CN103939283B - 垂直轴风力机专用叶片 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种垂直轴风力机专用高效叶片，该叶片具有流线形状的截面，截面边缘由前缘点、后缘点、上翼面边缘、下翼面边缘构成，上翼面边缘的一端与下翼面边缘的一端在前缘点接合，上翼面边缘的另一端与下翼面边缘的另一端在后缘点接合；以连接前缘点和后缘点的直线段为翼弦，上翼面边缘位于翼弦和下翼面边缘的上方；以垂直于翼弦的方向为竖直方向，截面在竖直方向上厚度最大处在翼弦上的垂足与前缘点之间的距离为翼弦长度的0.12‑0.29倍。本发明叶片专门针对垂直轴风力机设计，具有优良的风能利用性能。
Description
技术领域
本发明涉及一种风力机用叶片，尤其是一种垂直轴风力机专用叶片，属于风力发电叶片翼型技术领域。
背景技术
据申请人所知，传统风力机叶片的翼型通常沿用航空翼型(如NACA系列、DVL系列、RAE系列等)，其中用的最多的是NACA系列翼型，很多水平轴风力机采用NACA230ZZ和NACA44ZZ翼型(ZZ表示最大厚度与弦长比值的100倍整数)，垂直轴风力机采用NACA00ZZ翼型和其它的航空翼型。
由于航空翼型是针对飞行器设计的，而风力机的流场状态及其变化与飞行器并不相同，因此航空翼型并不是风力机叶片的最佳翼型，研发适合风力机叶片的翼型是提高风力机风能利用效率最有效的关键技术。
然而，目前业已研发的风力机叶片专用翼型均针对水平轴风力机，如SERI系列、NREL系列、RISΦ－A系列、FFA－W系列等，还没有专门针对垂直轴风力机研发的翼型，导致垂直轴风力机只能继续采用航空翼型，这就是目前垂直轴风力机的风能利用效率低于水平轴风力机的主要原因。
水平轴风力机运行在定常流场或考虑了螺旋形尾流因素的准定常流场中，而垂直轴风力机运行时流场的变化比水平轴风力机复杂很多，其特点是叶片大分离运行并激发涡流形成湍流状态很强的非定常流场，叶片之间彼此的影响很大，叶片气动性能的瞬态性很强(风洞实验很难测量瞬态过程中叶片的力学参数)。因此，针对水平轴风力机可以用稳态条件的传统方法获得叶片性能数据或参量信息，但是针对垂直轴风力机则传统方法很难奏效，由此可见，垂直轴风力机叶片翼型研发的难点是：传统的翼型研究方法不适合研发垂直轴风力机叶片翼型。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是：克服现有技术存在的问题，提供一种垂直轴风力机专用叶片，专门针对垂直轴风力机的特点而设计，具有优良的风能利用性能。
本发明解决其技术问题的基本技术方案如下：
一种垂直轴风力机专用叶片，具有流线形状的截面，所述截面边缘由前缘点、后缘点、上翼面边缘、下翼面边缘构成，所述上翼面边缘的一端与下翼面边缘的一端在前缘点接合，所述上翼面边缘的另一端与下翼面边缘的另一端在后缘点接合；以连接前缘点和后缘点的直线段为翼弦，所述上翼面边缘位于翼弦和下翼面边缘的上方；其特征是，以垂直于翼弦的方向为竖直方向，所述截面在竖直方向上厚度最大处在翼弦上的垂足与前缘点之间的距离为翼弦长度的0.12－0.29倍。
采用该结构后，即可使叶片在垂直轴风力机运行的非定常流场中具有优良的风能利用性能。
具体描述时，以翼弦长度为标度建立相对坐标系：以前缘点为原点、翼弦所处直线为x轴、垂直于翼弦且过前缘点的直线为y轴，所述x轴朝向后缘点的方向为x轴正向，所述y轴朝上为y轴正向；以翼弦长度为单位长度，即以翼弦长度为1；
所述截面在y轴方向上厚度最大处的厚度为翼弦长度的t倍，t即为翼型相对厚度，该厚度最大处在x轴上的垂足与前缘点之间的距离为翼弦长度的xt倍，即xt＝0.12－0.29；
所述截面的翼型中弧线弯度最大处的弯度为翼弦长度的f倍，f即为翼型相对弯度，该弯度最大处在x轴上的垂足与前缘点之间的距离为翼弦长度的xf倍；
所述截面前缘处为圆头，其内切圆半径为翼弦长度的ra倍，ra即为翼型前缘半径；
所述上翼面边缘和下翼面边缘在截面后缘点处的外延切线之间的夹角为γ，γ即为翼型后缘角。
所述上翼面边缘、下翼面边缘的曲线函数分别为y+(x)、y－(x)：
y+(x)＝yc(x)+yt(x)cosδ Ⅰ
y－(x)＝yc(x)－yt(x)cosδ Ⅱ
其中，yt(x)为翼型厚度分布函数，yc(x)为翼型弯度分布函数；δ为yc(x)在x处的切线与翼弦之间的夹角，dyc(x)/dx＝tanδ为相应切线的斜率；
yt(x)在xt前后分别为：
yt(x≤xt)＝yt1(x)＝t(ζ0x0.5+ζ1x+ζ2x2+ζ3x3) Ⅲ
yt(x≥xt)＝yt2(x)＝t[σ0+σ1(1－x)+σ2(1－x)2+σ3(1－x)3] Ⅳ
yt(x)的边界条件为：
yt1(xt)＝yt2(xt)，且dyt1(x)/dx∣X＝Xt＝dyt2(x)/dx∣X＝Xt＝0 Ⅴ
Ⅲ、Ⅳ式中，ζ0、ζ1、ζ2、ζ3以及σ0、σ1、σ2、σ3分别为各式中对应项的权重系数；且
ra＝(tζ0)2、γ＝2dyt(x)/dx∣x→1＝2tσ1 Ⅵ
yc(x)在xf前后分别为：
yc(x≤xf)＝yc1(x)＝κ0+κ1x+κ2x2+κ3x3+κ4x4+κ5x5+κ6x6+κ7xξ Ⅶ
yc(x≥xf)＝yc2(x)＝η0+η1(1－x)+η2(1－x)2+η3(1－x)3+η4(1－x)4 Ⅷ
Ⅶ式中0.5＜ξ＜1；
当ξ值确定且κ0和η0均为0时，yc(x)在xf前后分别为：
yc(x≤xf)＝yc1(x)＝ε1x+ε2x2+ε3x3+ε4x4+ε5x5+ε6x6+ε7x2/3+ε8x3/4 Ⅸ
yc(x≥xf)＝yc2(x)＝η1(1－x)+η2(1－x)2+η3(1－x)3+η4(1－x)4 Ⅹ
yc(x)的边界条件为：
yc1(xf)＝yc2(xf)、dyc1(x)/dx∣X＝Xf＝dyc2(x)/dx∣X＝Xf＝0 Ⅺ
Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ式中κ0、κ1、κ2、κ3、κ4、κ5、κ6、κ7，ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8以及η0、η1、η2、η3、η4分别为各式中对应项的权重系数。
优选地，所述叶片为第一类翼型或第二类翼型或第三类翼型；当叶片为第一类翼型时，所述上翼面边缘和下翼面边缘分别向外侧凸出、且关于翼弦对称，t＝0.08－0.25；当叶片为第二类翼型时，所述上翼面边缘和下翼面边缘分别向外侧凸出、且非对称地分布于翼弦两侧，f＝0.006－0.08，xf＝0.12－0.40，且t＝0.08－0.25；当叶片为第三类翼型时，所述上翼面边缘向外侧凸出，所述下翼面边缘具有拱向上翼面边缘内侧的凹陷，f＝0.02－0.10，xf＝0.10－0.60，且t＝0.08－0.25。
更优选地，当叶片为第一类翼型时，t＝0.12－0.20且xt＝0.14－0.28；当叶片为第二类翼型时，f＝0.008－0.05，xf＝0.14－0.38，t＝0.12－0.20，且xt＝0.14－0.28；当叶片为第三类翼型时，f＝0.03－0.09，xf＝0.15－0.55，t＝0.12－0.20，且xt＝0.14－0.28。
更优选地，当叶片为第一类翼型时，t＝0.14－0.18且xt＝0.16－0.26；当叶片为第二类翼型时，f＝0.01－0.03，xf＝0.16－0.36，t＝0.14－0.18，且xt＝0.16－0.26；当叶片为第三类翼型时，f＝0.04－0.08，xf＝0.16－0.50，t＝0.14－0.18，且xt＝0.16－0.26。
更优选地，当叶片为第一类翼型时，所述上翼面边缘曲线函数y+(x)＝yt(x)，所述下翼面边缘曲线函数y－(x)＝－yt(x)；当叶片为第二类或第三类翼型时，在利用dyc(x)/dx＝tanδ计算δ时，以x＝0.005为的x坐标起始点。
更优选地，当叶片为第一类或第二类或第三类翼型时，所述截面后缘处钝化后以圆角过渡。
更优选地，当叶片为第一类或第二类或第三类翼型时，所述叶片为垂直于旋转轴的截面沿旋转轴以预设路径上下延伸形成的三维叶片。
此外，经申请人研究，具有以下要点的叶片能具有更优化的性能：
对于yt(x)而言：
当t＝0.12－0.20时，
若Xt为0.16，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.9186、－1.0568、－4.7589、5.2423；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0006、1.1477、－0.3744、－0.3539；
若Xt为0.18，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.9520、－0.8270、－8.7357、17.9319；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0009、0.9178、－0.1172、－0.3135；
若Xt为0.20，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.8189、－0.9535、－3.8384、3.7532；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0011、1.1308、－0.3078、－0.4176；
若Xt为0.22，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.5047、－0.8289、0.3887、－3.9833；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0008、1.1434、－0.3553、－0.3799；
若Xt为0.23，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为2.0188、－1.5083、－4.3190、8.9379；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0021、1.0263、－0.2049、－0.3650；
若Xt为0.25，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.5789、－0.7049、－2.2474、1.8778；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0010、1.1326、－0.4138、－0.2660；
若Xt为0.26，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.4781、－0.5831、－2.1353、2.3576；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0014、1.1248、－0.2835、－0.4368；
对于yc(x)而言：
若f为0.0145，Xf为0.28，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为－0.1612、2.4334、－22.1087、112.0009、－290.0895、298.4389、0.3881、－0.3764；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0302、－0.0152、0.0233、－0.0301；
若f为0.0150，Xf为0.29，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为0.2688、－0.3013、－0.0790、6.1460、－26.5137、36.7832、0.4981、－0.6702；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0315、－0.0142、0.0200、－0.0295；
若f为0.0155，Xf为0.36，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为－0.1690、1.7701、－14.6827、58.9612、－114.4102、86.5877、0.2023、－0.1237；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0590、－0.0642、0.0035、0.0180；
若f为0.0160，Xf为0.37，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为－0.0881、1.4017、－9.8287、37.9182、－74.5058、58.0582、0.3830、－0.3916；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0381、－0.0220、0.0386、－0.0567；
若f为0.0700，Xf为0.38，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为0.7264、0.1020、－19.3687、90.3541、－170.8980、119.5011、0.1130、－0.2205；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.2264、－0.1486、－0.1073、0.0854；
若f为0.0800，Xf为0.45，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为0.8190、－1.4473、－3.7479、27.9825、－56.9694、39.6996、0.1292、－0.2803；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.2624、－0.1704、－0.1336、0.1223。
与现有技术中垂直轴风力机常采用的NACA00ZZ翼型叶片相比，本发明叶片专门针对垂直轴风力机运行的非定常流场而设计，具有高于NACA00ZZ翼型的风能利用系数，性能优良。
附图说明
图1至图3分别为本发明以第一类、第二类、第三类翼型叶片建立坐标系的示意图。
图4为本发明所用CFD方法中的翼型方位参数示意图。
图5至图8分别为本发明实施例1中，以CFD方法计算所得的在静止参照系中、由本发明某一翼型以相同半径组成的三、四、五、六叶片风轮在某一时刻的流线分布图。
图9为本发明实施例2所举第一类LF00ZZPP翼型的示意图。
图10和图11分别为本发明实施例3所举第二类翼型的示意图。
图12为本发明实施例4所举第三类翼型的示意图。
图13为本发明第一类LF00ZZPP翼型的y+(x)和y－(x)的范围边界线B11+up与B11+low和B11－up与B11－low的图示及其对应之间形成的域由竖线阴影区所示。
图14为本发明第一类LF00ZZPP翼型的y+(x)和y－(x)的范围边界线B12+up与B12+low和B12－up与B12－low的图示及其对应之间形成的域由横线阴影区所示。
图15为本发明第二类LFIJZZPP翼型的y+(x)和y－(x)的范围边界线B21+up与B21+low和B21－up与B21－low的图示及其对应之间形成的域由竖线阴影区所示。
图16为本发明第二类LFIJZZPP翼型的y+(x)和y－(x)的范围边界线B22+up与B22+low和B22－up与B22－low的图示及其对应之间形成的域由横线阴影区所示。
图17为本发明第三类LFIJZZPP翼型的y+(x)和y－(x)的范围边界线B31+up与B31+low和B31－up与B31－low的图示及其对应之间形成的域由竖线阴影区所示。
图18为本发明第三类LFIJZZPP翼型的y+(x)和y－(x)的范围边界线B32+up与B32+low和B32－up与B32－low的图示及其对应之间形成的域由横线阴影区所示。
图19为本发明实施例1中，以CFD方法计算三叶片风轮的风能利用系数Cp(θ)随风轮旋转角θ旋转五转(m为周转次序数)的变化示意图。
图20为本发明实施例1中，以CFD方法计算风能利用系数的每转平均值Cp随周转次序数m的变化示意图。
图21和图22分别为本发明实施例5中在风速W＝5m/s或10m/s下，t值相同的第一类LF00ZZPP翼型和NACA00ZZ翼型的Cp随风轮转速V的变化示意图。
图23和图24分别为本发明实施例5中在风速W＝5m/s或10m/s下，t值、f值和xf值均相同的第二类LFIJZZPP翼型和NACAIJZZ翼型的Cp随风轮转速V的变化示意图。
图25和图26分别为本发明实施例5中在风速W＝5m/s或10m/s下，t值、f值和xf值均相同的第三类LFIJZZPP翼型和NACAIJZZ翼型的Cp随风轮转速V的变化示意图。
图27至图29分别为本发明实施例6中第一类、第二类、第三类翼型与其后缘角钝化后所得叶片截面的比较示意图。
图30至图31分别为本发明实施例7中三维叶片的示意图。
具体实施方式
1.本发明的研究思路如下：
在现有理论中，叶片翼型应由空气动力学给出，但是空气动力学的复杂性导致无法数学解析出性能与翼型的对应关系，也即由空气动力学无法获知要达到预设性能时翼型应该采用何种形状，这意味着翼型研发没有通用的理论设计标准，也即无法在空气动力学规律的直接规范下实施翼型设计，那就只能针对气流的变化性质——流场状态(在空气动力学规律的间接规范下)来设计翼型。
申请人采用的研究方法如下：先以几何方法构形并做出叶片，再由实验和CFD方法检测效果并寻找改进的线索，如此循环直至获得性能良好(符合空气动力学规律)的翼型出现。
本发明所用CFD方法利用了能产生非定常流场环境模拟的计算流体力学(ComputationalFluidDynamics，简称CFD)软件，该方法通过数值模拟计算得出含有特定翼型叶片组成风轮的风力机的功率、力矩和风能利用系数Cp，这三个性能参数与过程无关，且可在风洞测试中获得，其中Cp与叶片翼型直接相关。
具体研究过程如下：
第一步、以几何参数描述叶片翼型：
如图1至图3所示，以叶片的流线形截面为对象，截面边缘由前缘点a、后缘点b、上翼面边缘y+(x)和下翼面边缘y－(x)(亦称上、下表面)构成，上翼面边缘的一端与下翼面边缘的一端在前缘点a接合，上翼面边缘的另一端与下翼面边缘的另一端在后缘点b接合；以连接前缘点a和后缘点b的直线段为翼弦，上翼面边缘位于翼弦和下翼面边缘的上方。
以翼弦长度为标度建立相对坐标系：以前缘点a为原点、翼弦所处直线为x轴、垂直于翼弦且过前缘点a的直线为y轴，x轴朝向后缘点b的方向为x轴正向，y轴朝上为y轴正向；以翼弦长度为单位长度，即以翼弦长度为1，则a点坐标为(0，0)，b点坐标为(1，0)。
截面在y轴方向上厚度最大处的厚度为翼弦长度的t倍，t即为翼型相对厚度，该厚度最大处在x轴上的垂足与前缘点a之间的距离为翼弦长度的xt倍；截面的翼型中弧线弯度最大处的弯度为翼弦长度的f倍，f即为翼型相对弯度，该弯度最大处在x轴上的垂足与前缘点a之间的距离为翼弦长度的xf倍；截面前缘处为圆头，其内切圆半径为翼弦长度的ra倍，ra即为翼型前缘半径；上翼面边缘和下翼面边缘在截面后缘点b处的外延切线之间的夹角为γ，γ即为翼型后缘角。
上翼面边缘y+(x)和下翼面边缘y－(x)与翼型弯度分布函数yc(x)和翼型厚度分布函数yt(x)的关系式为：
yc(x)＝y+(x)+y－(x)
yt(x)＝[(y+－y－)2+(x+－x－)2]
即：yc(x)是相同x值的上、下翼面边缘高度之和的一半(即反映翼型弯曲程度的翼型中弧线弯度)随x的变化。当x＝xf时、yC(xf)＝fmax＝f为翼型的最大相对弯度、简称相对弯度。
yt(x)是任选的上翼面边缘一点y+(x+)与下翼面边缘一点y－(x－)之差的一半。当y+(x+)取前缘点a、y－(x－)取后缘点b时，yt＝(即翼弦长度的一半)、反映翼型x轴向的“厚度”；当y+(x+)和y－(x－)取x+＝x－的点时，yt(x)＝[y+(x)–y－(x)]、反映翼型平行y轴向的厚度随x的变化。当x＝xt时、yt(xt)＝tmax＝t，t为翼型平行y轴向的最大相对厚度、简称相对厚度。
导数dyc(x)/dx＝tanδ是yc(x)在x处的切线斜率，δ表示该切线与翼弦之间的夹角。
风力机叶片的翼型属低速翼型，上述f、xf、t、xt这四个参数描述的翼型几何特征对翼型的气动性能影响较大。
yt(x)、yc(x)与y+(x)、y－(x)的关系式为：
y+(x)＝yc(x)+yt(x)cosδ (1)
y－(x)＝yc(x)－yt(x)cosδ (2)
针对设计目标构造yc(x)和yt(x)而获得翼型和几何参数f、xf、t、xt。
具体构造yc(x)和yt(x)分别进行比较便捷，首先令yc(x)＝0、则δ＝0，由(1)式和(2)式得y±(x)＝±yt(x)，先在对称翼型上用上述的方法构造yt(x)，再将确定的yt(x)代入(1)式和(2)式，在非对称翼型上用上述的方法构造yc(x)。
yt(x)的两种构造方式：
一是yt(x)＝τ0x+τ1x+τ2x2+τ3x3+τ4x4 (3)
二是以x＝xt为界，
yt(x≤xt)＝yt1(x)＝τ0x+τ1x+τ2x2+τ3x3 (4)
yt(x≥xt)＝yt2(x)＝ν0+ν1(1－x)+ν2(1－x)2+ν3(1－x)3 (5)
其边界条件是
yt1(xt)＝yt2(xt)、dyt1(x)/dx∣X＝Xt＝dyt2(x)/dx∣X＝Xt＝0 (6)
上述的τi(i＝0，1，2，3，4)和νi(i＝0，1，2，3)是对应变量项的权重系数，它们是调整yt(x)的具体修改对象。
前缘半径ra＝τ0 2、后缘角γ＝dyt(x)/dx∣x→1＝ν1。
yc(x)的构造方式为：
以x＝xf为界，yc(x≤xf)＝yc1(x)和yc(x≥xf)＝yc2(x)，
其边界条件是
yc1(xf)＝yc2(xf)、dyc1(x)/dx∣X＝Xf＝dyc2(x)/dx∣X＝Xf＝0 (7)
yc1(x)和yc2(x)可由不同指数常量的幂函数叠加构成。
以现有NACA翼型为例：四位数NACA翼型的yc1(x)＝κ0+κ1x+κ2x2和yc2(x)＝η0+η1(1－x)+η2(1－x)2、其yt(x)为(3)式；五位数NACA翼型的yc1(x)＝κ0+κ1x+κ2x2+κ3x3和yc2(x)＝η0+η1(1－x)+η2(1－x)2+η3(1－x)3；六位数NACA翼型属层流翼型因而不适作风力机的叶片，此处不再赘述。
需要指出的是：目前垂直轴风力机上广泛使用的叶片类型是NACAIJZZ翼型(即四位数NACA翼型)，其中I表示相对弯度f的100倍整数、J表示f对应x坐标的位置xf的10倍整数、ZZ表示相对厚度t的100倍整数，由于所有四位数NACA翼型的xt＝0.30(五、六位数NACA翼型的xt依次是0.30和＞0.35)，故NACAIJZZ翼型的表示符号中没有xt的信息。
第二步、设计一系列叶片翼型，并进行CFD计算和风洞测试
首先，校正yt(x)和yc(x)：先设定一组翼型几何参数f、xf、t、xt的值并构造yt(x)和yc(x)函数；再将yc(x)和yt(x)代入(1)式和(2)式得出y+(x)和y－(x)形成初步翼型，在初步翼型上测量各几何参数的值并与设定值比较，根据比较结果对现有yt(x)和yc(x)函数进行调整；然后将调整后的yt(x)和yc(x)代入(1)式和(2)式形成新翼型，在新翼型上测量各几何参数的值并与前次形成翼型上测得的值比较；如此循环迭代直到能使至少两次测得的f、xf、t、xt值基本一致的yt(x)和yc(x)产生。
申请人在构造并校正yt(x)和yc(x)后的结果为：
yt(x)为：
yt(x≤xt)＝yt1(x)＝t(ζ0x0.5+ζ1x+ζ2x2+ζ3x3) (8)
yt(x≥xt)＝yt2(x)＝t[σ0+σ1(1－x)+σ2(1－x)2+σ3(1－x)3] (9)
yt(x)的边界条件为(6)式。
式中ζi(i＝0，1，2，3)和σi(i＝0，1，2，3)是对应项的权重系数，在校正yt(x)时以调整这些系数为主；且
ra＝(tζ0)2、γ＝2dyt(x)/dx∣x→1＝2tσ1 (10)
yc(x)为：
yc(x≤xf)＝yc1(x)＝κ0+κ1x+κ2x2+κ3x3+κ4x4+κ5x5+κ6x6+κ7xξ (11)
yc(x≥xf)＝yc2(x)＝η0+η1(1－x)+η2(1－x)2+η3(1－x)3+η4(1－x)4 (12)
yc(x)的边界条件为(7)式。
式中κi(i＝0，1，…，7)和ηi(i＝0，1，…，4)是对应项的权重系数，(11)式中ξ为指数常数，且0.5＜ξ＜1，可结合(7)式通过调整权重系数和指数常数来校正yc(x)。
当ξ值确定且κ0和η0均为0时，yc(x)为：
yc(x≤xf)＝yc1(x)＝ε1x+ε2x2+ε3x3+ε4x4+ε5x5+ε6x6+ε7x2/3+ε8x3/4 (13)
yc(x≥xf)＝yc2(x)＝η1(1－x)+η2(1－x)2+η3(1－x)3+η4(1－x)4 (14)
式中εi(i＝1，…，8)和ηi(i＝1，…，4)是对应项的权重系数；
以ε7x2/3+ε8x3/4取代(11)式中κ7xξ项，这样可仅通过调整权重系数来校正yc(x)。
以上各式中，权重系数的取值范围为：能在将满足边界条件(6)式、(7)式的yt(x)和yc(x)代入(1)式、(2)式后，使所得翼型的几何参数值与设定值基本一致的任何数值。
其次，预设一系列叶片翼型的f、xf、t、xt的值，通过校正后的yt(x)和yc(x)函数，获得对应的y+(x)和y－(x)形成一系列叶片翼型并构成风轮，编制计算网格植入CFD中进行数值模拟(或称仿真)计算出Cp、力矩和功率随转速v或风速w变化的结果；然后，根据Cp(v)或Cp(w)曲线与翼型的几何参数f、xf、t、xt值的关系分析，调整f、xf、t、xt值，构造新翼型组成风轮再进行CFD数值计算，如此循环直到具有最大的Cpmax值的翼型确定。
CFD方法中翼型方位参数如图4所示，以三叶片风轮为例，风轮半径R为旋转轴心O点到翼型气动中心G点间的距离；叶片安装角φ为翼弦与半径R切线方向之间的夹角，即翼弦与半径R之间夹角为φ+90°；在旋转角θ＝0°的起始位置，上端叶片的翼弦与风速W的方向平行并且翼型前缘迎风。
申请人按上述方法，对设计的近百种翼型的风轮(半径R≥100mm、叶片数n＝3至6、安装角φ＝－10°至30°等)进行CFD计算，并从中挑选出十多种翼型的风轮(半径R＝300至400mm、风轮叶片数n＝3至6、叶片安装角φ＝0°至20°等)进行风洞测试。所得结果表明：一方面，将CFD方法模拟计算结果与风洞测试所得Cp曲线进行比较，两者的变化趋势一致且两者的Cpmax值相差≤10％(存在差值的原因为：风洞测试中轮架对气流有影响)，这证明CFD方法的成效性和切实性，可采用CFD方法评价垂直轴风力机叶片翼型的性能；另一方面，申请人由此确定了适合垂直轴风力机叶片的翼型系列。
2.本发明的研究结果：
申请人按上述研究过程所得结果表明，本发明垂直轴风力机叶片翼型的最主要的特征为：xt值均小于NACA翼型的对应的xt值；且xt＝0.12－0.29，优选xt＝0.14－0.28，更优选xt＝0.16－0.26。
为能体现本发明翼型的特点，并方便与NACAIJZZ翼型比较，本发明翼型表示符号定为LFIJZZPP，其含义是：LF代表本发明翼型系列，IJZZ表示的含义与NACAIJZZ的相同(即I表示相对弯度f的100倍整数、J表示f对应x坐标的位置xf的10倍整数、ZZ表示相对厚度t的100倍整数)，PP是相对厚度t对应x坐标位置xt的100倍整数。
在计算上述所有整数时，小数点后的数四舍五入，例如两个相对弯度f＝0.012和f＝0.018的翼型，其I依次为I＝1(即f＊100＝1.2)和I＝2(即f＊100＝1.8)。
本发明翼型系列进一步分为三类翼型，各翼型的具体特征如下：
第一类翼型：上翼面边缘y+(x)和下翼面边缘y－(x)分别向外侧凸出、且关于翼弦对称。该类翼型的符号为LF00ZZPP(I＝0、J＝0)。
该类翼型的具体特征为：t＝0.08－0.25且xt＝0.12－0.29，即ZZ为08至25且PP为12至29。如图13所示，y+(x)的范围由边界线B11+up与B11+low之间形成的域构成，y+(x)的范围由边界线B11－up与B11－low之间形成的域构成，即图中由B11+up与B11+low和B11－up与B11－low交会于a和b点之间的竖线阴影区。
优选地，t＝0.12－0.20且xt＝0.14－0.28，即ZZ为12至20且PP为14至28。如图14所示，y+(x)的范围由边界线B12+up与B12+low之间形成的域构成，y+(x)的范围由边界线B12－up与B12－low之间形成的域构成，即图中由B12+up与B12+low和B12－up与B12－low交会于a和b点之间的横线阴影区。图14所示横线阴影区包含于图13所示竖线阴影区之内。
更优选地，t＝0.14－0.18且xt＝0.16－0.26，即ZZ为14至18且PP为16至26。
第二类翼型：上翼面边缘y+(x)和下翼面边缘y－(x)分别向外侧凸出、且非对称地分布于翼弦两侧。该类翼型的符号为LFIJZZPP。
该类翼型的具体特征为：f＝0.006－0.08、xf＝0.12－0.40、t＝0.08－0.25、且xt＝0.12－0.29，即I为1至8、J为1至4、ZZ为08至25、且PP为12至29。如图15所示，y+(x)的范围由边界线B21+up与B21+low之间形成的域构成，y+(x)的范围由边界线B21－up与B21－low之间形成的域构成，即图中由B21+up与B21+low和B21－up与B21－low交会于a和b点之间的竖线阴影区。
优选地，f＝0.008－0.05、xf＝0.14－0.38、t＝0.12－0.20、且xt＝0.14－0.28，即I为1至5、J为1至4、ZZ为12至20、且PP为14至28。如图16所示，y+(x)的范围由边界线B22+up与B22+low之间形成的域构成，y+(x)的范围由边界线B22－up与B22－low之间形成的域构成，即图中由B22+up与B22+low和B22－up与B22－low交会于a和b点之间的横线阴影区。图16所示横线阴影区包含于图15所示竖线阴影区之内。
更优选地，f＝0.01－0.03、xf＝0.16－0.36、t＝0.14－0.18、且xt＝0.16－0.26，即I为1至3、J为2至4、ZZ为14至18、且PP为16至26。
第三类翼型：上翼面边缘y+(x)向外侧凸出，下翼面边缘y－(x)具有拱向上翼面边缘内侧的凹陷。该类翼型的符号为LFIJZZPP。
该类翼型的具体特征为：f＝0.02－0.10、xf＝0.10－0.60、t＝0.08－0.25、且xt＝0.12－0.29，即I为2至10、J为1至6、ZZ为08至25、且PP为12至29。如图17所示，y+(x)的范围由边界线B31+up与B31+low之间形成的域构成，y+(x)的范围由边界线B31－up与B31－low之间形成的域构成，即图中由B31+up与B31+low和B31－up与B31－low交会于a和b点之间的竖线阴影区。
优选地，f＝0.03－0.09、xf＝0.15－0.55、t＝0.12－0.20、且xt＝0.14－0.28，即I为3至9、J为2至6、ZZ为12至20、且PP为14至28。如图18所示，y+(x)的范围由边界线B32+up与B32+low之间形成的域构成，y+(x)的范围由边界线B32－up与B32－low之间形成的域构成，即图中由B32+up与B32+low和B32－up与B32－low交会于a和b点之间的横线阴影区。图18所示横线阴影区包含于图17所示竖线阴影区之内。
更优选地，f＝0.04－0.08、xf＝0.16－0.50、t＝0.14－0.18、且xt＝0.16－0.26，即I为4至8、J为2至5、ZZ为14至18、PP为16至26。
第一类翼型的上翼面边缘y+(x)＝yt(x)，下翼面边缘y－(x)＝－yt(x)。
第二类和第三类翼型的上翼面边缘y+(x)和下翼面边缘y－(x)分别为(1)和(2)式，yt(x)为(8)和(9)式且边界条件为(6)式，yc(x)为(13)和(14)式且边界条件为(7)式。
由任一组几何参数f、xf、t、xt可确定yt(x)的系数ζi和σi值(两者i＝0，1，2，3)与yc(x)的系数εi(i＝1，…，8)和ηi(i＝1，…，4)值，则能得到的LFIJZZPP翼型的y+(x)和y－(x)。
在计算角度δ时，选x＝0.005(即翼弦长度的0.5％)为dyc(x)/dx＝tanδ的x坐标起始点。
研究结果表明，当采用表1、表2所列具体权重系数值，结合其几何参数计算各翼型的y+(x)和y－(x)时，所得翼型可实现更加优化的性能。
表1、一些LFIJZZPP翼型厚度分布yt(x)的系数ζi和σi值与t和Xt值
表2、一些LFIJZZPP翼型弯度分布yc(x)的系数εi和ηi值与f和Xf值
实施例1垂直轴风力机起转后的平衡状态及其周围空气流线分布状态
以如图4所示的三叶片风轮为例，以CFD方法计算随风轮旋转角θ旋转m转时其风能利用系数Cp(θ)和风能利用系数的每转平均值Cpm的变化。
Cpm与Cp(θ)的关系为：
上式中n为每转内Cp(θ)采集点的总数、Cp(θjm)是在第m转第j个采集点的Cp(θ)、第m转(已转)的圆周角θm为360°(m－1)、每转内第j个采集点的旋转角θj＝360°j/n＝Δθj、相邻采集点的转角步长Δθ＝360°/n。
计算结果示意图如图19和图20所示。图19中m最大值为5；图20中m最大值为8。
如图20所示，前五转的每转平均风能利用系数Cp1st、Cp2nd、Cp3rd、Cp4th和Cp5th依次降低，第五转后的每转平均风能利用系数Cp5th、Cp6th、Cp7th和Cp8th基本相同，这说明垂直轴风力机起转后经过五转旋转才能达到每转平均的稳定性能。
此外，本发明上下文及各附图中，均以第五转的平均风能利用系数Cp5th代表风轮转动一周的平均风能利用系数Cp，也即Cp＝Cp5th、Cpmax＝Cpmax5th，除非有特别说明。
以上述结果为基础，以CFD方法计算所得的在静止参照系中、由本发明某一翼型以相同半径组成的三、四、五、六叶片风轮某一时刻的流线分布图，如图5至图8所示。
由此可知，垂直轴风力机叶片周围的空气流线是按曲线流线进行分布的，而飞机机翼周围的空气流线是按直线流线进行分布的，此即导致本发明LF翼型与NACA翼型之间最主要不同之处的原因所在。
本发明LF翼型的xt小于NACA翼型，意味着LF翼型在x≤xt部分翼面的弯曲率大于NACA翼型相应部位翼面的弯曲率，而垂直轴风力机叶片周围的空气流线的弯曲率也大于飞机机翼周围的空气流线的弯曲率，因此在用作垂直轴风力机叶片时，LF翼型的Cp大于NACA翼型。随垂直轴风力机叶片安装半径的不同，对应最佳性能的翼型有所不同，这是LF翼型形成系列的原因。综合其他因素，如自起转能力、最佳径弦比等，第二类LF翼型系列最合适作垂直轴风力机叶片的翼型。
实施例2第一类翼型叶片
本实施例的第一类翼型叶片如图9所示，其中包含了第一类翼型中的LF001516、LF001518、LF001520、LF001522、LF001523、LF001524、LF001526、LF001716、LF001618、LF001820、LF001422、LF001823、LF001624、LF001826翼型。
实施例3第二类翼型叶片
本实施例的第二类翼型叶片如图10至图11所示，其中共包含了第二类翼型中的LF131514、LF131516、LF131518、LF131520、LF131525、LF231518、LF231520、LF231522、LF231718、LF231526、LF241526、LF241723、LF241825、LF231618、LF231820翼型。
图10中包含了t值相近、xt值不同的第二类翼型。
图11中包含了xt值相近、t值不同的第二类翼型。
实施例4第三类翼型叶片
本实施例的第三类翼型叶片如图12所示，其中包含了第三类翼型中的LF851623、LF851626、LF741625、LF741523、LF751725、LF851723、LF741529、LF751621、LF631523等二十三种翼型。
实施例5以CFD方法计算第一类、第二类、第三类翼型叶片的Cp
本实施例以CFD方法分别模拟计算第一类、第二类、第三类翼型叶片的Cp随风轮转速V的变化曲线。
第一类翼型：分别在风速W＝5m/s、10m/s下，计算t值相同的第一类LF00ZZPP翼型和NACA00ZZ翼型的Cp随风轮转速V的变化曲线，两种翼型所得结果的比较如图21和图22所示。
第二类翼型：分别在风速W＝5m/s、10m/s下，计算t值、f值和xf值均相同的第二类LFIJZZPP翼型和NACAIJZZ翼型的Cp随风轮转速V的变化曲线，两种翼型所得结果的比较如图23和图24所示。
第三类翼型：分别在风速W＝5m/s、10m/s下，计算t值、f值和xf值均相同的第三类LFIJZZPP翼型和NACAIJZZ翼型的Cp随风轮转速V的变化曲线，两种翼型所得结果的比较如图25和图26所示。
由上述结果可知，本发明LF翼型的Cpmax和低V侧的Cp高于NACA翼型；尤其是在中低风速下，LF翼型低V侧的Cp均高于NACA翼型、且第一类和第二类LF翼型的Cp显著高于NACA翼型。
实施例6叶片翼型截面后缘角的钝化
在制做叶片时，由于材料性质和制造工艺的限制以及叶片后缘强度的要求，叶片翼型截面后缘角需要做钝化处理。
叶片翼型截面后缘角钝化后，叶片弦长(即叶弦长度)小于翼型弦长(即翼弦长度)，如图27至图29分别依次示出了翼型截面后缘角钝化后，本发明第一类、第二类、第三类翼型弦长Sf与叶片弦长Sb的差别。其中，图27中第一类翼型的叶弦与翼弦平行；图28和图29中，第二类、第三类翼型的叶弦与翼弦不平行。
除钝化的后缘角外，叶片截面的轮廓与其翼型截面相同、且这部分轮廓决定着叶片的空气动力学性质。此外，虽然叶片轮廓的几何参数在不同坐标系中表述的值是不同的，但叶片轮廓的形状是确定的、不以选择坐标系的不同而变化。
实施例7具有本发明翼型的三维叶片
本发明翼型截面沿旋转轴上下延伸形成的叶片可应用于任意的垂直轴风力机，能以高于现有翼型叶片的Cp(见实施例5以及图21至图26)将风能转换为旋转机械能。
具体而言，翼型截面在垂直于旋转轴的基础上，沿旋转轴以不同路径上下延伸后可形成多种三维叶片，列举其中的三种典型形态：图30是由三个沿旋转轴Oa以弧线路径上下延伸形成的弧形或“跳绳曲线”形叶片构成风轮；图31是由三个沿旋转轴Oa以垂直路径上下延伸形成的竖直叶片构成风轮；图32是由三个沿旋转轴Oa以螺旋线路径上下延伸形成的螺旋形叶片构成风轮。
此外，本发明翼型也能用于其它垂直轴流体动力机的叶片，如垂直轴水力机叶片。
除上述实施例外，本发明还可以有其他实施方式，凡采用等同替换或等效变换形成的技术方案，均落在本发明要求的保护范围。
Claims (8)
1.一种垂直轴风力机专用叶片，具有流线形状的截面，所述截面边缘由前缘点、后缘点、上翼面边缘、下翼面边缘构成，所述上翼面边缘的一端与下翼面边缘的一端在前缘点接合，所述上翼面边缘的另一端与下翼面边缘的另一端在后缘点接合；以连接前缘点和后缘点的直线段为翼弦，所述上翼面边缘位于翼弦和下翼面边缘的上方；其特征是，以垂直于翼弦的方向为竖直方向，所述截面在竖直方向上厚度最大处在翼弦上的垂足与前缘点之间的距离为翼弦长度的0.12－0.29倍；
以翼弦长度为标度建立相对坐标系：以前缘点为原点、翼弦所处直线为x轴、垂直于翼弦且过前缘点的直线为y轴，所述x轴朝向后缘点的方向为x轴正向，所述y轴朝上为y轴正向；以翼弦长度为单位长度，即以翼弦长度为1；
所述截面在y轴方向上厚度最大处的厚度为翼弦长度的t倍，t即为翼型相对厚度，该厚度最大处在x轴上的垂足与前缘点之间的距离为翼弦长度的xt倍，即xt＝0.12－0.29；
所述截面的翼型中弧线弯度最大处的弯度为翼弦长度的f倍，f即为翼型相对弯度，该弯度最大处在x轴上的垂足与前缘点之间的距离为翼弦长度的xf倍；
所述截面前缘处为圆头，其内切圆半径为翼弦长度的ra倍，ra即为翼型前缘半径；
所述上翼面边缘和下翼面边缘在截面后缘点处的外延切线之间的夹角为γ，γ即为翼型后缘角；
所述上翼面边缘、下翼面边缘的曲线函数分别为y+(x)、y－(x)：
y+(x)＝yc(x)+yt(x)cosδ Ⅰ
y－(x)＝yc(x)－yt(x)cosδ Ⅱ
其中，yt(x)为翼型厚度分布函数，yc(x)为翼型弯度分布函数；δ为yc(x)在x处的切线与翼弦之间的夹角，dyc(x)/dx＝tanδ为相应切线的斜率；
yt(x)在xt前后分别为：
yt(x≤xt)＝yt1(x)＝t(ζ0x0.5+ζ1x+ζ2x2+ζ3x3) Ⅲ
yt(x≥xt)＝yt2(x)＝t[σ0+σ1(1－x)+σ2(1－x)2+σ3(1－x)3] Ⅳ
yt(x)的边界条件为：
yt1(xt)＝yt2(xt)，且dyt1(x)/dx∣X＝Xt＝dyt2(x)/dx∣X＝Xt＝0 Ⅴ
Ⅲ、Ⅳ式中，ζ0、ζ1、ζ2、ζ3以及σ0、σ1、σ2、σ3分别为各式中对应项的权重系数；且
ra＝(tζ0)2、γ＝2dyt(x)/dx∣x→1＝2tσ1 Ⅵ
yc(x)在xf前后分别为：
yc(x≤xf)＝yc1(x)＝κ0+κ1x+κ2x2+κ3x3+κ4x4+κ5x5+κ6x6+κ7xξ Ⅶ
yc(x≥xf)＝yc2(x)＝η0+η1(1－x)+η2(1－x)2+η3(1－x)3+η4(1－x)4 Ⅷ
Ⅶ式中0.5＜ξ＜1；
当ξ值确定且κ0和η0均为0时，yc(x)在xf前后分别为：
yc(x≤xf)＝yc1(x)＝ε1x+ε2x2+ε3x3+ε4x4+ε5x5+ε6x6+ε7x2/3+ε8x3/4 Ⅸ
yc(x≥xf)＝yc2(x)＝η1(1－x)+η2(1－x)2+η3(1－x)3+η4(1－x)4 Ⅹ
yc(x)的边界条件为：
yc1(xf)＝yc2(xf)、dyc1(x)/dx∣X＝Xf＝dyc2(x)/dx∣X＝Xf＝0 Ⅺ
Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ式中κ0、κ1、κ2、κ3、κ4、κ5、κ6、κ7，ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8以及η0、η1、η2、η3、η4分别为各式中对应项的权重系数。
2.根据权利要求1所述垂直轴风力机专用叶片，其特征是，所述叶片为第一类翼型或第二类翼型或第三类翼型；当叶片为第一类翼型时，所述上翼面边缘和下翼面边缘分别向外侧凸出、且关于翼弦对称，t＝0.08－0.25；当叶片为第二类翼型时，所述上翼面边缘和下翼面边缘分别向外侧凸出、且非对称地分布于翼弦两侧，f＝0.006－0.08，xf＝0.12－0.40，且t＝0.08－0.25；当叶片为第三类翼型时，所述上翼面边缘向外侧凸出，所述下翼面边缘具有拱向上翼面边缘内侧的凹陷，f＝0.02－0.10，xf＝0.10－0.60，且t＝0.08－0.25。
3.根据权利要求2所述垂直轴风力机专用叶片，其特征是，当叶片为第一类翼型时，t＝0.12－0.20且xt＝0.14－0.28；当叶片为第二类翼型时，f＝0.008－0.05，xf＝0.14－0.38，t＝0.12－0.20，且xt＝0.14－0.28；当叶片为第三类翼型时，f＝0.03－0.09，xf＝0.15－0.55，t＝0.12－0.20，且xt＝0.14－0.28。
4.根据权利要求3所述垂直轴风力机专用叶片，其特征是，当叶片为第一类翼型时，t＝0.14－0.18且xt＝0.16－0.26；当叶片为第二类翼型时，f＝0.01－0.03，xf＝0.16－0.36，t＝0.14－0.18，且xt＝0.16－0.26；当叶片为第三类翼型时，f＝0.04－0.08，xf＝0.16－0.50，t＝0.14－0.18，且xt＝0.16－0.26。
5.根据权利要求2或3或4所述垂直轴风力机专用叶片，其特征是，当叶片为第一类翼型时，所述上翼面边缘曲线函数y+(x)＝yt(x)，所述下翼面边缘曲线函数y－(x)＝－yt(x)；当叶片为第二类或第三类翼型时，在利用dyc(x)/dx＝tanδ计算δ时，以x＝0.005为的x坐标起始点。
6.根据权利要求2或3或4所述垂直轴风力机专用叶片，其特征是，当叶片为第一类或第二类或第三类翼型时，所述截面后缘处钝化后以圆角过渡。
7.根据权利要求2或3或4所述垂直轴风力机专用叶片，其特征是，当叶片为第一类或第二类或第三类翼型时，所述叶片为垂直于旋转轴的截面沿旋转轴以预设路径上下延伸形成的三维叶片。
8.根据权利要求2或3或4所述垂直轴风力机专用叶片，其特征是，
对于yt(x)而言：
当t＝0.12－0.20时，
若Xt为0.16，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.9186、－1.0568、－4.7589、5.2423；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0006、1.1477、－0.3744、－0.3539；
若Xt为0.18，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.9520、－0.8270、－8.7357、17.9319；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0009、0.9178、－0.1172、－0.3135；
若Xt为0.20，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.8189、－0.9535、－3.8384、3.7532；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0011、1.1308、－0.3078、－0.4176；
若Xt为0.22，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.5047、－0.8289、0.3887、－3.9833；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0008、1.1434、－0.3553、－0.3799；
若Xt为0.23，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为2.0188、－1.5083、－4.3190、8.9379；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0021、1.0263、－0.2049、－0.3650；
若Xt为0.25，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.5789、－0.7049、－2.2474、1.8778；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0010、1.1326、－0.4138、－0.2660；
若Xt为0.26，则Ⅲ式中ζ0、ζ1、ζ2、ζ3分别为1.4781、－0.5831、－2.1353、2.3576；且Ⅳ式中σ0、σ1、σ2、σ3分别为0.0014、1.1248、－0.2835、－0.4368；
对于yc(x)而言：
若f为0.0145，Xf为0.28，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为－0.1612、2.4334、－22.1087、112.0009、－290.0895、298.4389、0.3881、－0.3764；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0302、－0.0152、0.0233、－0.0301；
若f为0.0150，Xf为0.29，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为0.2688、－0.3013、－0.0790、6.1460、－26.5137、36.7832、0.4981、－0.6702；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0315、－0.0142、0.0200、－0.0295；
若f为0.0155，Xf为0.36，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为－0.1690、1.7701、－14.6827、58.9612、－114.4102、86.5877、0.2023、－0.1237；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0590、－0.0642、0.0035、0.0180；
若f为0.0160，Xf为0.37，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为－0.0881、1.4017、－9.8287、37.9182、－74.5058、58.0582、0.3830、－0.3916；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.0381、－0.0220、0.0386、－0.0567；
若f为0.0700，Xf为0.38，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为0.7264、0.1020、－19.3687、90.3541、－170.8980、119.5011、0.1130、－0.2205；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.2264、－0.1486、－0.1073、0.0854；
若f为0.0800，Xf为0.45，Ⅸ式中ε1、ε2、ε3、ε4、ε5、ε6、ε7、ε8分别为0.8190、－1.4473、－3.7479、27.9825、－56.9694、39.6996、0.1292、－0.2803；且Ⅹ式中η1、η2、η3、η4分别为0.2624、－0.1704、－0.1336、0.1223。
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