CN103532889B - 一种软输出并行堆栈mimo信号检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，包括如下步骤：步骤一，对多输入多输出MIMO系统的信道矩阵进行QR分解；步骤二，采用度量优先的树搜索方法，除叶子节点外，每一层的节点对应一个栈，不同栈中的节点并行展开；根据步骤二中获得的最大似然路径度量假设与候选的最大似然路径度量假设，利用双项最大后验概率方法计算出每一比特的对数似然比，本发明通过对树搜索每一层分配一个独立的栈，减小了栈内节点排序的计算量，减少了存储空间需求，同时每个栈并行展开，增加了硬件效率，在保证信号检测性能的同时，降低MIMO检测的复杂度，减少存储需求。

Description

一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法

技术领域

本发明涉及MIMO（Multi-Input Multi-Output，多输入多输出）传输技术领域，特别是涉及一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法。

背景技术

在发射端和接收端均使用多根天线的MIMO(Multiple Input Multiple Output)技术，可以在不增加频率和功率开销的情况下，极大地提高系统的容量和传输的可靠性。特别是空间多路复用MIMO技术，使系统的传输速率随天线数目的增加而线性增长，吸引了学术界和工业界的广泛关注。随着Internet和多媒体等高速数据业务在无线通信系统中的广泛应用，IMT-Advanced(4G)和IEEE802.11ac等下一代主流无线通信系统需要在物理层采用高阶天线配置和高阶调制来支持超过1Gbps的峰值传输速率。

为了提高系统传输的可靠性，满足未来无线通信系统的性能要求，信道编码逐步从卷积编码向性能更加优异的Turbo码和LDPC码演进，这就要求MIMO检测器提供软信息来提升系统性能。然而MIMO检测算法的计算复杂度随着天线数目和调制阶数的增加而指数增长。比如IEEE802.11ac超高速无线局域网采用8x8天线和256-QAM调制方式来支持Gbps的传输速率，导致MIMO检测器需要从惊人的2568（1.84x1019）个发射信号向量中检测出原始的发送信号。因此软输出MIMO检测算法复杂度增加的速度远远高于半导体工艺的发展和电池性能的提升，这给接收机中MIMO检测算法和超大规模集成电路体系架构设计带来了严峻的挑战。

在采用编码（LDPC码，Turbo码等）MIMO系统中，软输出MIMO检测算法可以被划分为四大类：最大后验概率（Maximum A Posteriori,MAP）检测算法、线性检测算法、干扰消除（Interference Cancellation，IC）算法和树搜索（Tree Search）检测算法。

MAP检测算法能够最大限度的发挥MIMO技术带来的容量增益，达到最优的检测性能，但其复杂度随发射天线数和调制阶数而呈指数增长，目前的硬件处理能力尚不能满足要求。基于迫零（Zero Forcing,ZF）和最小均方误差（Minimum Mean-Square Error，MMSE）的线性检测算法以及干扰消除算法具有相对较低复杂度，但它们的检测性能差，无法满足下一代无线通信系统链路传输的性能要求。

树搜索检测算法的核心思想是通过把MAP检测等价变换成加权树最小路径搜索的问题，通过不同的搜索方式缩小访问空间范围，以降低检测算法的复杂度。根据遍历树的顺序和剪枝的方法，该类算法可以分为三类：深度优先搜索球形译码（Sphere Decoding,SD）算法；广度优先算法；度量优先（Metric-first）算法。

深度优先算法计算复杂度受信噪比的影响。广度优先树搜索算法主要分为两类：K-Best检测算法和定复杂度球形译码（Fixed-Complexity Sphere Decoding,FSD）算法，它们都具有固定的计算复杂度，但复杂度高而且性能难以接近最优的MAP算法。为了解决这两方面的问题，Chung-An Shen,Ahmed M.Eltawil和Sudip Mondal等人在《IEEEInternational Symposium on Circuits and Systems》3533-3536,May,2010上发表的“ABest-First Tree-Searching Approach for ML Decoding in MIMO System（用于多输入多输出系统最大似然译码的一种度量优先树搜索方法，2010年IEEE电路与系统国际研讨会，3533-3536页）”提出了改进的度量优先算法算法（Modified Best First,MBF），每次展开最小路径度量节点中最好的一个兄弟节点和子节点，在纵向和横向两个方向进行搜索。由于度量优先检测结合了深度优先和广度优先树搜索算法的优点，因此搜索效率更高。但这种算法每次需要在存储栈中取出路径度量最小的节点进行展开，并删除路径度量最大的节点，这就需要进行大量的比较和排序操作，成为度量优先算法VLSI设计的瓶颈。C.-H.Liao,T.-P.Wang和T.D.Chiueh在《IEEE Journal of Solid-State Circuits》vol.45,no.2,411–421,Feb.2010上发表的“A74.8mW soft-output detector IC for8×8spatial-multiplexing MIMO communications（用于8×8空间复用多输入多输出系统的一种74.8mW软输出检测器集成电路，2010年IEEE固态电路学报，第2期，411-421页）”，通过设计一种DEAP存储结构，减小了比较和排序操作次数，但仍需要消耗较大存储空间和检测延迟，限制了检测器吞吐率。

发明内容

为克服上述现有技术存在的不足，本发明之目的在于提供一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，其可以在保证信号检测性能的同时，降低MIMO检测的复杂度，减少存储需求。

为达上述及其它目的，本发明提出一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，包括如下步骤：

步骤一，对多输入多输出MIMO系统的信道矩阵进行QR分解；

步骤二，采用度量优先的树搜索方法，除叶子节点外，每一层的节点对应一个栈，不同栈中的节点并行展开；

步骤三，根据步骤二中获得的最大似然路径度量假设λ^ML、与候选的最大似然路径度量假设利用双项最大后验概率方法计算出每一比特的对数似然比。

进一步地，于步骤二中，在树搜索过程中，展开后处于不同层的节点分别存储在不同的栈中，第i(2≤i≤N_t)层的节点分别存储在栈L_i中，叶子节点不存储在栈中，不需要对应的栈；每个栈的大小固定，栈满后，删除该栈中具有最大部分路径度量的最差节点。

进一步地，于步骤二中，节点展开过程为：

对于每一个非空栈L_i，搜索L_i中部分路径度量最小的最好节点BN_i，然后展开BN_i的最好兄弟节点BS_i和最好子节点BC_i-1，并从L_i中删除BN_i，上述过程并行执行；

检查已经展开的最好子节点BC_i-1是否为叶子节点BC₁，如果是，那么展开BC₁的q个兄弟节点LN^b(b=1,…,q)，其中LN^b为第1层第b位与BC₁互补的所有兄弟节点中路径度量最小的节点；

检查BS_i与BC_i-1是否满足删除规则，满足则删除，不满足则存入相应的栈中。

进一步地，该删除规则为：

对于第j层新展开的非叶子节点X^j，检查X^j的部分路径度量P(X^j)是否有可能更新λ^ML或如果

则满足删除规则，

其中，λ^ML为最大似然路径度量假设，为各个比特互补的最大似然路径度量假设。

进一步地，最好兄弟节点BS_i和最好子节点BC_i-1的展开采用如下节点列举方法：

将星座图的每一行或每一列作为一个子集，比较实部或虚部，找出每个子集中距离b_i+1最近的星座点；

计算出每个子集中所有距离b_i+1最近的星座点的分支度量，得到分支度量最小的星座点，作为最好子节点或最好兄弟节点；

在该最好子节点或最好兄弟节点所属的子集中，用该子集中距离b_i+1次近的星座点代替距离最近的星座点，用于搜索下一个最好兄弟节点，以此类推。

进一步地，展开叶子节点的兄弟节点LN^b(b=1,…,q)采用如下方法：

星座点的编码方式采用格雷码，第1层的节点中第b位与叶子节点BC₁互补的所有兄弟节点可以划分为q/2个子集，该q/2个子集为星座图中的行或者列；

在每个子集中，只需比较实部或虚部，找出每个子集中距离最近的星座点；

再计算出所有上述点的分支度量，比较得出分支度量最小的星座点，即为LN^b。

进一步地，根据更新规则，展开后的BC₁与LN^b用于更新最大似然路径度量假设λ^ML、与候选的最大似然路径度量假设

进一步地，最大似然路径度量假设与候选的最大似然路径度量假设的更新过程如下：

比较叶子节点BC₁的路径度量P(BC₁)与λ^ML；

如果P(BC₁)<λ^ML，那么按照下面规则更新λ^ML与

如果P(BC₁)≥λ^ML，那么按照下面规则更新λ^ML与

在上述更新过程中没有使用到的P(BC₁)与P(LN^b)用于更新与更新方法与上述方法相同。

进一步地，每个比特的对数似然比L_i,b计算方法如下：

其中f_c0与f_c1为校正因子。

进一步地，

其中δ_j为，

与现有技术相比，本发明一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法及系统通过对树搜索每一层分配一个独立的栈，减小了栈内节点排序的计算量，减少了存储空间需求；每个栈并行展开，增加了硬件效率；叶子节点展开后不需存储到栈中，进一步减少了存储需求；采用叶子节点列举方法，只需展开少量叶子节点，减少了节点访问量；叶子节点展开与栈中节点展开并行，进一步加快了信号检测速度。

附图说明

图1为本发明一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法的步骤流程图；

图2为本发明较佳实施例中树搜索方法的示意图；

图3为本发明较佳实施例中节点列举方法示意图；

图4为本发明较佳实施例中格雷码编码的星座图。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例并结合附图说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭示的内容轻易地了解本发明的其它优点与功效。本发明亦可通过其它不同的具体实例加以施行或应用，本说明书中的各项细节亦可基于不同观点与应用，在不背离本发明的精神下进行各种修饰与变更。

图1为本发明一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法的步骤流程图。如图1所示，本发明一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，包括如下步骤：

步骤101：对多输入多输出MIMO系统的信道矩阵进行QR（Q，正交阵，R，上三角阵）分解。

设发射天线数N_t与接收天线数N_r均为4，则MIMO系统模型可表示为：

y=H·S+n

其中，y为接收端MIMO检测器接收到的符号向量，H为的信道矩阵表示，s为发送符号向量，n为独立同分布的复高斯白噪声向量，均值为0，每实数维度的方差δ_n ²/2。以上各向量又可表示为：

y=[y₁,...,y₄]^T

s=[s₁,...,s₄]^T

n=[n₁,...,n₄]^T

对H进行QR分解得到：

H=QR

其中R为：

步骤102：将根节点的分支度量最小的最好子节点存入栈中。

第i层的部分符号向量为s⁽ⁱ⁾=[s_i,...,s₄]^T，对应的分支度量为inc_i，部分路径度量为P(s⁽ⁱ⁾)，计算方法如下：

P(s⁽ⁱ⁾)=P(s⁽ⁱ⁺¹⁾)+|b_i+1-R_iis_i|²

inc_i=|b_i+1-R_iis_i|²

定义最大似然路径度量假设λ^ML及其各个比特互补的最大似然路径度量假设

在树搜索过程中，展开后处于不同层的节点分别存储在不同的栈中，第i(2≤i≤N_t)层的节点分别存储在栈L_i中，如图2所示。这样可以减小每个栈的大小，降低排序的计算量，同时也可以减小存储空间需求。根节点展开后的节点处于第N_t层，需要存入中。

步骤103：对于每一个非空栈L_i，找到L_i中部分路径度量最小的最好节点BN_i，然后展开BN_i得到最好兄弟节点BS_i和最好子节点BC_i-1，并从L_i中删除BN_i，如图2所示。

每个栈并行展开，展开后得到的最好兄弟节点BS_i和最好子节点BC_i-1分别存入到L_i和L_i-1。所有栈并行展开提高了树搜索的速度。

最好兄弟节点BS_i和最好子节点BC_i-1的展开采用节点列举方法如下：

如图3所示，将星座图的每一行或每一列作为一个子集，比较实部或虚部，找出每个子集中距离b_i+1最近的星座点。然后计算出每个子集中所有距离b_i+1最近的星座点的分支度量，得到分支度量最小的星座点，作为最好子节点或最好兄弟节点。然后在该最好子节点或最好兄弟节点所属的子集中，用该子集中距离b_i+1次近的星座点代替距离最近的星座点，用于搜索下一个最好兄弟节点。以此类推。

步骤104：检查BC_i-1是否为叶子节点BC₁，如果是叶子节点BC₁，那么展开BC₁的兄弟节点LN^b，LN^b为第1层第b位与BC₁互补的所有兄弟节点中路径度量最小的节点。星座点的编码方式采用格雷码，如图4所示。叶子节点列举过程如下：

第1层的节点中第b位与BC₁互补的所有兄弟节点可以划分为q/2个子集，该q/2个子集为星座图中的行或者列。在每个子集中，比较实部或虚部，找出每个子集中距离b_i+1最近的星座点。再计算出所有上述点的分支度量，比较得出分支度量最小的星座点，即为LN^b。

叶子节点每次只需展开q+1个，减少了访问节点的数量，减小了计算复杂度。叶子节点的展开和每个栈中的节点的展开并行进行，提高算法效率。叶子节点不需要存入栈中，降低了对存储空间的需求。

步骤105：检查BS_i(2≤i≤N_t)和BC_i-1(3≤i≤N_t)是否满足删除规则，如果满足删除规则，那么删除BS_i、BC_i-1及其兄弟节点。

在树搜索过程中，展开到全长路径后，检测该全长路径是否可以更新λ^ML与λ^ML与在树搜索过程中不断更新，在树搜索完成后达到最终值。全长路径只有在小于λ^ML或才能够更新λ^ML或如果某路径未展开至全长路径，其部分路径度量已经大于λ^ML与则该路径不影响λ^ML与的更新，该路径可以提前删除。

具体删除规则如下：

对于第j层新展开的非叶子节点X^j，检查X^j的部分路径度量P(X^j)是否有可能更新λ^ML或X^j有可能影响的所有度量值包括：

如果

则满足删除规则。

提前删除节点可以减少树搜索访问的节点数，降低计算复杂度。

步骤106：检查每个栈L_i是否为满，如果L_i为满，则删除部分路径度量最大的最差节点WN_i。

由于每个栈的大小固定，当栈满时，需要删除栈中的最差节点。

栈的大小作为权衡检测性能与算法复杂度的参数。由于栈中的节点加入的同时删除，故大小为1。除以外，其余的栈越大，检测性能越好，但增加了存储需求，同时也增加了计算复杂度；其余的栈越小，可以减少存储需求，降低计算复杂度，但检测性能损失越大。

步骤107：将BS_i(2≤i≤N_t)和BC_i-1(3≤i≤N_t)存入各自相应的栈中。

步骤108：根据更新规则，用BC₁和LN^b更新相应的λ^ML和

更新过程如下：

比较BC₁的路径度量P(BC₁)与λ^ML，如果P(BC₁)<λ^ML，那么按照下面规则更新λ^ML或

如果P(BC₁)≥λ^ML，那么按照下面规则更新λ^ML或

定义候选的最大似然路径度量假设及其各个比特互补的候选最大似然路径度量假设如下：

在λ^ML与的更新过程中，部分P(BC₁)与P(LN^b)不满足更新规则，不能更新λ^ML与的。为了充分利用这部分P(BC₁)与P(LN^b)，从这部分P(BC₁)与P(LN^b)中选择一条最短路径，作为这部分BC₁、LN^b中与的第(i,b)位互补的路径中，选择一条最短路径，作为

在上述更新过程中，不满足更新规则的P(BC₁)与P(LN^b)用于更新或更新方法与上述方法相同。

步骤109：如果所有栈L_i(2≤i≤N_t)都为空，那么终止算法，否则回到步骤103。

步骤110：计算每一比特对应的对数似然比。

最大似然比L_i,b计算方法如下：

其中f_c0与f_c1为校正因子，计算方法如下：

其中δ_j为，

综上所述，本发明一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法通过对树搜索每一层分配一个独立的栈，减小了栈内节点排序的计算量，减少了存储空间需求；每个栈并行展开，增加了硬件效率；叶子节点展开后不需存储到栈中，进一步减少了存储需求；采用叶子节点列举方法，只需展开少量叶子节点，减少了节点访问量；叶子节点展开与栈中节点展开并行，进一步加快了信号检测速度。

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何本领域技术人员均可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰与改变。因此，本发明的权利保护范围，应如权利要求书所列。

Claims (7)

1.一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，包括如下步骤：

步骤一，对多输入多输出MIMO系统的信道矩阵进行QR分解；

步骤二，采用度量优先的树搜索方法，除叶子节点外，每一层的节点对应一个栈，不同栈中的节点并行展开，且在树搜索过程中，展开后处于不同层的节点分别存储在不同的栈中，第i层的节点分别存储在栈L_i中，叶子节点不存储在栈中，不需要对应的栈；每个栈的大小固定，栈满后，删除该栈中具有最大部分路径度量的最差节点；2≤i≤N_t，N_t为发射天线数；

步骤三，根据步骤二中获得的最大似然路径度量假设λ^ML、与候选的最大似然路径度量假设利用双项最大后验概率方法计算出每一比特的对数似然比；

其中，于步骤二中，节点展开过程为：

对于每一个非空栈L_i，搜索L_i中部分路径度量最小的最好节点BN_i，然后展开BN_i的最好兄弟节点BS_i和最好子节点BC_i-1，并从L_i中删除BN_i，上述过程并行执行；

检查已经展开的最好子节点BC_i-1是否为叶子节点BC₁，如果是，那么展开BC₁的q个兄弟节点LN^b，b＝1,…,q，其中LN^b为第1层第b位与BC₁互补的所有兄弟节点中路径度量最小的节点；

检查BS_i与BC_i-1是否满足删除规则，满足则删除，不满足则存入相应的栈中；所述删除规则具体为：

对于第j层新展开的非叶子节点X^j，检查X^j的部分路径度量P(X^j)是否有可能更新λ^ML或如果

则满足删除规则；

λ^ML为最大似然路径度量假设，为发射符号向量中第j层第i个符号第b个比特所对应的比特向量，为发射符号向量中第i个符号第b个比特互补的最大似然路径度量假设，为当前节点的部分路径所对应的比特向量，为不与当前估计的所对应的比特向量的集合，为表示发射符号向量中第j个符号第b个比特在最大似然路径的比特向量中对应位置的比特。

2.如权利要求1所述的一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，其特征在于，最好兄弟节点BS_i和最好子节点BC_i-1的展开采用如下节点列举方法：

将星座图的每一行或每一列作为一个子集，比较实部或虚部，找出每个子集中距离第i+1个比特b_i+1最近的星座点；

计算出每个子集中所有距离第i+1个比特b_i+1最近的星座点的分支度量，得到分支度量最小的星座点，作为最好子节点或最好兄弟节点；

在该最好子节点或最好兄弟节点所属的子集中，用该子集中距离b_i+1次近的星座点代替距离最近的星座点，用于搜索下一个最好兄弟节点，以此类推。

3.如权利要求2所述的一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，其特征在于，展开叶子节点的兄弟节点LN^b，b＝1,…,q，q为调制阶数，采用如下方法：

星座点的编码方式采用格雷码，第1层的节点中第b位与叶子节点BC₁互补的所有兄弟节点可以划分为q/2个子集，该q/2个子集为星座图中的行或者列；

在每个子集中，只需比较实部或虚部，找出每个子集中距离最近的星座点；

再计算出所有上述点的分支度量，比较得出分支度量最小的星座点，即为LN^b。

4.如权利要求3所述的一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，其特征在于：根据更新规则，展开后的BC₁与LN^b用于更新最大似然路径度量假设λ^ML、与候选的最大似然路径度量假设

5.如权利要求4所述的一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，其特征在于，最大似然路径度量假设与候选的最大似然路径度量假设的更新过程如下：

比较叶子节点BC₁的路径度量P(BC₁)与λ^ML；

如果P(BC₁)<λ^ML，那么按照下面规则更新λ^ML与

${\mathrm{\&lambda;}}_{i,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}(x_{i,b}=\stackrel{\&OverBar;}{x_{i,b}^{{\mathrm{BC}}_1}})\&DoubleLeftArrow;{\mathrm{\&lambda;}}^{ML}$

${\mathrm{\&lambda;}}_{1,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}(x_{1,b}=x_{1,b}^{{\mathrm{BC}}_1})\&DoubleLeftArrow;min({\mathrm{\&lambda;}}_{1,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}},P({\mathrm{LN}}^b\left)\right)$

${\mathrm{\&lambda;}}^{ML}\&DoubleLeftArrow;P\left({\mathrm{BC}}_1\right)$

如果P(BC₁)≥λ^ML，那么按照下面规则更新λ^ML与

${\mathrm{\&lambda;}}_{i,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}(x_{i,b}=\stackrel{\&OverBar;}{x_{i,b}^{{\mathrm{BC}}_1}})\&DoubleLeftArrow;\min ({\mathrm{\&lambda;}}_{i,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}},P({\mathrm{BC}}_1\left)\right)$

${\mathrm{\&lambda;}}_{1,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}(x_{1,b}=x_{1,b}^{{\mathrm{BC}}_1})\&DoubleLeftArrow;\min ({\mathrm{\&lambda;}}_{1,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}},P({\mathrm{LN}}^b\left)\right)$

在上述更新过程中没有使用到的P(BC₁)与P(LN^b)用于更新与更新方法与上述方法相同；x_1,b为当前路径第1层第b个比特，x_i,b为为当前路径第i层第b个比特，为最好子节点BC₁路径对应的第1层第b个比特，为最好孩子节点BC₁路径对应的第1层第b个比特的反比特。

6.如权利要求5所述的一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，其特征在于，每个比特的对数似然比L_i,b计算方法如下：

$L_{i,b}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&lambda;}}^{ML}-{\mathrm{\&lambda;}}_{i,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}+f_{c0},& x_{i,b}^{ML}=0\\ {\mathrm{\&lambda;}}_{i,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}-{\mathrm{\&lambda;}}^{ML}+f_{c1},& x_{i,b}^{ML}=1\end{array}\right.$

其中f_c0与f_c1为校正因子。

7.如权利要求6所述的一种软输出并行堆栈MIMO信号检测方法，其特征在于：

$f_{c0}=\left\{\begin{array}{cc}ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_4})-ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_1}),& x_{{\mathrm{cand}}_{i,b}}^{ML}=0\\ ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_3})-ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_2}),& x_{{\mathrm{cand}}_{i,b}}^{ML}=1\end{array}\right.$

$f_{c1}=\left\{\begin{array}{cc}ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_2})-ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_3}),& x_{{\mathrm{cand}}_{i,b}}^{ML}=0\\ ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_1})-ln(1+e^{-{\mathrm{\&delta;}}_4}),& x_{{\mathrm{cand}}_{i,b}}^{ML}=1\end{array}\right.$

其中δ_j为，

${\mathrm{\&delta;}}_j=\left\{\begin{array}{cc}|{\mathrm{\&lambda;}}^{ML}-{\mathrm{\&lambda;}}_{cand}^{ML}|,& j=1\\ |{\mathrm{\&lambda;}}^{ML}-{\mathrm{\&lambda;}}_{{\mathrm{cand}}_{i,b}}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}|,& j=2\\ |{\mathrm{\&lambda;}}_{i,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}-{\mathrm{\&lambda;}}_{cand}^{ML}|,& j=3\\ |{\mathrm{\&lambda;}}_{i,b}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}-{\mathrm{\&lambda;}}_{{\mathrm{cand}}_{i,b}}^{\stackrel{\&OverBar;}{ML}}|,& j=4\end{array}\right..$