CN104156953A - 一种基于离散正交矩的图像重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于数字图像处理领域,具体涉及一种基于离散正交矩的图像重构方法。本发明包括：对UFIR多项式进行归一化处理；利用归一化UFIR多项式关于阶数的递推关系，计算出全部阶数的归一化UFIR多项式；求解关于UFIR最高两阶多项式的方程组,得到同阶多项式关于自变量的递推关系,求出最高两阶UFIR多项式的一个特解,求出全部阶数的UFIR多项式；利用已经计算出的归一化UFIR多项式，对图像构造图像的UFIR矩函数；应用图像的UFIR矩函数，对图像进行重构。本发明中UFIR多项式不是多参数的多项式，应用时避免了选取最优参数的问题，并且能得到相近的处理结果，因此UFIR矩更加适合实时处理。

Description

一种基于离散正交矩的图像重构方法

技术领域

本发明属于数字图像处理领域,具体涉及一种基于离散正交矩的图像重构方法。

背景技术

正交矩的基底为一系列相互正交的多项式，所以应用正交矩表达图像会产生最小的信息冗余。Teague发现图像可以被一系列正交矩重构，并且使用相应的多项式构造了矩函数，例如Legendre矩和Zernike矩。此外，另一种连续正交矩，即伪Zernike矩，是通过伪Zernike多项式获得的。正交矩与几何矩相比较，除了具有较小的信息冗余，还对噪声具有一定的鲁棒性。然而，由于这两种正交矩在定义域上是连续的，导致其在实际应用的时候会出现一些明显的问题。首先由于定义域上的连续性，在应用之前需要将图像与多项式建立坐标映射关系，在坐标转换时会出现误差。其次是需要对连续正交矩进行积分运算，这也会造成计算误差。

近年来，一系列离散正交矩，例如，Tchebichef矩、Krawtchouk矩、Hahn矩和dual Hahn矩，被应用于图像分析中。离散正交矩采用一系列离散正交多项式作为基底，使得它们可以完全避免建立坐标映射关系，同时也不需要积分运算，从而消除了连续正交矩在图像分析所造成的误差。这使得正交离散多项式在图像分析方面优于连续正交矩。然而经典离散正交多项式，如Hahn、Krawtchouk和dual Hahn多项式是多参数的，在实际应用中需要先进行最优参数的选取，这点限制了它们进行更好的实时处理。

针对计算的准确性和应用的实时性考虑，我们应该选取单参数的离散正交多项式进行图像重构。在文献[1]中，LJ.Morales-Mendoza介绍了一种新的离散正交多项式，即UFIR多项式，并且证明了该多项式的正交性。然而，利用UFIR多项式进行图像重构实验并没有在相关的文献中提及。于是我们利用将该多项式用于图像重构，并进行相关的仿真实验。

与本发明相关的参考文献包括：

LJ.Morales-Mendoza,H.Gamboa-Rosales and Y.S.Shmaliy,A new class of discrete orthogonalpolynomials for blind fitting of finite data.Signal Processing ELSEVIER 93(2013)1785–1793(2013)。

发明内容

本发明的目的是利用UFIR多项式进行图像重构的基于离散正交矩的图像重构方法。

本发明的目的是这样实现的：

(1)对UFIR多项式进行归一化处理

$h_n(x,N)=a_{0n}\left(N\right)+a_{1n}\left(N\right)x+a_{2n}\left(N\right)x^2+\·\·\·a_{\mathrm{nn}}\left(N\right)x^n=\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{jn}}\left(N\right)x^j;$

其中x是自变量，n是多项式的阶数，N是信号长度，

$a_{\mathrm{jn}}\left(N\right)={(-1)}^j\frac{M_{(j+1)1}\left(N\right)}{\left|D\left(N\right)\right|}$

(2)利用归一化UFIR多项式关于阶数的递推关系，计算出全部阶数的归一化UFIR多项式；

(3)求解关于UFIR最高两阶多项式的方程组,得到同阶多项式关于自变量的递推关系,求出最高两阶UFIR多项式的一个特解,求出全部阶数的UFIR多项式；

(4)利用已经计算出的归一化UFIR多项式，对图像构造图像的UFIR矩函数；

(5)应用图像的UFIR矩函数，对图像进行重构。

本发明的有益效果在于：本发明中UFIR多项式不是多参数的多项式，应用时避免了选取最优参数的问题，并且能得到相近的处理结果，因此UFIR矩更加适合实时处理。

附图说明

图1为前4阶归一化的UFIR多项式；

图2为直接利用阶数的递推关系计算归一化的UFIR多项式出现的数值不稳定的现象，其中自变量取值为1到256；

图3为归一化的UFIR多项式数值不稳定导致极大的重构误差；

图4为用提出的方法解决数值不稳定问题；

图5为解决数值不稳定问题后，UFIR矩的重构结果；

图6为UFIR矩的重构结果与Tchebichef矩和Krawtchouk矩的重构结果进行对比，UFIR矩的重构性能与Tchebichef矩类似，在阶数较低的情况下性能远远优于Krawtchouk矩。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步描述。

本发明提供了基于一种新的离散正交矩的图像重构方法。本文利用一种新的离散正交多项式，即UFIR多项式，对图像进行重构。为了保证计算的稳定性，首先要对UFIR多项式进行归一化操作，利用归一化后的UFIR多项式构造UFIR矩函数。和经典离散正交多项式一样，计算高阶的归一化UFIR多项式会出现数值不稳定的现象。针对该问题，我们提出了一种新的解决方法，运用该方法可以精确地计算出高阶的归一化UFIR多项式，进而构造出准确的UFIR矩函数。我们计算了重构图像与原图像的重构误差，并将重构误差与Tchebichef矩和Krawtchouk矩进行了对比，证明了UFIR矩函数在图像重构方面的可行性。且Krawtchouk多项式是多参数的，所以在应用之前需要选取最优的参数才能达到最佳的效果；而UFIR多项式不是多参数的多项式，应用时避免了选取最优参数的问题，并且能得到相近的处理结果，因此UFIR矩更加适合实时处理。

本发明包括

(1)对UFIR多项式进行归一化处理；

(2)利用UFIR多项式具有的关于阶数的递推关系推导出归一化后的UFIR多项式关于阶数的递推关系，并通过该递推关系计算出全部阶数的UFIR多项式；

(3)计算过程中我们发现，利用该递推关系计算归一化的UFIR多项式，当阶数大于最高阶数的一半时，UFIR多项式会出现与经典离散正交多项式一样的数值不稳定现象针对数值不稳定问题，我们提出了一种新的解决办法。利用UFIR自身的性质可以分别得到关于UFIR最高两阶多项式的方程组，我们分别求解了这两个方程组，并且得到了同阶多项式关于自变量的递推关系。进而应用UFIR多项式关于阶数的递推关系分别求出最高两阶UFIR多项式的一个特解，利用该特解求出全部阶数的UFIR多项式。计算结果可以证明该方法解决了UFIR多项式计算中的数值不稳定问题；

(4)利用精确计算出的归一化的UFIR多项式，我们对图像构造了该图像的UFIR矩函数；

(5)利用图像的矩函数进行图像重构实验，并计算重构误差Tchebichef矩和Krawtchouk矩的重构误差进行比较，结果发现UFIR矩的重构性能与Tchebichef矩的重构性能相近，阶数较低时远远优于Krawtchouk矩。

(6)在图像重构实验中，我们没有专门为UFIR多项式选取参数。然而，利用Krawtchouk矩重构图像时，我们需要对Krawtchouk多项式中的一个参数选择最优值以使得重构的效果达到最佳。

如图所示，图2为直接利用阶数的递推关系计算归一化的UFIR多项式出现的数值不稳定的现象，其中自变量取值为1到256，(a)～(f)分别是自变量取30、60、127、128、195和220处各阶的值，(a)(b)(e)(f)的计算结果是不稳定的，(c)(d)的计算结果是稳定的

图3为归一化的UFIR多项式数值不稳定导致极大的重构误差，(a)～(f)分别是阶数取50、100、135、150、200和255时的重构结果

图4为用提出的方法解决数值不稳定问题，(a)～(f)分别是自变量取30、60、127、128、195和220处各阶的值，并且他们都是稳定的

图5为解决数值不稳定问题后，UFIR矩的重构结果，，(a)～(f)分别是阶数取50、100、135、150、200和255时的重构结果

图6为UFIR矩的重构结果与Tchebichef矩和Krawtchouk矩的重构结果进行对比。UFIR矩的重构性能与Tchebichef矩类似，在阶数较低的情况下性能远远优于Krawtchouk矩

(1)UFIR多项式h_n(x,N)定义如(1)式所示

$\begin{array}{c}{h}_n(x,N)=a_{0n}\left(N\right)+a_{1n}\left(N\right)x+a_{2n}\left(N\right)x^2+\·\·\·a_{\mathrm{nn}}\left(N\right)x^n\\ =\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{jn}}\left(N\right)x^j\end{array}---\left(1\right)$

其中x是自变量，n是多项式的阶数，N是信号长度，系数ajn(N)定义如下

$a_{\mathrm{jn}}\left(N\right)={(-1)}^j\frac{M_{(j+1)1}\left(N\right)}{\left|D\left(N\right)\right|}---\left(2\right)$

|D(N)|是Hankel矩阵的行列式的值，M_(j+1)1(N)是Hankel矩阵的余子式，

矩阵中的每一个元素c_k(N)由伯努利多项式B_n(x)定义，如下

$c_k\left(N\right)=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{i}^k=\frac{1}{k+1}[B_{k+1}\left(N\right)-B_{k+1}]---\left(4\right)$

我们列出前4阶的UFIR多项式，如下

$h_0(x,N)=\frac{1}{N},---\left(5\right)$

$h_1(x,N)=\frac{2(2N-1)-6x}{N(N+1)},---\left(6\right)$

$h_2(x,N)=\frac{3(3N^2-3N+2)-18(2N-1)x+30x^2}{N(N+1)(N+2)},---\left(7\right)$

$h_3(x,N)=\frac{8(2N^3-3N^2+7N-3)-20(6N^2-6N+5)x+120(2N-1)x^2-140x^3}{N(N+1)(N+2)(N+3)}.---\left(8\right)$

直接计算UFIR多项式是需要很大计算量的，我们可以利用该多项式的递推关系计算高阶的UFIR多项式。递推关系如下所示

$h_n(x,N)=2\frac{n^2(2N-1)-x(4n^2-1)}{n(2n-1)(N+n)}{h}_{n-1}(x,N)-\frac{2n(2N-1)}{2(2n-1)(N+n)}{h}_{n-2}(x,N).---\left(9\right)$

上文提到UFIR多项式是正交的多项式，其正交关系满足

$\underset{x=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ρ}(x,N)h_k(x,N)h_n(x,N)=d_n^2\left(N\right){\mathrm{\δ}}_{\mathrm{kn}},(k,n)\∈[0,N-1]---\left(10\right)$

权重函数等于

$d_n^2\left(N\right)=\frac{n+1}{N(N-1)}\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}\frac{N-1-i}{N+i}=\frac{(n+1){(N-n-1)}_n}{N{\left(N\right)}_{n+1}},---\left(11\right)$

其中(a)₀＝1,(a)_k＝a(a+1)...(a+k-1),另一个非负的权重函数ρ(x,N)满足

$\mathrm{\ρ}(x,N)=\frac{2x}{N(N-1)}\≥0,---\left(12\right)$

我们将h_n(x,N)进行归一化处理，得到归一化的UFIR多项式

${\stackrel{\‾}{h}}_n(x,N)=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}(x,N)}{d_n^2\left(N\right)}}{h}_n(x,N),---\left(13\right)$

计算结果如图1所示；

(2)我们用归一化的UFIR多项式构造图像f(x,y)∈N×N的UFIR矩函数，定义如下

$H_{\mathrm{mn}}=\underset{x=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}f(x,y){\stackrel{\‾}{h}}_m(x,N){\stackrel{\‾}{h}}_n(y,N),m,n=\mathrm{0,1}...,N-1---\left(14\right)$

重构的图像可以由相应的反变换来得到：

$\stackrel{\‾}{f}(x,y)=\underset{m=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{\mathrm{mn}}{\stackrel{\‾}{h}}_m(x,N){\stackrel{\‾}{h}}_n(y,N),x,y=\mathrm{0,1}...,N-1---\left(15\right)$

根据(10)(11)式，我们若要重构图像，需要计算相应阶数的当重构阶数达到N-1时，我们需要利用递推关系计算出全部的然而，在计算高阶的时，同经典离散正交多项式一样，出现了数值不稳定的现象，如图2，其中图(a)～(f)分别是x₀＝30，60，127，128，195和220处各阶的值；

(3)利用(10)和(11)式重构图像，由于数值不稳定，在阶数达到135时重构的误差逐渐增大，如图3，其中图(a)～(f)分别是阶数取50、100、135、150、200和255的重构结果；

(4)针对数值不稳定的问题，我们提出了一种新的解决办法。UFIR多项式满足

$\stackrel{\→}{F}{\stackrel{\→}{W}}_l=\stackrel{\→}{G}---\left(16\right)$

其中

$\stackrel{\→}{F}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 0& 1& 2& ...& N-1\\ 0& 1& 2^2& ...& {(N-1)}^2\\ \·& & & & \·\\ \·& & & & \·\\ \·& & & & \·\\ 0& 1& 2^l& ...& {(N-1)}^l\end{array}\right],$ $\stackrel{\→}{G}={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& ...& 0\end{array}\right]}^T$ 为[(l+1)×1]阶，

${\stackrel{\→}{W}}_l={\left[\begin{array}{cccc}{h}_l\left(0\right)& h_l\left(1\right)& ...& h_l(N-1)\end{array}\right]}^T,$

分别令l＝N-2和N-3以求出N-1和N-2阶的h_n(x,N)函数。首先令l＝N-2,得到[(N-1)×N]矩阵，相应的方程有一个特解，其余N-1个解可以由该特解表示。可以解得：

$h_{N-1}(x,N)=-{(-1)}^{N-x}{C}_{N-1}^x{h}_{N-1}(N-1,N)---\left(17\right)$

$h_{N-1}(x+1,N)=-{(-1)}^{N-x-1}{C}_{N-1}^{x+1}{h}_{N-1}(N-1,N)---\left(18\right)$

用式(19)进行归一化，并且将(31)，(32)两式相除，可以得出

${\stackrel{\‾}{h}}_{N-1}(x+1,N)=-\frac{N-1-x}{\sqrt{x(x+1)}}{\stackrel{\‾}{h}}_{N-1}(x,N)---\left(19\right)$

上式给出了N-1阶多项式关于自变量x的递推关系，由递推关系可以令x＝x₀求出h_N-1(x₀,N)作为特解。从图2可以看出，x越接近N/2处，通过阶数n递推的越稳定，于是利用等式(18)递推得到x₀＝128处的作为特解，可以求出所有(N-1)阶的UFIR多项式的值。同理可以求出(N-2)阶的值。于是利用阶数n的递推关系向前递推求出全部的多项式。图4是利用提出的方法求出的归一化UFIR多项式，解决了数值不稳定的问题；

(5)利用精确计算出的归一化的UFIR多项式，我们利用公式(10)重新对图像构造了该图像的UFIR矩函数；

(6)应用重新构造的UFIR矩函数对图像进行重构，重构结果如图5，其中图(a)～(f)分别是阶数取50、100、135、150、200和255的重构结果；

(7)将UFIR矩的重构结果与Tchebichef矩和Krawtchouk矩的重构结果进行对比，结果如图6。

Claims (1)

1.一种基于离散正交矩的图像重构方法，其特征在于：

(1)对UFIR多项式进行归一化处理

$h_n(x,N)=a_{0n}\left(N\right)+a_{1n}\left(N\right)x+a_{2n}\left(N\right)x^2+\·\·\·a_{\mathrm{nn}}\left(N\right)x^n=\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{jn}}\left(N\right)x^j;$

其中x是自变量，n是多项式的阶数，N是信号长度，

$a_{\mathrm{jn}}\left(N\right)={(-1)}^j\frac{M_{(j+1)1}\left(N\right)}{\left|D\left(N\right)\right|}$

(2)利用归一化UFIR多项式关于阶数的递推关系，计算出全部阶数的归一化UFIR多项式；

(3)求解关于UFIR最高两阶多项式的方程组,得到同阶多项式关于自变量的递推关系,求出最高两阶UFIR多项式的一个特解,求出全部阶数的UFIR多项式；

(4)利用已经计算出的归一化UFIR多项式，对图像构造图像的UFIR矩函数；

(5)应用图像的UFIR矩函数，对图像进行重构。