CN103591973A - 一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法。综合考虑三轴不正交、标定系数不一致和零点偏置三个方面对测量值的影响，得到对常用三轴矢量传感器具有普遍适用性的传感器误差校正模型；引入高精度标量背景场测量仪提供期望输出；进一步建立三轴矢量传感器固有参数辨识的最优化模型；结合非线性最小二乘的基本思想对模型进行求解，实现三轴矢量传感器的固有参数辨识和误差校正。本发明同现有技术相比，具有针对常用三轴矢量传感器的普遍适用性；综合考虑了三轴不正交、各轴标定系数不一致和零点偏置对测量值带来的影响；消除了仪器系统误差对测量结果的影响；对实验操作和仪器设备要求不高。

Description

一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法

技术领域

本发明属于电子仪器测量、标定与校正技术领域，涉及一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法

背景技术

三轴矢量传感器既能实现对空间物理场的标量测量又能实现矢量测量，在实际测量工作中有着独特优势和广泛应用。但受加工和安装工艺的限制，实际的三轴矢量传感器各测量轴的敏感元件不完全正交，各轴的灵敏性和激励放大电路的电器性能也有差异，加之零点偏置等因素的影响，使得传感器测量值与实际值之间存在较大误差，大大限制了三轴矢量传感器的应用领域。因此，在高精度测量工作中，必须对传感器进行误差校正。用专业计量设备可测量得到传感器固有参数，但设备昂贵，过程繁琐。因此，通常采用数值计算的方法，结合实验中三轴矢量传感器的实际输出，实现固有参数的辨识和误差校正。

在本发明以前的技术中，对三轴矢量传感器的误差校正存在以下四个方面的局限性：(1)校正方法仅局限在某一特定传感器，不具有针对常用三轴矢量传感器的普遍适用性；(2)没有综合分析三轴不正交、各轴标定系数不一致和零点偏置对测量值带来的影响；(3)将三轴矢量传感器自身测量值的平均值作为期望输出，无法消除仪器系统误差对测量结果的影响；(4)在校正试验中，传感器的姿态变化都围绕某一固定轴进行旋转，对实验操作和仪器设备要求高。

发明内容

针对上述现有技术状况，本发明提供一种基于非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法。

本发明的技术构思及技术解决方案是：分析三轴矢量传感器的工作原理，综合考虑三轴不正交、标定系数不一致和零点偏置三个方面对测量值的影响，得到对常用三轴矢量传感器具有普遍适用性的传感器误差校正模型。针对传感器固有参数的辨识，引入高精度标量背景场测量仪提供期望输出，以此弥补仅靠被校正仪器提供测量数据所带来的系统误差无法弥补的不足，进一步根据非线性最小二乘的计算要求，建立三轴矢量传感器固有参数辨识的最优化模型；结合非线性最小二乘的基本思想对模型进行求解，实现三轴矢量传感器的固有参数辨识和误差校正。本发明方法具体包括如下步骤：

步骤1：建立三轴矢量传感器的误差校正公式

根据正交坐标系(参见图1、2)OX₁Y₁Z₁与实际测量坐标系OXYZ之间的位置关系和传感器三个轴的电路原理，得出三轴矢量传器误差的三个来源：三轴不正交、标度系数不一致和零点偏置，综合考虑这三方面因素建立三轴矢量传感器的误差校正公式：

V₁＝P·K^-1·(V-b)   (1)

其中，b＝(b₁，b₂，b₃)^T为零点偏置向量，b₁、b₂、b₃分别对应x、y、z轴的零点偏置；K＝diag(k₁，k₂，k₃)为标度系数矩阵，k₁、k₂、k₃分别对应x、y、z轴的标度系数； $P=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}& 0& 0\\ \sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\β}& 0\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\β}& 1\end{array}\right],$ α、β、γ为非正交坐标系与正交坐标系之间的正交误差角；V＝[v_x，v_y，v_z]^T为实际传感器测量值，V₁＝[v_1x，v_1y，v_1z]^T为理想传感器测量值；

步骤2：建立三轴矢量传感器固有参数辨识的最优化模型：

$\min \left[F\left(X\right)\right]=\min \left[\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\right|V_{1i}\left(X\right)|-|V_{\mathrm{SC}}\left|\right)}^2\right]---\left(2\right)$

其中，X＝[b₁，b₂，b₃，k₁，k₂，k₃，α，β，γ]^T，|V_1i(x)|为测量值|V_i(X)|经过校正公式校正后的总场强度，|V_SC|为高精度标量背景场测量仪测控量得到的总场强度。当目标函数F(X)→0时，|V_1i|→|V_SC|，此时对应的校正参数X即为矢量传感器的固有误差参数。该模型符合典型的非线性最小二乘问题的基本形式；

步骤3：运用非线性最小二乘理论对参数进行辨识

求解非线性最小二乘问题的基本思想是，通过求解一系列线性最小二乘问题来得到非线性最小二乘问题的解；因此，运用非线性最小二乘理论对三轴矢量传感器的固有参数进行辨识，具体分为以下几个步骤：

步骤3.1：令k＝0，设定校正参数的初始值X⁽⁰⁾，迭代终止条件ε，最大迭代次数k_max；

步骤3.2：将非线性最小二乘问题F(X)在X^(k)处近似为线性最小二乘问题φ(X)；

令

$f_i\left(X\right)=\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\right|V_{1i}\left(X\right)|-|V_{\mathrm{SC}}\left|\right)---\left(3\right)$

i＝1，2，…，m

则

即为函数f_i(X)在X^(k)处展开的一阶Taylor多项式。

令

用φ(X)在X^(k)处近似F(X)，从而将非线性最小二乘问题近似为求解线性最小二乘问题：minφ(X)。

步骤3.3：求解线性最小二乘问题：minφ(X)

步骤3.3.1：求解f_i(X)在X^(k)处的梯度

由步骤1所建立的校正公式(1)可得，|V_1i(X)|的表达式为：

$\left|V_{1i}\right|=\sqrt{{(V_i-b)}^T{K}^{-1}{P}^T{\mathrm{PK}}^{-1}(V_i-b)}$

则f_i(X)对三轴矢量传感器9个固有参数的偏导数分别为：

其中，j＝1，2，3， $\frac{\∂(V_i-b)}{{\∂b}_1}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right],$ $\frac{\∂(V_i-b)}{{\∂b}_2}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right]\end{array},$ $\frac{\∂(V_i-b)}{{\∂b}_3}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right].$

其中，j＝1，2，3， $\frac{\∂(V_i-b)}{{\∂k}_1}=\mathrm{diag}(-\frac{1}{k_1^2},\mathrm{0,0}),$ $\frac{\∂(V_i-b)}{{\∂k}_2}=\mathrm{diag}(0,-\frac{1}{k_2^2},0),$ $\frac{\∂(V_i-b)}{{\∂k}_3}=\mathrm{diag}(0,0,-\frac{1}{k_3^2}).$

其中，θ₁＝α，θ₂＝β，θ₃＝γ， $\frac{\∂P}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}=\left[\begin{array}{ccc}-\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}& 0& 0\end{array}\right],$ $\frac{\∂P}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -\sin \mathrm{\β}& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& 0\end{array}\right],$ $\frac{\∂P}{{\∂\mathrm{\θ}}_3}=\left[\begin{array}{ccc}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}& 0& 0\\ \cos \mathrm{\γ}& 0& 0\\ -\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}& 0& 0\end{array}\right].$

由此得到

的表达式为：

${\▿f}_i{\left(X^{\left(k\right)}\right)}^T=[\frac{{\∂f}_i\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂b}_1},\frac{{\∂f}_i\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂b}_2},\·\·\·,\frac{{\∂f}_i\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂}_{\mathrm{\γ}}}]$

步骤3.3.2：将

带入到φ(X)的极小值点计算公式

记

$A_k=\left[\begin{array}{c}{\▿f}_1{\left(X^{\left(k\right)}\right)}^T\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\▿f}_m{\left(X^{\left(k\right)}\right)}^T\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂f}_1\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂x}_1}& \frac{{\∂f}_1\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂x}_2}& \·\·\·& \frac{{\∂f}_1\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂x}_n}\\ \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·& \·\·\·\\ \frac{{\∂f}_m\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂x}_1}& \frac{{\∂f}_m\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂x}_2}& \·\·\·& \frac{{\∂f}_m\left(X^{\left(k\right)}\right)}{{\∂x}_n}\end{array}\right]$

$B_k=\left[\begin{array}{c}{\▿f}_1{\left(X^{\left(k\right)}\right)}^T{X}^{\left(k\right)}-f_1\left(X^{\left(k\right)}\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\▿f}_m{\left(X^{\left(k\right)}\right)}^T{X}^{\left(k\right)}-f_m\left(X^{\left(k\right)}\right)\end{array}\right]$

$=A_k{X}^{\left(k\right)}-f^{\left(k\right)}$

$f^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{f}_1\left(X^{\left(k\right)}\right)\\ f_2\left(X^{\left(k\right)}\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ f_m\left(X^{\left(k\right)}\right)\end{array}\right]$

则φ(X)可写成矩阵形式为：

φ(X)＝(A_kX-B_k)^T(A_kX-B_k)

由于矩阵A_k为列满秩，则由最小二乘理论可得函数φ(X)的极小值点为：

$X^{(k+1)}=X^{\left(k\right)}-{\left(A_k^T{A}_k\right)}^{-1}{A}_k^T{f}^{\left(k\right)}$

步骤3.4：判断迭代是否终止

若F(X^(k+1))＜ε或k＝k_max，则终止迭代，输出参数向量X^(k+1)；否则，转到步骤3.1继续进行迭代计算；

步骤4：将得到的三轴矢量传感器的固有参数值带入到校正公式，即可实现对测量误差的校正。

本发明同现有技术相比，具有针对常用三轴矢量传感器的普遍适用性；综合考虑了三轴不正交、各轴标定系数不一致和零点偏置对测量值带来的影响；消除了仪器系统误差对测量结果的影响；对实验操作和仪器设备要求不高。

附图说明

图1：本发明测量坐标系与标准郑家坐标系位置关系图

图2：三轴矢量传感器各轴测量原理图

图3：三轴零偏求解值变化曲线图

图4：三轴灵敏度求解值变化曲线图

图5：正交误差角求解值变化曲线图

图6：目标函数值变化曲线图

图7：FGM-2000三轴磁通门传感器误差校正效果图

具体实施方式

下面以FGM-2000三轴磁通门传感器为误差校正对象，通过开展校正试验，对本发明校正方法进行验证。选定的高精度背景场标量测量仪为GSMP-35高精度光泵磁力仪，该仪器技术指标如表1所示：

表1GSMP-35光泵磁力仪技术指标列表

*注：该技术指标为中国计量研究院标定

实验验证的具体过程如下：

步骤1选定地磁场均匀稳定区域为试验区，按照要求连接仪器设备，将FGM-2000三轴磁通门传感器固定在实验区内的有精密刻度的无磁转台上，检查无误后接通电源，检验仪器性能。

步骤2待仪器性能稳定后，每隔10°转动一次转台，待传感器测量值稳定后记录对应姿态下的FGM-2000的三轴输出，完整记录传感器旋转360°得到的35组测量数据。

步骤3：保持无磁转台在测量点位置和姿态不变。取下FGM-2000三轴磁通门磁力仪，将GSMP-35光泵磁力仪固定在无磁转台的同一位置，以Step2中同样的方法将转台旋转360°，记完整录对应姿态下磁力仪测量得到的地磁总场数据。

步骤4结合测量得到的两组磁场数据，运用基于非线性最小二乘的三轴磁通门传感器固有参数辨识算法对固有参数进行求解。

求解得到的结果如图3～7所示。

经过1200次循环迭代后，得到的FGM-2000三轴磁通门传感器的固有参数如表2所示。

表2FGM-2000固有参数求解结果

将表2中的固有参数代入到校正公式V₁＝P·K^-1·(V-b)中，得到校正前后测量结果及误差对比如表3所示。

表3校正前后结果及误差对比

根据表3中数据进一步计算，得到FGM-2000对地磁总场测量的均方根误差校正前为rmse⁽⁰⁾＝305.75nT，校正后为rmse⁽¹²⁰⁰⁾＝4.36nT，测量误差减小了98.57％，传感器测量精度显著提高，校正后仪器的性能更加接近理想器件，验证了方法的有效性。

Claims (4)

1.一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法，其特征在于：综合考虑三轴不正交、标定系数不一致和零点偏置三个方面对测量值的影响，得到对常用三轴矢量传感器具有普遍适用性的传感器误差校正模型；针对传感器固有参数的辨识，引入高精度标量背景场测量仪提供期望输出，以此弥补仅靠被校正仪器提供测量数据所带来的系统误差无法弥补的不足；进一步根据非线性最小二乘的计算要求，建立三轴矢量传感器固有参数辨识的最优化模型；结合非线性最小二乘的基本思想对模型进行求解，实现三轴矢量传感器的固有参数辨识和误差校正。 

2.根据权利要求1所述的一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法，其特征在于：具体包括如下步骤： 

步骤1：建立三轴矢量传感器的误差校正公式 

根据正交坐标系OX₁Y₁Z₁与实际测量坐标系OXYZ之间的位置关系和传感器三个轴的电路原理，得出三轴矢量传器误差的三个来源：三轴不正交、标度系数不一致和零点偏置，综合考虑这三方面因素建立三轴矢量传感器的误差校正公式： 

V₁＝P·K^-1·(V-b)   (1) 

其中，b＝(b₁，b₂，b₃)^T为零点偏置向量，b₁、b₂、b₃分别对应x、y、z轴的零点偏置；K＝diag(k₁，k₂，k₃)为标度系数矩阵，k₁、k₂、k₃分别对应x、y、z轴的标度系数； α、β、γ为非正交坐标系与正交坐标系之间的正交误差角；V＝[v_x，v_y，v_z]^T为实际传感器测量值，v₁＝[v_1x，v_1y，v_1z]^T为理想传感器测量值； 

步骤2：建立三轴矢量传感器固有参数辨识的最优化模型： 

其中，X＝[b₁，b₂，b₃，k₁，k₂，k₃，α，β，γ]^T，|V_1i(X)|为测量值|V₁(X)|经过校正公式校正后的总场强度，|V_SC|为高精度标量背景场测量仪测控量得到的总场强度。当目标函数F(X)→0 时，|V_1i|→|V_SC|，此时对应的校正参数X即为矢量传感器的固有误差参数。该模型符合典型的非线性最小二乘问题的基本形式； 

步骤3：运用非线性最小二乘理论对参数进行辨识：通过求解一系列线性最小二乘问题来得到非线性最小二乘问题的解，运用非线性最小二乘理论对三轴矢量传感器的固有参数进行辨识； 

步骤4：将得到的三轴矢量传感器的固有参数值带入到校正公式，即可实现对测量误差的校正。 

3.根据权利要求2所述的一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法，其特征在于：步骤3中所述的“运用非线性最小二乘理论对参数进行辨识”具体分为以下几个步骤： 

步骤3.1：令k＝0，设定校正参数的初始值X⁽⁰⁾，迭代终止条件ε，最大迭代次数k_max； 

步骤3.2：将非线性最小二乘问题F(X)在X^(k)处近似为线性最小二乘问题φ(X)； 

令 

i＝1，2，…，m 

则

即为函数f_i(X)在X^(k)处展开的一阶Taylor多项式；令 

用φ(X)在X^(k)处近似F(X)，从而将非线性最小二乘问题近似为求解线性最小二乘问题：minφ(X)； 

步骤3.3：求解线性最小二乘问题：minφ(X)； 

步骤3.4：判断迭代是否终止 

若F(X^(k+1))＜ε或k＝k_max，则终止迭代，输出参数向量X^(k+1)；否则，转到步骤3.1继续进行迭代计算。 

4.根据权利要求2所述的一种非线性最小二乘的三轴矢量传感器高精度校正方法，其特征在于：步骤3.3中所述的“求解线性最小二乘问题：minφ(X)”具体分为以下几个步骤： 

步骤3.3.1：求解f_i(X)在X^(k)处的梯度

由步骤1所建立的校正公式(1)可得，|V_1i(X)|的表达式为： 

则f_i(X)对三轴矢量传感器9个固有参数的偏导数分别为： 

其中，j＝1，2，3，

其中，j＝1，2，3，

其中，θ₁＝α，θ₂＝β，θ₃＝γ，

由此得到

的表达式为： 

步骤3.3.2：将带入到φ(X)的极小值点计算公式 

记 

则φ(X)可写成矩阵形式为： 

φ(X)＝(A_kX-B_k)^T(A_kX-B_k) 

由于矩阵A_k为列满秩，则由最小二乘理论可得函数φ(X)的极小值点为： 

。

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