CN103324835B - 概率假设密度滤波器目标信息的保持方法及信息保持系统 - Google Patents

Abstract

本发明适用于多传感器信息融合领域，提供了概率假设密度滤波器目标信息的保持方法，包括：步骤1、根据前一时刻的后验矩和高斯项预测当前时刻的后验矩和高斯项；步骤2、根据预测的当前时刻后验矩和高斯项以及当前时刻的测量集对后验矩和高斯项进行更新；步骤3、对更新后的高斯项裁减与合并；步骤4、根据裁减与合并后的高斯项，提取权重的高斯项作为滤波器的输出，相应高斯项中的均值和方差分别为存活目标的状态估计和误差估计。所述方法通过修正概率假设密度滤波器更新方程将漏检目标的信息驻留在后验的更新矩中，避免了漏检目标的信息丢失，提高了目标数估计和目标状态提取的有效性，进而提高了高斯混合概率假设密度滤波器的多目标跟踪能力。

Description

概率假设密度滤波器目标信息的保持方法及信息保持系统

技术领域

本发明属于多传感器信息融合技术领域，尤其涉及概率假设密度滤波器目标信息的保持方法及信息保持系统。

背景技术

在存在虚警、漏检和目标数未知的情况下，Mahler提出的概率假设密度滤波器是解决目标检测和跟踪的新方法。概率假设密度滤波器避免了观测值与状态值间的直接关联，其最大优点是能从后验矩中估计出目标数。为解决概率假设密度滤波器的预测与更新方程中积分运算难以处理的问题，Vo等提出了粒子概率假设密度滤波器和高斯混合概率假设密度滤波器。目前，概率假设密度滤波器已在被动定位、被动雷达目标跟踪、视频跟踪、声纳图像中的目标跟踪和组目标跟踪等领域取得了比较广泛的应用。

然而，正如Mahler所指出的，概率假设密度滤波器是一个弱记忆力的滤波器，一旦某一时刻目标被漏检，即测量集中没有源于该目标的测量，漏检目标的信息会立刻从更新的后验矩中丢弃，从而导致漏检目标的信息丢失。目标信息的丢失会导致目标数估计的不稳定和漏检目标的状态难以从后验矩中提取出来。信息丢失问题是概率假设密度滤波器中需要探索和解决的一个关键技术问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于提供概率假设密度滤波器目标信息的保持方法及信息保持系统，旨在解决目标信息丢失导致目标数估计的不稳定和漏检目标的状态难以从后验矩中提取出来的问题。

本发明是这样实现的，概率假设密度滤波器目标信息的保持方法，包括以下步骤：

步骤1、根据前一时刻的后验矩和高斯项以及表征目标在前一时刻是否被漏的信息标识预测当前时刻的后验矩和高斯项；

步骤2、根据预测的当前时刻的后验矩和高斯项以及当前时刻的测量集确定出当前时刻各目标被漏的信息标识；利用所述当前时刻的测量集、当前时刻目标被漏的信息标识以及预测的当前时刻的后验矩和高斯项求取当前时刻更新的高斯项；

步骤3、对更新后的高斯项进行裁减与合并，裁减与合并后的高斯项作为当前时刻的高斯项，裁减与合并后的高斯项加权和构成当前时刻的后验矩，当前时刻的高斯项和后验矩作为下一次滤波器递归的输入；

步骤4、根据裁减与合并后的高斯项，提取权重的高斯项作为滤波器的输出，相应高斯项中的均值和方差分别为存活目标的状态估计和误差估计。

进一步地，所述步骤1中，以k-1表示前一时刻，以k表示当前时刻；k-1时刻构成后验矩的高斯项集合表示为其中w、m和P分别表示高斯项的权重、均值和方差，α为表明一个目标是否被漏的标识，i为索引号，取值从1至J_k-1，J_k-1为k-1时刻高斯项的数目；

k-1时刻后验矩表示为则k时刻预测的后验矩表示为v_k|k-1(x|Z^(k-1))＝v_S,k|k-1(x|Z^(k-1))+γ_k(x)，其中，x表示目标状态，Z^(k-1)表示1至k-1时刻所有测量构成的集合，γ_k(x)为新生目标矩，并且

和p_S,k分别为目标i的幸存概率和目标的先验幸存概率，F_k-1为状态转移矩阵，Q_k-1为过程噪声方差矩阵，J_γ,k、和均为已知的模型参数，分别表示为新生高斯项的数目、第j个高斯项的权重、状态的均值和方差，N表示高斯分布，x表示目标的状态；γ_k(x)表示新生目标矩；预测的高斯项由和组成，其中为幸存目标i的预测信息标识，为新生目标j的信息标识，j表示索引号，取值从1至J_γ,k。

进一步地，所述步骤2中，k时刻预测的后验矩表示为

k时刻构成预测后验矩的高斯项集合表示为i＝1,2,…,J_k|k-1，其中J_k|k-1＝J_k-1+J_γ,k，则k时刻更新后验矩v_k(x|Z^(k))表示为其中， 而Z^(k)为1至k时刻所有测量构成的集合，K_i为滤波器增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差矩阵，为目标i被漏的概率，为目标i的检测概率，为目标l的检测概率，λc(z_j)为杂波密度，z_j为测量集合Z_k中的第j个测量，Z_k为k时刻测量集合，I为单位矩阵，为观测矩阵的转置矩阵，l为索引号，取值从1至J_k|k-1；更新高斯项由和组成，其中，i＝1,2,…,J_k|k-1，j＝1,2,…,n_k，n_k为测量集Z_k中测量的个数。

进一步地，所述步骤3中，k时刻构成更新后验矩的高斯项表示为i＝1,2,…,J_k|k，其中J_k|k＝J_k|k-1(n_k+1)，删除权重充分小的高斯项，即删除的高斯项，其中，τ为裁减门限；

将距离充分小的高斯项合并成一个，即将d_ij＜U的高斯项合并成一个，其中U为合并门限，合并距离d_ij定义为多个高斯项的合并方法如下： 其中，L为合并高斯项上标形成的集合，上标T和b分别表示矩阵的转置和合并后高斯项的索引号，合并后高斯项标识取为合并前权重最大高斯项的标识。

进一步地，所述步骤1中，所述目标的幸存概率根据k-1时刻目标是否被漏的标识加以确定，当被漏标识α为1，表明所述目标在k-1时刻漏检，其幸存概率取为0.5；当α为0，表明所述目标在k-1时刻被检测到，其幸存概率取为先验幸存概率p_S,k。

进一步地，所述步骤2中先确定目标是否被漏：当目标被漏时，所述标识α为1，并且其预测的后验矩将完全地驻留在更新的后验矩中。

本发明还提供概率假设密度滤波器目标信息的信息保持系统，其中，包括：

预测模块，根据前一时刻的后验矩和高斯项以及表征目标在前一时刻是否被漏的信息标识预测当前时刻的后验矩和高斯项；

更新模块，与所述预测模块相连，根据预测的当前时刻的后验矩和高斯项以及当前时刻的测量集确定出当前时刻各目标被漏的信息标识；利用所述当前时刻的测量集、当前时刻目标被漏的信息标识以及预测的当前时刻的后验矩和高斯项求取当前时刻更新的高斯项；

裁减与合并模块，与所述更新模块相连，对更新后的高斯项进行裁减与合并，裁减与合并后的高斯项作为当前时刻的高斯项，裁减与合并后的高斯项加权和构成当前时刻的后验矩，当前时刻的高斯项和后验矩作为下一次滤波器递归的输入；

目标状态提取模块，与所述裁减与合并模块相连，根据裁减与合并后的高斯项，提取权重的高斯项作为滤波器的输出，相应高斯项中的均值和方差分别为存活目标的状态估计和误差估计。

进一步地，在所述预测模块中，以k-1表示前一时刻，以k表示当前时刻；k-1时刻构成后验矩的高斯项集合表示为其中w、m和P分别表示高斯项的权重、均值和方差，α为表明一个目标是否被漏的标识，i为索引号，取值从1至J_k-1，J_k-1为k-1时刻高斯项的数目；

k-1时刻后验矩表示为则k时刻预测的后验矩表示为v_k|k-1(x|Z^(k-1))＝v_S,k|k-1(x|Z^(k-1))+γ_k(x)，其中，x表示目标状态，Z^(k-1)表示1至k-1时刻所有测量构成的集合，γ_k(x)为新生目标矩，并且

和p_S,k分别为目标i的幸存概率和目标的先验幸存概率，F_k-1为状态转移矩阵，Q_k-1为过程噪声方差矩阵，J_γ,k、和均为已知的模型参数，分别表示为新生高斯项的数目、第j个高斯项的权重、状态的均值和方差，N表示高斯分布，x表示目标的状态；γ_k(x)表示新生目标矩；

预测的高斯项由i＝1,2,…,J_k-1和j＝1,2,…,J_γ,k组成，其中为幸存目标i的预测信息标识， 为新生目标j的信息标识。

进一步地，在所述更新模块中，k时刻预测的后验矩表示为

k时刻构成预测后验矩的高斯项集合表示为i＝1,2,…,J_k|k-1，其中J_k|k-1＝J_k-1+J_γ,k，则k时刻更新后验矩v_k(x|Z^(k))表示为

其中， 而Z^(k)为1至k时刻所有测量构成的集合，K_i为滤波器增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差矩阵，为目标i被漏的概率，为目标i的检测概率，为目标l的检测概率，λc(z_j)为杂波密度，z_j为测量集合Z_k中的第j个测量，Z_k为k时刻测量集合，I为单位矩阵，为观测矩阵的转置矩阵，l为索引号，取值从1至J_k|k-1；更新高斯项由和组成，其中，i＝1,2,…,J_k|k-1，j＝1,2,…,n_k，n_k为测量集Z_k中测量的个数。

进一步地，在所述裁减与合并模块中，k时刻构成更新后验矩的高斯项表示为i＝1,2,…,J_k|k，其中J_k|k＝J_k|k-1(n_k+1)，删除权重充分小的高斯项，即删除的高斯项，其中，τ为裁减门限；

将距离充分小的高斯项合并成一个，即将d_ij＜U的高斯项合并成一个，其中U为合并门限，合并距离d_ij定义为多个高斯项的合并方法如下： 其中，L为合并高斯项上标形成的集合，上标T和b分别表示矩阵的转置和合并后高斯项的索引号，合并后高斯项标识取为合并前权重最大高斯项的标识。

与现有概率假设密度滤波器相比，本发明的优点是：本发明利用预测的后验矩和当前时刻的测量集确定存活的真目标是否被漏检了，如果目标确实被漏检，能将漏检目标的信息驻留在后验矩中，从而避免了漏检目标的信息丢失，进而提高了目标数估计的稳定性和目标状态提取的可靠性。

附图说明

图1是本发明提供的概率假设密度滤波器中目标信息的保持方法的流程图；

图2是检测率为0.85时本发明与现有方法得到的平均目标数；

图3是检测率为0.85时本发明与现有方法的目标数均方根误差；

图4是检测率为0.85时本发明与现有方法的平均OSPA距离。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明依据后验的预测矩和当前时刻的测量集判定存活的真目标在当前时刻是否被漏检，如果目标被漏检，通过修正概率假设密度滤波器更新方程将漏检目标的信息驻留在后验的更新矩中，以使漏检目标的状态能被滤波器提取出来作为其输出。

如图1所示，本发明提供的概率假设密度滤波器中目标信息的保持方法包括以下步骤：

步骤1、根据前一时刻的后验矩和高斯项以及表征目标在前一时刻是否被漏的信息标识预测当前时刻的后验矩和高斯项。

以k-1表示前一时刻，以k表示当前时刻；k-1时刻构成后验矩的高斯项集合表示为其中w、m和P分别表示高斯项的权重、均值和方差，α为表明一个目标是否被漏的标识，J_k-1为k-1时刻高斯项的数目，i为索引号，取值从1至J_k-1。所述后验矩的高斯项集合由多个高斯项构成。

k-1时刻的后验矩表示为则k时刻预测的后验矩表示为v_k|k-1(x|Z^(k-1))＝v_S,k|k-1(x|Z^(k-1))+γ_k(x)，其中，x表示目标状态，Z^(k-1)表示1至k-1时刻所有测量构成的集合，γ_k(x)为新生目标矩，并且 和p_S,k分别为目标i的幸存概率和目标的先验幸存概率，F_k-1为状态转移矩阵，Q_k-1为过程噪声方差矩阵，J_γ,k、和均为已知的模型参数，分别表示为新生高斯项的数目、第j个高斯项的权重、状态的均值和方差，N表示高斯分布，x表示目标的状态，γ_k(x)表示新生目标矩。所述后验矩由所述高斯项构成，即所述后验矩为高斯项的加权和。

预测的高斯项由和组成，其中为幸存目标i的预测信息标识，为新生目标j的信息标识，j表示索引号，取值从1至J_γ,k。

步骤2、根据预测的当前时刻的后验矩和高斯项以及当前时刻的测量集确定出当前时刻各目标被漏的信息标识；利用所述当前时刻的测量集、当前时刻目标被漏的信息标识以及预测的当前时刻的后验矩和高斯项求取当前时刻更新的高斯项。

根据所述步骤1可得，k时刻预测的后验矩表示为

k时刻构成预测后验矩的高斯项集合表示为i＝1,2,…,J_k|k-1，其中J_k|k-1＝J_k-1+J_γ,k。

根据预测的后验矩和高斯项可得，k时刻更新后验矩v_k(x|Z^(k))表示为其中， 而Z^(k)为1至k时刻所有测量构成的集合，K_i为滤波器增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差矩阵，为目标i被漏的概率，为目标i的检测概率，为目标l的检测概率，λc(z_j)为杂波密度，z_j为测量集合Z_k中的第j个测量，Z_k为k时刻测量集合，I为单位矩阵，为观测矩阵的转置矩阵，l为索引号，取值从1至J_k|k-1；更新高斯项由和组成，其中，i＝1,2,…,J_k|k-1，j＝1,2,…,n_k，n_k为测量集Z_k中测量的个数。

步骤3、对更新后的高斯项进行裁减与合并，裁减与合并后的高斯项作为当前时刻的高斯项，裁减与合并后的高斯项加权和构成当前时刻的后验矩。

根据步骤2可得，k时刻构成更新后验矩的高斯项表示为i＝1,2,…,J_k|k，其中J_k|k＝J_k|k-1(n_k+1)。删除权重充分小的高斯项，即删除的高斯项，其中τ为裁减门限。

将距离充分小的高斯项合并成一个，即将d_ij＜U的高斯项合并成一个，其中U为合并门限。合并距离d_ij定义为多个高斯项的合并方法如下： 其中，L为合并高斯项上标形成的集合，上标T和b分别表示矩阵的转置和合并后高斯项的索引号，合并后高斯项标识取为合并前权重最大高斯项的标识。

步骤4、根据裁减与合并后的高斯项，假设裁减与合并后余下的高斯项为i＝1,2,…,J_k，提取权重的高斯项作为滤波器的输出，相应高斯项中的均值和方差分别为存活目标的状态估计和误差估计。裁减与合并步骤后，余下的高斯项为i＝1,2,…,J_k,作为下一次滤波器递归的输入。

进一步地，在所述步骤1中，所述目标的幸存概率根据k-1时刻目标是否被漏的标识加以确定，当被漏标识α为1，表明所述目标在k-1时刻漏检，其幸存概率取为0.5；当α为0，表明所述目标在k-1时刻被检测到，其幸存概率取为先验幸存概率p_S,k。

进一步地，所述步骤2中，确定目标是否被漏的所述标识α是由预测的后验矩和k时刻的测量集确定，当目标被漏时，所述标识α为1，并且其预测的后验矩将完全地驻留在更新的后验矩中。

进一步地，在所述步骤3和4中，所述目标是否被漏的标识α随同所述权重w、均值m和方差P一起传送。

本发明所述的概率假设密度滤波器中目标信息的保持方法通过确定存活的目标是否被漏检将漏检目标的信息在更新的后验矩中，从而提高了概率假设密度滤波器的记忆力，避免了漏检目标的信息丢失。在杂波密度λ_c＝5×10^-6m^-2、目标检测概率为0.85、既有新目标出现和已存在目标消失的情况下，本发明与现有方法对10批目标跟踪时100次MonteCarlo实验得到的平均目标数、目标数均方根误差和平均OSPA(Optimal SubpatternAssignment，最优亚模式分配)距离分别如图2、图3和图4所示。从图2和图3中可看出，与现有方法相比，本发明能获得更加精确和稳定的目标数估计，平均目标数与真实目标数更为接近，目标数估计的均方根误差更小。从图4中可看出，本发明的多目标跟踪精度明显高于现有方法，其OSPA距离比现有方法得到的OSPA距离要小得多。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.概率假设密度滤波器目标信息的保持方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、根据前一时刻的后验矩和高斯项以及表征目标在前一时刻是否被漏的信息标识预测当前时刻的后验矩和高斯项；

以k-1表示前一时刻，以k表示当前时刻，所述前一时刻的高斯项集合表示为其中w、m和P分别表示高斯项的权重、均值和方差，α为表明一个目标是否被漏的信息标识，i为索引号，取值从1至J_k-1，J_k-1为k-1时刻高斯项的数目；

k-1时刻后验矩表示为则k时刻预测的后验矩表示为v_k|k-1(x|Z^(k-1))＝v_S,k|k-1(x|Z^(k-1))+γ_k(x)，其中，x表示目标状态，Z^{(k -1)}表示1至k-1时刻所有测量构成的集合，γ_k(x)为新生目标矩，并且

和p_S,k分别为目标i的幸存概率和目标的先验幸存概率，F_k-1为状态转移矩阵，Q_k-1为过程噪声方差矩阵，J_γ,k、和均为已知的模型参数，分别表示为新生高斯项的数目、第j个高斯项的权重、状态的均值和方差，N表示高斯分布，x表示目标的状态，γ_k(x)表示新生目标矩；

预测的高斯项由和组成，其中 为幸存目标i的预测信息标识， 为新生目标j的信息标识，j表示索引号，取值从1至J_γ,k；

步骤2、根据预测的当前时刻的后验矩和高斯项以及当前时刻的测量集确定出当前时刻各目标被漏的信息标识；利用所述当前时刻的测量集、当前时刻目标被漏的信息标识以及预测的当前时刻的后验矩和高斯项求取当前时刻更新的高斯项；

步骤3、对更新后的高斯项进行裁减与合并，裁减与合并后的高斯项为当前时刻的高斯项，裁减与合并后的高斯项加权和构成当前时刻的后验矩，当前时刻的高斯项和后验矩作为下一次滤波器递归的输入；

步骤4、根据当前时刻的高斯项，提取权重的高斯项作为滤波器的输出，相应高斯项中的均值和方差分别为存活目标的状态估计和误差估计。

2.根据权利要求1所述的保持方法，其特征在于，所述步骤2中，k时刻预测的后验矩表示为k时刻构成预测后验矩的高斯项集合表示为i＝1,2,…,J_k|k-1，则k时刻更新后验矩v_k(x|Z^(k))表示为

其中，

而Z^(k)为1至k时刻所有测量构成的集合，K_i为滤波器增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差矩阵，为目标i被漏的概率，为目标i的检测概率，为目标l的检测概率，λc(z_j)为杂波密度，z_j为测量集合Z_k中的第j个测量，Z_k为k时刻测量集合，I为单位矩阵，为观测矩阵的转置矩阵，l为索引号，取值从1至J_k|k-1；更新高斯项由和组成，其中，i＝1,2,…,J_k|k-1，j＝1,2,…,n_k，n_k为测量集Z_k中测量的个数。

3.根据权利要求2所述的保持方法，其特征在于，所述步骤3中，k时刻构成更新后验矩的高斯项表示为i＝1,2,…,J_k|k，删除权重充分小的高斯项，即删除的高斯项，其中，τ为裁减门限；

将距离充分小的高斯项合并成一个，即将d_ij＜U的高斯项合并成一个，其中U为合并门限，合并距离d_ij定义为多个高斯项的合并方法如下： 其中，L为合并高斯项上标形成的集合，上标T和b分别表示矩阵的转置和合并后高斯项的索引号，合并后高斯项标识取为合并前权重最大高斯项的标识。

4.根据权利要求1所述的保持方法，其特征在于，所述步骤1中，所述目标的幸存概率根据k-1时刻目标是否被漏的标识加以确定，当被漏标识α为1，表明所述目标在k-1时刻漏检，其幸存概率取为0.5；当α为0，表明所述目标在k-1时刻被检测到，其幸存概率取为先验幸存概率p_S,k。

5.根据权利要求2所述的保持方法，其特征在于，所述步骤2中先确定目标是否被漏：当目标被漏时，所述标识α为1，并且其预测的后验矩将完全地驻留在更新的后验矩中。

6.概率假设密度滤波器目标信息的信息保持系统，其特征在于，包括：预测模块、更新模块、裁减与合并模块和目标状态提取模块；

所述预测模块根据前一时刻的后验矩和高斯项以及表征目标在前一时刻是否被漏的信息标识预测当前时刻的后验矩和高斯项；

以k-1表示前一时刻，以k表示当前时刻，所述前一时刻的高斯项集合表示为其中w、m和P分别表示高斯项的权重、均值和方差，α为表明一个目标是否被漏的信息标识，i为索引号，取值从1至J_k-1，J_k-1为k-1时刻高斯项的数目；

k-1时刻后验矩表示为则k时刻预测的后验矩表示为v_k|k-1(x|Z^(k-1))＝v_S,k|k-1(x|Z^(k-1))+γ_k(x)，其中，x表示目标状态，Z^{(k -1)}表示1至k-1时刻所有测量构成的集合，γ_k(x)为新生目标矩，并且

和p_S,k分别为目标i的幸存概率和目标的先验幸存概率，F_k-1为状态转移矩阵，Q_k-1为过程噪声方差矩阵，J_γ,k、和均为已知的模型参数，分别表示为新生高斯项的数目、第j个高斯项的权重、状态的均值和方差，N表示高斯分布，x表示目标的状态；γ_k(x)表示新生目标矩；

预测的高斯项由和组成，其中 为幸存目标i的预测信息标识， 为新生目标j的信息标识，j表示索引号，取值从1至J_γ,k；

所述更新模块与所述预测模块相连，根据预测的当前时刻的后验矩和高斯项以及当前时刻的测量集确定出当前时刻各目标被漏的信息标识；利用所述当前时刻的测量集、当前时刻目标被漏的信息标识以及预测的当前时刻的后验矩和高斯项求取当前时刻更新的高斯项；

所述裁减与合并模块与所述更新模块相连，对更新后的高斯项进行裁减与合并，裁减与合并后的高斯项作为当前时刻的高斯项，裁减与合并后的高斯项加权和构成当前时刻的后验矩，当前时刻的高斯项和后验矩作为下一次滤波器递归的输入；

所述目标状态提取模块与所述裁减与合并模块相连，根据裁减与合并后的高斯项，提取权重的高斯项作为滤波器的输出，相应高斯项中的均值和方差分别为存活目标的状态估计和误差估计。

7.根据权利要求6所述的信息保持系统，其特征在于，在所述更新模块中，k时刻预测的后验矩表示为k时刻构成预测后验矩的高斯项集合表示为i＝1,2,…,J_k|k-1，则k时刻更新后验矩v_k(x|Z^(k))表示为

其中， 而Z^(k)为1至k时刻所有测量构成的集合，K_i为滤波器增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的方差矩阵，为目标i被漏的概率，为目标i的检测概率，为目标l的检测概率，λc(z_j)为杂波密度，z_j为测量集合Z_k中的第j个测量，Z_k为k时刻测量集合，I为单位矩阵，为观测矩阵的转置矩阵，l为索引号，取值从1至J_k|k-1；更新高斯项由和组成，其中，i＝1,2,…,J_k|k-1，j＝1,2,…,n_k，n_k为测量集Z_k中测量的个数。

8.根据权利要求7所述的信息保持系统，其特征在于，在所述裁减与合并模块中，k时刻构成更新后验矩的高斯项表示为i＝1,2,…,J_k|k，删除权重充分小的高斯项，即删除的高斯项，其中，τ为裁减门限；

将距离充分小的高斯项合并成一个，即将d_ij＜U的高斯项合并成一个，其中U为合并门限，合并距离d_ij定义为多个高斯项的合并方法如下： 其中，L为合并高斯项上标形成的集合，上标T和b分别表示矩阵的转置和合并后高斯项的索引号，合并后高斯项标识取为合并前权重最大高斯项的标识。