CN104158632A - 用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，属于可见光无线通信技术领域。该方法在信号发送端的调制模块中使用可变脉冲幅度位置调制，该调制方法是一种多进制调制，结合了脉冲幅度位置调制和脉冲宽度调制，在提供系统调光功能的同时保证了通信数据的传输，并且改善了通信质量，主要包括在符号速率相等的情况下能够提高传输速率，结合了多进制调制带宽效率高和脉冲位置调制功率效率高的优点，能够有效的改善频谱效率，并且相比于其他的多进制调制方式，复杂度较低。为了进一步改善系统的误码率，本方法在接收端使用基于前馈反向传播多层感知机的信道均衡器，有效的改善了误码率，进一步提高了通信质量。

Description

用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法

技术领域

本发明属于可见光无线通信技术领域，涉及一种用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法。

背景技术

目前，由于网络频段资源的日渐枯竭，网络干扰，以及网络泄密等问题的日益严峻，我们需要找到能够克服上述问题的新的网络通信技术，而可见光通信技术是最有发展前景的技术之一。

可见光通信(Visible Light Communication，VLC)技术是一种使用可见光作为信息载体的新型无线光通信方式，它主要利用半导体发光二极管(Light Emitting Diode，LED)所具有的高速响应特性，同时实现通信和照明的双重功能。可见光通信发出的光是电磁波谱中人眼所可以感知的那部分，波长在380nm到780nm之间，对人眼安全。基于LED的可见光无线通信系统，无论是应用于室内还是室外，在其物理实现上均分为光信号发射和光信号接收两部分。光信号发射部分主要包括：将信号源信号转换成便于大气信道传输的电信号的输入和处理电路，以及将电信号转化调制成光载波强度变化的LED可见光驱动电路。可见光接收机部分主要包括：能对信号光源实现最佳接收的光学系统，将光信号还原成电信号的光电探测器和前置放大电路，为了获得最佳接收信噪比的滤波电路，以及将电信号转换成可被终端识别的信号处理和输出电路等。

目前，可见光通信的研究热点之一是如何提高通信速率，主要是对调制方式的研究。对可见光无线通信系统来说，用户既希望能够根据环境和心情随意的调节光源的亮度，又希望同时保证无线数据的传输，因此调光对于基于LED的VLC来说是关键技术之一。而调制技术的选择对于可调光的VLC系统来说非常的重要。目前已经有许多调制技术被提出，其中包括OOK、VPPM、VOOK、OPPM、MPPM、M-PAMs等等。但是其中一些调制方式功率效率比较高，一些调制方式带宽效率比较高，另外一些调制方式复杂度比较高。对于调制方式来说，想要同时获得这些增益是比较困难的，因此，还需要更进一步的研究。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，该方法在提供调光功能的同时能够改善通信质量，包括能够提高带宽效率，降低多进制调制的复杂度，以及改善误码率性能等。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，在所述调制方法中，采用可变脉冲幅度位置调制将可见光无线通信系统中的多进制系统数据调制为随幅度、脉冲位置和调光速率变化的脉冲波形；在所述误码率改善方法中，采用基于人工神经网络的信道均衡器来改善误码率性能，人工神经网络的类型为前馈反向传播多层感知机，信道均衡器采用的是判决反馈均衡器。

进一步，所述可变脉冲幅度位置调制结合了脉冲幅度位置调制和脉冲宽度调制的混合调光方案，通过改变M×2进制的信号所对应的脉冲幅度和位置来实现数据传输，并且根据调光速率来改变脉冲宽度进而实现调光控制，具体包括：

1)所述脉冲幅度位置调制中的幅度和位置根据以下公式获得的：

$x\left(t\right)=\mathrm{nAP}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}p(t-\mathrm{kT}/n)$

其中：表示幅度系数；M为不同幅度的个数，大小为2的整数幂；T表示符号周期，将T等分为n个时隙，则每个时隙周期为T/n；[c₀,c₁,...,c_nM-1]表示不同的码字；p(t)表示周期为T/n的矩形脉冲；P为平均光功率；

2)为了便于系统的调光控制，n被固定为2，即每个符号周期中只有两个时隙，时隙间隔为T/2；

3)脉冲宽度在整个符号周期内根据调光需求进行调整，但是不能为0或者T。

进一步，所述可变脉冲幅度位置调制方法在实现数据传输功能的同时还能实现调光功能，具体包括：

1)为了便于调光，每个符号的时隙个数固定为2，且脉冲的幅度减半，即由变为

2)脉冲幅度位置调制中，由于n固定，则调制方式为M-2-PAPM，其中M为变量，大小为2的整数幂，例如，2⁰、2¹、2²等等；

3)信号的进制数为M×2，每个符号传输log₂(M×2)比特信息，M越大，进制数越大，每符号所传输的信息比特就越多，带宽效率就越高，但同时复杂度也越高，例如M等于2，则每符号携带2比特信息，不同的码字的数目为8，不同的幅度数为2。

进一步，LED发送光信号x(t)，经过光无线信道被PD接收，得到接收光信号y(t)，具体包括：

1)所述接收光信号y(t)是根据公式：

$Y\left(t\right)=R\·X\left(t\right)\⊗h\left(t\right)+N\left(t\right)$

获得的，其中R为光电探测器的灵敏度，h(t)为信道冲激响应，N(t)为高斯白噪声；所述x(t)代表LED光的光功率，而不是幅度；

2)x(t)需满足如下条件：

$X\left(t\right)\≥0\mathrm{and}\underset{T\→\∞}{\lim }\frac{1}{T}{\∫}_0^{T}X\left(t\right)d\left(t\right)\≤\mathrm{\γ}{P}_t$

其中，P_t为平均光功率，0≤γ≤1表示调光速率，当γ＝1时，LED的亮度达到满值；的选取是为了能够达到平均光功率。

进一步，可变脉冲幅度位置调制(VPAPM)中的脉宽调制(PWM)是指每符号所发送的一个脉冲的宽度在符号周期内变化，与传统的可见光通信系统中用于调光的脉宽调制不同，可变脉冲幅度位置调制中的脉冲宽度不代表任何数据信息，因此，理论上，不论光源的亮度级别多大，在LED的“通断”期间都不会影响数据的正常发送。

进一步，在所述误码率改善方法中：在接收端，为了改善误码率性能，采用基于人工神经网络的信道均衡器，具体包括：

1)在室内可见光通信系统中的自适应信道均衡使用的是基于前馈反向传播多层感知机的判决反馈均衡器；

2)多层神经网络的训练采用反向传播算法，该算法是一种监督学习算法，即BP算法，具体描述如下：

第一步：初始化权重和阀值为小的随机数；

第二步：指定输入向量x(n)和期望得到的输出向量d(n)；

第三步：根据输入向量集算出实际的输出向量y(n)，然后计算出成本函E(n)；

第四步：根据公式调整权重；

第五步：返回第二步。

进一步，BP监督学习算法调整了人工神经网络的权重来使得成本函数最小化：

所述的成本函数E(n)为：

E(n)＝||d(n)-y(n)||²

权重由以下公式更新调整：

$w_{\mathrm{ij}}(n+1)=w_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-\mathrm{\η}\frac{\∂E\left(n\right)}{\∂w_{\mathrm{ij}}\left(n\right)}.$

本发明的有益效果在于：本方法是一种多进制调制方法，在符号速率相等的情况下能够提高传输速率；并且在实现系统调光功能的同时能够保证数据的传输；本方法结合了多进制调制带宽效率高和脉冲位置调制功率效率高的优点，能够有效的改善频谱效率，并且相比于其他的多进制调制方式，复杂度较低。在接收端，使用基于多层正反馈人工神经网络的自适应信道均衡，有效的改善了误码率，并且降低了功率需求。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为本发明所述方法的总体流程图；

图2为VLC等效系统框图；

图3为2-4-PAPM的符号结构图；

图4为四进制可变脉冲幅度位置调制的符号结构图；

图5为神经元示意图；

图6为前馈多层神经网络连接图；

图7为基于人工神经网络的判决均衡器的结构图。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

图1为本发明所述方法的总体流程图，如图所示，可见光通信系统包括信号发送端A、光无线通信信道B和信号接收端C。数据信号通过发送端发送光信号，经由可见光无线通信信道再由接收端接收并最终转化为电信号输出。

信号发送端A由编码模块、调制模块、LED驱动模块、Bias-Tee信号耦合模块和LED光源模块组成。在信号发送端，白光LED驱动模块的输出端与Bias-Tee信号耦合模块的直流输入端相连，信号调制模块A2的输出端与Bias-Tee信号耦合模块的交流输入端相连。首先，输入数据经过编码模块，然后输出。编码模块可能包含信源编码和信道编码，也可能只包含信道编码，看具体的需求而定，而信道编码的方式可以是卷积编码、Turbo编码，也可以是LDPC编码，但是LDPC编码对系统的复杂度要求比较高；其次，编码模块的输出信号输入调制模块，因为可见光通信系统需要同时提供照明和数据传输的功能，所以调光功能对于VLC来说是不可或缺的基本功能，考虑到VLC系统使用的是LED光源，所以调光功能可以在调制模块A2中实现，具体参见图2；然后，输出信号经过Bias-Tee信号耦合模块之后，从LED输出，即发射可见光信号；

在经过了可见光无线信道B之后被光电探测器接收，可见光无线通信信道为多径信道，信号将会被反射，会产生时延扩展。

信号接收端C由光电检测模块、神经网络均衡模块、信号放大模块、信号滤波模块、判决模块、信号解调解码模块组成。在信号接收端，在光电探测器(photo-detector)接收光信号之前会经过一个光滤波器和光聚能器，然后信号被PD接收，转化为电信号；在经过放大和滤波之后，信号被输入一个基于人工神经网络的信道均衡器，在判决、解调解码之后输出数据。在这里使用基于人工神经网络的信道均衡器是为了改善系统的误码率性能，并且同时也能够降低系统的功率需求，这对于小功率的终端应用来说也是非常重要的。

图2为可见光通信系统的等效系统框图，如图所示，信号在经过编码之后要经过调制器A2。首先，信号经过M-2-PAPM调制器a1之后生成随幅度和位置变化的周期脉冲波形，如果这里选择M等于2，则幅度系数为1/2和3/2；然后输入脉冲宽度调制器a3，这里假设调光目标a2已知，如果调光速率为0.5，则脉冲宽度为符号周期的一半。设x(t)和y(t)分别表示发送光信号c1和接收光信号c4，PD产生与接收到的瞬时功率成正比的光电流。x(t)和y(t)的关系满足以下公式：

$Y\left(t\right)=R\·X\left(t\right)\⊗h\left(t\right)+N\left(t\right)$

R为PD的灵敏度，单位为A/W；h(t)表示信道冲激响应c2；N(t)表示方差为σ²的高斯白噪声c3，它包含了热噪声和散粒噪声，符号表示卷积；值得注意的是传输波形X(t)代表的是LED光的瞬时光功率，Y(t)代表的是接收端光电探测器所产生的瞬时电流，因此X(t)必须要满足下列限制条件：

$X\left(t\right)\≥0\mathrm{and}\underset{T\→\∞}{\lim }\frac{1}{T}{\∫}_0^{T}X\left(t\right)d\left(t\right)\≤\mathrm{\γ}{P}_t$

其中P_t是一个平均光功率；γ是调制速率，范围为0到1，但一般情况下不能等于0和1，因为这样将无法传输数据；接收到的平均光功率可以表示为：

P_r＝Σ_LEDs{H(0)P_t+∫_wallsP_tdH_ref(0)}

在这个系统模型中仍然采用朗伯特辐射格局，LED和PD之间的直射视距光信道直流增益H(0)可以表示为：

$H\left(0\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{(m+1)A}{2\mathrm{\π}{d}^2}{\cos }^m\left(\mathrm{\φ}\right)T_s\left(\mathrm{\ψ}\right)g\left(\mathrm{\ψ}\right)\cos \left(\mathrm{\ψ}\right)& 0\≤\mathrm{\ψ}\≤{\mathrm{\ψ}}_c\\ 0& \mathrm{\ψ}>{\mathrm{\ψ}}_c\end{array}\right.$

其中m为光源的朗伯特辐射模式；A为光电探测器的接收面积；d是发射端与接收端之间的距离；ψ为入射角，φ为发射角；T_s(ψ)是光滤波器增益；g(ψ)是光聚能器增益；ψ_c是接收机视场。

光聚能增益g(ψ)可以由下式求得：

$g\left(\mathrm{\ψ}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{n^2}{{\sin }^2{\mathrm{\ψ}}_c}& 0\≤\mathrm{\ψ}\≤{\mathrm{\ψ}}_c\\ 0& \mathrm{\ψ}>{\mathrm{\ψ}}_c\end{array}\right.$

其中n为折射率；光信道在第一级反射的直流增益为：

${\mathrm{dH}}_{\mathrm{ref}}\left(0\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{(m+1)A}{2{\mathrm{\π}}^2{D}_1^2{D}_2^2}\mathrm{\ρ}{\mathrm{dA}}_{\mathrm{wall}}{\cos }^m\left(\mathrm{\θ}\right)\cos \left(\mathrm{\α}\right)\cos \left(\mathrm{\β}\right)T_s\left(\mathrm{\ψ}\right)g\left(\mathrm{\ψ}\right)\cos \left(\mathrm{\ψ}\right)& 0\≤\mathrm{\ψ}\≤{\mathrm{\ψ}}_c\\ 0& \mathrm{\ψ}>{\mathrm{\ψ}}_c\end{array}\right.$

其中，D₁是LED光源与一个反射点之间的距离，D₂是一个反射点与接收机之间的距离；ρ是反射系数；dA_wall是一个小区域的反射面积；α是光源到反射点之间的角度；β是反射点到接收机之间的角度。

假设有发送端和接收端之间有M条直接通路和N条反射通路，那么接收到的光信号的总功率就可以用下式来计算：

$P_T=\underset{i}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{d,i}+\underset{j}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{r,j}$

其中，P_d,i是直射光在第i点的接收光功率；P_r,j表示反射光在第j点的接收光功率。

对于多反射信道来说，归一化的延迟时间可以用均方根时延扩展(RMS delay spread)来估算，因此，均方根时延扩展将会是数据传输速率上限的一种重要的判决准则，平均过度时延(mean excess delay)可以表示为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}=(\underset{i}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{d,i}{t}_{d,i}+\underset{j}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{r,j}{t}_{r,j})/P_T$

其中，t_d,i为第i条直射光的传播时间；t_r,j是第j条反射光的传播时间；

均方根时延扩展可以由下式算出：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}}^2-{\left(\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}\right)}^2}$

其中， ${\stackrel{\‾}{\mathrm{\τ}}}^2=(\underset{i}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{d,i}{t_{d,i}}^2+\underset{j}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{r,j}{t_{r,j}}^2)/P_T$

图3为M-n-PAPM的符号结构图。对于脉冲幅度位置调制来说，它的调制信号可以表示为：

$x\left(t\right)=\mathrm{nAP}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}p(t-\mathrm{kT}/n)$

其中，当M等于2，n等于4时，两个幅度电平分别为2P和6P，这样，在一段时间之内就可以达到平均光功率P，也就是全亮度级别；不同的码字有8个，如图所示；符号周期被等分为4个时隙，脉冲处于不用的位置和不同的幅度电平都可以表示不同的数据信息。

图4为可变脉冲幅度位置调制的符号结构图。时隙数n固定为2，幅度电平数M为2，此时两个幅度电平分别为1/2P和3/2P；图中(a)和(b)分别为当调光速率为0.5和0.7时的符号结构图；平均光功率分别为0.5P和0.7P。

图5为神经网络中的神经元示意图。图中包括各个输入分量d1、偏置d3、传递函数d5以及输出d6；神经网络中的每一个神经元都有一个简单的任务，那就是根据预先定义的数学规则来修改输入分量；如图所示，假设这个神经元有N个输入分量，那么w1～wN就表示神经元各个突触的权值d2；w0则为与经常设置为1的常数x0相连的权值，也就是偏置；a为中间输出量d4，可以由下式计算：

$a=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{w}_i{x}_i$

其中，如果有偏置的话，那么i＝0,…,N；否则，i＝1,…,N。

输出y为中间变量a的函数：

y＝f(a)

传递函数f(·)通常为非线性函数。

图6为前馈多层神经网络连接图，人工神经网络的构架主要有以下三种：单层前馈网络、多层前馈网络、递归神经网络。为了提取数据的高阶统计值，就需要更多的神经元和层；假设有一个具有足够多神经元的2层神经网络，那么它就具有映射任何输入输出数据的通用近似特性；如图所示为一个全连接的2层网络，包含有4个神经元的输入层e1,3个神经元的隐藏层e2，1个神经元的输出层e3；递归神经网络与多层前馈网络不同的是它的输出会反馈到输入层，而且它的训练会更加的复杂；

本发明使用的是基于多层前馈神经网络的自适应均衡器。

图7为基于人工神经网络的判决均衡器的结构图。如图所示，它的抽样输出y_i在进入神经网络f2之前会经过延迟线路f1；如果是二进制数据的话，神经网络的输出判决器f3的门限为0.5；本发明使用的是判决反馈均衡器，判决输出结果会反馈给神经网络；向前和反馈的延迟线路的长度都与信道跨度有关，它同样也与时延扩展有关；神经网络需要以监督的方式来调整它的自由参数；

输入输出层的神经元的数目由输入向量和期望的输出向量决定；隐藏层以及隐藏层的神经元是可变的；增加隐藏层会增大系统的复杂度和训练时间，但是隐藏层中过少的神经元又会导致得不到理想的性能；想要设计出一个最佳的网络结构有两种方法：

第一，建立一个很大的网络，通过减少连接来删除神经元的数目；

第二，建立一个很小的网络和很少的神经元，然后逐步增加神经元直到达到了理想的性能为止；

本发明的人工神经网络类型为前馈反向传播的多层感知机；并且使用一个隐藏层以及隐藏层中使用6个神经元；隐藏层中的传递函数使用Log-sigmoid函数；输出层的传递函数使用线性函数；训练方法使用量化共轭梯度法。

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (7)

1.一种用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，其特征在于：在所述调制方法中，采用可变脉冲幅度位置调制将可见光无线通信系统中的多进制系统数据调制为随幅度、脉冲位置和调光速率变化的脉冲波形；在所述误码率改善方法中，采用基于人工神经网络的信道均衡器来改善误码率性能，人工神经网络的类型为前馈反向传播多层感知机，信道均衡器采用的是判决反馈均衡器。

2.根据权利要求1所述的用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，其特征在于：所述可变脉冲幅度位置调制结合了脉冲幅度位置调制和脉冲宽度调制的混合调光方案，通过改变M×2进制的信号所对应的脉冲幅度和位置来实现数据传输，并且根据调光速率来改变脉冲宽度进而实现调光控制，具体包括：

1)所述脉冲幅度位置调制中的幅度和位置根据以下公式获得的：

$x\left(t\right)=\mathrm{nAP}\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{k}p(t-\mathrm{kT}/n)$

其中：表示幅度系数；M为不同幅度的个数，大小为2的整数幂；T表示符号周期，将T等分为n个时隙，则每个时隙周期为T/n；[c₀,c₁,...,c_nM-1]表示不同的码字；p(t)表示周期为T/n的矩形脉冲；P为平均光功率；

2)为了便于系统的调光控制，n被固定为2，即每个符号周期中只有两个时隙，时隙间隔为T/2；

3)脉冲宽度在整个符号周期内根据调光需求进行调整，但是不能为0或者T。

3.根据权利要求2所述的用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，其特征在于：所述可变脉冲幅度位置调制方法在实现数据传输功能的同时还能实现调光功能，具体包括：

1)为了便于调光，每个符号的时隙个数固定为2，且脉冲的幅度减半，即由变为

2)脉冲幅度位置调制中，由于n固定，则调制方式为M-2-PAPM，其中M为变量，大小为2的整数幂；

3)信号的进制数为M×2，每个符号传输log₂(M×2)比特信息，M越大，进制数越大，每符号所传输的信息比特就越多，带宽效率就越高，但同时复杂度也越高。

4.根据权利要求3所述的用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，其特征在于：LED发送光信号x(t)，经过光无线信道被PD接收，得到接收光信号y(t)，具体包括：

1)所述接收光信号y(t)是根据公式：

$Y\left(t\right)=R\·X\left(t\right)\⊗h\left(t\right)+N\left(t\right)$

获得的，其中R为光电探测器的灵敏度，h(t)为信道冲激响应，N(t)为高斯白噪声；所述x(t)代表LED光的光功率；

2)x(t)需满足如下条件：

$X\left(t\right)\≥0\mathrm{and}\underset{T\→\∞}{\lim }\frac{1}{T}{\∫}_0^{T}X\left(t\right)d\left(t\right)\≤\mathrm{\γ}{P}_t$

其中，P_t为平均光功率，0≤γ≤1表示调光速率，当γ＝1时，LED的亮度达到满值；的选取是为了能够达到平均光功率。

5.根据权利要求4所述的用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，其特征在于：可变脉冲幅度位置调制中的脉宽调制是指每符号所发送的一个脉冲的宽度在符号周期内变化，与传统的可见光通信系统中用于调光的脉宽调制不同，可变脉冲幅度位置调制中的脉冲宽度不代表任何数据信息。

6.根据权利要求1所述的用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，其特征在于：在所述误码率改善方法中：在接收端，为了改善误码率性能，采用基于人工神经网络的信道均衡器，具体包括：

1)在室内可见光通信系统中的自适应信道均衡使用的是基于前馈反向传播多层感知机的判决反馈均衡器；

2)多层神经网络的训练采用反向传播算法，该算法是一种监督学习算法，即BP算法，具体描述如下：

第一步：初始化权重和阀值为小的随机数；

第二步：指定输入向量x(n)和期望得到的输出向量d(n)；

第三步：根据输入向量集算出实际的输出向量y(n)，然后计算出成本函E(n)；

第四步：根据公式调整权重；

第五步：返回第二步。

7.根据权利要求6所述的用于可见光通信系统的可变脉冲幅度位置调制和误码率改善方法，其特征在于：BP监督学习算法调整了人工神经网络的权重来使得成本函数最小化：

所述的成本函数E(n)为：

E(n)＝||d(n)-y(n)||²

权重由以下公式更新调整：

$w_{\mathrm{ij}}(n+1)=w_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-\mathrm{\η}\frac{\∂E\left(n\right)}{\∂w_{\mathrm{ij}}\left(n\right)}.$