要求1所述的一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法，其特征在于：步骤(2)所述的信号幅值参考值A0的确定，直接设置为信号本身的最大值或第一个信号值；或采用任何一种单指数衰减函数的信号幅值提取方法进行计算，具体包括连续积分法、频域分析法或数值拟合法。
4.根据权利要求1所述的一种用于腔衰荡的拟合单指数衰减加权线性最小二乘方法，其特征在于：步骤(3)所述的影响因素Fsystem在单指数衰减信号取对数线性化过程中对信号各个数据点带来的偏差Ei的计算步骤为：
步骤①、将信号模型S两边取对数进行线性化，得到线性化结果L：
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<mi>L</mi>
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步骤②、L右边最后一项即为取对数线性化过程中Fsystem造成的偏差，对该项进行泰勒展开，并只保留展开式的第一项，记为E：
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1
步骤③、对E以序列的形式表示即得到Ei：
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N为信号数据点总数目，ti为自变量序列。
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