CN103916238A - 基于量子的数字音频信号加密/解密方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于量子的数字音频信号加密/解密方法，旨在实现对音频信息的保护。本发明的音频信息加密过程为：首先实现音频数据的量子态表示，然后利用两个密钥，分别在空间域和量子傅立叶变换域对音频数字信号进行处理，获得量子音频加密数据。音频信息解密阶段利用了量子计算的可逆性，解密过程是加密过程的逆处理。仿真结果的理论分析表明，与基于经典的双随机相位编码加密技术相比，本发明具有所加密的音频数据时域相关性和频域相关性更低、鲁棒性更强、计算复杂性更低的特点。此外，本发明实现了基于量子的音频数据加密，拓宽了多媒体数据在量子领域的应用范围。

Description

基于量子的数字音频信号加密/解密方法

技术领域

本发明属于量子信息加密领域，涉及量子保密通信技术，尤其涉及一种基于量子的数字音频信号加密/解密方法。

背景技术

随着网络的快速发展和广泛应用，近年来，多媒体数据在公共环境中的安全传输已经越来越重要。这些通道的开放性使得这些数据在传输过程中很容易受到各种攻击，因此，对多媒体内容的保护已成为一项基本要求。针对不同的保护目的，已经发明了多种技术用于内容保护，包括通过嵌入在原始数据中所有者的信息进行水印认证，将重要信息隐藏在载体图像中的隐写术，使一些多媒体内容（如音频，视频和图像）变得难以辨别的加密技术等。

随着量子计算的不断发展，对多媒体信息的加密逐渐由经典领域转到量子领域。目前，用量子进行加密的对象绝大部分是图像，对音频信息加密的研究却寥寥无几。例如，中国学者R.G.Zhou等[R.G.Zhou,Q.Wu,M.Q.Zhang,C.Y.Shen,Quantum image encryption anddecryption algorithms based on quantum image Geometric transformations.Int.J.Theor.Phys.,vol.52,1802-1817(2012)]提出了一种基于受限量子几何变换的图像加密算法。针对音频信息的量子加密方法，可以基于双随机相位编码（Double random phase encoding，简记为DRPE）的方法实现音频数据的量子加密。DRPE是由R.Refregier等在[R.Refregier,B.Javidi,Optical imageencryption based on input plane and Fourier plane random encoding,Opt.Lett.20(7),767–769(1995)]中首次提出的。

尽管光学系统可能由于其操作的并行性和高速性对于信息保护有很大作用，但大多数的光学加密系统都差强人意。这是因为，通过自由空间传输的光学元件具有很大尺寸，操作不灵活并且不稳定。此外大部分光学加密系统有安全漏洞，容易受到各种攻击。DRPE的基本思想是分别在空间域和频域对媒体信息进行加密，从而得到一个振幅和相位都随机分布的白噪声。已有研究表明，量子算法相对于经典算法的运算速度有很大提高。结合DRPE方法和量子计算的优点，在量子领域对音频信息进行加密，可以使音频信息变得嘈杂无规则，实现对音频信息的快速加密。

发明内容

针对现有技术中存在的上述问题，本发明提出了一种基于量子的数字音频信号加密/解密方法，旨在实现对音频信息的保护。

本发明所述方法包括两个阶段：(1)音频信息加密阶段：首先实现音频数据的量子态表示，然后利用两个密钥，分别在空间域和量子傅立叶变换（Quantum Fourier Transform，简记为QFT）域对音频数字信号进行处理；(2)音频信息解密阶段：由量子计算的可逆性可知，解密过程是加密过程的逆处理。

一种基于量子的音频数字信号加密/解密方法，其特征在于包括以下部分：

步骤一，对音频数字信号的加密过程，方法如下：

（1）实现音频数据的量子态表示；

（2）利用密钥K₁.在空间域对量子态的音频数据进行加密，得到|M>；其中密钥K₁是空间域的加密密钥，对应空间域的相位操作 $U_{K_1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{{\mathrm{i\ψ}}_j}\end{array}\right],$ ψ_j是0～2π之间均匀分布的实数。

（3）对|M>进行QFT操作，得到QFT(|M>)

（4）利用密钥K₂.在QFT域对QFT(|M>)进行加密，得到|M₁>；其中密钥K₂是QFT域的加密密钥，对应QFT域的相位操作 $U_{K_2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i{\mathrm{\υ}}_j}\end{array}\right],$ υ_j是0～2π之间均匀分布的实数。

（5）对|M₁>进行逆QFT操作，最终获得量子音频加密数据|C>。

步骤二，对音频数字信号的解密过程，方法如下：

（1）对|C>执行QFT操作，得到QFT(|C>)＝QFT(inQFT(|M₁>))＝|M₁>；

（2）利用密钥K₂对|M₁>执行解密操作，得到QFT(|M>)；

（3）对QFT(|M>)执行逆QFT操作，得到|M>；

（4）利用密钥K₁对|M>执行解密操作，从而得到原始量子音频数据|Ο>。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：与基于DRPE的加密方法相比，本发明具有所加密的音频数据时域相关性和频域相关性更低、鲁棒性更强、计算复杂性更低的特点。此外，本发明实现了基于量子的音频数据加密，拓宽了多媒体数据在量子领域的应用范围。

附图说明

图1为本发明量子加密过程流程图；

图2为仿真实验中所用的原始音频数据在时域和频域的波形图；

图3为加密后的音频数据在时域和频域的波形图；

图4为原始音频数据与加密音频数据的相关性随加密的样本点数的变化趋势。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施方式对本发明做进一步详细说明。

基于量子的音频数字信号的加密/加密方法，加密过程流程图如图1所示，包括以下步骤：

步骤一，实现对音频数字信号的加密；

首先实现音频数字信号的量子态表示，具体方法如下：

振幅和频率是描述音频信息的两个重要参数，分别代表音频信号的强度和音调。通过输入规则的采样率和离散的时间间隔，将采样值量化成均匀分布的离散数字。典型的采样率范围为8kHZ到48kHz，每个样本占用8到16个比特位。数字音频显示为一个数字数据流，可以看成一维的数据矩阵。在经典场景中，多种音频编解码器（如PCM，WMA，ADPCM，LPC，CELP）已被广泛用于数字音频编码。

音频数据的量子态表示如下：

$|I\left(\mathrm{\θ}\right)>=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_j>\⊗|j>$

$|c_j>=\left(\right|0>+e^{{\mathrm{i\θ}}_j}|1>)$

其中，N代表每一个音频数据块的采样数，|c_j>代表第j个采样点的振幅，是|c_j>的相位参数。|0>和|1>代表二维的计算基量子态。|j>，j＝0,1,…,N-1代表N维的计算基量子态，用来表示第j个采样点的位置信息。音频的量子态表示包括两部分：|c_j>和|j>，分别表示第j个采样点的振幅和位置信息。为了能在振幅|c_j>上进行操作，可以用相位门 $U=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{{\mathrm{i\ψ}}_j}\end{array}\right]$ 对|c_j>进行处理，ψ_j为相位门U的相位信息，ψ_j是0～2π之间均匀分布的实数。

其次对音频数据量子态进行加密，具体方法如下：

（1）在空间域利用密钥K₁对原始音频数据|Ο>进行加密得到|M>，表示如下：

$\begin{array}{c}|M>=E_{K_1}|O>=U_{K_1}\⊗I_N|O>=U_{K_1}\⊗I_N\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_j>\⊗|j>\\ =\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{K_1}|c_j>\⊗|j>=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|d_j>\⊗|j>\end{array}$

其中， $|O>=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_j>\⊗|$ j>为原始音频数据的量子态， $|d_j>=\left(\right|0>+e^{i({\mathrm{\θ}}_j+{\mathrm{\ψ}}_j)}|1>),$ 和i＝1,2，分别代表加密和解密函数， $U_{K_1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{{\mathrm{i\ψ}}_j}\end{array}\right]$ 为密钥K₁对应空间域的相位操作，ψ_j是0到2π之间均匀分布的实数。I_N为单位矩阵。

（2）对|M>进行QFT操作得到QFT(|M>)，表示形式如下：

$\mathrm{QFT}\left(\right|M>)=\mathrm{QFT}\left(\frac{1}{2^{\sqrt{N}}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\right|d_j>\⊗|j>)$

其中，QFT定义为在标准正交基|0>,…,|N-1>上进行如下线性操作：

$\mathrm{QFT}:|j>\→\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{2\mathrm{\πijk}/N}|k>$

（3）利用密钥K₂对QFT(|M>)进行加密，得到|M₁>，表示如下：

$\begin{array}{c}|M_1>=E_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|M>)=U_{K_2}\⊗I_N\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\\ =U_{K_2}\⊗I_N\mathrm{QFT}\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\right|d_j>\⊗|j>)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|d_j>\⊗|j>)\end{array}$

其中， $U_{K_2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i{\mathrm{\υ}}_j}\end{array}\right]$ 是密钥K₂对应QFT域的相位操作，υ_j是0到2π之间均匀分布的实数。

（4）对|M₁>执行逆QFT操作，从而获得量子音频加密数据|C>，表示如下：

$|C>=\mathrm{inQFT}\left(\right|M_1>)=\mathrm{inQFT}\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|d_j>\⊗|j>)\right)$

其中，逆QFT是对QFT执行逆操作。

步骤二，实现对数字音频的解密过程，具体方法如下：

由于所有的量子操作都是酉操作，解密过程是加密过程的逆操作。

（1）对|C>执行QFT操作，得到|M₁>，如下所示：

QFT(|C>)＝QFT(inQFT(|M₁>))＝|M₁>

（2）利用密钥K₂对|M₁>执行解密操作，得到QFT(|M>)：

$\begin{array}{c}{E}_{K_2}^{-1}|M_1>={U^{+}}_{K_2}\⊗I_N|M_1>={U^{+}}_{K_2}\⊗I_N{E}_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\\ =({U^{+}}_{K_2}\⊗I_N)(U_{K_2}\⊗I_N)\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\\ ={U^{+}}_{K_2}{U}_{K_2}\⊗I_N\mathrm{QFT}\left(\right|M>)=\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\end{array}$

其中，为的共轭转置矩阵。

（3）对QFT(|M>)执行逆QFT操作得到|M>，表示为：

inQFT(QFT(|M>))＝|M>

（4）利用密钥K₁对|M>执行解密操作，从而得到原始量子音频数据|Ο>，表示为：

$\begin{array}{c}{E}_{K_1}^{-1}|M>={U^{+}}_{K_1}\⊗I_N|M>={U^{+}}_{K_1}\⊗I_N{E}_{K_1}|O>\\ =({U^{+}}_{K_1}\⊗I_N)(U_{K_1}\⊗I_N)|O>={U^{+}}_{K_1}{U}_{K_1}\⊗I_N|O>=|O>\end{array}$

下面通过仿真实验对本发明与现有技术的性能进行比较。

由于缺少量子硬件，本次实验仅限于在经典计算机上仿真量子加密/解密电路。该仿真基于线性代数构造，利用复向量模拟量子纠缠或叠加，利用酉矩阵模拟量子操作。仿真的最后一步是测量，将量子信息以可能的概率分布转换为经典信息。仿真是在基于配置为Intel(R)Core(TM)2Duo CPU E74502.13GHz,1.99GB RAM的经典计算机上MATLAB2012a环境下进行的。图2为经典仿真实验中所用的音频数据在时域和频域的波形图。该数字音频为单声道，采样频率为10kHz，每个采样点占8比特位。随后又用不同种类的声音（包括人说话的声音，动物的声音，钢琴声，警报声，钟声）对实验结果进行了验证。

此次仿真从两个方面进行分析：首先是模拟量子加密过程，以体现本加密方案的可靠性和安全性；其次是将量子音频加密技术与经典的DRPE音频加密技术在安全性、鲁棒性和计算复杂性等方面进行比较。

（1）安全性

密钥的安全性在信息加密中无疑是相当重要的。本加密方案中，用到了空间域和QFT域的两个密钥K₁和K₂。和分别代表在空间域和QFT域的两个相位操作。并且ψ_j和υ_j是0到2π之间随机分布的实数，说明秘钥空间很大。若任意一个密钥被修改了，解密出来的音频数据会像噪声一样杂乱无规则，只有两个密钥都完全正确才可以解密获得原始音频数据。所以如果不能确定密钥的分布情况，将无法解密得到原始音频数据，证明了本方案密钥的安全性。

加密后的音频数据变得嘈杂不可感知。音频数据加密后的时域和频域的波形图如图3所示。可以看出音频数据加密波形发生了很大变化，说明量子音频加密有很好的加密效果。

因为本发明的量子加密方案是将DRPE技术用于量子领域的情形，所以选择经典的DRPE音频加密技术与本发明进行比较，可以很容易地比较出量子加密的优势。

为了显示两者的区别和安全性能，用时域和频域的相关性作为性能标准。加密后的音频数据Y和原始音频数据X的相关性ρ_XY可以表示为：

${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{COV}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{\ΔX}\×\mathrm{\ΔY}}}$

其中，COV(X,Y)是协方差，ΔX和ΔY分别代表X和Y的方差。ρ_XY的范围是0到1之间，表示X和Y的相似程度。一般来说，相关性越小，说明X和Y之间的差异越大，加密效果越好。采用大量不同类别的音频数据进行实验，实验结果如表1所示：

表1本发明和基于DRPE方法的加密方法相关性比较

从表1可以看出，量子加密方案比经典的DRPE加密技术有更好的加密效果。例如，对于音频数据“people.wav”，当有300个样本点被加密时，使用经典的DRPE加密技术在时域的相关性是0.0646，而量子加密技术的相关性是-0.0089；经典的DRPE加密技术在频域的相关性是-0.0964，而量子加密技术的相关性是0.0204。在时域和频域，量子加密的相关性都比较小，说明加密效果比较好。

随着加密样本点数的增加，无论是时域还是频域，原始音频数据与加密音频数据的相关性将不断下降，如图4所示。

（2）鲁棒性

数据加密，是为了防止非法用户的窃听和篡改。但对于经典的加密方法，即使加密数据被攻击了，合法用户也无法检测到这一事实。然而，对于量子加密的情形，利用量子的不可克隆定理，在未知的量子态下是不能复制加密数据的，而且根据量子测量定理的不确定性，如果有人想测量未知的量子态，将会产生不可逆的坍塌。所以，量子力学保证了本加密方案的安全性和鲁棒性。相比之下，经典的DRPE加密技术，由于它难以以复振幅分布存储和传输，不能用于实际应用。

（3）计算复杂性

首先计算经典DRPE算法的复杂性。先将一维的原始音频数据转换为二维的，从而可以将音频当作二维图像一样进行加密。假设原始数据f(x,y)的大小为M×N，是最后加密后的数据，f'(x,y)是解密后的数据。加密/解密过程可以分别表示如下：

其中，n(x,y)和b(ξ,η)是均匀分布在0到1之间的两个统计独立的随机函数，FT和FT^-1分别代表傅里叶变换和逆傅里叶变换，为简单起见，令M＝N，那么原始二维数据中有N²个像素点。首先f(x,y)和exp[j2πn(x,y)]进行N²次乘法运算，然后对f(x,y)exp[j2πn(x,y)]进行傅里叶变换，进行N⁴次复数乘法运算，再对FT{f(x,y)exp[j2πn(x,y)]}和exp[j2πb(ξ,η)]进行N²次乘法运算，最后对FT{f(x,y)exp[j2πn(x,y)]}exp[j2πb(ξ,η)]进行逆傅里叶变换，进行N⁴次复数乘法运算。可以得到总共需要的计算次数是：N²+N⁴+N²+N⁴＝2N²(N²+1)。对于一个n×n的乘法器，需要n(n-1)个全加器和n²个AND门。显然，经典算法需要的运算门的数量相当大，其计算复杂度为Θ(N⁸)。

其次计算量子加密算法的计算复杂性。先对第一个量子位进行一次相位操作，接着对(2n+1)个量子位进行QFT操作，其中QFT操作的计算复杂度为Θ(N²)，然后再对第一个量子位进行一次相位操作，最后对(2n+1)个量子位进行逆QFT操作。因此，量子加密算法的计算复制性为Θ(N²)。

很明显，两个加密算法的计算复杂性依赖于傅里叶变换，即使用最好的经典FFT对2ⁿ个数据元素进行操作，也至少需要Θ(n2ⁿ)个运算门。而用量子电路实现QFT仅需要Θ(n²)个运算门，比经典算法快指数倍。可见，量子加密算法比经典加密算法在安全性，鲁棒性和计算复杂性方面都有很大优势。

Claims (1)

1.基于量子的数字音频信号加密/解密方法；其特征在于包括以下步骤：

步骤1，实现对音频数字信号的加密；

步骤1.1，实现音频数字信号的量子态表示；

音频数据的量子态表示如下：

$|I\left(\mathrm{\θ}\right)>=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_j>\⊗|j>$

$|c_j>=\left(\right|0>+e^{{\mathrm{i\θ}}_j}|1>)$

其中，N代表每一个音频数据块的采样数，|c_j>代表第j个采样点的振幅，是|c_j>的相位参数；|0>和|1>代表二维的计算基量子态；|j>，j＝0,1,…,N-1代表N维的计算基量子态，用来表示第j个采样点的位置信息；音频的量子态表示包括两部分：|c_j>和|j>，分别表示第j个采样点的振幅和位置信息；为了能在振幅|c_j>上进行操作，可以用相位门 $U=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{{\mathrm{i\ψ}}_j}\end{array}\right]$ 对|c_j>进行处理，ψ_j为相位门U的相位信息，ψ_j是0～2π之间均匀分布的实数；

步骤1.2，对音频数据量子态进行加密；

（1）在空间域利用密钥K₁对原始音频数据|Ο>进行加密得到|M>，表示如下：

$\begin{array}{c}|M>=E_{K_1}|O>=U_{K_1}\⊗I_N|O>=U_{K_1}\⊗I_N\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_j>\⊗|j>\\ =\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{K_1}|c_j>\⊗|j>=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|d_j>\⊗|j>\end{array}$

其中， $|O>=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}|c_j>\⊗|$ j>为原始音频数据的量子态， $|d_j>=\left(\right|0>+e^{i({\mathrm{\θ}}_j+{\mathrm{\ψ}}_j)}|1>),$ 和i＝1,2，分别代表加密和解密函数， $U_{K_1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{{\mathrm{i\ψ}}_j}\end{array}\right]$ 为密钥K₁对应空间域的相位操作，ψ_j是0到2π之间均匀分布的实数；I_N为单位矩阵；

（2）对|M>进行QFT操作得到QFT(|M>)，表示形式如下：

$\mathrm{QFT}\left(\right|M>)=\mathrm{QFT}\left(\frac{1}{2^{\sqrt{N}}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\right|d_j>\⊗|j>)$

其中，QFT定义为在标准正交基|0>,…,|N-1>上进行如下线性操作：

$\mathrm{QFT}:|j>\→\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{2\mathrm{\πijk}/N}|k>$

（3）利用密钥K₂对QFT(|M>)进行加密，得到|M₁>，表示如下：

$\begin{array}{c}|M_1>=E_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|M>)=U_{K_2}\⊗I_N\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\\ =U_{K_2}\⊗I_N\mathrm{QFT}\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\right|d_j>\⊗|j>)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|d_j>\⊗|j>)\end{array}$

其中， $U_{K_2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i{\mathrm{\υ}}_j}\end{array}\right]$ 是密钥K₂对应QFT域的相位操作，υ_j是0到2π之间均匀分布的实数；

（4）对|M₁>执行逆QFT操作，从而获得量子音频加密数据|C>，表示如下：

$|C>=\mathrm{inQFT}\left(\right|M_1>)=\mathrm{inQFT}\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{j=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{U}_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|d_j>\⊗|j>)\right)$

其中，逆QFT是对QFT执行逆操作；

步骤2，实现对数字音频的解密过程；

由于所有的量子操作都是酉操作，解密过程是加密过程的逆操作，包括以下步骤：

步骤2.1，对|C>执行QFT操作，得到|M₁>，表示如下：

QFT(|C>)＝QFT(inQFT(|M₁>))＝|M₁>

步骤2.2，利用密钥K₂对|M₁>执行解密操作，得到QFT(|M>)：

$\begin{array}{c}{E}_{K_2}^{-1}|M_1>={U^{+}}_{K_2}\⊗I_N|M_1>={U^{+}}_{K_2}\⊗I_N{E}_{K_2}\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\\ =({U^{+}}_{K_2}\⊗I_N)(U_{K_2}\⊗I_N)\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\\ ={U^{+}}_{K_2}{U}_{K_2}\⊗I_N\mathrm{QFT}\left(\right|M>)=\mathrm{QFT}\left(\right|M>)\end{array}$

其中，为的共轭转置矩阵；

步骤2.3，对QFT(|M>)执行逆QFT操作得到|M>，表示为：

inQFT(QFT(|M>))＝|M>

步骤2.4，利用密钥K₁对|M>执行解密操作，从而得到原始量子音频数据|Ο>，表示为：

$\begin{array}{c}{E}_{K_1}^{-1}|M>={U^{+}}_{K_1}\⊗I_N|M>={U^{+}}_{K_1}\⊗I_N{E}_{K_1}|O>\\ =({U^{+}}_{K_1}\⊗I_N)(U_{K_1}\⊗I_N)|O>={U^{+}}_{K_1}{U}_{K_1}\⊗I_N|O>=|O>\end{array}$