CN103759650B - 一种基于双频编码的快速三维测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于双频编码的快速三维测量方法，包括以下步骤：搭建三维测量系统；沿投影机纵向或横向编码生成5幅基于双频编码的结构光扫描图案；用照相机抓取所生成的结构光扫描图片，将照相机抓取回来的与对应的图片进行处理；将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开，结合展开后的相位计算三维坐标。本发明采用双频策略的编码方式，可以产生同时含有高频与低频的编码图片，因此只需要使用5张图片，即可实现实时的三维重建，从而达到了更快的三维重建效果，并且还可以有效地抑制环境噪声的干扰。

Description

一种基于双频编码的快速三维测量方法

技术领域

本发明涉及一种三维测量方法，尤其涉及一种基于双频编码的快速三维测量方法。

背景技术

结构光测量技术是一个主动立体视觉的光学三位测量技术，其中，相位测量技术得到了最广泛的应用，它具有非接触，速度快，精度高，工作距离广和材料适用范围广的特点，在工业检测，文物数字化和逆向工程中得到了广泛的推广。传统的相位测量技术采用了单一频率编码方式，只含有高频或者基频，测量过程中，往往需要同时结合高频编码与基频编码的图案，才能达到较好的效果。

目前，较为常见三维测量方法主要包括激光测量和基于相位测量轮廓术技术的三维测量方法。其中，激光测量的方法，由于采用一行一行的线扫描的方式，导致测量速度较慢，并且设备价格昂贵，尤其是在扫描完成后，产生的数据量较大，从而又增加了计算时间开销；基于相位测量轮廓术的三维测量系统，虽然具有良好的稳定性和数据精度，但是仍然需要相对较多的结构光图片用于扫描才能克服环境噪声的干扰，尤其是在实时三维扫描的过程中，难以达到较好的测量效果，在要求相同数据精度的情况下，时间开销相对较大。

文献K.Liu,et al."Dual-frequency pattern scheme for high-speed 3-Dshape measurement."Opt.Express 18.5(2010):5229-5244.提出了一种采用双频编码方式的结构光图片，并利用快速查找表的方法实现了实时的三维重建。但是，正如文章中所提到的，在使用查找表的过程中，至少需要6幅图片，原因在于：利用查找表，使用文章中所提到的编码方式生成的结构光图片，无法使用奇数张图片，得到相关的相位信息。

发明内容

本发明的目的就在于为了解决上述问题而提供一种基于双频编码的快速三维测量方法。

本发明通过以下技术方案来实现上述目的：

一种基于双频编码的快速三维测量方法，包括以下步骤：

(1)搭建三维测量系统：放置标靶于摄像头能够捕捉的范围，投影机射出的光照能够覆盖扫描范围；

(2)根据以下公式(1)-(5)，沿投影机纵向编码生成5幅基于双频编码的结构光扫描图案，或者沿投影机横向编码生成5幅双频编码策略的结构光扫描图案，则将公式(1)-(4)中的H和y^p分别改为投影机分辨率的宽度W和对应于投影机中所在的列x^p：

$I_0^p=A^p+B_1^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)+B_2^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(1\right)$

$I_1^p=A^p+B_1^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)+B_2^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(2\right)$

$I_2^p=A^p+B_1^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)-B_2^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(3\right)$

$I_3^p=A^p+B_1^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)-B_2^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(4\right)$

$I_4^p=A^p---\left(5\right)$

公式(1)-(5)同时满足以下条件：

且

其中，f_h和f_u分别表示高频和低频，A^p表示生成图片的直流分量，和分别表示对应于高频和低频的谐波调制参数，H表示投影机分辨率的高度，也是生成的结构光扫描图片的预设高度，y^p对应于投影机中所在的行，表示结构光扫描图案；

(3)用照相机抓取公式(1)-(5)所生成的图片，将照相机抓取回来的与对应的图片按以下公式(6)-(10)进行处理：

$B_1^c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{I_0^c+I_2^c-2I_4^c}{I_1^c+I_3^c-2I_4^c}}---\left(6\right)$

$B_2^c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{I_0^c-I_2^c}{I_1^c-I_3^c}}---\left(7\right)$

$A^c=I_4^c---\left(8\right)$

其中，表示照相机抓取的对应于编码的图片，A^c对应于A^p，表示抓取到的图片的直流分量，与分别对应于和分别表示抓取到的图片的高频和低频的调制参数，φ_h和φ_u分别表示高频和低频对应的相位信息；

(4)根据公式(9)和(10)，将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开，结合展开后的相位计算三维坐标。

具体地，所述步骤(4)中，将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开的公式如下：

其中，round[]表示取整运算，Φ表示最终展开的相位。

所述步骤(4)中，采用以下公式(12)-(19)计算三维坐标：

X^W＝E_x(x^c,y^c)Z^w+F_x(x^c,y^c) (12)

Y^W＝E_y(x^c,y^c)Z^w+F_y(x^c,y^c) (13)

Z^W＝M_z(x^c,y^c)+N_z(x^c,y^c)T (14)

T＝(C(x^c,y^c)y^p+1)^-1 (15)

C(x^c,y^c)＝[c₁x^c+c₂y^c+c₃]D (16)

D(x^c,y^c)＝[d₁x^c+d₂y^c+d₃]^-1 (17)

$M_{wc}=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}^{wc}& m_{12}^{wc}& m_{13}^{wc}& m_{14}^{wc}\\ m_{21}^{wc}& m_{22}^{wc}& m_{23}^{wc}& m_{24}^{wc}\\ m_{31}^{wc}& m_{32}^{wc}& m_{33}^{wc}& m_{34}^{wc}\end{array}\right]---\left(18\right)$

$M_{wp}=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}^{wp}& m_{12}^{wp}& m_{13}^{wp}& m_{14}^{wp}\\ m_{21}^{wp}& m_{22}^{wp}& m_{23}^{wp}& m_{24}^{wp}\\ m_{31}^{wp}& m_{32}^{wp}& m_{33}^{wp}& m_{34}^{wp}\end{array}\right]---\left(19\right)$

其中，M_wc表示照相机与世界坐标的转换矩阵，M_wp投影机与照相机之间的转换矩阵，其中，(X^w,Y^w,Z^w)表示物体的三维坐标，M_z,N_z,C,D,E_x,E_y,F_x和F_y分别表示为了快速计算三维坐标而建立的8个相关的查找表，对应的计算公式如下：

$E_x(x^c,y^c)=\frac{(m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}-m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc})x^c+(m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc})y^c+(m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}-m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$F_x(x^c,y^c)=\frac{(m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}-m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc})x^c+(m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc})y^c+(m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}-m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$E_y(x^c,y^c)=\frac{(m_{23}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc})x^c+(m_{11}^{wc}{m}_{33}^{wc}-m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc})y^c+(m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$F_y(x^c,y^c)=\frac{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$M_z(x^c,y^c)=\frac{\left(\frac{a_{z1}{x}^c+a_{z2}{y}^c+a_{z3}}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}\right)}{\left(\frac{c_1{x}^c+c_2{y}^c+c_3}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}\right)}$

$N_z(x^c,y^c)=\frac{b_{z1}{x}^c+b_{z2}{y}^c+b_{z3}}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}-M_z(x^c,y^c)$

其中，上面公式中a_zi，b_zi，c_i和d_i分别定义如下：

$a_{z1}=m_{21}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{32}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{24}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$a_{z2}=m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$a_{z3}=m_{11}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{32}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$b_{z1}=m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{24}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}-m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$b_{z2}=m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{24}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

$b_{z3}=m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{24}-m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$c_1=m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{33}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{23}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{33}^{wp}-m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$c_2=m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{33}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$c_3=m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{33}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{33}-m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$d_1=m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{23}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

$d_2=m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$d_3=m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

其中，和i＝1,2,3,j＝1,2,3,4分别表示表示照相机与世界坐标的转换矩阵M_wc，投影机与照相机之间的转换矩阵M_wp第i行第j列的参数值，a_zi,b_zi,c_i和d_i，i＝1,2,3分别表示使用和进行相应的代数运算得到的参数值，利用照相机中的坐标(x_c,y_c)作为8个查找表M_z,N_z,C,D,E_x,E_y,F_x和F_y所查找的索引值，得到物体的三维坐标(X^w,Y^w,Z^w)。

本发明的有益效果在于：

本发明采用双频策略的编码方式，可以产生同时含有高频与低频的编码图片，因此只需要使用5张图片，即可实现实时的三维重建，从而达到了更快的三维重建效果，并且还可以有效地抑制环境噪声的干扰。

附图说明

图1-1是本发明所述双频策略编码生成的图片之一；

图1-2是本发明所述双频策略编码生成的图片之二；

图1-3是本发明所述双频策略编码生成的图片之三；

图1-4是本发明所述双频策略编码生成的图片之四；

图1-5是本发明所述双频策略编码生成的图片之五；

图1-6是本发明所述相位展开后所得的理想相位图；

图2-1是本发明所述双频策略编码生成的图片被扫描抓取的图片之一；

图2-2是本发明所述双频策略编码生成的图片被扫描抓取的图片之二；

图2-3是本发明所述双频策略编码生成的图片被扫描抓取的图片之三；

图2-4是本发明所述双频策略编码生成的图片被扫描抓取的图片之四；

图2-5是本发明所述双频策略编码生成的图片被扫描抓取的图片之五；

图2-6是本发明所述相位展开后所得的实际相位图；

图2-7是本发明所述实际相位图中第320列的相位值曲线图；

图3-1是本发明所述低频相位图；

图3-2是本发明所述低频相位图中第320列的相位值曲线图；

图3-3是本发明所述高频相位图；

图3-4是本发明所述高频相位图中第320列的相位值曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明：

本发明所述基于双频编码的快速三维测量方法，包括以下步骤：

(1)搭建三维测量系统：放置标靶于摄像头能够捕捉的范围，投影机射出的光照能够覆盖扫描范围；

(2)根据以下公式(1)-(5)，沿投影机纵向编码生成5幅基于双频编码的结构光扫描图案，或者沿投影机横向编码生成5幅双频编码策略的结构光扫描图案，则将公式(1)-(4)中的H和y^p分别改为投影机分辨率的宽度W和对应于投影机中所在的列x^p：

$I_0^p=A^p+B_1^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)+B_2^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(1\right)$

$I_1^p=A^p+B_1^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)+B_2^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(2\right)$

$I_2^p=A^p+B_1^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)-B_2^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(3\right)$

$I_3^p=A^p+B_1^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)-B_2^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(4\right)$

$I_4^p=A^p---\left(5\right)$

公式(1)-(5)同时满足以下条件：

且

其中，f_h和f_u分别表示高频和低频，f_h大于1，可任意选取，f_u为1，A^p表示生成图片的直流分量，和分别表示对应于高频和低频的谐波调制参数，H表示投影机分辨率的高度，也是生成的结构光扫描图片的预设高度，y^p对应于投影机中所在的行，i＝0,1,2,3,4表示结构光扫描图案；本例中，当f_h为16，f_u为1时，公式(1)-(5)所生成的图片分别如图1-1～图1-5所示；

(3)用照相机抓取公式(1)-(5)所生成的图片，所得图片分别如图2-1～图2-5所示，与i＝0,1,2,3,4对应的五张图片具体表示如下：

$I_4^c=A^c$

将上述照相机抓取回来的与对应的图片按以下公式(6)-(10)进行处理：

$B_1^c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{I_0^c+I_2^c-2I_4^c}{I_1^c+I_3^c-2I_4^c}}---\left(6\right)$

$B_2^c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{I_0^c-I_2^c}{I_1^c-I_3^c}}---\left(7\right)$

$A^c=I_4^c---\left(8\right)$

其中，i＝0,1,2,3,4表示照相机抓取的对应于编码的图片，A^c对应于A^p，表示抓取到的图片的直流分量，与分别对应于和分别表示抓取到的图片的高频和低频的调制参数，φ_h和φ_u分别表示高频和低频对应的相位信息，利用高频滤除环境和系统噪声，φ_u和φ_h分别如图3-1和图3-3所示，对应相位曲线图分别如图3-2和图3-4所示。

(4)根据公式(9)和(10)，将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开，展开的理想相位如图1-6所示；将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开的公式如下：

其中，round[]表示取整运算，Φ表示最终展开的相位，展开的实际相位Φ如图2-6所示，相位曲线图如图2-7所示，相对图3-2所示的低频曲线图，图2-7所示的曲线较为平滑，说明加入高频正弦波作用之后，基本消除噪声影响；采用以下公式(12)-(19)结合展开后的相位计算三维坐标：

X^W＝E_x(x^c,y^c)Z^w+F_x(x^c,y^c) (12)

Y^W＝E_y(x^c,y^c)Z^w+F_y(x^c,y^c) (13)

Z^W＝M_z(x^c,y^c)+N_z(x^c,y^c)T (14)

T＝(C(x^c,y^c)y^p+1)^-1 (15)

C(x^c,y^c)＝[c₁x^c+c₂y^c+c₃]D (16)

D(x^c,y^c)＝[d₁x^c+d₂y^c+d₃]^-1 (17)

$M_{wc}=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}^{wc}& m_{12}^{wc}& m_{13}^{wc}& m_{14}^{wc}\\ m_{21}^{wc}& m_{22}^{wc}& m_{23}^{wc}& m_{24}^{wc}\\ m_{31}^{wc}& m_{32}^{wc}& m_{33}^{wc}& m_{34}^{wc}\end{array}\right]---\left(18\right)$

$M_{wp}=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}^{wp}& m_{12}^{wp}& m_{13}^{wp}& m_{14}^{wp}\\ m_{21}^{wp}& m_{22}^{wp}& m_{23}^{wp}& m_{24}^{wp}\\ m_{31}^{wp}& m_{32}^{wp}& m_{33}^{wp}& m_{34}^{wp}\end{array}\right]---\left(19\right)$

其中，M_wc表示照相机与世界坐标的转换矩阵，M_wp投影机与照相机之间的转换矩阵，其中，(X^w,Y^w,Z^w)表示物体的三维坐标，M_z,N_z,C,D,E_x,E_y,F_x和F_y分别表示为了快速计算三维坐标而建立的8个相关的查找表，对应的计算公式如下：

$E_x(x^c,y^c)=\frac{(m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}-m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc})x^c+(m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc})y^c+(m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}-m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$F_x(x^c,y^c)=\frac{(m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}-m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc})x^c+(m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc})y^c+(m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}-m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$E_y(x^c,y^c)=\frac{(m_{23}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc})x^c+(m_{11}^{wc}{m}_{33}^{wc}-m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc})y^c+(m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$F_y(x^c,y^c)=\frac{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$M_z(x^c,y^c)=\frac{\left(\frac{a_{z1}{x}^c+a_{z2}{y}^c+a_{z3}}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}\right)}{\left(\frac{c_1{x}^c+c_2{y}^c+c_3}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}\right)}$

$N_z(x^c,y^c)=\frac{b_{z1}{x}^c+b_{z2}{y}^c+b_{z3}}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}-M_z(x^c,y^c)$

其中，上面公式中a_zi，b_zi，c_i和d_i分别定义如下：

$a_{z1}=m_{21}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{32}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{24}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$a_{z2}=m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$a_{z3}=m_{11}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{32}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$b_{z1}=m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{24}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}-m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$b_{z2}=m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{24}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

$b_{z3}=m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{24}-m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$c_1=m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{33}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{23}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{33}^{wp}-m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$c_2=m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{33}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$c_3=m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{33}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{33}-m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$d_1=m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{23}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

$d_2=m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$d_3=m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

其中，和i＝1,2,3,j＝1,2,3,4分别表示表示照相机与世界坐标的转换矩阵M_wc，投影机与照相机之间的转换矩阵M_wp第i行第j列的参数值，a_zi,b_zi,c_i和d_i，i＝1,2,3分别表示使用和进行相应的代数运算得到的参数值，利用照相机中的坐标(x_c,y_c)作为8个查找表M_z,N_z,C,D,E_x,E_y,F_x和F_y所查找的索引值，得到物体的三维坐标(X^w,Y^w,Z^w)。

上述实施例只是本发明的较佳实施例，并不是对本发明技术方案的限制，比如，将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开还可以采用其它公式；计算三维坐标还可以采用其它公式；只要是不经过创造性劳动即可在上述实施例的基础上实现的技术方案，均应视为落入本发明专利的权利保护范围内。

Claims (3)

1.一种基于双频编码的快速三维测量方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)搭建三维测量系统：放置标靶于摄像头能够捕捉的范围，投影机射出的光照能够覆盖扫描范围；

(2)根据以下公式(1)-(5)，沿投影机纵向编码生成5幅基于双频编码的结构光扫描图案，或者沿投影机横向编码生成5幅双频编码策略的结构光扫描图案，则将公式(1)-(4)中的H和y^p分别改为投影机分辨率的宽度W和对应于投影机中所在的列x^p：

$I_0^p=A^p+B_1^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)+B_2^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(1\right)$

$I_1^p=A^p+B_1^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)+B_2^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(2\right)$

$I_2^p=A^p+B_1^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)-B_2^{p}sin\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(3\right)$

$I_3^p=A^p+B_1^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_h{y}^p}{H}\right)-B_2^{p}cos\left(\frac{2{\mathrm{\πf}}_u{y}^p}{H}\right)---\left(4\right)$

$I_4^p=A^p---\left(5\right)$

公式(1)-(5)同时满足以下条件：

且

其中，f_h和f_u分别表示高频和低频，A^p表示生成图片的直流分量，和分别表示对应于高频和低频的谐波调制参数，H表示投影机分辨率的高度，也是生成的结构光扫描图片的预设高度，y^p对应于投影机中所在的行，i＝0,1,2,3,4表示结构光扫描图案；

(3)用照相机抓取公式(1)-(5)所生成的图片，将照相机抓取回来的与对应的图片按以下公式(6)-(10)进行处理：

$B_1^c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{I_0^c+I_2^c-2I_4^c}{I_1^c+I_3^c-2I_4^c}}---\left(6\right)$

$B_2^c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{I_0^c-I_2^c}{I_1^c-I_3^c}}---\left(7\right)$

$A^c=I_4^c---\left(8\right)$

其中，i＝0,1,2,3,4表示照相机抓取的对应于编码的图片，A^c对应于A^p，表示抓取到的图片的直流分量，与分别对应于和分别表示抓取到的图片的高频和低频的调制参数，φ_h和φ_u分别表示高频和低频对应的相位信息；

(4)根据公式(9)和(10)，将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开，结合展开后的相位计算三维坐标。

2.根据权利要求1所述的基于双频编码的快速三维测量方法，其特征在于：所述步骤(4)中，将高频相位φ_h借助低频相位φ_u进行相位展开的公式如下：

其中，round[]表示取整运算，Φ表示最终展开的相位。

3.根据权利要求2所述的基于双频编码的快速三维测量方法，其特征在于：所述步骤(4)中，采用以下公式(12)-(19)计算三维坐标：

X^W＝E_x(x^c,y^c)Z^w+F_x(x^c,y^c) (12)

Y^W＝E_y(x^c,y^c)Z^w+F_y(x^c,y^c) (13)

Z^W＝M_z(x^c,y^c)+N_z(x^c,y^c)T (14)

T＝(C(x^c,y^c)y^p+1)^-1 (15)

C(x^c,y^c)＝[c₁x^c+c₂y^c+c₃]D (16)

D(x^c,y^c)＝[d₁x^c+d₂y^c+d₃]^-1 (17)

$M_{wc}=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}^{wc}& m_{12}^{wc}& m_{13}^{wc}& m_{14}^{wc}\\ m_{21}^{wc}& m_{22}^{wc}& m_{23}^{wc}& m_{24}^{wc}\\ m_{31}^{wc}& m_{32}^{wc}& m_{33}^{wc}& m_{34}^{wc}\end{array}\right]---\left(18\right)$

$M_{wp}=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}^{wp}& m_{12}^{wp}& m_{13}^{wp}& m_{14}^{wp}\\ m_{21}^{wp}& m_{22}^{wp}& m_{23}^{wp}& m_{24}^{wp}\\ m_{31}^{wp}& m_{32}^{wp}& m_{33}^{wp}& m_{34}^{wp}\end{array}\right]---\left(19\right)$

其中，M_wc表示照相机与世界坐标的转换矩阵，M_wp投影机与照相机之间的转换矩阵，其中，(X^w,Y^w,Z^w)表示物体的三维坐标，M_z,N_z,C,D,E_x,E_y,F_x和F_y分别表示为了快速计算三维坐标而建立的8个相关的查找表，对应的计算公式如下：

$E_x(x^c,y^c)=\frac{(m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}-m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc})x^c+(m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc})y^c+(m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}-m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{31}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$F_x(x^c,y^c)=\frac{(m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}-m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc})x^c+(m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc})y^c+(m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}-m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$E_y(x^c,y^c)=\frac{(m_{23}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc})x^c+(m_{11}^{wc}{m}_{33}^{wc}-m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc})y^c+(m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$E_y(x^c,y^c)=\frac{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}{(m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc})x^c+(m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc})y^c+(m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc})}$

$M_z(x^c,y^c)=\frac{\left(\frac{a_{z1}{x}^c+a_{z2}{y}^c+a_{z3}}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}\right)}{\left(\frac{c_1{x}^c+c_2{y}^c+c_3}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}\right)}$

$N_z(x^c,y^c)=\frac{b_{z1}{x}^c+b_{z2}{y}^c+b_{z3}}{d_1{x}^c+d_2{y}^c+d_3}-M_z(x^c,y^c)$

其中，上面公式中a_zi，b_zi，c_i和d_i分别定义如下：

$a_{z1}=m_{21}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{32}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{24}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$a_{z2}=m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$a_{z3}=m_{11}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{32}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{34}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{34}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$b_{z1}=m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{24}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}-m_{24}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$b_{z2}=m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{24}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{14}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

$b_{z3}=m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{14}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{24}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{24}-m_{14}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$c_1=m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{33}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{23}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{33}^{wp}-m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$c_2=m_{11}^{wc}{m}_{34}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{24}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{33}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{31}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{32}^{wp}$

$c_3=m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{33}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{31}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{32}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{33}-m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{31}^{wp}$

$d_1=m_{21}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{22}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{23}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{21}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{22}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{23}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

$d_2=m_{11}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{21}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{33}^{wc}{m}_{22}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{31}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{32}^{wc}{m}_{21}^{wp}$

$d_3=m_{11}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{22}^{wp}+m_{12}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{23}^{wp}+m_{13}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{11}^{wc}{m}_{22}^{wc}{m}_{23}^{wp}-m_{12}^{wc}{m}_{23}^{wc}{m}_{21}^{wp}-m_{13}^{wc}{m}_{21}^{wc}{m}_{22}^{wp}$

其中，和i＝1,2,3,j＝1,2,3,4分别表示表示照相机与世界坐标的转换矩阵M_wc，投影机与照相机之间的转换矩阵M_wp第i行第j列的参数值，a_zi,b_zi,c_i和d_i，i＝1,2,3分别表示使用和进行相应的代数运算得到的参数值，利用照相机中的坐标(x_c,y_c)作为8个查找表M_z,N_z,C,D,E_x,E_y,F_x和F_y所查找的索引值，得到物体的三维坐标(X^w,Y^w,Z^w)。