CN103401520A - 滤波器综合方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种滤波器综合方法，具体是一种在带通域内的直接综合方法，只要能够构造相应的低通原型，就能够在带通域内综合出相应的带通滤波器，可以在带通域内直接导出传输多项式、反射多项式和共有多项式，进而得到基于全局谐振模式的横向网络矩阵。通过对此横向网络矩阵的变换，可以导出更多的网络结构来实现同一个频率响应，进而可以得到更多形式的电路网络来实现所需要的频率响应，具有简单快速的优点，可以在带通域内直接综合出多种类型的带通滤波器。

Description

滤波器综合方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，涉及滤波器综合方法，具体涉及滤波器直接综合方法。

背景技术

射频/微波滤波器通信系统中的关键器件之一，现代通信系统通常要求滤波器具有良好的频率选择性等特点。目前常用的滤波器类型包括广义切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、巴特沃斯滤波器、逆广义切比雪夫滤波器、和高斯滤波器等等。现有技术路线一般先综合低通原型，得到开路(或短路)输入(或输出)阻抗(或导纳)，再通过极点移除法，得到低通梯形网络，然后通过低通至带通的频率变换，将低通梯形网络变换成带通梯形网络。现有技术路线可以称之为间接方法，所得到的带通滤波器的网络结构常常局限于梯形网络形式，实现形式比较单一。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中存在的不足和缺陷，解决现有的滤波器综合技术中存在的网络结构实现形式单一等缺点，提出了一种滤波器综合方法。

本发明的技术方案为：一种滤波器综合方法，具体包括如下步骤：

S1.在z域内构造低通原型的特征函数LP(z)，并以有理分式形式表示；

S2.利用映射关系

将描述低通原型的特征函数变换至带通滤波器的特征函数，以有理分式来表示，导出带通滤波器对应的传输多项式

反射多项式和共有多项式

S3.导出以反射多项式

传输多项式

及共有多项式表示的散射参数例如传输函数

和反射函数

S4.将散射参数转化为导纳参数，并进行部分分式展开；与横向等效电路中对应的导纳参数进行对比，确定相应的耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的耦合矩阵；通过矩阵旋转将全局谐振模式表示的网络矩阵变换成所期望的稀疏拓扑结构。

本发明与现有技术相比，具有以下显著优点：本发明涉及的方法是一种在带通域内的直接综合方法，只要能够构造相应的低通原型，就能够在带通域内综合出相应的带通滤波器，可以在带通域内直接导出传输多项式、反射多项式和共有多项式，进而得到基于全局谐振模式的横向网络矩阵。通过对此横向网络矩阵的变换，可以导出更多的网络结构来实现同一个频率响应，进而可以得到更多形式的电路网络来实现所需要的频率响应，具有简单快速的优点，可以在带通域内直接综合出多种类型的带通滤波器，例如椭圆滤波器、巴特沃斯滤波器、高斯滤波器、广义切比雪夫滤波器和逆广义切比雪夫滤波器等等。

附图说明

图1为本发明实施例的滤波器综合方法的流程框图。

图2为本发明中所提供的实施例中的三阶广义切比雪夫带通滤波器的两种等效电路。

图3为本发明中所提供的实施例中的三阶广义切比雪夫带通滤波器的频率响应。

图4为本发明中所提供的实施例中的五阶椭圆带通滤波器的频率响应。

图5为本发明中所提供的实施例中的三阶巴特沃斯带通滤波器的频率响应。

图6为本发明中所提供的实施例中的五阶逆广义切比雪夫带通滤波器的频率响应。

图7为本发明中所提供的实施例中的三阶高斯带通滤波器的频率响应。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

本发明所使用的变量符号并不限定于本发明之中所采用的符号。如果采用其它变量符号来替代本发明所述的滤波器综合方法中所采用的变量符号，皆可认为是在本发明的保护范围内。

这里只考虑无耗互易网络的综合。本发明实施例的滤波器综合方法的流程框图如图1所示，具体包括如下步骤：

S1.在z域内构造低通原型的特征函数LP(z)，并以有理分式形式表示；

S2.利用映射关系

将描述低通原型的特征函数(以有理分式LP(z)来表示)变换至带通滤波器的特征函数(以有理分式

来表示)，导出带通滤波器对应的传输多项式

反射多项式

和共有多项式

S3.导出以反射多项式

传输多项式及共有多项式

表示的散射参数；

S4.将散射参数转化为导纳参数，并进行部分分式展开；与横向等效电路中对应的导纳参数进行对比，确定相应的耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的耦合矩阵；通过矩阵旋转将全局谐振模式表示的网络矩阵变换成所期望的稀疏拓扑结构。

具体过程如下：

假设待综合的带通滤波器的通带是[ω_d,ω_u]，ω_u和ω_d分别是待综合带通滤波器的通带的上边界角频率和下边界角频率，中心频率定义为

本实施例基于一种从s域到z域之间的归一化映射关系，假设则该归一化映射关系可以写成下面的形式：

$z=\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\·\frac{{\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2}{\stackrel{\‾}{s}}$

其中，s=jω是复数角频率变量；ω是角频率变量；j是虚数单位；ω_c是用于作归一化的特征角频率；归一化复数角频率变量定义为

归一化通带上边界角频率定义为

归一化通带下边界角频率定义为

该归一化映射关系可以将z平面内位于虚轴上的区域[-1,1]映射到s平面内位于虚轴上的区域

将z平面内位于虚轴上的区域(-∞,-1]映射到s平面位于虚轴上的区域

将z平面内位于虚轴上的区域[1,+∞)映射到s平面位于虚轴上的区域

本实施例包括以下步骤：

①低通原型定义为：通带边界角频率为Ω=1rad/s的低通滤波器。在z域内构造具有各种特性的低通原型，例如椭圆低通原型、巴特沃斯低通原型、高斯低通原型、广义切比雪夫低通原型和逆广义切比雪夫低通原型等。这些低通原型的特征函数一般可用有理分式形式LP(z)来描述，即为两个关于变量z的多项式之比。

$\mathrm{LP}\left(z\right)=\frac{F_L\left(z\right)}{P_L\left(z\right)}=\frac{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{z}^p}{\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{z}^q}$

其中，复频率变量z=jΩ，Ω是低通域内的频率变量；分子

是一个关于复频率变量z的多项式，称为低通原型的反射多项式，阶数为m，其中，阶数为p阶的项的系数用u_p来表示；分母是一个关于复频率变量z的多项式，称为低通原型的传输多项式，阶数为n，其中，阶数为q阶的项的系数用d_q来表示。

②利用映射关系

将描述低通原型的特征函数(以有理分式LP(z)来表示)变换至带通域内，导出带通滤波器对应的传输多项式

反射多项式

和共有多项式

带通滤波器的特征函数(以有理分式来表示)定义为反射多项式

和传输多项式

之比，即

正负号分别对应着对偶网络，本发明的实施例中皆取负号，其对偶网络则取正号。在前面所得到的低通原型的特征函数(以有理分式来表示)，经过映射关系

的变换，可以作为带通滤波器的特征函数(以有理分式

来表示)，即：

$\mathrm{BP}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=a^2\·\mathrm{LP}\left(z\right){|}_{z=\frac{\begin{array}{cc}1& {\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2\end{array}}{\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d& \stackrel{\‾}{s}\end{array}}}$

其中，a²为待定系数用于控制带通滤波器的性能，可以预先设定。另外，由于传输多项式

的最高阶数不会超过反射多项式

的最高阶数。换句话说，即n≤m。将低通原型的特征函数(以有理分式LP(z)来表示)代入上式，进一步得到

$\mathrm{BP}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=a^2\frac{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^p{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^p{\stackrel{\‾}{s}}^{m-p}}{{\stackrel{\‾}{s}}^{m-n}\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^q{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^q{\stackrel{\‾}{s}}^{n-q}}$

这里，将待定系数a2表示成两个系数之比，即a²=ε/β。这里的ε和β是待定系数。再将 $\mathrm{BP}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\±F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)/P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)$ 代入上式，即得

$\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\ϵ}}\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}=\±\frac{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^p{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^p{\stackrel{\‾}{s}}^{m-p}}{{\stackrel{\‾}{s}}^{m-n}\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^q{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^q{\stackrel{\‾}{s}}^{n-q}}$

为方便起见，令

$F_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^p{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^p{\stackrel{\‾}{s}}^{m-p}$

$P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\±{\stackrel{\‾}{s}}^{m-n}\underset{q=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^q{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^q{\stackrel{\‾}{s}}^{n-q}$

本实施例中，多项式取负号；其对应的对偶网络取正号。则由等式两边的分子和分母分别相等，导出下面的关系式

$\mathrm{\β}\·F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)$

$\mathrm{\ϵ}\·P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)$

选取多项式

的最高次项的系数作为待定常数β的值，以使反射多项式

的最高次项的系数为1，从而确定反射多项式

待定常数ε可由通带的上边界频率

上的反射系数ρ(即反射函数

)求出

$\mathrm{\ϵ}=\frac{1}{\sqrt{{10}^{\mathrm{RL}/10}-1}}\·|\frac{P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u}$

RL为通带内的回波损耗(dB)，可确定传输多项式为

在得到反射多项式

和传输多项式

之后，共有多项式

由下面的关系式来确定：

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)E^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)F^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)+P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)P^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right),$ 式中的星号“*”表示取共轭。在所有的根中选取那些位于s平面左半平面内的根相乘来构成共有多项式

③导出以反射多项式

传输多项式

及共有多项式表示的散射参数

散射参数例如传输函数

和反射函数可以表示为两个多项式之比：

$S_{21}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)},S_{11}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}$

由于本发明仅考虑无耗互易网络，传输函数

的幅度(以分贝来表示，即

)在通带内的最大值不会超过0。在一些特殊情况时，可能需要引入一个衰减因子ε_R用以调整散射参数，使其满足无耗性的要求。于是散射参数例如传输函数

和反射函数

改写为：

$S_{21}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_R}\frac{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)},S_{11}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_R}\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}$

衰减因子ε_R的确定可以通过如下两种情况来确定：

第一种情况，如果已知传输多项式

在有限频率处的一个零点

在此零点处，没有能量的传输，则传输函数

的绝对值应该为零，即

这时候，所有的能量都被反射，反射函数

的绝对值应该为1，即 ${\left|S_{11}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)\right||}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}={\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_R}\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}=1.$ 因此，衰减因子ε_R可由 ${\mathrm{\ϵ}}_R=1/{\left|\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}\right||}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}$ 来确定。

第二种情况，如果已知反射多项式在有限频率处的一个零点

在此零点处，没有能量的反射，则反射函数

的绝对值应该为零，即

这时候，所有的能量都被传输，传输函数

的绝对值应该为1，即 ${\left|S_{21}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)\right||}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}={\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_R}\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}=1.$ 因此，衰减因子ε_R可由 ${\mathrm{\ϵ}}_R=1/{\left|\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}\right||}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}$ 来确定。

④将散射参数转化为导纳参数，并进行部分分式展开；与横向等效电路中对应的导纳参数进行对比，从而确定相应的耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的耦合矩阵；通过矩阵旋转将全局谐振模式表示的网络矩阵变换成所期望的稀疏拓扑结构。

以下通过具体的滤波器对本发明作进一步说明。

一、广义切比雪夫带通滤波器的综合：

例如，要综合一个广义切比雪夫带通滤波器，其通带位于[3.0,5.0]GHz,通带内的回波损耗小于-20dB。如果考虑采用三阶广义切比雪夫带通滤波器，由本发明所述的方法，按照上述的综合步骤，首先导出低通原型的特征函数LP(z)=F_L(z)/P_L(z)，即：

F_L(z)=z³+0.7846·z

P_L(z)=-0.7144·z²-2.8575

然后通过映射关系

将描述低通原型的特征函数(以有理分式LP(z)来表示)变换至带通域内，导出带通滤波器对应的传输多项式

反射多项式

和共有多项式

即：

$P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=-(1.4287\·{\stackrel{\‾}{s}}^5+65.7219\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+321.4660\·\stackrel{\‾}{s})$

$F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^6+48.1384\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+722.0766\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+3375.0$

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^6+4.5059\·{\stackrel{\‾}{s}}^5+57.2693\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+158.0365\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+859.0396\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+1013.8248\·\stackrel{\‾}{s}+.3375.0$

把这些由多项式

和

构成的散射参数转化为导纳参数，进行部分分式展开，并且与横向等效电路所导出的导纳参数进行对比，就可以确定耦合系数和谐振频率等参数，得到基于全局谐振模式表示的网络矩阵如下：

$\left[\stackrel{\‾}{A}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}-j& 0.5049& 1.2181& 0.7172& 0\\ 0.5049& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{7.4329}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& -0.5049\\ 1.2181& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{15.0}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 1.2181\\ 0.7172& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{30.2710}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& -0.7172\\ 0& -0.5049& 1.2181& -0.7172& -j\end{array}\right]$

基于全局谐振模式表示的网络矩阵所对应的等效电路在图2(a)中给出。图2(a)中的“S”代表源端口，“L”代表负载端口。三个谐振器分别表示成电容

和电感

的并联谐振形式。这三个谐振器与源端口(以S表示)之间的耦合用导纳倒置器

来表示。这三个谐振器与负载端口(以L表示)之间的耦合用导纳倒置器

来表示。

通过矩阵旋转，可以将上述基于全局谐振模式表示的网络矩阵变换成其它的网络拓扑结构。例如，可以得到新的拓扑结构，其网络矩阵如下：

$\left[\stackrel{\‾}{A}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}-j& 0.8771& 1.2181& 0& 0\\ 0.8771& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{22.7039}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& -\frac{10.7498}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& -0.8771\\ 1.2181& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{15.0}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 1.2181\\ 0& -\frac{10.7498}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{15.0}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0\\ 0& -0.8771& 1.2181& 0& -j\end{array}\right]$

可见，位于矩阵位置(4,4)处的谐振器3不再与源/负载进行耦合，而是与位于(2,2)处的谐振器1产生了耦合，其耦合通过一个电感性导纳倒置器

来实现。对应的等效电路在图2(b)中给出。谐振器3与谐振器1之间的电感性导纳倒置器以

来表示。

由多项式及网络矩阵所导出的频率响应在图3中给出，可见该广义切比雪夫带通滤波器满足要求。

二、椭圆带通滤波器的综合：

例如，要综合一个椭圆带通滤波器，其通带位于[3.0,5.0]GHz,通带内的回波损耗小于-20dB。如果考虑采用五阶椭圆带通滤波器，由本发明所述的方法，按照上述的综合步骤，

可以得到下面带通域内的传输多项式

反射多项式

和共有多项式

即

$P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)-(0.1334\·{\stackrel{\‾}{s}}^9+12.2036\·{\stackrel{\‾}{s}}^7+334.2190\·{\stackrel{\‾}{s}}^5+2745.8115\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+6755.4923\·\stackrel{\‾}{s})$

$F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^{10}+80.3657\·{\stackrel{\‾}{s}}^8+2497.5971\·{\stackrel{\‾}{s}}^6+37463.9564\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+271234.1734\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+759375.0$

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^{10}+4.0143\·{\stackrel{\‾}{s}}^9+88.4141\·{\stackrel{\‾}{s}}^8+267.2288\·{\stackrel{\‾}{s}}^7+2889.5016\·{\stackrel{\‾}{s}}^6+6238.5876\·{\stackrel{\‾}{s}}^5$

$+43342.5247\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+60126.4711\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+298397.5144\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+203223.9167\·\stackrel{\‾}{s}+759375.0$

把这些由多项式

和构成的散射参数转化为导纳参数，进行部分分式展开，并且与横向等效电路所导出的导纳参数进行对比，就可以确定耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的网络矩阵如下：

$\left[\stackrel{\‾}{A}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}-j& 0.3595& 0.6071& 0.8187& 0.7757& 0.4872& 0\\ 0.3595& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{8.1684}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& 0& 0& 0.3595\\ 0.6071& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{9.1881}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& 0& -0.6071\\ 0.8187& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{15.0}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& 0.8187\\ 0.7757& 0& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{24.4882}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& -0.7757\\ 0.4872& 0& 0& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{27.5452}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0.4872\\ 0& 0.3595& -0.6071& 0.8187& -0.7757& 0.4872& -j\end{array}\right]$

由多项式及网络矩阵所导出的频率响应在图4中给出，可见该椭圆带通滤波器满足要求。

三、巴特沃斯带通滤波器的综合：

例如，要综合一个巴特沃斯带通滤波器，其通带位于[3.0,5.0]GHz,通带内的回波损耗小于-20dB。如果考虑采用三阶巴特沃斯带通滤波器，由本发明所述的方法，按照上述的综合步骤，可以得到下面带通域内的传输多项式

反射多项式

和共有多项式

即

$P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=-79.5958\·{\stackrel{\‾}{s}}^3$

$F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^6+45.0\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+675.0\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+3375.0$

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^6+8.6032{\stackrel{\‾}{s}}^5+82.0077\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+337.6932\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+1230.1181\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+1935.7348\·\stackrel{\‾}{s}+3375.0200$

把这些由多项式

和

构成的散射参数转化为导纳参数，进行部分分式展开，并且与横向等效电路所导出的导纳参数进行对比，就可以确定耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的网络矩阵如下： $\left[\stackrel{\‾}{A}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}-j& 0.7438& 1.4665& 1.2639& 0\\ 0.7438& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{5.1952}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& -0.7438\\ 1.4665& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{15.0000}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 1.4665\\ 1.2639& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{43.3082}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& -1.2639\\ 0& -0.7438& 1.4665& -1.2639& -j\end{array}\right]$

由多项式及网络矩阵所导出的频率响应在图5中给出，可见该巴特沃斯滤带通波器满足要求。

四、逆切比雪夫带通滤波器的综合：

例如，要综合一个逆切比雪夫带通滤波器，其通带位于[3.0,5.0]GHz,通带内的回波损耗小于-20dB。如果考虑采用五阶逆切比雪夫带通滤波器，由本发明所述的方法，按照上述的综合步骤，可以得到下面带通域内的传输多项式

反射多项式和共有多项式

即

$P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)-(\mathrm{0.2.0246}\·{\stackrel{\‾}{s}}^9+193.0533\·{\stackrel{\‾}{s}}^7+5391.1846\·{\stackrel{\‾}{s}}^5+43437.0036\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+102496.5381\·\stackrel{\‾}{s})$

$F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^{10}+75.8000\·{\stackrel{\‾}{s}}^8+2286.1024\·{\stackrel{\‾}{s}}^6+34291.5360\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+255825.0\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+759375.0$

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^{10}+10.0273\·{\stackrel{\‾}{s}}^9+124.0242\·{\stackrel{\‾}{s}}^8+766.7075\·{\stackrel{\‾}{s}}^7+1765.0961\·{\stackrel{\‾}{s}}^6+18999.5885\·{\stackrel{\‾}{s}}^5$

$+71476.4428\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+172509.1952\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+418581.6834\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+507633.9757\·\stackrel{\‾}{s}+759375.0$

把这些由多项式

和

构成的散射参数转化为导纳参数，进行部分分式展开，并且与横向等效电路所导出的导纳参数进行对比，就可以确定耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的网络矩阵如下：

$\left[\stackrel{\‾}{A}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}-j& 0.7584& 0.6370& 1.2853& 0.9773& 1.1940& 0\\ 0.7584& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{6.0520}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& 0& 0& -0.7584\\ 0.6370& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{6.3721}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& 0& 0.6370\\ 1.2853& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{15.0}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& 1.2853\\ 0.9773& 0& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{35.3104}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& -1.1940\\ 1.1940& 0& 0& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{37.1776}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& -1.1940\\ 0& -0.7584& 0.6370& 1.2853& 0.9773& -1.1940& -j\end{array}\right]$

由多项式及网络矩阵所导出的频率响应在图6中给出，可见该逆切比雪夫滤波器满足要求。

五、高斯带通滤波器的综合：

例如，要综合一个高斯带通滤波器，其通带位于[3.0,5.0]GHz,通带内的回波损耗小于-20dB。如果考虑采用三阶高斯带通滤波器，由本发明所述的方法，按照上述的综合步骤，可以得到下面带通域内的传输多项式反射多项式

和共有多项式即

$P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=-318.3960\·{\stackrel{\‾}{s}}^3$

$F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^6+7.1231\·{\stackrel{\‾}{s}}^5+64.3692\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+233.2887\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+965.5385{\stackrel{\‾}{s}}^2+1602.6961\stackrel{\‾}{s}+3375.0000$

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)={\stackrel{\‾}{s}}^6+14.2793\·{\stackrel{\‾}{s}}^5+140.9485\·{\stackrel{\‾}{s}}^4+747.3760\·{\stackrel{\‾}{s}}^3+2114.2278\·{\stackrel{\‾}{s}}^2+3212.8317\·\stackrel{\‾}{s}+3375.0000$

把这些由多项式

和

构成的散射参数转化为导纳参数，进行部分分式展开，并且与横向等效电路所导出的导纳参数进行对比，就可以确定耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的网络矩阵如下：

$\left[\stackrel{\‾}{A}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}-j& 0.3837& 1.6113& 0.9135& 0\\ 0.3837& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{2.6467}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 0& -1.0792\\ 1.6113& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{15.0000}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& 0& 1.7135\\ 0.9135& 0& 0& \stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}-\frac{85.0122}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}& -2.5691\\ 0& -1.0792& 1.7135& -2.5691& -j\end{array}\right]$

由多项式及网络矩阵所导出的频率响应在图7中给出，可见该高斯滤波器满足要求。

综上可以看出，本发明的方法可以在带通域内对带通滤波器类型进行直接综合，包括椭圆(Elliptic；或称为考尔，Cauer)类型、巴特沃斯(Butterworth；或称为最大平坦，Maximallyflat)类型、高斯类型(Gaussian)、广义切比雪夫类型(General Chebyshev)及逆切比雪夫类型(Inverse Chebyshev)等，并且能够满足设计性能要求。与一般限于梯形网络相比，本发明的方法能够导出更多形式的电路网络；可容易推广至带阻、高通滤波器的综合。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (6)

1.一种滤波器综合方法，具体包括如下步骤：

S1.在z域内构造低通原型的特征函数，并以有理分式LP(z)表示；

S2.利用映射关系

将描述低通原型的特征函数(以有理分式LP(z)来表示)变换至带通滤波器的特征函数(以有理分式

来表示)，导出带通滤波器对应的传输多项式反射多项式

和共有多项式

其中，s=jω是复数角频率变量；j是虚数单位；归一化复数角频率变量定义为

是用于作归一化的特征角频率；归一化通带上边界角频率定义为

归一化通带下边界角频率定义为

和ω_d分别是待综合滤波器通带的上边界角频率和下边界角频率；

S3.导出以反射多项式传输多项式

及共有多项式

表示的散射参数；

S4.将散射参数转化为导纳参数，并进行部分分式展开；与横向等效电路中对应的导纳参数进行对比，确定相应的耦合系数和谐振频率等参数，得到以全局谐振模式表示的耦合矩阵；通过矩阵旋转将全局谐振模式表示的网络矩阵变换成所期望的稀疏拓扑结构。

2.根据权利要求1所述的滤波器综合方法，其特征在于，所述的低通原型的特征函数(以有理分式LP(z)来表示)具体表示成两个多项式之比：

其中，

是一个关于复频率变量z的多项式，称为低通原型的反射多项式，阶数为m，阶数为p阶的项的系数用u_p来表示；

是一个关于复频率变量z的多项式，称为低通原型的传输多项式，阶数为n，其中阶数为q阶的项的系数用d_q来表示。

3.根据权利要求2所述的滤波器综合方法，其特征在于，所述带通滤波器的特征函数

传输多项式

反射多项式

和共有多项式计算过程如下：

具体为： $\mathrm{BP}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=a^2\frac{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^p{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^p{\stackrel{\‾}{s}}^{m-p}}{{\stackrel{\‾}{s}}^{m-n}\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^q{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^q{\stackrel{\‾}{s}}^{n-q}},$ 将待定系数a²表示成两个系数之比，即a²=ε/β；

将 $\mathrm{BP}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\±F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)/P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)$ 代入上式，即得

$\frac{\mathrm{\β}}{\mathrm{\ϵ}}\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}=\±\frac{\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^p{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^p{\stackrel{\‾}{s}}^{m-p}}{{\stackrel{\‾}{s}}^{m-n}\underset{q=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^q{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^q{\stackrel{\‾}{s}}^{n-q}}$

令

$F_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\underset{p=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_p{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^p{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^p{\stackrel{\‾}{s}}^{m-p}$

$P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\±{\stackrel{\‾}{s}}^{m-n}\underset{q=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{d}_q{\left(\frac{1}{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_d}\right)}^q{({\stackrel{\‾}{s}}^2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_0^2)}^q{\stackrel{\‾}{s}}^{n-q}$

由等式两边的分子和分母分别相等，导出下面的关系式：

$\mathrm{\β}\·F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)$

$\mathrm{\ϵ}\·P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)$

选取多项式

的最高次项的系数作为待定常数β的值，以使反射多项式的最高次项的系数为1，从而确定反射多项式

待定常数ε可由通带的上边界频率上的反射系数ρ求出：

$\mathrm{\ϵ}=\frac{1}{\sqrt{{10}^{\mathrm{RL}/10}-1}}\·|\frac{P_0\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_u}$

其中，RL为通带内的回波损耗(dB)，可确定传输多项式为

在得到反射多项式

和传输多项式

之后，共有多项式

由下面的关系式来确定

$E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)E^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)F^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)+P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)P^{*}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)$

其中，“*”表示取共轭，在

所有的根中选取那些位于s平面左半平面内的根相乘来构成共有多项式

4.根据权利要求3所述的滤波器综合方法，其特征在于，步骤S3所述的散射参数具体为：传输函数

和反射函数

5.根据权利要求4所述的滤波器综合方法，其特征在于，所述的传输函数

和反射函数

具体如下：

$S_{21}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_R}\frac{P\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)},S_{11}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)=\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_R}\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}$

衰减因子ε_R的确定可以通过如下两种情况来确定：

第一种情况，如果已知传输多项式

在有限频率处的一个零点

在此零点处，没有能量的传输，则传输函数

的绝对值应该为零，即

此时所有的能量都被反射，反射函数

的绝对值应该为1，即

衰减因子ε_R可由

来确定。

第二种情况，如果已知反射多项式

在有限频率处的一个零点

在此零点处，没有能量的反射，则反射函数

的绝对值应该为零，即此时所有的能量都被传输，传输函数的绝对值应该为1，即 ${\left|S_{21}\left(\stackrel{\‾}{s}\right)\right||}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}={\frac{1}{{\mathrm{\ϵ}}_R}\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}|}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}=1,$ 衰减因子ε_R可由 ${\mathrm{\ϵ}}_R=1/{\left|\frac{F\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}{E\left(\stackrel{\‾}{s}\right)}\right||}_{\stackrel{\‾}{s}=j{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ω}}}_i}$ 来确定。

6.根据权利要求1至5任一项权利要求所述的滤波器综合方法，其特征在于，所述的滤波器具体为广义切比雪夫带通滤波器、椭圆带通滤波器、巴特沃斯带通滤波器、逆切比雪夫带通滤波器或高斯带通滤波器。

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