CN104021286A - 一种柔性装配统计公差分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明建立了一种考虑材料的弹性模量和泊松比随机误差的柔性装配统计公差分析方法，运用统计公差分析方法（STA）、协方差（COV）计算、有限元分析方法（FEM）、超元刚度矩阵理论等方法，建立了考虑材料弹性模量和泊松比随机误差的装配体刚度矩阵计算模型，得到装配回弹偏差均值和协方差矩阵计算模型，有助于科学、准确地确定材料属性误差对柔性装配偏差的影响，提高工程应用的科学性。

Description

一种柔性装配统计公差分析方法

技术领域

本发明涉及柔性零件装配尺寸偏差分析领域，具体是一种柔性装配统计公差分析方法。

背景技术

在装配过程中，柔性零件受到各种复杂装配力的作用，零件受力下产生变形以及力释放后产生回弹，其装配尺寸公差的形成机理不同于刚性零件装配。刚性零件由于公差的存在，在装配过程中会产生装配间隙或干涉，而柔性零件可通过受力变形克服由于公差产生的间隙和干涉，但同时引入的装配应力将导致装配体发生变形。因此需要运用有效的方法分析柔性零件装配过程中的变形和偏差，预测最终的装配偏差。

在柔性装配系统中，除了存在零件制造、夹具定位、连接定位等几何误差源之外，还存在材料固有特性分散性和载荷随机性等不确定性因素。在基于线弹性变形假设的柔性件装配偏差分析中，弹性模量、泊松比等材料属性表征了零件的弹性变形能力，此类材料属性的随机误差直接引起装配闭合力的偏差，进而导致随机的柔性件装配尺寸。基于确定性的有限元分析方法假设材料属性在结构分析中保持不变，但从实际情况来看，不同批次(甚至同一批次)的材料间其弹性模量、泊松比等材料性能参数具有一定的随机变化特性。2002年，Mortensen研究了柔性件装配偏差统计分析方法，提出了继承刚体和柔性体几何协方差的装配尺寸公差的统一表示法，但是没有考虑材料属性随机误差对装配偏差的影响。2008年，于奎刚等采用影响系数法，将板料的厚度偏差这项材料属性纳入传统基于几何偏差分析的柔性装配偏差模型，给出了装配偏差和材料厚度偏差的定量关系，但是也没有考虑材料弹性模量和泊松比随机误差对装配偏差的影响。因此，建立一种考虑材料的弹性模量和泊松比随机误差的柔性装配统计公差分析方法，将有助于科学、准确地确定材料属性误差对柔性装配偏差的影响，提高工程应用的科学性。

发明内容

本发明为了解决现有柔性装配统计公差分析中不考虑材料的弹性模量和泊松比随机误差问题，提供了一种柔性装配统计公差分析方法，使柔性件装配的偏差预测更加准确，更加符合工程实际。

本发明包括如下步骤：

1)采集数据，得到柔性零件几何尺寸和偏差，运用统计公差分析方法(STA)得到零件闭合间隙的均值{μ_δ}_j和方差

2)结合柔性件表面连续性模型，进行协方差(COV)计算，得到闭合间隙协方差矩阵[Σ_δ]_j＝[S]_j[Σ_S]_j[S]^T _j，式中，[S]_j是根据表面连续性条件推导出的每个零件j的敏感度矩阵，[Σ_S]_j是由为对角元构成的对角矩阵；

3)根据零件几何尺寸和材料属性的均值，运用有限元分析方法(FEM)和超元刚度矩阵理论，得到柔性零件的缩减刚度矩阵[K_red]_j；

4)建立考虑材料弹性模量和泊松比随机误差的零件刚度矩阵计算模型，在零件材料弹性模量和泊松比均值处，对[K_red]_j进行一阶泰勒级数展开。

5)建立零件装配力的均值{μ_F}_j和协方差矩阵[Σ_F]_j以及装配体的回弹力均值{μ_F}_asm,S和协方差矩阵[Σ_F]_asm,S计算模型，根据弹性力学基本方程{F}＝[K]{δ}可知弹性模量E_j与泊松比υ_j相互独立，由材料参数与几何参数的相互独立性，可知[K_red]_j与{μ_δ}_j相互独立，用符号E[]表示求数学期望，得到：

其中

同理

然而

根据 ${\left[C\right]}_j={{\mathrm{\σ}}_E}_j{\left[A\right]}_j,{\left[D\right]}_j={\mathrm{\σ}}_{E_j}^2{\left[A\right]}_j{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_j{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_j}^T{{\left[A\right]}_j}^T$

${\left[C\right]}_j={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_j}{\left[B\right]}_j,{\left[H\right]}_j{=\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_J}^2{\left[B\right]}_j{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_j{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_j}^T{{\left[B\right]}_j}^T$

得到 ${\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_j={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_j{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_j{{\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_j}^T+{\left[c\right]}_J{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_J{{\left[C\right]}_j}^T+{\left[D\right]}_j+{\left[G\right]}_j{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_j{{\left[G\right]}_j}^T+{\left[H\right]}_j.$

${\left\{{\mathrm{\μ}}_F\right\}}_{\mathrm{asm},S}=-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_F\right\}}_j,{\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_{\mathrm{asm},s}=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_j,$ 式中，“-”表示均值，是[K_red]_j在弹性模量和泊松比取均值时的超元刚度矩阵，n为零件总数；

6)根据零件几何尺寸和材料属性的均值，运用有限元分析方法和超元刚度矩阵理论，得到装配体的缩减刚度矩阵[K_red]_sam；

7)建立考虑材料弹性模量和泊松比随机误差的装配体刚度矩阵计算模型，在零件材料弹性模量和泊松比均值处，对[K_red]_sam进行一阶泰勒级数展开；

8)建立装配回弹偏差均值{μ_δ}_asm和协方差矩阵[Σ_δ]_asm计算模型，根据{μ_F}_asm,S＝[K_red]_asm{μ_δ}_asm，得到{μ_δ}_asm＝[K_red]_asm-¹{μ_F}_asm,S。

$\begin{array}{c}{\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_{\mathrm{asm}}={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}}^T+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[D\right]}_{j,\mathrm{asm}}\\ +\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[H\right]}_{j,\mathrm{asm}}\end{array}$

由于

其中， ${\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}={{\mathrm{\σ}}_E}_j{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}},{\left[D\right]}_{j,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{E_j}^2{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T$

${\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}={{\mathrm{\σ}}_v}_j{\left[B\right]}_{j,\mathrm{asm}},{\left[H\right]}_{j,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_j}^2[A{]}_{j,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T$

式中只有[Σ_δ]_asm是未知量，是一个线性矩阵方程，可以利用矩阵的Kronecker积和拉直求得，令

[Q]vec([Σ_δ]_asm)＝vec([Y])

其中， $\left[Q\right]={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}\⊗{\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}\⊗{\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}+{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}\⊗{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}),$

$\left[Y\right]={\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_{\mathrm{asm}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({\left[D\right]}_{j,\mathrm{asm}}+{\left[H\right]}_{j,\mathrm{asm}}),$

符号表示Kronecker积，vec()表示矩阵的列拉直(列展开)；

所以，vec([Σ_δ]_asm)＝[Q]-¹vec([Y])

vec([Σ_δ]_asm)的解即为[Σ_δ]_asm中各元素的值，且[Q]非奇异，[Σ_δ]_asm有唯一解。

所述的步骤4)中对[K_red]_j进行一阶泰勒级数展开，得到：

${\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_j+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂{\stackrel{\‾}{E}}_j}(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}}({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_j+{\left[A\right]}_j(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+{\left[B\right]}_j({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})$ ，其中， ${\left[A\right]}_j=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂\stackrel{\‾}{E_j}},{\left[B\right\}}_j=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}},$ 式中，和分别表示[K_red]_j在弹性模量和泊松比均值处对弹性模量E_j和泊松比υ_j求一阶偏导数，和分别表示零件j的弹性模量和泊松比的随机误差。

所述步骤7)中对[K_red]_sam进行一阶泰勒级数展开，得到：

$\begin{array}{c}{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_j}}(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}}({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})\\ ={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[B\right]}_{j,\mathrm{asm}}({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})\end{array}$

，其中， ${\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_j}},{\left[B\right]}_{j,\mathrm{asm}}=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}},$ 式中，是在弹性模量和泊松比为均值时的值，和分别表示[K_red]_asm在弹性模量和泊松比均值处对弹性模量E_j和泊松比υ_j求一阶偏导数，n为零件总数。

本发明有益效果在于：建立一种考虑材料的弹性模量和泊松比随机误差的柔性装配统计公差分析方法，有助于科学、准确地确定材料属性误差对柔性装配偏差的影响，提高工程应用的科学性。

附图说明

图1为考虑材料属性随机误差的柔性装配统计公差分析方法流程图；

图2为柔性薄板件装配定位阶段截面图；

图3为柔性薄板件装配夹紧阶段截面图；

图4为柔性薄板件装配连接阶段截面图；

图5为柔性薄板件装配释放阶段截面图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明。

本发明的考虑材料属性随机误差的柔性装配统计公差分析方法，流程图如图1所示，具体实施按以下步骤实施：

步骤1：如图2所示柔性薄板件装配定位阶段，用三坐标测量机对薄板件采集数据，得到零件A、B的几何尺寸和偏差δ_A、δ_B，运用统计公差分析方法(STA)得到零件闭合间隙的均值{μ_δ}_A、{μ_δ}_B和方差

步骤2：结合柔性件表面连续性模型，进行协方差(COV)计算，得到闭合间隙协方差矩阵[Σ_δ]_A、[Σ_δ]_B；

[Σ_δ]_A＝[S]_A[Σ_S]_A[S]^T _A  (1)

[Σ_δ]_B＝[S]_B[Σ_S]_B[S]^T _B  (2)

式中，[S]_A、[S]_B是根据表面连续性条件推导出的零件A、B的敏感度矩阵；[Σ_S]_A、[Σ_S]_B是分别由中的值组成的对角矩阵。

步骤3：根据零件几何尺寸和材料属性的均值，运用有限元分析方法(FEM)和超元刚度矩阵理论，得到柔性零件的缩减刚度矩阵[K_red]_A、[K_red]_B；

步骤4：建立考虑材料弹性模量和泊松比随机误差的零件刚度矩阵计算模型；

在零件材料弹性模量和泊松比均值处，对[K_red]_A、[K_red]_B进行一阶泰勒级数展开，即

$\begin{array}{c}{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_A={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_A+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_A}{\∂E_A}(E_A-\stackrel{\‾}{E_A})+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_A}{\∂{\mathrm{\υ}}_A}({\mathrm{\υ}}_A-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_A})\\ ={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_A+{\left[A\right]}_A(E_A-\stackrel{\‾}{E_A})+{\left[E\right]}_A({\mathrm{\υ}}_A-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_A})\end{array}---\left(3\right)$

$\begin{array}{c}{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_B={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_B+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_B}{\∂E_B}(E_B-\stackrel{\‾}{E_B})+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_B}{\∂{\mathrm{\υ}}_B}({\mathrm{\υ}}_B-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_B})\\ ={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_B+{\left[A\right]}_B(E_B-\stackrel{\‾}{E_B})+{\left[E\right]}_B({\mathrm{\υ}}_B-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_B})\end{array}---\left(4\right)$

其中， ${\left[A\right]}_A=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_A}{\∂\stackrel{\‾}{E_A}},{\left[B\right]}_A=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_A}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_A}}$

${\left[A\right]}_B=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_B}{\∂\stackrel{\‾}{E_B}},{\left[B\right]}_B=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_B}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_B}}$

步骤5：如图3和图4所示，在薄板件夹紧阶段和连接阶段，建立零件装配力均值{μ_F}_A、{μ_F}_B和协方差矩阵[Σ_F]_A、[Σ_F]_B以及装配体回弹力均值{μ_F}_asm,S和协方差矩阵[Σ_F]_asm,S计算模型；

其中， ${\left[C\right]}_A={{\mathrm{\σ}}_E}_A{\left[A\right]}_A,{\left[D\right]}_A={\mathrm{\σ}}_{E_A}^2{\left[A\right]}_A{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_A{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_A}^T{{\left[A\right]}_A}^T$

${\left[C\right]}_A={{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\υ}}}_A\left[B\right]}_A,{\left[D\right]}_A={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_A}^2{\left[B\right]}_A{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_A{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_A}^T{{\left[B\right]}_A}^T$

${\left[C\right]}_B={{\mathrm{\σ}}_E}_B{\left[A\right]}_B,{\left[D\right]}_B={\mathrm{\σ}}_{E_B}^2{\left[A\right]}_B{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_B{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_B}^T{{\left[A\right]}_B}^T$

${\left[C\right]}_B={{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\υ}}}_B\left[B\right]}_B,{\left[D\right]}_B={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_B}^2{\left[B\right]}_B{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_B{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_B}^T{{\left[B\right]}_B}^T$

装配回弹力的均值和协方差分别为

{μ_F}_asm,S＝-{μ_F}_A-{μ_F}_B  (9)

[Σ_F]_asm,S＝[Σ_F]_A+[Σ_F]_B  (10)

步骤6：运用有限元分析方法和超元刚度矩阵理论，得到装配体的缩减刚度矩阵[K_red]_asm；

步骤7：建立考虑材料弹性模量和泊松比随机误差的装配体刚度矩阵计算模型；

$\begin{array}{c}{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_A}}(E_A-\stackrel{\‾}{E_A})+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_B}}(E_B-\stackrel{\‾}{E_B})\\ +\frac{{\∂\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_A}}({\mathrm{\υ}}_A-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_A})+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_B}}({\mathrm{\υ}}_B-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_B})\\ ={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+{\left[A\right]}_{A,\mathrm{asm}}(E_A-\stackrel{\‾}{E_A})+{\left[A\right]}_{B,\mathrm{asm}}(E_B-\stackrel{\‾}{E_B})\\ +{\left[B\right]}_{A,\mathrm{asm}}({\mathrm{\υ}}_A-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_A})+{\left[B\right]}_{B,\mathrm{asm}}({\mathrm{\υ}}_B-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_B})\end{array}---\left(11\right)$

其中， ${\left[A\right]}_{A,\mathrm{asm}}=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_A}},{\left[B\right]}_{A,\mathrm{asm}}=\frac{{\∂\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_A}}$

${\left[A\right]}_{B,\mathrm{asm}}=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_B}},{\left[B\right]}_{B,\mathrm{asm}}=\frac{{\∂\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_B}}$

步骤8：如图5所示，在薄板件装配释放阶段，建立装配回弹偏差均值{μ_δ}_asm和协方差矩阵[Σ_δ]_asm计算模型。

{μ_δ}_asm＝[K_red]_asm-¹{μ_F}_asm,S  (12)

$\begin{array}{c}{\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_{\mathrm{asm}}={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}}^T\\ +{\left[C\right]}_{A,\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[C\right]}_{A,\mathrm{asm}}}^T+{\left[C\right]}_{B,\mathrm{asm}}\\ +{\left[G\right]}_{A,\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[G\right]}_{A,\mathrm{asm}}}^T+{\left[G\right]}_{B,\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[G\right]}_{B,\mathrm{asm}}}^T+{\left[H\right]}_{A,\mathrm{asm}}{+\left[H\right]}_{B,\mathrm{asm}}\end{array},{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[C\right]}_{B,\mathrm{asm}}}^T+{\left[D\right]}_{A,\mathrm{asm}}+{\left[D\right]}_{B,\mathrm{asm}}---\left(13\right)$

其中， ${\left[C\right]}_{A,\mathrm{asm}}={{\mathrm{\σ}}_E}_A{\left[A\right]}_{A,\mathrm{asm}},{\left[D\right]}_{A,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{E_A}^2{\left[A\right]}_{A,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[A\right]}_{A,\mathrm{asm}}}^T$

${\left[C\right]}_{B,\mathrm{asm}}={{\mathrm{\σ}}_E}_B{\left[A\right]}_{B,\mathrm{asm}},{\left[D\right]}_{B,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{E_B}^2{\left[A\right]}_{B,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[A\right]}_{B,\mathrm{asm}}}^T$

${\left[G\right]}_{A,\mathrm{asm}}={{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\υ}}}_A\left[B\right]}_{A,\mathrm{asm}},{\left[D\right]}_{A,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_A}^2{\left[B\right]}_{A,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[B\right]}_{A,\mathrm{asm}}}^T$

${\left[G\right]}_{B,\mathrm{asm}}={{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\υ}}}_B\left[B\right]}_{B,\mathrm{asm}},{\left[D\right]}_{B,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_B}^2{\left[B\right]}_{B,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[B\right]}_{B,\mathrm{asm}}}^T$

令

[Q]vec([Σ_δ]_asm)＝vec([Y])  (14)

其中，

$\begin{array}{c}\left[Q\right]={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}\⊗{\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+({\left[C\right]}_{A,\mathrm{asm}}\⊗{\left[C\right]}_{A,\mathrm{asm}}+{\left[G\right]}_{A,\mathrm{asm}}\⊗{\left[G\right]}_{A,\mathrm{asm}})\\ +({\left[C\right]}_{B,\mathrm{asm}}\⊗{\left[C\right]}_{B,\mathrm{asm}}+{\left[G\right]}_{B,\mathrm{asm}}\⊗{\left[G\right]}_{B,\mathrm{asm}})\end{array}$

[Y]＝[Σ_F]_asm-([D]_A,asm+[H]_A,asm)-([D]_B,asm+[H]_B,asm)

符号表示Kronecker积，vec()表示矩阵的列拉直(列展开)；所以，

vec(Σ_δ]_asm)＝[Q]-¹vec([Y])  (15)

装配回弹偏差均值{μ_δ}_asm和协方差矩阵[Σ_δ]_asm可以分别由式(12)和式(15)求得。

本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种柔性装配统计公差分析方法，其特征在于包括以下步骤：

1)采集数据，得到柔性零件几何尺寸和偏差，运用统计公差分析方法得到零件闭合间隙的均值{μ_δ}_j和方差

2)结合柔性件表面连续性模型，进行协方差计算，得到闭合间隙协方差矩阵[Σ_δ]_j＝[S]_j[Σ_S]_j[S]^T _j，式中，[S]_j是根据表面连续性条件推导出的每个零件j的敏感度矩阵，[Σ_S]_j是由为对角元构成的对角矩阵；

3)根据零件几何尺寸和材料属性的均值，运用有限元分析方法和超元刚度矩阵理论，得到柔性零件的缩减刚度矩阵[K_red]_j；

4)建立考虑材料弹性模量和泊松比随机误差的零件刚度矩阵计算模型，在零件材料弹性模量和泊松比均值处，对[K_red]_j进行一阶泰勒级数展开；

5)建立零件装配力的均值{μ_F}_j和协方差矩阵[Σ_F]_j以及装配体的回弹力均值{μ_F}_asm,S和协方差矩阵[Σ_F]_asm,S计算模型，用符号E[]表示求数学期望，得到：

${\left\{{\mathrm{\μ}}_F\right\}}_{\mathrm{asm},S}=-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_F\right\}}_j,{\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_{\mathrm{asm},S}=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_j,$ 式中，“-”表示均值，是[K_red]_j在弹性模量和泊松比取均值时的超元刚度矩阵，n为零件总数；

6)根据零件几何尺寸和材料属性的均值，运用有限元分析方法和超元刚度矩阵理论，得到装配体的缩减刚度矩阵[K_red]_sam；

7)建立考虑材料弹性模量和泊松比随机误差的装配体刚度矩阵计算模型，在零件材料弹性模量和泊松比均值处，对[K_red]_sam进行一阶泰勒级数展开；

8)建立装配回弹偏差均值{μ_δ}_asm和协方差矩阵[Σ_δ]_asm计算模型，其中，{μ_δ}_asm＝[K_red]_asm ^-1{μ_F}_asm,S；

由于 $\begin{array}{c}{\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_{\mathrm{asm}}={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}}^T+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[D\right]}_{j,\mathrm{asm}}\\ +\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}{\left[{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\δ}}\right]}_{\mathrm{asm}}{{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[H\right]}_{j,\mathrm{asm}}\end{array}$

其中， ${\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}={{\mathrm{\σ}}_E}_j{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}},{\left[D\right]}_{j,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{E_j}^2{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T$

${\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}={{\mathrm{\σ}}_v}_j{\left[B\right]}_{j,\mathrm{asm}},{\left[H\right]}_{j,\mathrm{asm}}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\υ}}_j}^2[A{]}_{j,\mathrm{asm}}{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}{{\left\{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\δ}}\right\}}_{\mathrm{asm}}}^T{{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}}^T$

式中只有[Σ_δ]_asm是未知量，是一个线性矩阵方程，可以利用矩阵的Kronecker积和拉直求得[Σ_δ]_asm有唯一解。

2.根据权利要求1所述的柔性装配统计公差分析方法，其特征在于：所述的步骤4)中对[K_red]_j进行一阶泰勒级数展开，得到：

${\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_j+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂{\stackrel{\‾}{E}}_j}(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}}({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_j+{\left[A\right]}_j(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+{\left[B\right]}_j({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})$ ，其中， ${\left[A\right]}_j=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂\stackrel{\‾}{E_j}},{\left[B\right\}}_j=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_j}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}},$ 式中，和分别表示[K_red]_j在弹性模量和泊松比均值处对弹性模量E_j和泊松比υ_j求一阶偏导数，和分别表示零件j的弹性模量和泊松比的随机误差。

3.根据权利要求1所述的柔性装配统计公差分析方法，其特征在于：所述步骤7)中对[K_red]_sam进行一阶泰勒级数展开，得到：

$\begin{array}{c}{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_j}}(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}}({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})\\ ={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}(E_j-\stackrel{\‾}{E_j})+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left[B\right]}_{j,\mathrm{asm}}({\mathrm{\υ}}_j-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j})\end{array}$ ，其中， ${\left[A\right]}_{j,\mathrm{asm}}=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{E_j}},{\left[B\right]}_{j,\mathrm{asm}}=\frac{\∂{\left[K_{\mathrm{red}}\right]}_{\mathrm{asm}}}{\∂\stackrel{\‾}{{\mathrm{\υ}}_j}},$ 式中，是在弹性模量和泊松比为均值时的值，和分别表示[K_red]_asm在弹性模量和泊松比均值处对弹性模量E_j和泊松比υ_j求一阶偏导数，n为零件总数。

4.根据权利要求1所述的柔性装配统计公差分析方法，其特征在于：所述步骤8)中利用矩阵的Kronecker积和拉直求[Σ_δ]_asm的具体计算方法如下：

令[Q]vec([Σ_δ]_asm)＝vec([Y])

其中， $\left[Q\right]={\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}\⊗{\left[\stackrel{\‾}{K_{\mathrm{red}}}\right]}_{\mathrm{asm}}+\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}\⊗{\left[C\right]}_{j,\mathrm{asm}}+{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}\⊗{\left[G\right]}_{j,\mathrm{asm}}),$

$\left[Y\right]={\left[{\mathrm{\Σ}}_F\right]}_{\mathrm{asm}}-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({\left[D\right]}_{j,\mathrm{asm}}+{\left[H\right]}_{j,\mathrm{asm}}),$

符号表示Kronecker积，vec()表示矩阵的列拉直；

所以，vec(Σ_δ]_asm)＝[Q]-¹vec([Y])

的解即为[Σ_δ]_asm中各元素的值，且[Q]非奇异，[Σ_δ]_asm有唯一解。