CN104182734A - 基于lrc和协同表示的两阶段人脸识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法，第一阶段，运用LRC人脸识别算法计算测试样本与每类训练样本的误差，根据它们之间的相似度量与误差的关系对误差进行排序，并对数据库中的目标进行有效的筛选，筛选出S类训练样本用于下一阶段的识别。第二阶段，用筛选出的S类训练集作CRC人脸识别算法的编码字典，并利用其做精确的分类识别。这样可以在保证方法识别率较高，鲁棒性较好的同时，大大能降低了识别时间，当新目标加入数据库时，不用更新整个人脸数据模型，只需更新某一子类模型，从而减少训练时间；并且，通过第一阶段的训练样本的筛选，大大减小了第二阶段识别中数据字典的大小，节约了全局搜索的时间。

Description

基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法

算法领域

本发明涉及人脸识别算法领域，具体涉及一种基于LRC(linear-regressionbased classification，LRC)和协同表示的两阶段人脸识别方法。

背景算法

生物识别算法是模式识别的一个最重要分支，而人脸识别因为交互性、便利、界面友好等特点，使其成为最具吸引力的生物识别算法之一。然而，人脸识别因为光照、表情、姿势等实时环境的影响，仍然是一个很具挑战性的任务。针对这些问题，稀疏编码或者稀疏表示(Sparse Representation，SR)被广泛应用于人脸识别中。

稀疏表示的人脸识别方法，主要包括基于l₁范数的方法和基于l₂范数的方法。基于l₂范数的方法比l₁范数的方法更具优势。首先，基于l₂范数的方法不需要经过迭代，因此方法复杂度较低；其次，有效地运用l₂范数解决人脸识别问题，还能提高方法的鲁棒性。Wright J等首先提出基于l₁范数稀疏表示分类(Sparse Coding based Classification,SRC)方法进行人脸识别，该方法与传统人脸识别方法相比，识别率得到了提高，然而该方法需要用所有的训练样本来做编码字典从而完成人脸识别，当训练样本很多时，编码字典规模亦很大，导致算法的复杂较高。

史提出一种典型的基于l₂范数的人脸识别稀疏表示方法，并且设计了一个简单l₂范数SR方案进行人脸识别，发现该方案不仅识别率显著高于l₁范数SR的方案，而且鲁棒性更高，稳健更好、速度更快。Zhang等发现协同表示思想比基于l₁范数的稀疏约束思想在人脸识别中有着更重要的作用，因此提出了协同表示分类器(collaborative representation basedclassification，CRC)人脸识别方法，该方法虽然稀疏性比l₁范数低，但其计算效率更很高，鲁棒性更好。与此同时，Xu等人提出了一个两阶段测试样本稀疏表示人脸识别方法。He等提出了一种适用于大规模数据库的两阶段稀疏表示识别方法。

尽管这些人脸识别方法的识别性能得到了较大改善，但依然存在如下不足之处：(1)因为采集到的图像维数高，导致存储时需要处理的人脸数据库数据巨大，而这些识别方法一般采用全局搜索方式，即类似穷尽搜索方法对人脸进行分类，从而使得方法识别效率很低。(2)多数人脸识别方法首先要对人脸数据库进行训练从而形成人脸数据模型。但是在实时环境中，人脸库是时刻更新的，会不断有新的人脸添加到人脸数据库中，当数据库中加入新的人脸时，传统算法均需通过训练来更新人脸数据模型，这使得工作量巨大，从而导致算法时间复杂度较高。

发明内容

针对现有人脸识别方法人脸数据库巨大时，存在的识别率及效率低等问题，本发明提出了一种基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法，即加速线性协同表示方法(Accelerated Linear collaborative representationbased classification)，简称为ALCRC。

为解决上述问题，本发明是通过以下算法方案实现的：

基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法，包括如下步骤：

步骤1，假设人脸数据库包含L类，每类包括n_i(i＝1,2,…L)幅图像，每幅人脸图像大小为c×b；设测试样本(即待识别的人脸图像)为y，L类训练样本构成的矩阵为A＝[A₁,A₂,…A_L]，其中A_i(i＝1,2…L)表示第i类训练样本构成的矩阵；

步骤2，若测试样本y属于第i类，将y用训练样本的子类线性表示，即

y＝A_ix_i,i＝1,2,…L   ①

式中，y表示测试样本；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；x_i表示第i类训练样本的系数向量；

步骤3，用最小二乘估计法估出第i类训练样本的系数向量

${\tilde{x}}_i={\left({A_i}^T{A}_i\right)}^{-1}{A_i}^{T}y,i=\mathrm{1,2},...L$    ②

式中，表示第i类训练样本系数向量的估计值；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；y表示测试样本；

步骤4，计算测试样本y在第i类训练样本上的映射即第i类训练样本的回归响应

${\tilde{y}}_i=A_i{\tilde{x}}_i,i=\mathrm{1,2},...L$    ③

式中，表示第i类训练样本的回归响应；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；表示第i类训练样本系数向量的估计值；

步骤5，用欧氏距离分别计算出测试样本y与L类训练样本的回归响应之间的残差e_qi(i＝1,2,…L)，并由此得到无序的残差矩阵[e_q1,e_q2,...e_qL]；其中测试样本y与第i类训练样本的回归响应之间的残差e_qi为

$e_{\mathrm{qi}}={\left|\right|y-{\tilde{y}}_i\left|\right|}_2,i=\mathrm{1,2},...L$    ④

式中，表示第i类训练样本的回归响应；e_qi表示测试样本y与第i类训练样本的回归响应之间的残差；y表示测试样本；

步骤6，将无序的残差矩阵[e_q1,e_q2,...e_qL]中的元素按照升序进行排列，得到有序的残差矩阵[e_η1,e_η2,…e_ηL]；并从该有序的残差矩阵[e_η1,e_η2,…e_ηL]中筛选出前S类残差小于设定的残差阈值T所对应的类；其中S<<L；

步骤7，把筛选出的这S类训练样本作为协同表示分类识别的编码字典并在此条件下将协同表示模型定义为

   ⑤

式中，表示稀疏解；Γ_α表示稀疏向量；y表示测试样本；表示编码字典；λ表示正则化参数；

步骤8，用最小二乘法求解上述协同表示模型的稀疏解该稀疏解 ${\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{\mathrm{\&alpha;}}={[{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_1},{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_2},...,{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_S}]}^T,$ 其中

   ⑥

式中，表示编码字典所对应的稀疏系数构成的向量，且表示稀疏解；表示第j类训练样本构成的字典，且表示编码字典；λ表示正则化参数；I表示单位矩阵；y表示测试样本；

步骤9，用最小归一化残差算法识别出测试样本y，即完成了人脸分类识别；

   ⑦

式中，y表示测试样本；表示第j类训练样本构成的编码字典，且表示编码字典；表示所对应的稀疏系数构成的向量， 表示稀疏解。

本发明结合LRC和CRC人脸识别方法，提出了一种两个阶段的由粗到细的人脸识别方法。该方法在第一阶段，运用LRC人脸识别算法计算测试样本(即测试图像)与每类训练样本的回归响应之间的误差，根据它们之间的相似度与误差的关系(误差小的相似度大)，对误差进行排序，并对数据库中的目标进行有效地筛选，这样就能去掉与被识别对象无关的目标，而保留相似度高的组合成训练集，并从中选出相似度大的S类训练样本用于下一阶段识别。在第二阶段，用筛选出的S类训练样本作为CRC人脸识别算法的编码字典，并利用其做精确的分类识别。通过这样的过程，可以在保证方法识别率较高的同时，大大降低了方法的时间复杂度；首先，当新目标加入数据库时，不用更新整个人脸数据模型，只需更新与其对应的子类模型，从而减少训练时间；其次，通过第一阶段的训练样本的筛选，大大减小了第二阶段识别中编码字典的大小，节约了全局搜索时间。因而本发明相对于现有方法而言具有一定的优越性。将本发明和经典的SRC方法及CRC方法进行了对比，并在三个公开的人脸数据库即AR数据库、ORL数据库及FERET数据库中进行了实验，其实验结果也显示，本发明在不同的环境下均取得了较高的识别率，并且对光照、表情、遮挡等变化具有较好的鲁棒性；同时，本发明在保持高识别率的情况下，有效地减小了识别时间。因此，本发明是一种适用于大数据库、且比较实用的人脸识别方法。

附图说明

图1为一种基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法原理框图。

具体实施方式

1、LRC人脸识别算法：

LRC分类算法是基于一种线性回归模型的算法，该算法易实现，识别率高且运算速度快，相对传统的人脸识别方法(如PCA，LDA)更具竞争力。

假设人脸数据库包含L类，每类n_i(i＝1,2,…L)幅图像，每幅人脸图像大小为c×b，将其转化为一维列向量并进行归一化处理后用a表示，a∈R^m(m＝c×b)。对于第i类人脸图像，用特征向量的方式表示为： $A_i=[a_{i\left(1\right)},a_{i\left(2\right)},...,a_{i\left(n_i\right)}],i=\mathrm{1,2},...L,A_i\&Element;R^{m\&times;n_i}(m>>n_i),$ 其中每个向量a_i(k),k＝1,2,…,n_i可以看成是子空间R^m的一个基向量。因此，就训练层次上而言，每个目标类i可以由一个向量空间A_i表示。

设有一幅测试图像为y∈R^m，若该图像属于第i类，由于来自同一类且对应于同一子空间，则y可以由其所在子空间特征向量线性组合来表示：

y＝A_ix_i,i＝1,2,…L   (1)

其中为第i类训练样本的系数向量，并且为列向量，当方程(1)在一个很好的约束条件下，第i类训练样本的系数向量x_i就可以用最小二乘估计法估算出来：

${\tilde{x}}_i={\left({A_i}^T\right)}^{-1}{A_i}^{T}y---\left(2\right)$

运用估算得到的系数向量和A_i可以得到回归响应向量再结合(2)式，则有：

${\tilde{y}}_i=A_i{({A_i}^T-A_i)}^{-1}{A_i}^{T}y,i=\mathrm{1,2},...,L---\left(3\right)$

上式(3)可以简化为：

${\tilde{y}}_i={\hat{A}}_{i}y,i=\mathrm{1,2},...,L---\left(4\right)$

其中，回归响应向量为y在第i类训练样本上的映射，即第i类回归响应，换句话说，可以看作是特征向量y在第i维欧氏空间中所得到的一个拟合向量。因此可以用欧氏距离来度量两者的残差

$e_{\mathrm{qi}}={\left|\right|y-{\tilde{y}}_i\left|\right|}_2,i=\mathrm{1,2},...L---\left(5\right)$

其中，e_qi表示测试样本y与第i类回归响应之间的残差，e_qi残差越小表示测试样本y与第i类相似性越高。人脸识别分类时，用残差最小化原则来度量：即

2、基于协同表示的人脸识别算法：

利用归一化最小均方模型协同表示识别人脸，即基于协同表示人脸识别(collaborative representation based classification，CRC)算法。

对于一个训练样本集A＝[A₁,A₂,…A_i,…A_L]构成其编码字典，共L类。对于一个给定的测试样本y，协同表示模型定义为

$\widehat{\mathrm{\&alpha;}}=\arg {\min }_{\mathrm{\&alpha;}}\{{\left|\right|y-\mathrm{A\&alpha;}\left|\right|}_2^2+\mathrm{\&lambda;}{\left|\right|\mathrm{\&alpha;}\left|\right|}_2^2\}---\left(7\right)$

其中，λ为正则化参数，α为稀疏向量，协同表示模型的稀疏系数可由最小二乘法解，即

$\widehat{\mathrm{\&alpha;}}={(A^{T}A+\mathrm{\&lambda;I})}^{-1}{A}^{T}y---\left(8\right)$

CRC算法通过检查哪类产生最小的归一化重建误差进行判断测试样本是属于哪一类，从而进行分类识别。重建误差最小化归类公式即

Indentity(y)＝argmin_i{r_i},i＝1,2,…L   (9)

其中， $r_i={\left|\right|y-A_i\&CenterDot;{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_i\left|\right|}_2/{\left|\right|{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_i\left|\right|}_2,\widehat{\mathrm{\&alpha;}}={[{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_1,{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_2,...,{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_L]}^T.$

3、两阶段的改进的ALCRC方法原理：

由于传统人脸识别方法中均存在两个问题：一是当新目标加入数据库时，模型更新所带来的时间花费代价是巨大的。二是几乎所有的匹配识别方法，几乎都采取全局搜索的方式，当人脸数据库很大时，算法复杂度非常高。针对上面的问题，本发明结合LRC和CRC人脸识别算法，提出了一种快速的基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法(Accelerate LinearCollaborative Representation based Classification，简称ALCRC)。

LRC算法的人脸数据库模型是基于类建立起来的，即类与类之间是相对独立的，其模型是由每个类所构成的子模型组合而成。因此，该算法进行人脸识别时，每个目标就对应于一子类。当新的目标加入到人脸数据库中时，只需对新加入的目标进行建模，并将建立的子模型加入到人脸数据库模型中。因此，与传统人脸识别方法(如PCA，FLDA)相比，LRC分类方法更具有竞争力。当新目标加到人脸数据库中时，随着人脸数据库规模的不断增大，PCA算法更新模型所要花费的时间成指数增长，而LRC所要花费的时间基本不变。同样，对于CRC算法中训练集A的构建，当新目标加入时，该算法不需要训练，只需将新加入的特征向量拼入字典A中即可，这样其计算复杂度要小得多。因此，LRC和CRC算法能有效地克服提出的第一个问题。

针对第二个问题，LRC和CRC两种算法均存在类似问题。特别是对于CRC算法，其算法复杂度随字典A的规模增大而快速增长。但是，CRC算法在处理遮挡、光照变化等问题时，相对其它传统算法具有更强的鲁棒性。因此，在保证CRC算法高鲁棒性的同时，降低其算法复杂度是一个值得研究的问题。要降低CRC算法复杂度，我们采取的措施是，在每次识别时减小字典A的规模，这在本质上就是有效地缩小搜索空间。

基于上面的分析，利用LRC和CRC算法的优点，克服其缺点，提出了一种由粗到细的人脸识别方法--ALCRC方法。该方法在第一阶段，使用LRC人脸快速识别算法，计算测试图像与每类训练样本的回归响应之间的误差，根据它们之间的相似度大小，对数据库中的目标进行有效地筛选，从而去掉与被识别对象无关的目标，而保留可疑目标并组合成候选训练集，即识别第二阶段的编码字典。在第二阶段，当得到候选训练集后，再利用CRC算法做精确识别。与传统方法相比，本发明方法具有高识别率，较好的鲁棒性，并且算法复杂度较低。

下面将具体介绍这种框架模型，其原理框图如图1所示。

假设测试样本为y，利用上面提到的LRC人脸识别算法进行一次快速运算，将计算得到测试样本与每类训练样本的回归响应之间的残差矩阵令为与类标签相对应。基于距离度量准则，可以认为残差矩阵中残差值越小，则对应的类与测试样本y相关性越大。将残差矩阵的元素按照升序排列，则可以得到下面等式

$[e_{{\mathrm{\&eta;}}_1},e_{{\mathrm{\&eta;}}_2}...e_{{\mathrm{\&eta;}}_L}]={\mathrm{Sort}}_{\left(\mathrm{ascend}\right)}[e_{q_1},e_{q_2},...e_{q_L}]---\left(10\right)$

其中，Sort_(ascend)为一个按照升序排列的函数。

在排好序以后，我们利用公式(10)所得的有序残差矩阵对所有类进行筛选，下一阶段取前S个较小残差对应的类，即作为后一阶段训练样本的候选类，而去掉剩下的其他类训练样本。对于前S类的选取，设定一个阈值T，当残差矩阵中的元素值大于阈值T时，认为其对应的目标与图像y的相关性非常低，因而只保留小于阈值T的残差对应类的前S类。

在人脸识别的第二阶段，用筛选出的S类作为数据字典，结合鲁棒性较好的CRC人脸识别算法进行分类识别。设其原始字典A为

A＝[A₁,A₁,…A_L]   (11)

其中，表示第i类训练样本构成的矩阵。令那么A∈R^m×N。

经过第一阶段粗识别，根据距离准则筛选出目标之后，可以将上式变为：

其中，因为S<<L，则因而可知字典的维数将远远小于字典A的维数，这样大大减小了CRC阶段全局搜素的时间复杂度。

经过LRC阶段处理并筛选出S类训练集后，原来的稀疏模型(公式9)表示为

其中，Γ_α为稀疏向量，当在最后的人脸识别分类时，训练样本变为S类，协同表示模型稀疏系数可由最小二乘法解，即

用最小的归一化重建残差原则来度量，即用式(15)可以识别出y

其中，

4、基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法(ALCRC方法)的步骤：

1)设测试样本为y，训练集为A＝[A₁,A₂,…A_L]，训练样本数为L类；

2)将测试样本用训练样本子类线性表示，并用最小二乘法求解公式(2)中系数

3)用欧式距离，即公式(5)，计算每个测试样本与测试样本在每类训练样本上投影值的残差，并得到残差矩阵

4)将残差矩阵的元素按照升序排列为并筛选出前S类较小残差对应的类

5)把这S类作为筛选训练样本，并按公式(13)计算协同表示模型的稀疏解

6)用公式(15)的最小归一化残差方法实现人脸分类识别。

以上步骤，具体如下：

步骤1，假设人脸数据库包含L类，每类包括n_i(i＝1,2,…L)幅图像；设测试样本为y，L类训练样本构成的矩阵为A＝[A₁,A₂,…A_L]，其中A_i(i＝1,2…L)表示第i类训练样本构成的矩阵；

步骤2，若测试样本y属于第i类，将y用训练样本的子类线性表示，即

y＝A_ix_i,i＝1,2,…L   ①

式中，y表示测试样本；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；x_i表示第i类训练样本的系数向量；

步骤3，用最小二乘估计法估出第i类训练样本的系数向量

${\tilde{x}}_i={\left({A_i}^T{A}_i\right)}^{-1}{A_i}^{T}y,i=\mathrm{1,2},...L$    ②

式中，表示第i类训练样本系数向量的估计值；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；y表示测试样本；

步骤4，计算测试样本y在第i类训练样本上的映射即第i类训练样本的回归响应

${\tilde{y}}_i=A_i{\tilde{x}}_i,i=\mathrm{1,2},...L$    ③

式中，表示第i类训练样本的回归响应；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；表示第i类训练样本系数向量的估计值；

步骤5，用欧氏距离分别计算出测试样本y与L类训练样本的回归响应之间的残差并由此得到无序的残差矩阵其中测试样本y与第i类训练样本的回归响应之间的残差e_qi为

$e_{\mathrm{qi}}={\left|\right|y-{\tilde{y}}_i\left|\right|}_2,i=\mathrm{1,2},...L$    ④

式中，表示第i类训练样本的回归响应；e_qi表示测试样本y与第i类训练样本的回归响应之间的残差；y表示测试样本；

步骤6，将无序的残差矩阵[e_q1,e_q2,...e_qL]中的元素按照升序进行排列，得到有序的残差矩阵[e_η1,e_η2,…e_ηL]；并从该有序的残差矩阵[e_η1,e_η2,…e_ηL]中筛选出前S类残差小于设定的残差阈值T所对应的类；其中S<<L；

步骤7，把筛选出的这S类训练样本作为协同表示分类识别的编码字典并在此条件下将协同表示模型定义为

   ⑤

式中，表示稀疏解；Γ_α表示稀疏向量；y表示测试样本；表示编码字典；λ表示正则化参数；

步骤8，用最小二乘法求解上述协同表示模型的稀疏解该稀疏解 ${\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{\mathrm{\&alpha;}}={[{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_1},{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_2},...,{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_S}]}^T,$ 其中

   ⑥

式中，表示编码字典所对应的稀疏系数构成的向量，且表示稀疏解；表示第j类训练样本构成的字典，且表示编码字典；λ表示正则化参数；I表示单位矩阵；y表示测试样本；

步骤9，用最小归一化残差算法识别出测试样本y，即完成了人脸分类识别；

⑦

式中，y表示测试样本；表示第j类训练样本构成的编码字典，且表示编码字典；表示所对应的稀疏系数构成的向量， 表示稀疏解。

Claims (1)

1.一种基于LRC和协同表示的两阶段人脸识别方法，其特征是包括如下步骤：

步骤1，假设人脸数据库包含L类，每类包括n_i(i＝1,2,…L)幅图像；设测试样本为y，L类训练样本构成的矩阵为A＝[A₁,A₂,…A_L]，其中A_i(i＝1,2…L)表示第i类训练样本构成的矩阵；

步骤2，若测试样本y属于第i类，将y用训练样本的子类线性表示，即

y＝A_ix_i,i＝1,2,…L   ①

式中，y表示测试样本；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；x_i表示第i类训练样本的系数向量；

步骤3，用最小二乘估计法估出第i类训练样本的系数向量

${\tilde{x}}_i={\left({A_i}^T{A}_i\right)}^{-1}{A_i}^{T}y,i=\mathrm{1,2},...L$    ②

式中，表示第i类训练样本系数向量的估计值；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；y表示测试样本；

步骤4，计算测试样本y在第i类训练样本上的映射即第i类训练样本的回归响应

${\tilde{y}}_i=A_i{\tilde{x}}_i,i=\mathrm{1,2},...L$    ③

式中，表示第i类训练样本的回归响应；A_i表示第i类训练样本构成的矩阵，且A_i∈A，A表示L类训练样本构成的矩阵；表示第i类训练样本系数向量的估计值；

步骤5，用欧氏距离分别计算出测试样本y与L类训练样本的回归响应之间的残差e_qi(i＝1,2,…L)，并由此得到无序的残差矩阵[e_q1,e_q2,...e_qL]；其中测试样本y与第i类训练样本的回归响应之间的残差e_qi为

$e_{\mathrm{qi}}={\left|\right|y-{\tilde{y}}_i\left|\right|}_2,i=\mathrm{1,2},...L$    ④

式中，表示第i类训练样本的回归响应；e_qi表示测试样本y与第i类训练样本的回归响应之间的残差；y表示测试样本；

步骤6，将无序的残差矩阵[e_q1,e_q2,...e_qL]中的元素按照升序进行排列，得到有序的残差矩阵[e_η1,e_η2,…e_ηL]；并从该有序的残差矩阵[e_η1,e_η2,…e_ηL]中筛选出前S类残差小于设定的残差阈值T所对应的类；其中S<<L；

步骤7，把筛选出的这S类训练样本作为协同表示分类识别的编码字典并在此条件下将协同表示模型定义为

   ⑤

式中，表示稀疏解；Γ_α表示稀疏向量；y表示测试样本；表示编码字典；λ表示正则化参数；

步骤8，用最小二乘法求解上述协同表示模型的稀疏解该稀疏解 ${\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{\mathrm{\&alpha;}}={[{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_1},{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_2},...,{\widehat{\mathrm{\&Gamma;}}}_{{\mathrm{\&alpha;}}_S}]}^T,$ 其中

   ⑥

式中，表示编码字典所对应的稀疏系数构成的向量，且 表示稀疏解；表示第j类训练样本构成的字典，且表示编码字典；λ表示正则化参数；I表示单位矩阵；y表示测试样本；

步骤9，用最小归一化残差算法识别出测试样本y，即完成了人脸分类识别；

⑦

式中，y表示测试样本；表示第j类训练样本构成的编码字典，且表示编码字典；表示所对应的稀疏系数构成的向量，表示稀疏解。