CN104480962A - 一种有限填土挡墙的土压力分布计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种有限填土挡墙的土压力分布计算方法，该方法并不人为将土压力分布假定为线性，是对库仑理论的扩展与补充。此方法以刚性有限填土挡墙为对象，在库仑理论与楔体单元法的基础上，沿用其滑裂面为平面的假定，对其在一般条件下的主动土压力的作用点、作用分布形式与大小进行计算。本发明不仅能准确计算的挡墙背后土压力的合力和合理作用点位置，还能掌握土压力沿墙背的非线性分布情况，以便进行更科学合理地设计施工，对于科学合理地指导挡土墙的设计，具有重要的现实意义。

Description

一种有限填土挡墙的土压力分布计算方法

技术领域

本发明涉及一种有限填土挡墙的土压力非线性分布的计算方法，属于岩土工程技术领域，适用于交通、水利、市政、建筑等部门中的按有限范围填土刚性挡土墙的设计计算。

背景技术

挡土墙土压力计算一直是工程界和学术界非常关心的问题。从目前看，土压力计算方法主要有基于极限平衡理论的库仑土压力理论和朗肯土压力理论；考虑土压力与墙体变形关系的协调变形计算方法和考虑土体实际应力-应变关系的有限元法。协调变形法和有限单元法考虑了土压力与墙体变位或土体变形的关系，能够得到挡土墙工作过程中较为符合实际情况的土压力值。但是，这类方法的计算模型和计算过程复杂，计算精度取决于土体特性参数的选取，而这些参数常常是较难确定的；此外，在实际工程应用中广泛采用极限状态设计方法，所以基于极限平衡理论的朗肯土压力理论和库仑土压力理论仍是实际工程中应用最为广泛的方法。朗肯土压力理论建立了墙背光滑情况下的墙背水平土压力公式，在不考虑挡土墙墙背同填土之间的摩擦角对土压力影响的情况下，给出的土压力为线性分布；库仑土压力理论自从诞生至今，已有两百多年的历史。由于其概念简洁，使用方便，在工程界得到广泛的应用。目前多个规范均采用库仑土压力理论或采用修正的库仑土压力理论计算刚性挡土墙的土压力大小及合力作用点，并作相应的挡墙设计计算。库仑土压力理论假定极限状态时，墙后土体形成一滑动土楔体，通过其静力平衡条件求得土压力合力，并人为假定其分布为线性。但大量室内试验和现场观测数据表明，挡土墙上的土压力呈非线性分布，其合力大小和作用点与采用库仑理论计算的结果有较大的差异，而在实际工程工中，我们不仅需要知道准确的挡墙背后土压力的合力和合理作用点位置，还需要掌握土压力沿墙背的非线性分布情况，以便进行更科学合理地设计施工。因此,研究一种符合实际的土压力分析计算方法,对于科学合理地指导挡土墙的设计，具有重要的现实意义。

发明内容

本发明的目的就是针对上述库仑土压力计算方法的不足，提出了一种有限填土挡墙的土压力分布计算方法，该方法并不人为将土压力分布假定为线性，是对库仑理论的扩展与补充。此方法以刚性有限填土挡墙为对象，在库仑理论与楔体单元法的基础上，沿用其滑裂面为平面的假定，对其在一般条件下的主动土压力的作用点、作用分布形式与大小进行计算。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案，其特征是该方法步骤如下：

步骤(1) 确定挡土墙及墙背有限填土坡体几何要素；

挡土墙及墙背有限填土坡体几何要素包括挡土墙墙后的填土坡面为平面且与水平面的夹角β，墙背岩石坡面坡角θ₁，挡土墙墙背倾斜角α，挡土墙结构的高度H；

步骤(2) 确定填土物理力学参数；

通过取样和实验手段确定填土体的重度γ，内摩擦角挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角δ，稳定岩石坡面与填土间的摩擦角δr，当无试验资料时，可取

步骤(3) 确定填土坡体滑裂面倾角；

填土坡体滑裂面倾角θ的确定如下：填土坡体滑裂面倾角θ取θ₁，θ₂的大值。根据库仑理论，无限填土滑裂面倾角θ₂是所有滑裂面中产生最大主动土压力值的滑裂面，即使得库仑主动土压力系数取得最大值时的θ₂值。库仑主动土压力系数表达式如下：

$K_a=\frac{\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}-\mathrm{\δ}){\cos }^2\mathrm{\α}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}$

可以采用直接搜索法求解滑裂面倾角θ₂值。不同参数条件下的滑裂面倾角θ₂的取值如表1所示。

表1 无限填土滑裂面θ₂值

步骤(4) 计算沿墙背的土压力强度分布；

沿墙背的土压力强度分布按下式进行计算：

$p_a\left(y\right)=K[q_0{H}^{-\mathrm{\λ}}-\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}\mathrm{\γ}{H}^{1-\mathrm{\λ}}]y^{\mathrm{\λ}}+K\frac{\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}\mathrm{\γy}$

其中，

$K=\frac{1}{A_1-A_2-A_3}$

$A_2=\frac{\cos \mathrm{\δ}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\·{\cos }^2\mathrm{\β}\·[\frac{1}{2}\frac{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}{\cos \mathrm{\α}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}-\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\α}}]}$

$A_3=\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\frac{1}{K_a}$

$\mathrm{\λ}=\frac{K}{K_a}\·\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}-1$

$K_a=\frac{\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}-\mathrm{\δ}){\cos }^2\mathrm{\α}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}$

式中：

α——挡土墙墙背倾斜角；

β——挡土墙墙后的填土坡面为平面且与水平面的夹角；

δ——挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角；

δ_r——墙后岩石坡面与填土土体之间的摩擦角；根据试验确定。当破裂角θ按表1取时，即破裂面发生在填土体内部，此时δ_r按取。

γ——填土的重度，kPa；

H——挡土墙结构的高度，m。

对于步骤4中的土压力强度分布公式，具体的理论推导如下：

如图1所示，设挡土墙墙背粗糙且倾斜，倾斜角α，墙高H，墙土之间的摩擦角为δ，墙后岩石坡面与填土土体之间的摩擦角δ_r，填土为理想散粒体c＝0，填土坡面倾角为β，土坡上方有一均布的超载q₀。当挡土墙背离填土方向的位移达到一定量值时，墙后填土将沿步骤3所确定的倾角为θ的滑裂面发生滑动，这部分滑动土体称为滑动楔体，并假定挡土墙上的土压力是由这部分土体引起的。从该滑动楔体中某一深度y至墙踵取部分三角形土楔体ABD作为研究对象，如图2所示。

土楔体受力分析如图3所示。P_a(y)为墙背对滑楔体的支撑反力合力，其值为主动土压力合力；R(y)为不动土体或岩石坡面对滑楔体的反力合力；G(y)为土体ABD的重量；q(y)为作用在AD面上竖向土体压力强度，假定沿AD均匀分布。

单元ABD静力平衡条件如图4所示，其中Q(y)为作用在AD面上竖向土体压力合力。

由三角形正弦定理可得：

由库仑主动土压力公式：

$P_a\left(y\right)=\frac{1}{2}{K}_a{\mathrm{\γy}}^2+K_{a}q\left(y\right)\frac{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}y---\left(2\right)$

其中：γ为墙后土体的容重，K_a为主动土压力系数

令p_a(y)为墙背对滑楔体的支撑反力强度，其值为主动土压力强度，r(y)为不动土体对滑楔体的反力强度，存在下式：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_a\left(y\right)={\∫}_0^y{p}_a\left(y\right)\mathrm{dy}\\ R\left(y\right)={\∫}_0^{y_D}r\left(y\right)\mathrm{dy}\end{array}---\left(3\right)\right.$

将式(2)代入上式第一式，再在等式两边对y求导得：

$p_a\left(y\right)=K_a\mathrm{\γy}+K_a[q\left(y\right)+q\′\left(y\right)y]\frac{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}---\left(4\right)$

令：p_a(y)＝Kq(y)     (5)

其中：K为主动土压力强度系数，代入式(4)得：

$q\′\left(y\right)=(\frac{K}{K_a}\·\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}-1)\·\frac{q\left(y\right)}{y}-\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\mathrm{\γ}---\left(6\right)$

考虑土体ABD的力矩平衡条件，对B点取矩得：

$\begin{array}{c}{\∫}_0^y{p}_a\left(y\right)\·\cos \mathrm{\δ}\·\frac{y}{\cos \mathrm{\α}}\mathrm{dy}+\frac{y\·\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\·\cos \mathrm{\β}}{\cos \mathrm{\α}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}\\ \·q\left(y\right)\·[\frac{1}{2}\frac{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}{\cos \mathrm{\α}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}-\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\α}}]\·\cos \mathrm{\β}\·y\\ +\frac{1}{2}\mathrm{\γ}\·\frac{y^2}{{\cos }^2\mathrm{\α}}\·\frac{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\·\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}\·\frac{2}{3}\\ \·[\frac{1}{2}\frac{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}{\cos \mathrm{\α}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}-\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\α}}]\·\cos \mathrm{\β}\·y\\ ={\∫}_0^{y_D}r\left(y\right)\·\cos {\mathrm{\δ}}_r\·\frac{y}{\sin \mathrm{\θ}}\mathrm{dy}\end{array}$

将式(1)、式(3)第二式和式(5)代入上式，再对y求导得：

$q\′\left(y\right)=[A_{1}K-A_{2}K-2]\·\frac{9\left(y\right)}{y}-\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\mathrm{\γ}---\left(7\right)$

其中：

$A_2=\frac{\cos \mathrm{\δ}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\·{\cos }^2\mathrm{\β}\·[\frac{1}{2}\frac{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}{\cos \mathrm{\α}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}-\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\α}}]}$

由式(6)、式(7)可求出主动土压力强度系数K表达式为：

$K=\frac{1}{A_1-A_2-A_3}---\left(8\right)$

其中：

$A_3=\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\frac{1}{K_a}$

令 $\mathrm{\λ}=\frac{K}{K_a}\·\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}-1,$ 求解微分方程(6)得：

$q\left(y\right)={\mathrm{Cy}}^{\mathrm{\λ}}+\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\mathrm{\γy}---\left(9\right)$

C为积分常数，由边界条件确定，假设地面作用有均布荷载q，即y＝0时，q(H)＝q₀，得：

$C=q_0{H}^{-\mathrm{\λ}}-\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}\·\mathrm{\γ}\·H^{1-\mathrm{\λ}}---\left(10\right)$

由式(5)可得作用于挡土墙上的主动土压力强度为：

$p_a\left(y\right)=K[q_0{H}^{-\mathrm{\λ}}-\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\mathrm{\γ}\·H^{1-\mathrm{\λ}}]\·y^{\mathrm{\λ}}+K\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\mathrm{\γy}$

步骤(5) 计算土压力合力：

$E_a={\mathrm{\ψ}}_a{\∫}_0^H{p}_a\left(y\right)={\mathrm{\ψ}}_a[\frac{1}{2}{K}_a\mathrm{\γ}{H}^2+K_a{q}_0\frac{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}H]$

式中：

E_a——主动土压力，KN；

ψ_a——主动土压力增大系数，挡土墙高度小于5m时宜取1.0，高度5m～8m时宜取1.1，高度大于8m时宜取1.2；

γ——填土的重度，kPa；

H——挡土墙的高度，m；

K_a——主动土压力系数。

步骤(6) 挡土墙墙背上主动土压力合力作用点距墙底的垂直距离为：

$H_p=\frac{{\∫}_0^H{\mathrm{yp}}_a\left(y\right)\mathrm{dy}}{{\∫}_0^H{p}_a\left(y\right)}=\frac{2}{3}\left(\frac{\mathrm{\λ}+1}{\mathrm{\λ}+2}\right)\frac{3q+\mathrm{\γH}}{2q+\mathrm{\γH}}H$

本发明所设计的一种有限填土挡墙的土压力分布计算方法，以刚性有限填土挡墙为对象，在库仑理论与楔体单元法的基础上，沿用其滑裂面为平面的假定，对其在一般条件下的主动土压力的作用点、作用分布形式与大小进行计算,是一种符合实际的土压力分析计算方法,对于科学合理地指导挡土墙的设计，具有重要的现实意义。

附图说明

图1为有限填土挡土墙土示意图；

图中：1、岩石边坡；2、填土；3、挡墙；

图2为局部土楔体单元ABD示意图；

图3为局部土楔体ABD的受力分析图；

图4为局部土楔体单元ABD的静力平衡条件图；

图5为采用本发明计算方法求得的主动土压力分布与实测值对比图。

具体实施方式

下面通过具体实施方法和附图对本发明进一步解释说明：

选取刚性挡土墙在平移模式下的主动土压力试验的结果与本发明计算方法所计算值进行对比。试验中，填土面水平，墙背垂直，其余条件如下：

在同一条件下采用本发明的主动土压力解析解进行主动土压力分布计算，其步骤如下：

步骤(1) 挡土墙及墙背有限填土坡体几何要素的确定；

挡土墙及墙背有限填土坡体几何要素包括挡土墙墙后的填土坡面为平面且与水平面的夹角β，墙背岩石坡面坡角θ₁，挡土墙墙背倾斜角α，挡土墙结构的高度H；

步骤(2) 填土物理力学参数的确定；

通过取样和实验手段确定填土体的重度γ，内摩擦角挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角δ，稳定岩石坡面与填土间的摩擦角δr，当无试验资料时，可取

步骤(3) 确定填土坡体滑裂面倾角；

填土坡体滑裂面倾角θ的确定如下：填土坡体滑裂面倾角θ取θ₁，θ₂的大值。根据库仑理论，无限填土滑裂面倾角θ₂是所有滑裂面中产生最大主动土压力值的滑裂面，即使得库仑主动土压力系数取得最大值时的θ₂值。库仑主动土压力系数表达式如下：

$K_a=\frac{\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}-\mathrm{\δ}){\cos }^2\mathrm{\α}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}$

可以采用直接搜索法求解滑裂面倾角θ₂值。不同参数条件下的滑裂面倾角θ₂的取值如表1所示。

表1 无限填土滑裂面θ₂值

步骤(4) 沿墙背的土压力强度分布按下式进行计算：

$p_a\left(y\right)=K[q_0{H}^{-\mathrm{\λ}}-\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}\mathrm{\γ}{H}^{1-\mathrm{\λ}}]y^{\mathrm{\λ}}+K\frac{\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}\mathrm{\γy}$

其中，

$K=\frac{1}{A_1-A_2-A_3}$

$A_2=\frac{\cos \mathrm{\δ}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\·{\cos }^2\mathrm{\β}\·[\frac{1}{2}\frac{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}{\cos \mathrm{\α}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}-\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\α}}]}$

$A_3=\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\frac{1}{K_a}$

$\mathrm{\λ}=\frac{K}{K_a}\·\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}-1$

$K_a=\frac{\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}-\mathrm{\δ}){\cos }^2\mathrm{\α}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}$

式中：

α——挡土墙墙背倾斜角；

β——挡土墙墙后的填土坡面为平面且与水平面的夹角；

δ——挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角；

δ_r——墙后岩石坡面与填土土体之间的摩擦角；根据试验确定。当破裂角θ按表1取时，即破裂面发生在填土体内部，此时δ_r按取。

γ——填土的重度，kPa；

H——挡土墙结构的高度，m。

步骤(5) 计算土压力合力；

按下式进行土压力合力的计算：

$E_a={\mathrm{\ψ}}_a{\∫}_0^H{p}_a\left(y\right)={\mathrm{\ψ}}_a[\frac{1}{2}{K}_a\mathrm{\γ}{H}^2+K_a{q}_0\frac{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}H]$

式中：

E_a——主动土压力，KN；

ψ_a——主动土压力增大系数，挡土墙高度小于5m时宜取1.0，高度5m～8m时宜取1.1，高度大于8m时宜取1.2；

γ——填土的重度，kPa；

H——挡土墙的高度，m；

K_a——主动土压力系数。

步骤(6) 计算土压力合力作用点；

挡土墙墙背上主动土压力合力作用点距墙底的垂直距离为：

$H_p=\frac{{\∫}_0^H{\mathrm{yp}}_a\left(y\right)\mathrm{dy}}{{\∫}_0^H{p}_a\left(y\right)}=\frac{2}{3}\left(\frac{\mathrm{\λ}+1}{\mathrm{\λ}+2}\right)\frac{3q+\mathrm{\γH}}{2q+\mathrm{\γH}}H$

实验结果与同条件下计算所得的主动土压力分布的对比如图5所示。由图5可以看出采用本发明方法计算所得的主动土压力呈非线性分布，分布曲线与试验结果曲线的形状基本一致。

Claims (1)

1.一种有限填土挡墙的土压力非线性分布的计算方法，其特征是该方法步骤如下：

步骤(1)挡土墙及墙背有限填土坡体几何要素的确定；

挡土墙及墙背有限填土坡体几何要素包括挡土墙墙后的填土坡面为平面且与水平面的夹角β，墙背岩石坡面坡角θ₁，挡土墙墙背倾斜角α，挡土墙结构的高度H；

步骤(2)填土物理力学参数的确定；

通过取样和实验手段确定填土体的重度γ，内摩擦角挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角δ，稳定岩石坡面与填土间的摩擦角δr，当无试验资料时，可取

步骤(3)确定填土坡体滑裂面倾角；

填土坡体滑裂面倾角θ的确定如下：填土坡体滑裂面倾角θ取θ₁，θ₂的大值。根据库仑理论，无限填土滑裂面倾角θ₂是所有滑裂面中产生最大主动土压力值的滑裂面，即使得库仑主动土压力系数K_a取得最大值时的θ₂值。库仑主动土压力系数表达式如下：

$K_a=\frac{\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}-\mathrm{\δ}){\cos }^2\mathrm{\α}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}$

步骤(4)计算沿墙背的土压力强度分布；

$p_a\left(y\right)=K[q_0{H}^{-\mathrm{\λ}}-\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}\mathrm{\γ}{H}^{1-\mathrm{\λ}}]y^{\mathrm{\λ}}+K\frac{\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{(\mathrm{\λ}-1)\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}}\mathrm{\γy}$

其中，

$K=\frac{1}{A_1-A_2-A_3}$

$A_2=\frac{\cos \mathrm{\δ}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\·{\cos }^2\mathrm{\β}\·[\frac{1}{2}\frac{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}{\cos \mathrm{\α}\·\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\β})}-\frac{\sin \mathrm{\α}}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\α}}]}$

$A_3=\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}\·\frac{1}{K_a}$

$\mathrm{\λ}=\frac{K}{K_a}\·\frac{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}-1$

$K_a=\frac{\sin (\mathrm{\θ}-{\mathrm{\δ}}_r)\cos \left(\mathrm{\θ}{-\mathrm{\δ}}_r\right)\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}{\cos (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}-\mathrm{\δ}){\cos }^2\mathrm{\α}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}$

式中：

α——挡土墙墙背倾斜角；

β——挡土墙墙后的填土坡面为平面且与水平面的夹角；

δ——挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角；

δ_r——墙后岩石坡面与填土土体之间的摩擦角；根据试验确定。当破裂角θ按表1取时，即破裂面发生在填土体内部，此时δ_r按取；

γ——填土的重度，kPa；

H——挡土墙结构的高度，m；

步骤(5)计算土压力合力；

$E_a={\mathrm{\ψ}}_a{\∫}_0^H{p}_a\left(y\right)={\mathrm{\ψ}}_a[\frac{1}{2}{K}_a\mathrm{\γ}{H}^2+K_a{q}_0\frac{\cos \mathrm{\α}\·\cos \mathrm{\β}}{\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\β})}H]$

式中：

E_a——主动土压力，KN；

ψ_a——主动土压力增大系数，挡土墙高度小于5m时宜取1.0，高度5m～8m时宜取1.1，高度大于8m时宜取1.2；

γ——填土的重度，kPa；

H——挡土墙的高度，m；

K_a——主动土压力系数；

步骤(6)计算土压力合力作用点；

挡土墙墙背上主动土压力合力作用点距墙底的垂直距离为：

$H_p=\frac{{\∫}_0^H{\mathrm{yp}}_a\left(y\right)\mathrm{dy}}{{\∫}_0^H{p}_a\left(y\right)}=\frac{2}{3}\left(\frac{\mathrm{\λ}+1}{\mathrm{\λ}+2}\right)\frac{3q+\mathrm{\γH}}{2q+\mathrm{\γH}}H.$