CN104007327B - 一种快速预测车辆线束时域辐射敏感度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种快速预测车辆线束时域辐射敏感度的方法，过程一：假设线束在无损耗的条件下，用镜像法求取带绝缘层的线束单位长度分布参数，过程二：采用等效线束方法对带绝缘层的线束长度分布参数进行处理，得到等效线束的单位长度分布参数，同时对线束的几何参数，终端电阻进行等效；过程三：将过程二所得参数代入传输线辐射敏感度时域有限差分公式进行运算，求取线束的时域辐射敏感度；本发明的有益效果：重新推得线束导线间电容矩阵的表达式；相对于完整模型计算时间缩短了50％左右；可以观测到线束上任意点的感应电压，入射电场的入射角度可以取实际过程中的任意值。

Description

一种快速预测车辆线束时域辐射敏感度的方法

技术领域

本发明涉及一种快速预测线束时域敏感度的方法，特别涉及一种快速预测车辆线束时域辐射敏感度的方法。

背景技术

等效线束法(Equivalent Cable Bundle Method,ECBM)是一种高效分析大量线缆组成线束的电磁兼容性方法，它首先由Guillaume Andrieu于2006年的博士论文提出，在2008年，Guillaume Andrieu将等效线束方法应用到线束的频域辐射敏感度的分析中。2009年，Guillaume Andrieu将其应用到复杂线束对外部空间的辐射问题中。2013年，GuillaumeAndrieu将等效线束和复杂的地面结构结合对频域辐射敏感度进行了分析。

在国内，重庆大学的2010届硕士研究生曾铉在其毕业论文中在参考国外Guillaume Andrieu的论文的基础，将等效线束法用到线束的电磁辐射的研究中，重庆大学2011届博士研究生郑亚利在其毕业论文中同样参考Guillaume Andrieu的论文的基础，用以有限元法(FEM)为核心的HFSS软件结合等效线束的方法对线束的辐射敏感度和线束的辐射发射进行研究，并且与国外的Guillaume Andrieu的论文中的以矩量法(MOM)为核心算法的FEKO软件以及以传输线理论为核心算法的CRIPTE软件的计算结果进行对比，验证了等效线束方法同样适用于以有限元方法为核心的HFSS软件。南京航天航空大学的2010届硕士研究生邵志江在其硕士论文中，将等效线束方法进行了修改，并将其运用到线束的串扰时域分析中，该方法取得了很好的效果。同样是南京航天航空大学的李茁课题组，进一步将等效线束方法应用到同轴线，端接非线性负载，直角地面等复杂地面的线束串扰时域分析当中。

国内外的研究表明，等效线束的方法运用到线束的频域的辐射发射以及辐射敏感度的分析以及线束串扰的时域分析中，尽管如此，却没有将等效线束的方法应用到线束的辐射敏感度的时域分析中。由于车辆上的电子器件增加，使车辆内部的电磁环境变得日益复杂，而车外的电磁环境由于高压输电线、无线电通讯设备等增多而变得恶劣，同时线束暴露在电磁场的照射下时，其比车辆上的其他部件更容易受到电磁干扰的影响，从而影响线束上的信号传递，造成车辆的潜在的安全隐患。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有的预测车辆线束时域辐射敏感度的方法存在诸多问题而提供的一种快速预测车辆线束时域辐射敏感度的方法。

本发明所述的快速预测车辆线束时域辐射敏感度的方法，其具体方法如下所述：

过程一：假设线束在无损耗的条件下，用镜像法求取带绝缘层的线束单位长度分布参数，在无绝缘层的导线的单位长度电感矩阵和电容矩阵有关系LC＝CL＝μ₀ε₀，其中，μ₀为真空磁导率，ε₀为真空介电常数，L为单位长度电感矩阵，C为单位长度电容矩阵，其中用镜像法可以求得：

其中，矩阵中对角线上的元素为导线的自电感

矩阵中的非对角线上的元素为导线的互电感

对于有绝缘层的导线需要重新推导单位长度电容矩阵，由电磁学可知导体电容C等于导体所带电量与导体电势的比值，即C＝q/V，当导体为线电荷时单位长度电容等于线电荷密度ρ与电势V的比值，即

V＝ρ/C＝Sρ(4)

式中：ρ为线电荷密度；S为电位系数。

电位系数矩阵和电容矩阵的关系为

其中，电位系数矩阵的对角线的元素为

电位系数矩阵的非对角线的元素为

当导体表面覆盖有绝缘层电介质时，导线上总的电荷密度ρ等于绝缘层外表面束缚电荷密度ρ_r＝a+b与导体与绝缘层上的界面上束缚电荷、自由电荷密度之和ρ_r＝a，即ρ＝ρ_r＝a+b+ρ_r＝a，导体与绝缘层的界面上的束缚电荷、自由电荷密度之和为ρ_r＝a＝ρ/ε_r，将其代入(2)式中得到绝缘层外表面束缚电荷密度ρ_r＝a+b＝ρ-ρ_r＝a＝ρ(ε_r-1)/ε_r，令(ε_r-1)/ε_r＝ε_e，故ρ_r＝a+b＝ρε_e，其中，ε_r是相对介电常数；

过程二：采用等效线束方法对带绝缘层的线束长度分布参数进行处理，得到等效线束的单位长度分布参数，同时对线束的几何参数，终端电阻进行等效；

第一步，将线束进行分组：将需要仿真的导线单独分为一组，而除去需要仿真的导线外，线束中剩余导线进行如下方法进行分类：(1)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＜Z_cm，且|Z_2i|＜Z_cm的所有导线归为组a；(2)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＜Z_cm，且|Z_2i|＞Z_cm的所有导线归为组b；(3)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＞Z_cm，且|Z_2i|＜Z_cm的所有导线归为组c；(4)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＞Z_cm，且|Z_2i|＞Z_cm的所有导线归为组d，其中，|Z_1i|和|Z_2i|表示线束中导线i两端的终端阻抗，Z_cm是表示线束共模特性阻抗模值，cm表示共模，在分组过程中，如果某线束中导线的终端所接负载非常接近或者等于共模特性阻抗，该导线的终端能量被此类负载完全吸收，从而对线缆的分组可忽略，则可将该线缆分在任意组中；

第二步，等效线束的单位长度电容矩阵及电感矩阵

设线束共有N根导线，以1号线束作为需要仿真的线束，按第一步的规则将其分为5组等效线束，其中，第一组为1号导线，第二组等效导线由(α-1)根原始导线2至α组成，第三组等效导线由(β-α)根原始导线(α+1)至β组成，第四组等效导线由(γ-β)根原始导线(β+1)至γ组成，第五组等效导线由(N-γ)根原始导线(γ+1)至N组成，电容矩阵和电感矩阵的表达式，如下(8)(9)式所示:

第三步，线束等效模型的位置坐标：

求取第i组所有线束的对地高度

等效线束的间距

第四步，对线束的终端负载进行等效：

线束的终端负载可以分为共模负载和差模负载，即单根线束与参考平面之间的负载定义为共模负载，线束之间的负载定义为差模负载；

等效线束的终端的等效阻抗可以被分为以下三类：

第一类，连接在线束终端和参考平面之间的共模负载的等效；

第二类，连接在同一等效线束中的线束之间的差模负载的等效；

第三类，连接在不同等效线束之间的差模负载；

过程三：将过程二所得参数代入传输线辐射敏感度时域有限差分公式进行运算，求取线束的时域辐射敏感度：

如图3所示，θ_E表示入射电场的入射方向与x轴的正向的夹角，θ_p表示入射电场的入射方向在yoz平面上投影与y轴的正向之间的夹角，φ_p表示入射电场的方向与方向的夹角。如图6所示，分别代表传输线的源端阻抗及负载端阻抗；

入射电场与坐标位置以及频率有关，如(12)式所示入射电场：

其中，ω是入射电场的频率，入射电场矢量在直角坐标系下沿x,y和z轴的各个分量为：

e_x＝sinθ_Esinθ_p

e_y＝-sinθ_E cosθ_pcosφ_p-cosθ_Esinφ_p

e_z＝-sinθ_E cosθ_psinφ_p+cosθ_E cosφ_p

相位系数在坐标系各轴方向上的分量为：

β_x＝-βcosθ_p

β_y＝-βsinθ_p cosφ_p

β_z＝-βsinθ_p sinφ_p

上式是入射电场关于频率的表达，所以(12)式转变为下式：

电场的时间函数由ξ_o(t)表示，其中入射电场沿各坐标轴的传输速度为：

式中，v是入射电场的传输速度；

然后，将入射电场的时域表达与多导体传输线方程进行结合得到(14)、(15)式如下：

式中，传输线上的电压V(z,t)和电流I(z,t)是与传输线上位置以及时间相关的函数，将(14)和(15)离散化，将整个传输线在空间上分成NDZ段，每段为Δz，即空间步长；将总的求解时间划分为NDT段，每段为Δt，即时间步长；将NDZ+1点电压V₁，V₂，···，V_NDZ,V_NDZ+1与NDT点电流I₁，I₂，···，I_NDZ作交织；每一个电压点和相邻的电流点间隔Δz/2；另外，时间点也必须进行交织，每一个电压时间点和相邻的电流时间点间隔Δt/2，如图4所示。由时域有限差分法方法得到上述方程的迭代式(16)-(19)：

其中

向量A_T，A_L中包含线束的几何位置坐标，其稳定性条件为其中v_iMAX是最大模式速度，将等效后的参数代入到(16)-(19)的迭代格式中就可以计算出线束的辐射敏感度。

本发明的有益效果：

1、本发明提出了求取带绝缘层的线束的单位长度的分布参数的镜像法，考虑了绝缘层对线束的单位长度电容矩阵的影响，并且重新推得线束导线间电容矩阵的表达式。

2、高效的数值计算方法；本发明镜像法计算求取线束的单位长度分布参数，再用等效线束的思想，将线束进行等效所得的简化模型，最后用时域有限差分方法求取线束的时域辐射敏感度。从本发明的具体实施方案的算例中可以看出，线束的简化模型的仿真时间相对于完整模型计算时间缩短了50％左右(完整模型有14根线缆仿真时间为11s，简化模型为5根线缆仿真计算时间为5秒左右)。

3、观测点范围较广，电磁仿真软件有一定的局限性，就是只能观测到线束两终端的感应电压，而本发明所用的时域有限差分方法，则可以观测到线束上任意点的感应电压。

4、适用于任意角度的入射电场，本发明不仅适用于具体实施方案中的特例，入射电场的入射角度可以取实际过程中的任意值。

附图说明

图1为导线截面及其镜像图。

图2为绝缘导线截面束缚电荷自由电荷示意图。

图3为入射电场定义的插图：(a)传播方向；(b)电场极化。

图4为传输线空间和时间的离散化的原理图。

图5为线束的横截面图。

图6为EMP的垂直入射的示意图。

图7为入射电场波形图。

图8为线束1的感应电压波形图。

图9为线束4的感应电压波形图。

图10为线束8的感应电压波形图。

图11为线束11的感应电压波形图。

图12为线束14的感应电压波形图。

具体实施方式

下面以一具体实例对本发明方法进一步说明：

图5是线束横截面图，表示线束相对于地面和线束之间位置关系，其中h表示线束中心的对地高度。表2是线束的几何位置坐标。如图6所示外界激励电场垂直照射在线束上，θ_E＝0°，θ_p＝0°，φ_p＝0°，因此e_x＝0，e_y＝0，e_z＝1，v_x＝-v，v_y＝-∞，v_z＝-∞。如图7所示，激励电场为上升时间τ_r＝1ns的斜坡脉冲。如表2所示，可以知道线束中导线的位置以及端接负载阻值的大小。

表2线束中导线的位置以及端接负载阻值的大小(长度单位：mm、终端负载单位为：Ω)

过程一：假设线束在无损耗的条件下，用镜像法求取带绝缘层的线束中导线单位长度分布参数。

过程二：采用等效线束方法对带绝缘层的导线长度分布参数进行处理，得到等效线束的单位长度分布参数，同时对线束的几何参数，终端电阻进行等效，以适应后续的计算。

第一步、对线束进行分组：

将针对线束中的导线1,4,8,11,14的时域辐射敏感度进行分析，则分别得到不同的分组。

对导线1的时域辐射敏感度进行分析时，分组情况为：导线1单独被分为一组，导线2-4被分为一组，导线5-8被分为一组，9-11被分为一组，12-14被分为一组。

对导线4的时域辐射敏感度进行分析时，分组情况为：导线1-3被分为一组，导线4被单独分为一组，导线5-8被分为一组，9-11被分为一组，12-14被分为一组。

对导线8的时域辐射敏感度进行分析时，分组情况为：导线1-4被分为一组，导线5-7被分为一组，导线8被单独分为一组，9-11被分为一组，12-14被分为一组。

对导线11的时域辐射敏感度进行分析时，分组情况为：导线1-4被分为一组，导线5-8被分为一组，导线9-10被分为一组，导线11被单独分为一组，12-14被分为一组。

对导线14的时域辐射敏感度进行分析时，分组情况为：导线1-4被分为一组，导线5-8被分为一组，导线9-11被分为一组，12-13被分为一组，导线14被单独分为一组。

第二步、简化单位长度电感矩阵和电容矩阵：

对导线1的时域辐射敏感度进行分析，所需简化等效模型的单位长度电容矩阵和电感矩阵为：

对导线4的时域辐射敏感度进行分析，所需简化等效模型的单位长度电容矩阵和电感矩阵为：

对导线8的时域辐射敏感度进行分析，所需简化等效模型的单位长度电容矩阵和电感矩阵为：

对导线11的时域辐射敏感度进行分析，所需简化等效模型的单位长度电容矩阵和电感矩阵为：

对导线14的时域辐射敏感度进行分析，所需简化等效模型的单位长度电容矩阵和电感矩阵为：

第三步、位置坐标以及终端电阻的等效简化：

FDTD算法中A_T，A_L，涉及到线束在横截面的坐标(x,y),由于e_x＝0，e_y＝0，e_z＝1，v_x＝-v，v_y＝-∞，v_z＝-∞，即不需要对线束的y坐标进行等效，只需要计算x坐标。对线束中导线1,4，8,11,14进行等效仿真，对其近端和远端的负载阻抗进行等效，以及坐标x进行等效简化等效的如表3所示，其中坐标x表示的是线束中导线对地高度。

表3等效后的简化模型的端接阻抗的幅值以及横坐标x(终端负载单位为：Ω长度单位：mm)

过程三，将过程二所得参数代入传输线辐射敏感度时域有限差分公式进行运算，求取线束的时域辐射敏感度；

将简化参数代入时域有限差分的迭代格式之中。分别用完整模型和等效后的简化模型对线束中的导线1,4,8,11,14的时域辐射敏感度进行仿真。由图8-12所示，等效线束所得简化模型和完整模型所得到的仿真结果基本一致。针对图8-12，分别将完整模型和简化模型计算所需的时间进行比较：在内存为2GB，主频为2.1Ghz的计算机上，完整模型和等效过后的简化模型运算时间如表4所示，简化模型所需的时间是完整模型的50％左右。

表4线束的完整模型和线束等效后的简化模型的计算仿真时间的对比(单位：s)

本发明将等效线束和时域辐射敏感度的时域有限差分方法进行结合，将线束根据终端负载阻抗的与共模阻抗的大小进行比较所得分组，再将线束模型进行简化，最后用时域有限差分方法进行计算。经过数值实验的验证，本发明方法可以应用到线束在外场激励条件下的时域辐射敏感度的仿真分析中。在内存为2GB，主频为2.1GHz的计算机上计算上述算例，由计算结果可以看出，等效过后的简化模型是完整模型的计算时间的50％左右，在精度方面，简化模型和完整模型仿真出的线束终端的感应电压波形相当的吻合。本发明方法实现了线束时域辐射敏感度问题的快速预测，为车辆电磁兼容性的前期设计提供重要依据。本发明不但适用于具体实施方案中θ_E＝0°，θ_p＝0°，φ_p＝0°的入射电场照射的算例，而且适用于实际环境中任意角度的入射电场照射。

Claims (1)

1.一种快速预测车辆线束时域辐射敏感度的方法，其特征在于：其具体方法如下所述：

过程一：假设线束在无损耗的条件下，用镜像法求取带绝缘层的线束单位长度分布参数，在无绝缘层的导线的单位长度电感矩阵和电容矩阵有关系LC＝CL＝μ₀ε₀，其中，μ₀为真空磁导率，ε₀为真空介电常数，L为单位长度电感矩阵，C为单位长度电容矩阵，其中用镜像法可以求得：

其中，矩阵中对角线上的元素为导线的自电感

$L_{ii}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{2\mathrm{\π}}ln\left(\frac{2h_i}{r_i}\right)---\left(2\right)$

矩阵中的非对角线上的元素为导线的互电感

$L_{ij}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{2\mathrm{\π}}ln\left(\frac{d_{ij`}}{d_{ij}}\right)---\left(3\right)$

对于有绝缘层的导线需要重新推导单位长度电容矩阵，由电磁学可知导体电容C等于导体所带电量与导体电势的比值，即C＝q/V，当导体为线电荷时单位长度电容等于线电荷密度ρ与电势V的比值，即

V＝ρ/C＝Sρ (4)

式中：ρ为线电荷密度；S为电位系数；

电位系数矩阵和电容矩阵的关系为

其中，电位系数矩阵的对角线的元素为

$S_{ii}=\frac{1}{2{\mathrm{\π\ϵ}}_0}(\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_r}ln\frac{1}{r_i}+{\mathrm{\ϵ}}_{e}ln\frac{1}{r_i+{\mathrm{\Δr}}_i}-ln\frac{1}{2h_i})---\left(6\right)$

电位系数矩阵的非对角线的元素为

$S_{ij}=\frac{1}{2{\mathrm{\π\ϵ}}_0}\ln \frac{\sqrt{{\left(X_j-X_i\right)}^2+{\left(Y_j+Y_i\right)}^2}}{\sqrt{{\left(X_j-X_i\right)}^2+{\left(Y_j-Y_i\right)}^2}}=\frac{1}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0}\ln \left(1+4\frac{h_i{h}_j}{d_{ij}^2}\right)---\left(7\right)$

当导体表面覆盖有绝缘层电介质时，导线上总的电荷密度ρ等于绝缘层外表面束缚电荷密度ρ_r＝a+b与导体与绝缘层上的界面上束缚电荷、自由电荷密度之和ρ_r＝a，即ρ＝ρ_r＝a+b+ρ_r＝a，导体与绝缘层的界面上的束缚电荷、自由电荷密度之和为ρ_r＝a＝ρ/ε_r，将其代入(2)式中得到绝缘层外表面束缚电荷密度ρ_r＝a+b＝ρ-ρ_r＝a＝ρ(ε_r-1)/ε_r，令(ε_r-1)/ε_r＝ε_e，故ρ_r＝a+b＝ρε_e，其中，ε_r是相对介电常数；

过程二：采用等效线束方法对带绝缘层的线束长度分布参数进行处理，得到等效线束的单位长度分布参数，同时对线束的几何参数，终端电阻进行等效；

第一步，将线束进行分组：将需要仿真的导线单独分为一组，而除去需要仿真的导线外，线束中剩余导线进行如下方法进行分类：(1)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＜Z_cm，且|Z_2i|＜Z_cm的所有导线归为组a；(2)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＜Z_cm，且|Z_2i|＞Z_cm的所有导线归为组b；(3)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＞Z_cm，且|Z_2i|＜Z_cm的所有导线归为组c；(4)将线束剩余导线中终端阻抗满足|Z_1i|＞Z_cm，且|Z_2i|＞Z_cm的所有导线归为组d，其中，|Z_1i|和|Z_2i|表示线束中导线i两端的终端阻抗，Z_cm是表示线束共模特性阻抗模值，cm表示共模，在分组过程中，如果某线束中导线的终端所接负载非常接近或者等于共模特性阻抗，该导线的终端能量被此类负载完全吸收，从而对线缆的分组可忽略，则可将该线缆分在任意组中；

第二步，等效线束的单位长度电容矩阵及电感矩阵

设线束共有N根导线，以1号线束作为需要仿真的线束，按第一步的规则将其分为5组等效线束，其中，第一组为1号导线，第二组等效导线由(α-1)根原始导线2至α组成，第三组等效导线由(β-α)根原始导线(α+1)至β组成，第四组等效导线由(γ-β)根原始导线(β+1)至γ组成，第五组等效导线由(N-γ)根原始导线(γ+1)至N组成，电容矩阵和电感矩阵的表达式，如下(8)(9)式所示:

$C_{eq}=\left[\begin{array}{ccccc}{C}_{11}& \underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}& \underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}& \underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}& \underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}\\ \underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}& \underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}\\ \underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}& \underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}\\ \underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}& \underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}\\ \underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}& \underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}& \underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}\end{array}\right]---\left(8\right)$

$L_{eq}=\left[\begin{array}{ccccc}{L}_{11}& \frac{\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}}{\mathrm{\α}-1}& \frac{\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}}{\mathrm{\β}}& \frac{\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}}{\mathrm{\γ}}& \frac{\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{1q}}{N}\\ \frac{\underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}}{\mathrm{\α}-1}& \frac{\underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{{\left(\mathrm{\α}-1\right)}^2}& \frac{\underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\left(\mathrm{\α}-1\right)\mathrm{\β}}& \frac{\underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\left(\mathrm{\α}-1\right)\mathrm{\γ}}& \frac{\underset{p=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\left(\mathrm{\α}-1\right)N}\\ \frac{\underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}}{\mathrm{\β}}& \frac{\underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\left(\mathrm{\α}-1\right)\mathrm{\β}}& \frac{\underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{{\mathrm{\β}}^2}& \frac{\underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\mathrm{\β}\mathrm{\γ}}& \frac{\underset{p=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\mathrm{\β}N}\\ \frac{\underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}}{\mathrm{\γ}}& \frac{\underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\left(\mathrm{\α}-1\right)\mathrm{\γ}}& \frac{\underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\mathrm{\γ}\mathrm{\β}}& \frac{\underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{{\mathrm{\γ}}^2}& \frac{\underset{p=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\mathrm{\γ}N}\\ \frac{\underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{p1}}{N}& \frac{\underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=2}{\overset{\mathrm{\α}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\left(\mathrm{\α}-1\right)N}& \frac{\underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\α}+1}{\overset{\mathrm{\β}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\mathrm{\β}N}& \frac{\underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\β}+1}{\overset{\mathrm{\γ}}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{\mathrm{\γ}N}& \frac{\underset{p=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=\mathrm{\γ}+1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{C}_{pq}}{N^2}\end{array}\right]---\left(9\right)$

第三步，线束等效模型的位置坐标：

求取第i组所有线束的对地高度

$h_i=\frac{h_1+h_2+\mathrm{...}{h}_K}{K}---\left(10\right)$

等效线束的间距

$d_{ij}=\sqrt{\frac{4h_i{h}_j}{\exp \left(\frac{4\mathrm{\π}\·L_{ij-eq}}{{\mathrm{\μ}}_0}\right)-1}}---\left(11\right)$

第四步，对线束的终端负载进行等效：

线束的终端负载可以分为共模负载和差模负载，即单根线束与参考平面之间的负载定义为共模负载，线束之间的负载定义为差模负载；

等效线束的终端的等效阻抗可以被分为以下三类：

第一类，连接在线束终端和参考平面之间的共模负载的等效；

第二类，连接在同一等效线束中的线束之间的差模负载的等效；

第三类，连接在不同等效线束之间的差模负载；

过程三：将过程二所得参数代入传输线辐射敏感度时域有限差分公式进行运算，求取线束的时域辐射敏感度：

θ_E表示入射电场的入射方向与x轴的正向的夹角，θ_p表示入射电场的入射方向在yoz平面上投影与y轴的正向之间的夹角，φ_p表示入射电场的方向与方向的夹角，分别代表传输线的源端阻抗及负载端阻抗；

入射电场与坐标位置以及频率有关，如(12)式所示入射电场：

${\stackrel{\→}{\hat{E}}}^{incident}(x,y,z,\mathrm{\ω})={\hat{E}}_o\left(\mathrm{\ω}\right)(e_x{\stackrel{\→}{a}}_x+e_y{\stackrel{\→}{a}}_y+e_z{\stackrel{\→}{a}}_z)\×e^{-{\mathrm{j\β}}_{x}x}{e}^{-{\mathrm{j\β}}_{y}y}{e}^{-{\mathrm{j\β}}_{z}z}---\left(12\right)$

其中，ω是入射电场的频率，入射电场矢量在直角坐标系下沿x,y和z轴的各个分量为：

e_x＝sinθ_E sinθ_p

e_y＝-sinθ_E cosθ_p cosφ_p-cosθ_E sinφ_p

e_z＝-sinθ_E cosθ_p sinφ_p+cosθ_E cosφ_p

相位系数在坐标系各轴方向上的分量为：

β_x＝-βcosθ_p

β_y＝-βsinθ_p cosφ_p

β_z＝-βsinθ_p sinφ_p

上式是入射电场关于频率的表达，所以(12)式转变为下式：

${\stackrel{\→}{\mathrm{\ξ}}}^{incident}(x,y,z,t)={\mathrm{\ξ}}_o(t-\frac{x}{v_x}-\frac{y}{v_y}-\frac{z}{v_z})\×\[e_x{\stackrel{\→}{a}}_x+e_y{\stackrel{\→}{a}}_y+e_z{\stackrel{\→}{a}}_z\]---\left(13\right)$

电场的时间函数由ξ_o(t)表示，其中入射电场沿各坐标轴的传输速度为：

$v_x=\frac{\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\β}}_x}=-\frac{v}{{\mathrm{cos\θ}}_p}$

$v_y=\frac{\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\β}}_y}=-\frac{v}{{\mathrm{sin\θ}}_p{\mathrm{cos\φ}}_p}$

$v_z=\frac{\mathrm{\ω}}{{\mathrm{\β}}_z}=-\frac{v}{{\mathrm{sin\θ}}_p{\mathrm{sin\φ}}_p}$

式中，v是入射电场的传输速度；

然后，将入射电场的时域表达与多导体传输线方程进行结合得到(14)、(15)式如下：

$\frac{\∂}{\∂z}V(z,t)+L\frac{\∂}{\∂t}(z,t)=\[\frac{1}{v_z}{A}_T-A_L\]\frac{\∂}{\∂t}{\mathrm{\ξ}}_o\left(t-\frac{z}{v_z}\right)---\left(14\right)$

$\frac{\∂}{\∂z}I(z,t)+C\frac{\∂}{\∂t}V(z,t)=-{\mathrm{CA}}_T\frac{\∂}{\∂t}{\mathrm{\ξ}}_o\left(t-\frac{z}{v_z}\right)---\left(15\right)$

式中，传输线上的电压V(z,t)和电流I(z,t)是与传输线上位置以及时间相关的函数，将(14)和(15)离散化，将整个传输线在空间上分成NDZ段，每段为Δz，即空间步长；将总的求解时间划分为NDT段，每段为Δt，即时间步长；将NDZ+1点电压V₁，V₂，···，V_NDZ,V_NDZ+1与NDT点电流I₁，I₂，···，I_NDZ作交织；每一个电压点和相邻的电流点间隔Δz/2；另外，时间点也必须进行交织，每一个电压时间点和相邻的电流时间点间隔Δt/2，由时域有限差分法方法得到上述方程的迭代式(16)-(19)：

$V_1^{n+1}={\left(\frac{\mathrm{\Δ}z}{\mathrm{\Δ}t}RsC+1_n\right)}^{-1}\left\{\left(\frac{\mathrm{\Δ}z}{\mathrm{\Δ}t}RsC-1_n\right)V_1^n-2{\mathrm{RsI}}_1^{n+1/2}+\left(V_s^{n+1}+V_s^n\right)-\frac{\mathrm{\Δ}z}{\mathrm{\Δ}t}{\mathrm{RsCA}}_T\[{\mathrm{\ξ}}_o\left(t^{n+1}\right)-{\mathrm{\ξ}}_o\left(t^n\right)\]\right\}---\left(16\right)$

$V_{NDZ+1}^{n+1}={\left(\frac{\mathrm{\Δ}z}{\mathrm{\Δ}t}{R}_{L}C+1_n\right)}^{-1}\left\{\left(\frac{\mathrm{\Δ}z}{\mathrm{\Δ}t}{R}_{L}C-1_n\right)V_{NDZ+1}^n+2R_L{I}_{NDZ}^{n+1/2}+\left(V_L^{n+1}+V_L^n\right)-\frac{\mathrm{\Δ}z}{\mathrm{\Δ}t}{R}_L{\mathrm{CA}}_T\[{\mathrm{\ξ}}_o\left(t^{n+1}-\frac{NDZ\mathrm{\Δ}t}{v_z}\right)-{\mathrm{\ξ}}_o\left(t^n-\frac{NDZ\mathrm{\Δ}t}{v_z}\right)\]\right\}---\left(17\right)$

$V_k^{n+1}=V_k^n-\frac{\mathrm{\Δ}t}{\mathrm{\Δ}z}{C}^{-1}\[I_k^{n+1/2}-I_{k-1}^{n+1/2}\]-A_T\[{\mathrm{\ξ}}_o(t^{n+1}-\frac{(k-1)\mathrm{\Δ}z}{v_z})-{\mathrm{\ξ}}_o(t^n-\frac{(k-1)\mathrm{\Δ}z}{v_z})\]---\left(18\right)$

$I_k^{n+3/2}=I_k^{n+1/2}-\frac{\mathrm{\Δ}t}{\mathrm{\Δ}z}{L}^{-1}\[V_{k+1}^{n+1}-V_k^{n+1}\]+L^{-1}\[\frac{1}{v_z}{A}_T-A_L\]\[{\mathrm{\ξ}}_o(t^{n+3/2}-\frac{(k-1/2)\mathrm{\Δ}z}{v_z})-{\mathrm{\ξ}}_o(t^{n+1/2}-\frac{(k-1/2)\mathrm{\Δ}z}{v_z})\]---\left(19\right)$

其中

$A_T=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ (e_x{x}_i+e_y{y}_i)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\end{array}\right]$

$A_L=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ \left(\frac{x_i}{v_x}+\frac{y_i}{v_y}\right)e_z\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\end{array}\right]$

向量A_T，A_L中包含线束的几何位置坐标，其稳定性条件为其中v_iMAX是最大模式速度，将等效后的参数代入到(16)-(19)的迭代格式中就可以计算出线束的辐射敏感度。