CN104360606B - 一种耦合混沌系统减振控制系统及方法 - Google Patents
一种耦合混沌系统减振控制系统及方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种耦合混沌系统减振控制系统及方法，通过在耦合混沌系统作用通道中引入幅度受限的通道，通过控制相关参数可以将耦合混沌系统控制到稳态，并通过对受限通道下的系统进行建模，分析固定点的稳定性条件，从理论上预测出可以将混沌系统控制到稳态的参数区间。并通过构建电子电路系统，实现耦合混沌振子系统的稳态控制。本发明采用的理论分析方法可以很好地确定具有幅度受限通道的耦合混沌系统的控制参数。并采用简单的电路实验验证和实现混沌稳态控制。本发明设计的电路成本低廉，现象直观。对混沌控制的实验教学具有指导意义。
Description
技术领域
本发明属于非线性动力学中混沌控制技术领域，涉及一种耦合混沌系统减振控制系统及方法，具体地说，涉及一种基于幅度受限通道的耦合混沌系统减振控制系统及方法。
背景技术
自然界中许多系统，由于存在非线性而出现复杂的动力学行为。具有复杂动力学行为的个体通过相互作用可以产生许多自组织现象，如同步和斑图结构的形成。这些自组织现象的形成与单元系统的振荡动力学有很大的关联。在工程技术中，常常希望将振荡系统控制到稳态，如桥梁和建筑物的减振，图灵斑图的形成等。近年来，研究人员对混沌控制和系统减振进行了卓有成效的探索并取得大量成果。
通过基本运算放大电路来实现具有非线性动力学的混沌电路系统(如Lorenz,Rossler等)，为采用电子电路来研究混沌系统的动力学控制提供了较好的平台。通过引入控制器，人们可以将非线性系统控制到人们所需要的目标态，如同步态，周期态，或稳定态。然而，这些控制器的设置往往需要较复杂的形式，或需要消耗较多的能量以实现目标态的控制。
发明内容
为了克服现有技术中存在的缺陷，本发明提供一种耦合混沌系统减振控制系统及方法，通过改变耦合单元的相互作用通道的幅频特性，使通道具有幅度限制，可以较好地将混沌系统控制到稳定态。由于对通道设置幅度限制方法简单，方便，因而该种控制方法相关理论具有理论指导意义，并具有潜在的实用价值。其技术方案如下：
一种耦合混沌系统减振控制系统，包括具有混沌特性的Lorenz单元电路1，有混沌特性的Lorenz单元电路的复制电路(Lorenz单元电路2)，是被控制的耦合混沌单元电路；具有幅度受限特性的耦合信号通道电路，其中VD是控制耦合通道幅度的限制值，∈1为信号通道的耦合强度，其取值可以保证耦合系统的幅度受限特性起作用，通过改变VD可以控制系统的稳态值及其相应的稳定性；控制强度耦合单元电路，其中∈2为耦合强度控制量；通过改变∈2控制系统的稳态值及其稳定性，Lorenz单元电路经耦合信号通道电路和控制强度耦合单元电路连接到有混沌特性的Lorenz单元电路的复制电路。
优选地，Lorenz单元电路由运算放大器U23A-U28A，电阻R53-R66，电容C10-C12，乘法器A7-A8，±15V电源和接地组成，最终实现Lorenz系统；其中：
运算放大器U23A与电阻R53-R57构成减法器，其输入量为Y1和X1，输出量接入到由运算放大器U24A和电阻R55，电容C10构成的微分电路，微分电路的输出量为X1；
运算放大器U26A与电阻R59，R61构成反相放大器，其输入量为X1，输出量接入到由运算放大器U25A，电阻R58，R60，电容C11构成的微分电路，微分电路的输出量为Y1；此外，输入量为X1和Z1经乘法器A7后，输出通过电阻R62接入到运算放大器U25A的负输入端；且在运算放大器U25A的负输入端设置一输入信号接口I01；
输入量X1和Y1经乘法器A8后输出接入到由运算放大器U27A，电阻R64，R65构成的反相放大器，反相放大器的输出再接入到由运算放大器U28A和电阻R63，R66，电容C12构成的微分电路，输出量为Z1；
耦合信号通道电路由两个信号输入通道，阻抗变换耦合器，减法器，反相放大器构成；
其中，两个信号输入通道P1，P2分别接受来自Lorenz单元电路1，Lorenz单元电路2的Y1输出端信号，分别经由运算放大器U7A，U8A组成的阻抗变换耦合器，输入到由运算放大器U9A和电阻R15-R17，R26构成减法器(U7A的输出接R15，U8A的输出接R17)，减法器的输出接入到由运算放大器U10A和电阻R18，滑动变阻器R19构成的反相放大器；该反相放大器具有幅度受限特性，其幅度限制由其正负工作电源电压±VD确定，信号通道的耦合强度∈1通过调节滑动变阻器R19来改变；通过调节VD实现稳态控制；经该反相放大器后，输出量接入到控制强度耦合单元电路的输入端R20；
控制强度耦合单元电路由强度控制单元电路，输出接口电路1和输出接口电路2组成；其中，强度控制单元电路由电阻R20和滑线变阻器R24串联接地电路组成；滑线变阻器R24的中心滑动端输出量分别经两个输出接口电路连接到Lorenz单元电路1和Lorenz单元电路2的IO1接口；输出接口电路1由电阻R22与接口P3构成，输出接口电路2由运算放大器U11A，电阻R21，R25构成的反相器，电阻R23和输出接口P4构成；通过改变滑线变阻器R24可以控制耦合强度∈2。
一种耦合混沌系统减振控制方法，包括以下步骤：
第一步：在对称扩散耦合混沌系统(如Lorenz系统)中，对耦合通道加入幅度限制和控制耦合，得到耦合系统：
(1)式中，参数σ＝10，r＝28,b＝2.664,∈2为耦合强度控制量，采用图3所示耦合电路时∈1为信号通道的耦合强度，采用图3所示耦合电路时VD为对信号通道所加的幅度限制值。
第二步、对(1)系统的控制目标稳态值进行求解，考虑到通道的幅度限制效应，取U＝±VD，并令(1)式的左边等于零，可以得到固定点解：
其中，
第三步、对(2)中的稳态解进行稳定性分析，预测出将耦合系统控制到稳态解所需的控制参数区间；
通过对固定点进行稳定性分析，固定点的稳定性可由其线性化矩阵Df(X1 *)的特征值的最大实部Reλmax来确定，即固定点(2)稳定的条件是：Reλmax<0，(3)
其中，
其中，矢量为此外，还需考虑通道幅度受限条件，即：
该不等式的临界线为：
同时满足上述两个条件(3)(5)时，固定点(2)是稳定的，从而确定控制参数∈2,∈1。
本发明的有益效果：
本发明通过改变单元之间相互作用通道的幅频特性，使通道具有幅度限制，可以较好地将混沌系统控制到稳定态。由于对通道设置幅度限制方法简单，方便，因而该种控制方法相关理论具有理论指导意义，并具有潜在的实用价值。
附图说明
图1为整个控制系统的原理框图。
图2为Lorenz单元电路原理图。
图3为本发明的具有混沌受限的耦合通道电路原理图。连接方式为：P1，P3分别接单元电路1的X1，IO1；P2，P4分别接单元电路2(复制单元电路1的结果)的X1，IO1
图4为本发明理论预测的可以使系统被控制到稳态相应的控制参数区间图。曲线0和曲线1，曲线0和曲线2，曲线0和曲线3所围区域分别为当∈1＝-1.0，-2.0，-3.0时对应的可控稳定态参数区间。
图5为本发明不同控制参数下系统在振荡态和稳态的时序图。(a)(b)变量y1,2(t)时序图，(∈2＝0.1，0.5,∈1＝-3，VD＝9).(c)(d)幅度受限通道输出的信号U(t)的时序，参数与(a)(b)对应。。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明的技术方案作进一步详细地说明。
S(1)一种耦合混沌系统减振控制系统
该系统包括具有混沌特性的Lorenz单元电路(见图1)，有混沌特性的Lorenz单元电路的复制电路(与图2一致)，是被控制的耦合混沌单元电路；
具有幅度受限特性的耦合信号通道电路，其中VD是控制耦合通道幅度限制值，∈1为信号通道的耦合强度，其取值可以保证耦合系统的幅度受限特性起作用(通常取负值)。通过改变VD可以控制系统的稳态及稳定性；控制强度耦合单元电路，其中∈2为耦合强度控制量。通过改变∈2控制系统的稳态值及其稳定性，Lorenz单元电路经耦合信号通道电路和控制强度耦合单元电路连接到有混沌特性的Lorenz单元电路的复制电路。
Lorenz单元电路由运算放大器U23A-U28A，电阻R53-R66，电容C10-C12，乘法器A7-A8，±15V电源和接地组成，最终实现Lorenz系统；其中：
运算放大器U23A与电阻R53-R57构成减法器，其输入量为Y1和X1，输出量接入到由运算放大器U24A和电阻R55，电容C10构成的微分电路，微分电路的输出量为X1；
运算放大器U26A与电阻R59，R61构成反相放大器，其输入量为X1，输出量接入到由运算放大器U25A，电阻R58，R60，电容C11构成的微分电路，微分电路的输出量为Y1；此外，输入量为X1和Z1经乘法器A7后，输出通过电阻R62接入到运算放大器U25A的负输入端；且在运算放大器U25A的负输入端设置一输入信号接口I01；
输入量X1和Y1经乘法器A8后输出接入到由运算放大器U27A，电阻R64，R65构成的反相放大器，反相放大器的输出再接入到由运算放大器U28A和电阻R63，R66，电容C12构成的微分电路，输出量为Z1；
耦合信号通道电路由两个信号输入通道，阻抗变换耦合器，减法器，反相放大器构成；
其中，两个信号输入通道P1，P2分别接受来自Lorenz单元电路1，Lorenz单元电路2的Y1输出端信号，分别经由运算放大器U7A，U8A组成的阻抗变换耦合器，输入到由运算放大器U9A和电阻R15-R17，R26构成减法器(U7A的输出接R15，U8A的输出接R17)，减法器的输出接入到由运算放大器U10A和电阻R18，滑动变阻器R19构成的反相放大器；该反相放大器具有幅度受限特性，其幅度限制由其正负工作电源电压±VD确定，信号通道的耦合强度ε1通过调节滑动变阻器R19来改变；通过调节VD实现稳态控制；经该反相放大器后，输出量接入到控制强度耦合单元电路的输入端R20；
控制强度耦合单元电路由强度控制单元电路，输出接口电路1和输出接口电路2组成；其中，强度控制单元电路由电阻R20和滑线变阻器R24串联接地电路组成；滑线变阻器R24的中心滑动端输出量分别经两个输出接口电路连接到Lorenz单元电路1和Lorenz单元电路2的IO1接口；输出接口电路1由电阻R22与接口P3构成，输出接口电路2由运算放大器U11A，电阻R21，R25构成的反相器，电阻R23和输出接口P4构成；通过改变滑线变阻器R24可以控制耦合强度∈2。
S(2)理论预测将混沌系统控制到稳态所对应的参数区间的方法
本发明采用以下模型(耦合lorenz系统)来说明在幅度受限通道下，理论预测将混沌系统控制到稳态所需的参数区间的方法。
其中参数σ＝10，r＝28，b＝2.664，控制信号为：
通过令(7)式的左边等于零，我们可以求出在幅度受限通道下，耦合系统所具有的稳态解为：
其中，
通过对固定点进行稳定性分析，可知固定点的稳定性可由其线性化矩阵Df(X1 *)的特征值的最大实部Reλmax来确定。其中，
即固定点(8)稳定的条件是：Reλmax＜0， (11)
另外，由于该固定点是在通道受限的条件下获得的。所以要将系统控制到稳态还需要通道受限条件，即：
该不等式的临界线可以求得为：
所以同时满足上述两个条件(11)(12)时，则固定点是稳定的。从而可以确定控制参数。
∈2，∈1，VD如图4所示。图中0线为条件(11)的临界线，1-3线为条件(12)在，∈1＝-1，-2，-3时对应的临界线。
S(3)设计实现基于幅度受限通道的耦合混沌减振控制电路
本发明基于幅度受限通道的耦合混沌系统模型，实现耦合混沌系统稳态控制，通过S(2)，理论预测稳态控制参数区间。通过S(1)的方法，设计出基于幅度受限通道的耦合混沌电路，得到系统方程：
(14)式中，电阻、电容等元器件的数值如图2，图3所示。其中C10＝C11＝C12＝1nF
R60＝1MΩ,R65＝250KΩ,R66＝375KΩ,R61＝280KΩ,R62＝10KΩ,R24＝2KΩ,R19＝300KΩ,其余电阻全为100KΩ。
运算放大器的工作电源±VD＝0～±15V,R24＝0-2KΩ,R19＝0-300KΩ。
将±VD调节为±9V，R19＝300KΩ，R24＝120Ω时，耦合系统为混沌振荡态,当将R24调为600Ω时，耦合混沌系统被控制在稳态(如图5)所示。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，本发明的保护范围不限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地得到的技术方案的简单变化或等效替换均落入本发明的保护范围内。
Claims (3)
1.一种耦合混沌系统减振控制系统，其特征在于：包括具有混沌特性的Lorenz单元电路，有混沌特性的Lorenz单元电路的复制电路，是被控制的耦合混沌单元电路；具有幅度受限的特性的耦合信号通道电路，该耦合信号通道的幅度限制值由其VD控制，信号通道的耦合强度∈1用于保证耦合系统的幅度受限特性起作用，通过改变VD可以控制系统的稳态值及稳定性；控制强度耦合单元电路中，通过改变耦合强度控制量∈2控制系统的稳态值及其稳定性，Lorenz单元电路经耦合信号通道电路和控制强度耦合单元电路连接到有混沌特性的Lorenz单元电路的复制电路。
2.根据权利要求1所述的耦合混沌系统减振控制系统，其特征在于：Lorenz单元电路由运算放大器U23A-U28A，电阻R53-R66，电容C10-C12，乘法器A7-A8，±15V电源和接地组成，最终实现Lorenz系统；其中：
运算放大器U23A与电阻R53-R57构成减法器，其输入量为Y1和X1，输出量接入到由运算放大器U24A和电阻R55，电容C10构成的微分电路，微分电路的输出量为X1；
运算放大器U26A与电阻R59，R61构成反相放大器，其输入量为X1，输出量接入到由运算放大器U25A，电阻R58，R60，电容C11构成的微分电路，微分电路的输出量为Y1；此外，输入量为X1和Z1经乘法器A7后，输出通过电阻R62接入到运算放大器U25A的负输入端；且在运算放大器U25A的负输入端设置一输入信号接口I01；
输入量X1和Y1经乘法器A8后输出接入到由运算放大器U27A，电阻R64，R65构成的反相放大器，反相放大器的输出再接入到由运算放大器U28A和电阻R63，R66，电容C12构成的微分电路，输出量为Z1；
耦合信号通道电路由两个信号输入通道，阻抗变换耦合器，减法器，反相放大器构成；
其中，两个信号输入通道P1，P2分别接受来自Lorenz单元电路1，Lorenz单元电路2的Y1输出端信号，分别经由运算放大器U7A，U8A组成的阻抗变换耦合器，输入到由运算放大器U9A和电阻R15-R17，R26构成减法器，U7A的输出接R15，U8A的输出接R17，减法器的输出接入到由运算放大器U10A,电阻R18，和滑动变阻器R19构成的反相放大器；该反相放大器具有幅度受限特性，其幅度限制由其正负工作电源电压±VD确定，信号通道的耦合强度∈1通过调节滑动变阻器R19来改变；通过调节VD实现稳态控制；经该反相放大器后，输出量接入到控制强度耦合单元电路的输入端R20；
控制强度耦合单元电路由强度控制单元电路，输出接口电路1和输出接口电路2组成；其中，强度控制单元电路由电阻R20和滑线变阻器R24串联接地电路组成；滑线变阻器R24的中心滑动端输出量分别经两个输出接口电路连接到Lorenz单元电路1和Lorenz单元电路2的IO1接口；输出接口电路1由电阻R22与接口P3构成，输出接口电路2由运算放大器U11A，电阻R21，R25构成的反相器，电阻R23和输出接口P4构成；通过改变滑线变阻器R24可以控制耦合强度∈2。
3.一种耦合混沌系统减振控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
第一步，在耦合Lorenz对称扩散耦合混沌系统中，对耦合通道加入幅度限制和控制耦合，得到耦合系统：
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<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>y</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>|</mo>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
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</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>y</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
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<mo>-</mo>
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<mi>y</mi>
<mn>1</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>&le;</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
1)式中，参数σ＝10，r＝28,b＝2.664,∈2为耦合强度控制量,∈1为信号通道的耦合强度，VD为对信号通道所加的幅度限制值；
第二步，对(1)系统的控制目标稳态进行求解，考虑到通道幅度限制效应，取U＝±VD，并令(1)式的左边等于零，可以得到稳态解：
其中，
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>540</mn>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
</msub>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mn>12</mn>
<mo>*</mo>
<mi>P</mi>
<mo>+</mo>
<mn>360</mn>
<mi>b</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mn>30</mn>
<mroot>
<mrow>
<mn>540</mn>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
</msub>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mn>12</mn>
<mo>*</mo>
<mi>P</mi>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mroot>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>3</mn>
<msup>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<mn>4</mn>
<msup>
<mi>br</mi>
<mn>3</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>12</mn>
<msup>
<mi>br</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<mn>12</mn>
<mi>b</mi>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mn>4</mn>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mn>675</mn>
<msubsup>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</msqrt>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
第三步，对(2)中的稳态解进行稳定性分析，预测出将耦合系统控制到稳态所需的控制参数区间；
通过对固定点进行稳定性分析，固定点的稳定性可由其线性化矩阵Df(X1 *)的特征值的最大实部Reλmax来确定，即固定点(2)稳定的条件是：
Reλmax<0， (3)
其中，
<mrow>
<mi>D</mi>
<mi>f</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>X</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "(" close = ")">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>10</mn>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mn>10</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>-</mo>
<mn>25</mn>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>/</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>10</mn>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mn>2.5</mn>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mn>2.5</mn>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
此外，还需考虑通道受限条件，即：
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
<mo><</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
该不等式的临界线为：
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mi>D</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>8</mn>
<mi>b</mi>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>b</mi>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mi>r</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mo>+</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>18</mn>
<mi>b</mi>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mn>3</mn>
<mi>b</mi>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mn>3</mn>
<mi>b</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mn>3</mn>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mn>6</mn>
<msup>
<mi>br</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>12</mn>
<mi>b</mi>
<mi>r</mi>
<mo>-</mo>
<mn>6</mn>
<mi>b</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mn>5</mn>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>b</mi>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mi>r</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mo>+</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>18</mn>
<mi>b</mi>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mo>&Element;</mo>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mn>3</mn>
<mi>b</mi>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mn>3</mn>
<mi>b</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>3</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
同时满足上述两个条件(3)(5)时，固定点是稳定的，从而确定控制参数∈2,∈1。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| CN201410520788.9A CN104360606B (zh) | 2014-09-30 | 2014-09-30 | 一种耦合混沌系统减振控制系统及方法 |
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ID=52527874
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|---|---|---|---|
| CN201410520788.9A Active CN104360606B (zh) | 2014-09-30 | 2014-09-30 | 一种耦合混沌系统减振控制系统及方法 |
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|---|---|---|---|---|
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|---|---|---|---|---|
| CN1564504A (zh) * | 2004-03-23 | 2005-01-12 | 南京大学 | 一种数据流混沌编解码方法和模块化电路 |
| CN101030848A (zh) * | 2007-04-18 | 2007-09-05 | 北京邮电大学 | 基于混沌同步的加密通信实验装置及其使用方法 |
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|---|
| Phase Space Compression in One-Dimensional Complex Ginzburg-Landau Equation;Gao Ji-Hua,Peng jian-Hua;《Chin.Phys.Lett》;20071231;第24卷(第6期);第1614-1617页 * |
| 耦合混沌振子的反向同步与振幅死亡;刘维清;《中国博士学位论文全文数据库（基础科学辑）》;20081115(第11期);第55-59，第67-72页 * |
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