CN104182379A - 一种基于转动惯量的一元线性回归方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及概率论与数理统计领域，特别是涉及一种基于转动惯量的一元线性回归方法。将变量x，y的成对观测值表示为xy-平面内的样本点集P＝{(x_i，y_i)|i∈[1，n]}，将P中任一点(x_i，y_i)视为质量为1的质点，赋予了质量意义的样本点集P相对于任一xy-平面内直线l：y＝kx+b的转动惯量为J(k，b)，求取J(k，b)的极小值点(k₀，b₀)，将基于观测数据的变量x与y的一元线性回归方程表示为其中，

Description

一种基于转动惯量的一元线性回归方法

技术领域

本发明涉及概率论与数理统计领域，特别是涉及一种基于转动惯量的一元线性回归方法。 

背景技术

线性回归分析是数理统计中最基本的研究方法之一，用以研究变量间的相关关系。在社会经济领域，很多变量间的关系即使在宏观上不是线性的，在微观上仍可近似做线性化处理。另外，有的时候通过对变量进行取对数等预处理，可以将变量间的非线性关系变换为线性关系。目前主流的统计分析、数值计算软件都以矩阵运算为基础。因此，对变量进行高精度的线性回归具有重要的基础作用。 

线性回归根据自变量及因变量的数量可分为一重一元、一重多元、多重多元等几种情况，其中，一重一元线性回归是其中最简单和最基本的问题，简述如下： 

设有变量x，y满足线性关系式y＝β₀+β₁x+ε，其中β_i(i＝0，1)是常数，ε是随机误差。对各变量进行n次观测，观测值向量为：X＝(x₁，x₂，......，x_n)′；Y＝(y₁，y₂，......，y_n)′。基于以上观测数据的变量x与y的一元线性回归方程为：一元线性回归方程的矩阵形式为Y＝(1，X)B+E，其中，B＝(β₀，β₁)′，E＝(ε₁，...，ε_n)′。 

一重一元线性回归最常用的解法是基于最小二乘法的线性回归方法(ordinary least squares regression，OLSR)：将y视为因变量，x视为自变量，自变量不视为随机变量，只有因变量视为随机变量；参数矩阵B的极大似然估计为

最小二乘线性回归的结果不具有坐标无关性。所谓坐标无关性指将运算所在坐标系做正交变换(平移或/和旋转)不影响运算的结果。 

社会经济变量中很少有取值不具有随机性的“纯”自变量。由于观察角度、观测仪器、数据定义及归总方法的不同，同一经济现象的观测数据形式上可能有很大差别，但经过某种线性变换甚至简单的坐标变换，数据之间就经常表现出明显的等价性。基于以上理由，希望具有等价关系的数据组的回归结果也相同是很自然的要求，因此，发展具有坐标不变性的线性回归方法是必要的。 

发明内容

本发明提供了一种基于转动惯量的一元线性回归方法，可使回归结果具有坐标无关性。 

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案是：基于转动惯量的一元线性回归方法，步骤如下： 

(1)设x和y为具有线性相关关系的两个变量，对这两个变量进行n次观测，x的观测值依 次为x₁，x₂，......，x_n，y的观测值依次为y₁，y₂，......，y_n，x的观测值向量为X＝(x₁，x₂，......，x_n)′，y的观测值向量为Y＝(y₁，y₂，......，y_n)′； 

(2)将变量x，y的成对观测值表示为xy-平面内的样本点集P＝{(x_i，y_i)|i∈[1，n]}，i为观测值的序号，将P中任一点(x_i，y_i)视为质量为1的质点，赋予了质量意义的样本点集P相对于任一xy-平面内直线l：y＝kx+b的转动惯量为k为l的斜率，b为l在y轴上的截距，求取J(k，b)的极小值点(k₀，b₀)，其中， $b_0=\stackrel{\‾}{Y}-k_0\stackrel{\‾}{X},\stackrel{\‾}{X}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i,\stackrel{\‾}{Y}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i,F=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i-\stackrel{\‾}{X})(y_i-\stackrel{\‾}{Y}),G=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[{(x_i-\stackrel{\‾}{X})}^2-{(y_i-\stackrel{\‾}{Y})}^2];$

(3)将基于观测数据X和Y的变量x与y的一元线性回归方程表示为其中，  ${\widehat{\mathrm{\β}}}_1=k_0,{\widehat{\mathrm{\β}}}_0=b_0.$

本发明达到的有益效果：使回归结果具有坐标无关性，提高回归精度。 

具体实施方式

本发明的一种基于转动惯量的一元线性回归方法具体步骤如下： 

(1)设x和y为具有线性相关关系的两个变量，对这两个变量进行n次观测，x的观测值依次为x₁，x₂，.....，x_n，y的观测值依次为y₁，y₂，.....，y_n，x的观测值向量为X＝(x₁，x₂，......，x_n)′，y的观测值向量为Y＝(y₁，y₂，......，y_n)′； 

(2)将变量x，y的成对观测值表示为xy-平面内的样本点集P＝{(x_i，y_i)|i∈[1，n]}，i为观测值的序号，将P中任一点(x_i，y_i)视为质量为1的质点，赋予了质量意义的样本点集P相对于任一xy平面内直线l：y＝kx+b的转动惯量为k为l的斜率，b为l在y轴上的截距，求取J(k，b)的极小值点(k₀，b₀)，其中， $b_0=\stackrel{\‾}{Y}-k_0\stackrel{\‾}{X},\stackrel{\‾}{X}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i,\stackrel{\‾}{Y}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i,F=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i-\stackrel{\‾}{X})(y_i-\stackrel{\‾}{Y}),G=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[{(x_i-\stackrel{\‾}{X})}^2-{(y_i-\stackrel{\‾}{Y})}^2];$

(3)将基于观测数据X和Y的变量x与y的一元线性回归方程表示为其中，  ${\widehat{\mathrm{\β}}}_1=k_0,{\widehat{\mathrm{\β}}}_0=b_0.$

Claims (1)

1.一种基于转动惯量的一元线性回归方法，其特征在于，步骤如下：

(1)设x和y为具有线性相关关系的两个变量，对这两个变量进行n次观测，x的观测值依次为x₁，x₂，......，x_n，y的观测值依次为y₁，y₂，......，y_n，x的观测值向量为X＝(x₁，x₂，......，x_n)′，y的观测值向量为Y＝(y₁，y₂，......，y_n)′；

(2)将变量x，y的成对观测值表示为xy-平面内的样本点集P＝{(x_i，y_i)|i∈[1，n]}，i为观测值的序号，将P中任一点(x_i，y_i)视为质量为1的质点，赋予了质量意义的样本点集P相对于任一xy-平面内直线l：y＝kx+b的转动惯量为k为l的斜率，b为l在y轴上的截距，求取J(k，b)的极小值点(k₀，b₀)，其中， $b_0=\stackrel{\‾}{Y}-k_0\stackrel{\‾}{X},\stackrel{\‾}{X}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i,\stackrel{\‾}{Y}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i,F=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i-\stackrel{\‾}{X})(y_i-\stackrel{\‾}{Y}),G=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}[{(x_i-\stackrel{\‾}{X})}^2-{(y_i-\stackrel{\‾}{Y})}^2];$

(3)将基于观测数据X和Y的变量x与y的一元线性回归方程表示为其中， ${\widehat{\mathrm{\β}}}_1=k_0,{\widehat{\mathrm{\β}}}_0=b_0.$