CN103813378B

CN103813378B - 一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法

Info

Publication number: CN103813378B
Application number: CN201410059170.7A
Authority: CN
Inventors: 皇甫伟; 张中山; 李洋; 弓丞; 隆克平
Original assignee: University of Science and Technology Beijing USTB
Current assignee: University of Science and Technology Beijing USTB
Priority date: 2014-02-21
Filing date: 2014-02-21
Publication date: 2017-09-26
Anticipated expiration: 2034-02-21
Also published as: CN103813378A

Abstract

本发明提供一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法，包括步骤1、确定用于计算圆形面积的内接正多边形的边数集合，并将该边数集合形成一个单调递增有限序列S={S₁，S₂……S_k}；对单调递增有限序列中的每一边数S_k分别计算其面积R_k，其中R_k为所述圆形总覆盖面积。步骤2、对计算结果数值序列R={R₁，R₂……R_k}进行序列加速，获得以更快逼近到所述圆形总覆盖面积。本发明实施例基于采用了多个低阶正多边形进行圆形的近似，得到若干个结果；随后对结果进行序列加速处理，推算序列极限。这样只采用低阶正多边形对圆形进行近似，就可以得到高阶正多边形对圆形进行近似才能达到的精度。

Description

一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法

技术领域

本发明涉及传感器网络、无线通讯基站等设备的圆形波覆盖范围技术领域，特别是指一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法。

背景技术

传感器网络（或简称为无线传感器网络）、无线通讯基站等很多设备的覆盖范围在二维平面为圆形，在三维平面为球形。现有技术中的系统都包括多个设备以协同工作实现无缝覆盖，因此就必须计算系统的多圆形区域总覆盖面积。计算总覆盖范围对于现有的这些系统至关重要，可以通过计算总覆盖范围获知系统的未覆盖区域或进行其他应用。

以传感器网络为例，现有的传感器网络包括大量的传感器节点，这些传感器节点部署在待监测区域内，而整个网络的总覆盖面积就是这些圆形区域的并集。同时，无线通讯基站、以及化学、材料学、光学中，分子、微尘等大量的小型单元的工作模式都如此，在此不再赘述。

现有技术中如果想要计算这些多圆形区域的并集，则计算其中每一圆形区域面积是必不可少的步骤。现有技术有一种近似多边形的计算几何方法，该方法的核心思想是将每一个圆形近似为多边形，则可以利用计算几何进行求解。随着边数的增加，正多边形的形状会越来越接近圆形。如图3所示的采用三边形时与圆形区别比较大，采用如图4所示的正四边形时略好于正三角形，采用图5所示的正五边形近似时更好一些。如图2所示的，当M为正无穷时，该正多边形可以与圆形最为近似。对于肉眼而言，正32边形和圆形已经非常接近。将圆形近似为正多边形的边数越多，计算精度越高，但是计算量也越大。假设有N个圆形，每个圆形近似为正M多边形，那么总计算量在O(N²M²)量级。因此在圆形数量较少的时候比较有效。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法，相比较现有的近似多边形的计算几何方法，既能够确保算法精度又能够提高算法性能的。

为了解决上述问题，本发明实施例提出了一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法，包括：

步骤1、确定用于计算圆形面积的内接正多边形的边数集合，并将该边数集合形成一单调递增有限序列S={S₁，S₂……S_k}；

步骤2、对单调递增有限序列中的每一边数S_k分别计算其面积，并对计算结果进行序列加速以得到对应的数值序列R={R₁，R₂……R_k}；其中R_k为所述多圆形总覆盖面积。

作为上述技术方案的优选，

所述步骤1中，边数的单调递增序列为S_k＝3·2^K-1，k＝1，2，3，···；

且所述步骤2中，采用以下序列逼近算法对所述单调递增有限序列中的每一边数S_k计算序列极限；

其中为序列加速后的数值结果，且

作为上述技术方案的优选，所述步骤2采用不超过4次序列加速算法，并仅计算以计算至未加速前的原始数值序列的第R_m+1项；

其中所述不超过四次序列加速的算法具体为：

第一次序列加速：

第二次序列加速：

第三次序列加速：

第四次序列加速：

本发明的上述技术方案的有益效果如下：

本发明实施例提供了一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法，这样相比较现有算法能够在不降低计算精度的前提下降低计算复杂度。

附图说明

图1为本发明实施例的流程示意图；

图2为采用无穷多边形近似圆形的近似结果；

图3为采用三边形近似圆形的近似结果;

图4为采用四边形近似圆形的近似结果；

图5为采用五边形近似圆形的近似结果。

具体实施方式

为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。

本发明实施例提出了一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法，其流程如图1所示的，包括：

步骤1、确定用于计算圆形面积的内接正多边形的边数集合，并将该边数集合形成一个单调递增有限序列S={S₁，S₂……S_k}；计算边数S_k对应的圆形总覆盖面积R_k,得到对应的数值序列R={R₁，R₂……R_k}。

步骤2、对计算结果进行序列加速以得到加速收敛的数值序列R^(m)={R₁ ^(m)，R₂ ^(m)……R_k ^(m)}；其中R_k ^(m)为所述多圆形总覆盖面积的第m次加速序列的第k项，随后以R^(m)的元素作为所述圆形总面积数值的更佳逼近结果。

其中，所述步骤1中，边数的单调递增序列为S_k＝3·2^k-1，k＝1，2，3，···；所述步骤2中，采用以下序列逼近算法对所述单调递增有限序列中的每一边数S_k计算序列极限；

其中即为序列加速后的数值结果，此处定义

其中，所述步骤2中，采用不超过4次序列加速算法，并仅计算即需计算至未加速前的原始数值序列的第R_m+1项，以降低总计算量。不超过四次序列加速的算法如下：

第一次序列加速：

第二次序列加速：

第三次序列加速：

第四次序列加速：

下面通过一个实例来介绍本发明：

在本发明的一个实施方式中，本文下述例子对N=16个圆的某次随机部署进行，这些圆半径均为3，圆心分布在边长为14的一个正方形中。采用内接正多边形进行近似，该正多边形的边数为M。

本具体实施选择序列S={3,6,12,24,48},获得的结果列表如下：

本例采用的序列逼近方法是：

为降低计算量，仅需要计算必需的数据。以计算为例，需要和其中需要和其中需要R₁和R₂，类似地，可以推算出仅需要R₁,R₂,R₃,R₄，因此R5及其后的数据可以不做计算。一般的，计算到第m次加速序列的第一项需要获得原始序列R的前m+1项。(如表格中的斜线箭头所示)

具体请参考网页：

http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/seriesacceleration.html。

其中，采用高阶的正多边形若干高阶正边形的计算结果为：

M	R
		96	239.3172
162	239.3878
		192	239.3988
288	239.4139
		384	239.4192
480	239.4217
		576	239.4230
672	239.4238
		768	239.4243

因此，本具体实现中计算到M=12的序列R⁽²⁾的加速结果已经相当于M=162时未加速的原始序列R的精度，而M=48的序列加速R⁽⁴⁾精度已经相当于M=576时未加速的原始序列R的精度。然而，从计算量上估计，由于计算量大致正比于M的平方，因此总计算量的比例为（本发明方法的计算量除以同一精度下未采用序列加速的方法的计算量）：(3*3+6*6+12*12)/(162*162)<0.007，(3*3+6*6+…+48*48)/(576*576)<0.009。由此可以看出采用本发明实施例的方法，在达到类似精度的前提下，其所采用的计算量仅为现有技术的1%。

以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以作出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims

1.一种基于序列加速的多圆形区域总覆盖面积的获取方法，其特征在于，包括：

步骤1、确定用于计算圆形面积的内接正多边形的边数集合，并将该边数集合形成一单调递增有限序列S＝{S₁，S₂……S_k}；

步骤2、计算边数Sk对应的圆形总覆盖面积Rk,得到对应的数值序列R＝{R1，R2……Rk}；对计算结果进行序列加速以得到加速收敛的数值序列R(m)＝{R1(m)，R2(m)……Rk(m)}；其中Rk(m)为所述多圆形总覆盖面积的第m次加速序列的第k项，随后以R(m)的元素作为所述圆形总面积数值的更佳逼近结果；

其中，

所述步骤1中，边数的单调递增序列为S_k＝3·2^k-1，k＝1，2，3，…；

其中为序列加速后的数值结果，且

其中，所述步骤2采用不超过4次序列加速算法，并仅计算以计算至未加速前的原始数值序列的第R_m+1项；

其中所述不超过四次序列加速的算法具体为：

第一次序列加速：

第二次序列加速：

第三次序列加速：

第四次序列加速：