CN103809443A - 飞行器多回路模型簇人机闭环复合根轨迹多级pid鲁棒控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种飞行器多回路模型簇人机闭环复合根轨迹多级PID鲁棒控制器设计方法，该方法在给定不同高度、马赫数条件下通过扫频飞行试验直接确定获得全包线内的幅频和相频特性构成的模型簇；根据飞行包线内的幅频裕度和相位裕度军标要求，给出了对应根轨迹描述下的闭环极点分布限制指标，通过加入多级PID控制器并在飞行器全包线内的闭环极点分布限制指标和系统辨识中的模型辨识方法确定多级PID鲁棒控制器级数和参数值；从根轨迹描述下的闭环极点分布限制的概念出发设计出符合全飞行包线的无驾驶员诱发振荡、超调量小、平稳的低空飞行控制器。

Description

飞行器多回路模型簇人机闭环复合根轨迹多级PID鲁棒控制器设计方法

技术领域

本发明涉及一种飞行器控制器设计方法，特别涉及飞行器多回路模型簇人机闭环复合根轨迹多级PID鲁棒控制器设计方法，属于测控技术和飞行力学等范畴。

背景技术

飞行器起降过程的控制对飞行安全有重要作用；由于飞行器起降过程中飞行速度变化大，即使按照纵向模型也会面临强非线性问题；另一方面，飞行器的操纵舵存在饱和、死区等现象；从飞行安全考虑，超低空飞行（如飞机起飞/着陆）时，控制器必须保证系统具有一定的稳定裕度、无超调和平稳性，这样，就使得超低空飞行控制器设计非常复杂，不能直接套用现有控制理论进行飞行器控制的设计。

在现代实际飞行控制器的设计中，一少部分采用状态空间法进行设计，而大多数仍然采用以PID为代表的经典频域法和逆Nyquist阵列法为代表的现代频率法进行控制器设计。现代控制理论以状态空间法为特征、以解析计算为主要手段、以实现性能指标为最优的现代控制理论，而后有发展了最优控制方法、模型参考控制方法、自适应控制方法、动态逆控制方法，反馈线性化方法、直接非线性优化控制、变增益控制法、神经网络控制方法，模糊控制方法，鲁棒控制法以及多种方法组合控制等一系列控制器设计方法，发表的学术论文数以万计，例如2011年Ghasemi A设计了自适应模糊滑模控制的再入飞行器(GhasemiA,Moradi M,Menhaj M B.Adaptive Fuzzy Sliding Mode Control Design fora Low-Lift Reentry Vehicle[J].Journal of Aerospace Engineering,2011,25(2):210-216)，2013年Babaei A R为非最小相位和非线性飞行器设计了模糊滑模控制自动驾驶仪(Babaei A R,Mortazavi M,Moradi M H.Fuzzy slidingmode autopilot design for nonminimum phase and nonlinear UAV[J].Journalof Intelligent and Fuzzy Systems,2013,24(3):499-509），很多研究仅仅停留在理想化的仿真研究阶段；而且这种设计存在三个问题:(1)由于无法进行飞行器超低空操纵稳定性试验，难以得到精确的被控对象的数学模型；(2)对于军标规定的稳定裕度等评价飞行控制系统的重要性能指标，状态空间法远不像经典频率法那样能以明显的形式表达出来；(3)控制器结构过于复杂、没有考虑实际控制器和飞行状态的约束,设计的控制器物理上不可实现。

英国的学者Rosenbrock系统地、开创性地研究了如何将频域法推广到多变量系统的设计中去,利用矩阵对角优势概念,把多变量问题转化为能用人们熟知的古典方法的单变量系统的设计问题,以后相继出现了Mayne序列回差法,MacFarlane特征轨迹法、Owens并矢展开法等方法，共同特点是把多输入一多输出、回路间严重关联的多变量系统的设计,化为一系列单变量系统的设计问题,进而可选用某一种古典方法(Nyquist和Bode的频率响应法,Evans的根轨迹法等)完成系统的设计,上述这些方法保留和继承了古典图形法的优点,不要求特别精确的数学模型,容易满足工程上的限制。特别是当采用有图形显示终端的人一机对话式的计算机辅助设计程序实现时,可以充分发挥设计者的经验和智慧,设计出既满足品质要求,又是物理上可实现的、结构简单的控制器；国内外对多变量频率法进行了改进研究（高大远,罗成,沈辉,胡德文,挠性卫星姿态解藕控制器多变量频率域设计方法，宇航学报,2007,Vol.28(2),pp442-447；熊柯,夏智勋,郭振云,倾斜转弯高超声速巡航飞行器多变量频域法解耦设计,弹箭与制导学报，2011，Vol.31(3),pp25-28）但是，这种设计方法可考虑系统不确定问题时保守性过大，在飞行器操纵舵限制情况下不能得到合理的设计结果。

在高性能飞机的研制中,评价一架飞机飞行品质的好坏,不仅取决于飞机本身和驾驶员操纵的动力学特性,还取决于驾驶员与飞机之间高度一致地配合,以及驾驶员与先进飞机飞行控制系统之间功能分配的合理性。直到1980年后,评价飞机飞行品质的美军标仍然存在着严重缺陷,即没有考虑驾驶员在操纵回路中的作用,因而由此所得的评价与试飞员试飞后所得的结果仍有一定差距。近年来,正在发展一种有驾驶员参与系统的闭环准则(尼尔2史密斯准则),但如何实现至今仍无有效算法。尼尔—史密斯准则是在1970年提出的,它是一个闭环俯仰跟踪准则。它考虑问题的方法是:在驾驶员驾驶飞机时与飞机构成一个闭环系统,驾驶员轻松地操纵就能达到特定的飞行指标,则飞行品质是好的。为了获得与驾驶员一致的对飞机的评价意见,则在理论分析中必须把驾驶员包括在内。通常,驾驶员行为的数学模型是非线性的,可能是离散的,但当研究具有稳定性的操纵对象时,有用的近似模型仍为线性。由大量飞行实践和仿真研究表明,驾驶员的行为由他的心理特性、生理特性、周围环境、操纵系统、操纵对象所要完成的任务来决定,尽管驾驶员有着各自的特点,但在完成单一的飞行任务中,大多数驾驶员的动作可由完全确定的数学模型来描述,它是驾驶员行为的大量试验的平均状态,与实际情况很接近,因此现在大都采用如下形式的人机闭环特性驾驶员模型:

$Y_p\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}$

和系统开环传递函数或频率特性来估计人机闭环特性。

其中：K_p为驾驶员环节的静态增益、τ为驾驶员的固有延时特性、T_D为驾驶员超前补偿时间常数、T_I为驾驶员滞后补偿时间常数；此模型加入后，在飞行控制器中要考虑反应较慢的驾驶员带来的诱发振荡问题，在全部飞行包线内，对反应较慢的驾驶员容许控制器设计还没有系统的方法，只是对单一飞行状态具有部分研究。

综上所述，目前的控制方法还不能在飞行器模型变化、按照全飞行包线内的稳定裕度指标设计出无驾驶员诱发振荡、超调量小、平稳的低空飞行控制器。

发明内容

为了克服现有方法不能在飞行器在全飞行包线内模型变化大的情况下设计出符合全飞行包线内的稳定裕度指标的无驾驶员诱发振荡、超调量小、平稳低空飞行控制器的技术缺陷，本发明提供了一种飞行器多回路模型簇人机闭环复合根轨迹多级PID鲁棒控制器设计方法，该方法在给定不同高度、马赫数条件下通过扫频飞行试验直接确定获得全包线内的幅频和相频特性构成的模型簇；根据飞行包线内的幅频裕度和相位裕度军标要求，给出了对应根轨迹描述下的闭环极点分布限制指标，通过加入多级PID控制器并在飞行器全包线内的闭环极点分布限制指标和系统辨识中的模型辨识方法确定多级PID鲁棒控制器级数和参数值；从根轨迹描述下的闭环极点分布限制的概念出发设计出符合全飞行包线的无驾驶员诱发振荡、超调量小、平稳的低空飞行控制器。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种飞行器多回路模型簇人机闭环复合根轨迹多级PID鲁棒控制器设计方法，其特点是包括以下步骤：

步骤1、给定不同高度、马赫数下通过扫频飞行试验直接由允许飞行的全包线内的幅频和相频特性构成飞行器全包线内的操纵舵面与飞行高度之模型簇，并且能够跨越飞行包线获得飞行器的颤振频率，得到对应的飞行器操纵舵面与飞行高度之间开环传递函数模型簇矩阵为：

其中，G为m×m方阵，m>1为正整数，s为拉普拉氏变换的自变量，h为飞行器飞行高度，M为马赫数，Δ为不确定向量，P为m×m单模方阵，D为m×m多项式对角矩阵，Q为m×m单模方阵，为多项式，n>1为正整数；

选取

满足条件：

以及

其中，G_E为m×m方阵，P_E为m×m单模方阵，D_E为m×m多项式对角矩阵，d_i,E为D_E的第I_E行、第I_E列元素，

为D的第I_E行、第I_E列元素，I_E=1,2,…,m,Q_E为m×m单模方阵，

为多项式，arg为相角数学符号；

飞行器多回路系统的控制器设为：

$G_{\mathrm{CA}}\left(s\right)=Q_E^{-1}\left(s\right)G_{a0}\left(s\right)P_E^{-1}\left(s\right)$

其中，G_CA(s)为m×m方阵，G_a0(s)=diag[G_c,1(s),G_c,2(s),…,G_c,m(s)]为m×m对角矩阵；

为G_a0(s)的第I_E行、第I_E列元素，I_E=1,2,…,m；

步骤2、控制器

I_E=1,2,…,m的设计过程如下：

(1)令

具体表达形式为：

$G_{0,I_E}\left(s\right)=\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]$

其中

A(h,M,s)=s^m+a_m-1(h,M)s^m-1+a_m-2(h,M)s^m-2+…+a₁(h,M)s+a₀(h,M)、

B(h,M,s)=sⁿ+b_n-1(h,M)s^n-1+b_n-2(h,M)s^n-2+…+b₁(h,M)s+b₀(h,M)为多项式，s为传递函数中常用的拉普拉斯变化后的变量，h,M分别为飞行高度和马赫数，σ(h,M)是俯仰回路的延迟时间，K(h,M)为随h,M变化的增益，a_l(h,M),l=0,1,2,…,m-1为多项式A(h,M,s)中随h,M变化的系数簇，b_i(h,M),i=0,1,2,…,n-1为多项式B(h,M,s)中随h,M变化的系数簇，△k(s)为模型的不确定项；

考虑人机闭环特性时驾驶员模型:

$Y_p\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}$

和系统开环传递函数或频率特性来估计人机闭环特性；

其中：K_p为驾驶员环节的静态增益、τ为驾驶员的固有延时特性、T_D为驾驶员超前补偿时间常数、T_I为驾驶员滞后补偿时间常数；

这样，人机系统的开环模型就变为：

$G_{I_E}\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)];$

(2)候选多级PID控制器的传递函数为：

$G_{c,I_E}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)+k_I\left(i\right)/s+k_D\left(i\right)\·s]$

式中，k_c为待确定的常数增益，N为整数，表示待确定的多级PID控制器的级数，k_P(i)、k_I(i)、k_D(i)i=1,2,…,N为待确定的常数；

加入多级PID控制器后，整个系统的开环传递函数为：

$G_{I_E}\left(s\right)G_{c,I_E}\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)+k_I\left(i\right)/s+k_D\left(i\right)\·s]$

对应的根轨迹方程为：

$\begin{array}{c}{K}_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2]\\ =-s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\end{array};$

(3)设s=σ+jω，其中：σ为s的实部，ω为s的虚部，j为虚部符号；系统的稳定裕度指标设定为：σ≤-ζ²，

其中，ζ为非零实数，ξ给定数；根据飞行试验或风洞试验建立模型不确定项造成的滞后相角

弧度，幅值

系统的稳定裕度指标调整为：

和

其中，△_M和△_a均为整实数；

这样，系统的稳定裕度指标可以转化为：根据

$\begin{array}{c}{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\\ =-{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\end{array}$

或

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left\{{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ =-\mathrm{Re}\left\{{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ \mathrm{Im}\left\{{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ =-\mathrm{Im}\left\{{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\end{array}\right.$

所得到的根轨迹必须满足

和

根据该指标和极大似然准则或其它准则共同约束下，可以根据系统模型结构辨识中的极大似然方法或辨识方法确定多级PID控制器的级数N、常数k_P(i)、k_I(i)、k_D(i)i=1,2,…,N。

本发明的有益效果是：从根轨迹描述下的闭环极点分布限制的概念出发，通过加入多级PID控制器，在全飞行包线内按照符合给定闭环极点分布限制要求和模型辨识方法确定多级PID鲁棒控制器的参数，设计出符合全飞行包线的无驾驶员诱发振荡、超调量小、平稳的低空飞行控制器。

下面结合实施例对本发明作详细说明。

具体实施方式

步骤1、给定不同高度、马赫数下使用线性扫频信号

（f₀为起始频率，f₁为截止频率，r=(f₁-f₀)/T，T为扫频时间）或对数扫频信号f(t)=A(t)sin{2πf₀/r·[exp(rt)-1]}（f₀为起始频率，f₁为截止频率，r=ln(f₁/f₀)/T，T为扫频时间）对飞机激励，通过扫频飞行试验直接由允许飞行的全包线内的幅频和相频特性构成飞行器全包线内的操纵舵面与飞行高度之模型簇，并且能够跨越飞行包线获得飞行器的颤振频率，得到对应的飞行器操纵舵面与飞行高度之间开环传递函数模型簇矩阵为：

其中，G为m×m方阵，m>1为正整数，s为拉普拉氏变换的自变量，h为飞行器飞行高度，M为马赫数，Δ为不确定向量，P为m×m单模方阵，D为m×m多项式对角矩阵，Q为m×m单模方阵，为多项式，n>1为正整数；

选取

满足条件：

以及

其中，G_E为m×m方阵，P_E为m×m单模方阵，D_E为m×m多项式对角矩阵，d_i,E为D_E的第I_E行、第I_E列元素，

为D的第I_E行、第I_E列元素，I_E=1,2,…,m,Q_E为m×m单模方阵，

为多项式，arg为相角数学符号；

飞行器多回路系统的控制器设为：

$G_{\mathrm{CA}}\left(s\right)=Q_E^{-1}\left(s\right)G_{a0}\left(s\right)P_E^{-1}\left(s\right)$

其中，G_CA(s)为m×m方阵，G_a0(s)=diag[G_c,1(s),G_c,2(s),…,G_c,m(s)]为m×m对角矩阵；

为G_a0(s)的第I_E行、第I_E列元素，I_E=1,2,…,m；

步骤2、控制器

I_E=1,2,…,m的设计过程如下：

(1)令

具体表达形式为：

$G_{0,I_E}\left(s\right)=\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]$

其中

A(h,M,s)=s^m+a_m-1(h,M)s^m-1+a_m-2(h,M)s^m-2+…+a₁(h,M)s+a₀(h,M)、

B(h,M,s)=sⁿ+b_n-1(h,M)s^n-1+b_n-2(h,M)s^n-2+…+b₁(h,M)s+b₀(h,M)为多项式，s为传递函数中常用的拉普拉斯变化后的变量，h,M分别为飞行高度和马赫数，σ(h,M)是俯仰回路的延迟时间，K(h,M)为随h,M变化的增益，a_l(h,M),l=0,1,2,…,m-1为多项式A(h,M,s)中随h,M变化的系数簇，b_i(h,M),i=0,1,2,…,n-1为多项式B(h,M,s)中随h,M变化的系数簇，△k(s)为模型的不确定项；

考虑人机闭环特性时驾驶员模型:

$Y_p\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}$

和系统开环传递函数或频率特性来估计人机闭环特性；

其中：K_p为驾驶员环节的静态增益、τ为驾驶员的固有延时特性、T_D为驾驶员超前补偿时间常数、T_I为驾驶员滞后补偿时间常数；

这样，人机系统的开环模型就变为：

$G_{I_E}\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)];$

(2)候选多级PID控制器的传递函数为：

$G_{c,I_E}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)+k_I\left(i\right)/s+k_D\left(i\right)\·s]$

式中，k_c为待确定的常数增益，N为整数，表示待确定的多级PID控制器的级数，k_P(i)、k_I(i)、k_D(i)i=1,2,…,N为待确定的常数；

加入多级PID控制器后，整个系统的开环传递函数为：

$G_{I_E}\left(s\right)G_{c,I_E}\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)+k_I\left(i\right)/s+k_D\left(i\right)\·s]$

对应的根轨迹方程为：

$\begin{array}{c}{K}_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2]\\ =-s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\end{array};$

(3)设s=σ+jω，其中：σ为s的实部，ω为s的虚部，j为虚部符号；系统的稳定裕度指标设定为：σ≤-ζ²，其中，ζ为非零实数，ξ给定数；根据飞行试验或风洞试验建立模型不确定项造成的滞后相角

弧度，幅值

系统的稳定裕度指标调整为：

和

其中，△_M和△_a均为整实数；

这样，系统的稳定裕度指标可以转化为：根据

$\begin{array}{c}{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\\ =-{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\end{array}$

或

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left\{{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ =-\mathrm{Re}\left\{{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ \mathrm{Im}\left\{{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ =-\mathrm{Im}\left\{{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\end{array}\right.$

所得到的根轨迹必须满足

和

根据该指标和极大似然准则或其它准则共同约束下，可以根据系统模型结构辨识中的极大似然方法或辨识方法确定多级PID控制器的级数N、常数k_P(i)、k_I(i)、k_D(i)i=1,2,…,N。

Claims (1)

1.一种飞行器多回路模型簇人机闭环复合根轨迹多级PID鲁棒控制器设计方法，其特点是包括以下步骤：

步骤1、给定不同高度、马赫数下通过扫频飞行试验直接由允许飞行的全包线内的幅频和相频特性构成飞行器全包线内的操纵舵面与飞行高度之模型簇，并且能够跨越飞行包线获得飞行器的颤振频率，得到对应的飞行器操纵舵面与飞行高度之间开环传递函数模型簇矩阵为：

其中，G为m×m方阵，m>1为正整数，s为拉普拉氏变换的自变量，h为飞行器飞行高度，M为马赫数，Δ为不确定向量，P为m×m单模方阵，D为m×m多项式对角矩阵，Q为m×m单模方阵，

为多项式，n>1为正整数；

选取

满足条件：

以及

其中，G_E为m×m方阵，P_E为m×m单模方阵，D_E为m×m多项式对角矩阵，d_i,E为D_E的第I_E行、第I_E列元素，为D的第I_E行、第I_E列元素，I_E=1,2,…,m,Q_E为m×m单模方阵，

为多项式，arg为相角数学符号；

飞行器多回路系统的控制器设为：

$G_{\mathrm{CA}}\left(s\right)=Q_E^{-1}\left(s\right)G_{a0}\left(s\right)P_E^{-1}\left(s\right)$

其中，GCA(s)为m×m方阵，G_a0(s)=diag[G_c,1(s),G_c,2(s),…,G_c,m(s)]为m×m对角矩阵；

为G_a0(s)的第I_E行、第I_E列元素，I_E=1,2,…,m；

步骤2、控制器I_E=1,2,…,m的设计过程如下：

(1)令

具体表达形式为：

$G_{0,I_E}\left(s\right)=\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]$

其中

A(h,M,s)=s^m+a_m-1(h,M)s^m-1+a_m-2(h,M)s^m-2+…+a₁(h,M)s+a₀(h,M)、

B(h,M,s)=sⁿ+b_n-1(h,M)s^n-1+b_n-2(h,M)s^n-2+…+b₁(h,M)s+b₀(h,M)为多项式，s为传递函数中常用的拉普拉斯变化后的变量，h,M分别为飞行高度和马赫数，σ(h,M)是俯仰回路的延迟时间，K(h,M)为随h,M变化的增益，a_l(h,M),l=0,1,2,…,m-1为多项式A(h,M,s)中随h,M变化的系数簇，b_i(h,M),i=0,1,2,…,n-1为多项式B(h,M,s)中随h,M变化的系数簇，△k(s)为模型的不确定项；

考虑人机闭环特性时驾驶员模型:

$Y_p\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}$

和系统开环传递函数或频率特性来估计人机闭环特性；

其中：K_p为驾驶员环节的静态增益、τ为驾驶员的固有延时特性、T_D为驾驶员超前补偿时间常数、T_I为驾驶员滞后补偿时间常数；

这样，人机系统的开环模型就变为：

$G_{I_E}\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)];$

(2)候选多级PID控制器的传递函数为：

$G_{c,I_E}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)+k_I\left(i\right)/s+k_D\left(i\right)\·s]$

式中，k_c为待确定的常数增益，N为整数，表示待确定的多级PID控制器的级数，k_P(i)、k_I(i)、k_D(i)i=1,2,…,N为待确定的常数；

加入多级PID控制器后，整个系统的开环传递函数为：

$G_{I_E}\left(s\right)G_{c,I_E}\left(s\right)=K_p\frac{T_{D}s+1}{T_{I}s+1}{e}^{-\mathrm{\τs}}\frac{e^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)}{B(h,M,s)}[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)+k_I\left(i\right)/s+k_D\left(i\right)\·s]$

对应的根轨迹方程为：

$\begin{array}{c}{K}_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2]\\ =-s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\end{array};$

(3)设s=σ+jω，其中：σ为s的实部，ω为s的虚部，j为虚部符号；系统的稳定裕度指标设定为：σ≤-ζ²，

其中，ζ为非零实数，ξ给定数；根据飞行试验或风洞试验建立模型不确定项造成的滞后相角

弧度，幅值

系统的稳定裕度指标调整为：

和

其中，△_M和△_a均为整实数；

这样，系统的稳定裕度指标可以转化为：根据

$\begin{array}{c}{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\\ =-{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\end{array}$

或

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left\{{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ =-\mathrm{Re}\left\{{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ \mathrm{Im}\left\{{\{K_p{e}^{-\mathrm{\τs}}{e}^{-\mathrm{\σ}(h,M)s}K(h,M)A(h,M,s)\·(T_{D}s+1)[1+\mathrm{\Δk}\left(s\right)\left]\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}\right[k_P\left(i\right)\·s+k_I\left(i\right)+k_D\left(i\right)\·s^2\left]\right\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\\ =-\mathrm{Im}\left\{{\{s\·(T_{I}s+1)\·B(h,M,s)\}}_{s=\mathrm{\σ}+\mathrm{j\ω}}\right\}\end{array}\right.$

所得到的根轨迹必须满足

和根据该指标和极大似然准则或其它准则共同约束下，可以根据系统模型结构辨识中的极大似然方法或辨识方法确定多级PID控制器的级数N、常数k_P(i)、k_I(i)、k_D(i)i=1,2,…,N。