CN103226656A - 种群迁徙动力学优化方法 - Google Patents

Abstract

一种种群迁徙动力学优化方法—PMDO算法，采用种群迁徙动力学理论，假定生态系统中存在多个栖息地，每个栖息地有特定的永不改变的生存条件，每个栖息地生存有多种不同种类的生物种群；在一个周期内，种群依据其所在栖息地上的生存条件随机地进行竞争、互利、捕食-被食、融合以及学习和休闲活动；在一个周期后，某些种群根据其自身所处的栖息地的好坏情况决定是否迁徙，即若存在多个更好的栖息地可以前往，则随机选一个栖息地进行迁徙；否则不迁徙；所有种群通过上述活动使得它们的PSI指数要么保持原状不变，要么向更好的方向转移，从而确保了整个算法的全局收敛性；本发明算法具有搜索能力强和全局收敛性的特点，为高维优化问题的求解提供了一种解决方案。

Description

种群迁徙动力学优化方法

技术领域

本发明涉及智能优化算法，具体涉及一种种群迁徙动力学优化方法—PMDO算法。 

背景技术

考虑一般优化问题 

min f(X) 

$s.t.\left\{\begin{array}{c}{g}_i\left(X\right)\≥0,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,I\\ h_i\left(X\right)=0,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,E\\ X\∈S\⋐R^n,X\≥0\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：Rⁿ是n维欧氏空间；X=(x₁，x₂，…，x_n)是一个n维决策向量，变量x_i(i=1，2，…，n)为非负实数；S为非负搜索空间，又称解空间；f(X)为目标函数；g_i(X)≥0为第i个约束条件，i=1，2，…，I，I为不等式约束条件个数；h_i(X)=0为第i个等式约束条件，i=1，2，…，E，E为等式约束条件个数。目标函数f(X)和约束条件g_i(X)、h_i(X)不需要特殊的限制条件，传统的基于函数连续性和可导性的数学优化方法无法解决该问题。 

上述优化问题(1)的求解方法是群体智能优化算法，这类算法具有较广泛的适用性。已有的智能优化算法有：(1)遗传算法：该算法1975年由美国芝加哥大学Holland的专著《Adaptation in Natural and Artificial Systems》提出，所采用的技术方案是利用遗传学理论构造个体进化方法，从而对优化问题进行求解；(2)蚁群算法：该算法由Colorni A和Dorigo M等人在文献《Distributed optimization by ant colonies，Proceedings of the 1^st Europe Conference on Artificial Life，1991，134～142》中提出，所采用的技术方案是模拟蚂蚁群体 觅食行为来进行优化问题的求解；(3)粒子群算法：该算法由Eberhart R和Kennedy J在文献《New optimizer using particle swarm theory，MHS’95 Proceedings of the Sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science，IEEE，Piscataway，NJ，USA，1995：38～43》中提出，所采用的技术方案是利用模仿鸟类的群体行为来进行优化问题的求解；(4)鱼群算法：该算法由李晓磊、邵之江和钱积新等人在文献《一种基于动物自治体的寻优棋式：鱼群算法，系统工程理论与实践，2002,22(11):32～38》中提出，所采用的技术方案是利用鱼在水中的觅食、追尾、群聚等行为对优化问题解空间进行搜索，从而获取优化问题的全局最优解；(5)蝙蝠算法：该算法2010年由Yang X S在文献《A new metaheuristic bat-inspired algorithm，Nature Inspired Cooperative Strategies for Optimization(NICSO 2010),Studies in Computational Intelligence 284,Springer-Verlag,Berlin Eidelberg,2010,65～74》中提出，该算法通过模拟蝙蝠回声定位行为而提出的一种新的智能优化算法，它也是一种基于种群的随机搜索寻优算法，蝙蝠个体是蝙蝠算法的基本单元，整个群体的运动在问题求解空间中产生从无序到有序的演化过程，从而获取最优解。 

与本发明相关算法是生物地理学算法(Biogeography-Based Optimization，简称BBO算法)，该算法2008年由Dan Simon用生物地理学的方法提出，文献为《Simon D.Biogeography-based Optimization[J].IEEE Transactions.Evolutionary Computation，2008，12(6)：702-713》。该算法通过种群在栖息地间的迁移实现了对优化问题最优解的搜索。BBO算法解决优化问题主要依赖以下2方面：(1)栖息地的特征向量SIV对应优化问题的试探解；栖息地的适宜度指数(HSI)对应于优化问题的目标函数值，好的试探解具有较高HSI值；(2)栖息地的迁入和迁出机制对应优化算法中的信息交互机制，高HSI的试探 解以一定的迁出率进行相应操作，将信息共享给低HSI试探解；低HSI试探解从高HSI的试探解接受许多新的特征，这些额外的新特征可以提高低HSI试探解的质量。若栖息地较高HSI使得该栖息地种群数量增多，则调低迁入率、调高迁出率。 

马海平，陈子栋，潘张鑫在文献《一类基于物种迁移优化的进化算法，控制与决策，2009，24(11)：1620～1624》中提出了一类基于物种迁移优化的进化算法，该算法根据生态系统中物种分布的迁移模型并参考其他智能算法的思想，通过物种迁移实现信息交换和共享，从而完成进化过程。此外，马海平，李寰，阮谢永在文献《一种种群群体体迁迁移移优优化化算算法法及及性性能能分分析析，控制理论与应用，2010，27(3)：329～334》中提出了与文献《一类基于物种迁移优化的进化算法，控制与决策，2009，24(11)：1620～1624》思想很相似的算法。上述两篇文献中描述的思想很相似两个算法却又与BBO算法思想高度相似，所以这两个算法都应该视为是BBO算法。 

蔡之华，龚文引和C X Ling等人在文献《基于进化规划的新型生物地理学优化算法研究，系统工程理论与实践，2010，30(6)：1106～1112》中将差分演化算法与BBO算法相结合，提出了DE/BBO算法，该算法利用差分变异算子对搜索空间进行挖掘，对新空间进行搜索，增加了算法找出全局最优解的可能性，但该算法的全局收敛性没有被证明。 

纪洁，顾伟，张松勇等人在文献《一种新型生物地理学智能优化算法及其比较研究，上海电力学院学报，2012，28(1)：47～50》运用一些基准函数对BBO算法与其它传统智能优化算法进行了性能比较，揭示出BBO算法的某些优越性能。Dan Simon在文献《A dynamic system model of biogeography-based optimization，Applied Soft Computing，2011，(11)：5652～5661》对BBO算法 的动态系统行为进行了分析；D.Simon,M.Ergezer,D.Du,R.Rarick在文献《Markov models for biogeography-based optimization，IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics-Part B:Cybernetics，2011，41(1):299～306》对BBO算法的Markov特性进行了分析；D.Simon,M.Ergezer,D.Du等人在文献《Population distributions in biogeography-based optimization algorithms with elitism[C].IEEE Conference on Systems,Man,and Cybernetics,October 2009:1017～1022》对BBO算法的种群分布进行了研究。上述这些研究仅是对BBO算法的特性进行了充分挖掘，对算法本身没有改变。 

大量测试与应用表明，BBO算法存在如下问题：(1)该算法对维数较低的优化问题具有较好的性能，但当优化问题的维数很高，如维数超过300维时，该算法的性能严重下降；(2)该算法的全局收敛性一直未被证明。出现上述问题的原因是BBO算法的迁移算子和变异算子过于简单，无法适应复杂优化问题的求解。 

发明内容

为了解决上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种种群迁徙动力学优化方法(Population Migration Dynamics-based Optimization，简称PMDO算法)，该算法具有全局收敛性，为复杂优化问题，特别是高维优化问题的解决提供了一种解决方案。 

为了达到上述目的，本发明采用如下技术方案： 

一种种群迁徙动力学优化方法—PMDO算法，其特征在于：设要解决的函数优化问题为： 

min f(X) 

$s.t.\left\{\begin{array}{c}{g}_i\left(X\right)\≥0,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,I\\ h_i\left(X\right)=0,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,E\\ X\∈S\⋐R^n,X\≥0\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：Rⁿ是n维欧氏空间；X=(x₁，x₂，…，x_n)是一个n维决策向量，变量x_i(i=1，2，…，n)为非负实数；S为非负搜索空间，又称解空间；f(X)为目标函数；g_i(X)≥0为第i个约束条件，i=1，2，…，I，I为不等式约束条件个数；h_i(X)=0为第i个等式约束条件，i=1，2，…，E，E为等式约束条件个数；目标函数f(X)和约束条件g_i(X)、h_i(X)不需要特殊的限制条件； 

优化问题的解空间与生态系统相对应，该生态系统由若干个栖息地组成，每个栖息地上生活着若干个种群，每个种群对应着优化问题的一个试探解，种群的一个特征对应于试探解中的一个变量；适用于种群每一个特征的种群迁徙动力学模型也适用于试探解中的对应变量； 

每个栖息地对应特定的生存条件，且生存条件永不改变，当种群在当前栖息地上生活一个周期后，通过在比当前栖息地更好的栖息地中随机选择一个栖息地进行迁徙，从而实现进化；当种群在当前栖息地上活动期间，根据当前栖息地的生存条件，种群相互之间进行与生存条件相适应的相互作用，这种相互作用为种群间循环的竞争、互利、捕食-被食或融合四种之一；此外，种群在当前栖息地活动期间还实施学习行为和休闲行为，所述学习行为是指：栖息地上的某种群向比其适应度指数PSI好的其它种群进行学习的行为，也即将比其适应度指数PSI好的其它种群的部分特征的状态值作为该种群对应特性的状态值；所述休闲行为是指：某种群在栖息地上活动时其特征的状态值保持不变； 

种群中的个体是能够分开的，即在同一时期，一个种群的个体能够在多 个栖息地上同时出现； 

种群利用竞争、互利、捕食-被食、融合、学习或休闲行为进行状态随机转换，并通过选择更好的栖息地进行迁徙，相当于试探解在解空间进行随机搜索，并通过选择算子从一个位置转移到另一个更好的位置，这种效应使得种群的PSI指数要么保持原状不变，要么向更好的方向转移；从而确保了整个算法的全局收敛性。在种群演变过程中，种群从一种状态转移到另一种状态实现了种群对优化问题全局最优解的搜索。 

为了使PMDO算法适用于各种优化问题，将优化问题(1)的目标函数改写成下式： 

式中：F_max为非常大的正实数，用于对不满足约束条件的试探解进行惩罚。此处未进行说明的符号的含义同前。 

假设生态系统由Q个栖息地和N个种群组成，该生态系统中N个种群所对应的优化问题的试探解集为S={X₁，X₂，…，X_N}，X_i=(x_i1，x_i2，…，x_in)，i=1，2，…，N；种群i的特征向量与优化问题试探解X_i向量相对应，即种群i的特征j与试探解X_i的变量x_ij相对应；种群的适应度指数PSI对应于优化问题的目标函数值。好的试探解对应具有较高PSI值的种群，即对于优化问题(1)，种群i的适应度指数PSI计算方法为： 

PSI(X_i)=F_max-F(X_i)    (3) 

种群迁徙场景设计如下： 

假设在生态系统中存在Q个相同的、相对独立的栖息地，其编号是1，2，…，Q。每个栖息地生活着若干个种群的群落，并且在所有栖息地上这些种群以相 同的方式相互作用。假设栖息地k上的种群集合为P_k，k=1，2，…，Q；|P_k|表示集合P_k中元素的个数，也就是栖息地k上的种群个数。生态系统种群总数为 

再假设种群的每个个体以其固有的活动半径，可以从某一栖息地到另一栖息地迁徙，即不同栖息地的种群间有迁徙流。自然认为迁移的强度、迁移种群的大小，在对迁徙流是源和汇的栖息地中是有差别的。 

设迁徙过程由一些函数

描述，种群i在从栖息地s到栖息地k迁徙路线上的瞬时迁徙强度

取决于所有种群在所有栖息地的大小，即 

$m_i^{\mathrm{ks}}=m_i^{\mathrm{ks}}(x^1,x^2,\·\·\·,x^Q),$ $x^k=(x_1^k,x_2^k,\·\·\·,x_N^k),i\∈P_k,k\∈H$

则迁徙影响种群i的数量。例如，栖息地k所受影响，可用迁入到给定栖息地的流入组合

—迁入生物总量与从这个栖息地迁出到所有其他栖息地的流出组合

—迁出生物总量之差表示，种群迁徙动力学模型为 

$\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=f_i(x_1^k,x_2^k,\·\·\·,x_N^k)+m_i\underset{s=1,s\≠k}{\overset{Q}{\mathrm{\Σ}}}(x_i^s{m}_i^{\mathrm{ks}}-x_i^k{m}_i^{\mathrm{sk}}),i\∈P_k,k\∈H---\left(4\right)$

式中：t表示时期；为栖息地k上种群i的数量，H为用编号表示的栖息地的集合，H={1，2，…，Q}；函数f_i的集合规定着栖息地k内生物相互作用的结构；函数

描述由所有其他栖息地流入栖息地k的迁徙作用；m_i为种群迁徙强度因子，表示种群特异性和迁徙路线的独立性m_i≥0，m_i=0表示种群i在所有栖息地中都不参与迁徙。此处未进行说明的符号的含义同前。 

PMDO算法利用种群迁徙动力学模型来构造进化算子实现种群间信息交换，进而实现对优化问题解空间进行搜索。为了增强搜索的随机性和广泛性，将式(4)所描述的种群迁徙动力学规律应用于从(x_i1，x_i2，…，x_in)中随机选出的某些变量。 

对于生态系统中的每个栖息地，我们赋予它某个生存条件，假设可选的生存条件集合为SC={E₁，E₁，…，E_W}，W为生态系统中生存条件的总个数。通常情况下，生存条件集合为SC={互利型，竞争型，捕食-被食型，融合型}，即W=4。若某个种群i迁徙到某个栖息地k，其对应的生存条件为E_s，则该种群以该栖息地上的生存条件E_s生存。例如，假设栖息地1的生存条件是竞争型的，种群2迁徙到栖息地1上后，就会参与该栖息地上已有种群之间的竞争。显然，某些栖息地可能具有同一类型的生存条件，但由于这些栖息地上的种群特性、种群类别及种群个体数不一样，因此，在这些栖息地上的种群生存结局必不一样。 

另外还规定，一个种群一次可以迁徙到多个栖息地，也就是说，一个种群中的个体是可以分开的。或者说，在同一时期，一个种群的个体可以在多个栖息地上出现。 

在生态系统中，种群根据其所在栖息地的状况及其个体的意愿决定是否迁徙，迁徙的目的栖息地是该种群通过在比它当前所在的栖息地更好的栖息地中随机选择一个而得到。当一种群迁徙到新的栖息地后，在该栖息地要生存一段时间。在此期间，该种群作为该栖息地的一个成员参与该栖息地上种群的活动。经过一段时间后，种群再迁徙。如此重复，直到找到优化问题的最优解为止。 

假如时期t在栖息地k上，P_k个种群的数量分别为

且假定种群密度分布是均匀的，则对于种群i=1，2，…，P_k的Lotka-Volterra模型可以写为 

$\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=x_i^k(r_i+\underset{j=1}{\overset{P_k}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j^k)---\left(5\right)$

式中：r_i>0称为种群i的内禀增长率，r_i>0表示种群i还具有吸收自然资源的能力，r_i<0表示没有这种能力；a_ij(i≠j)的正负符号和绝对值表示种群j对种群i的影响性质和强度；a_ii表示种群i的种内调节参数，a_ii<0表示种内密度制约。此处未进行说明的符号的含义同前。 

多个种群在某栖息地生活期间，若该栖息地为竞争型生存条件，则认为种群间展开循环竞争活动。对于种群i=1，2，…，P_k，依据式(5)可得Lotka-Volterra多种群间循环竞争动力学模型为 

$\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=x_i^k(\mathrm{PN}\left(r_i\right)r_i-\underset{j=1}{\overset{P_k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j^k)---\left(6\right)$

式中：r_i>0称为种群i的内禀增长率，r_i>0表示种群i还具有吸收自然资源的能力，r_i<0表示没有这种能力；PN(r_i)表示为r_i随机产生+1或-1的函数，即 

a_ij(i≠j)的正负符号和绝对值表示种群j对种群i的影响性质和强度；a_ii表示种群i的种内调节参数，a_ii<0表示种内密度制约；此处未进行说明的符号的含义同前。 

多个种群在某栖息地生活期间，若该栖息地为互利型生存条件，则认为种群间展开循环互利活动。对于种群i=1，2，…，P_k，依据式(5)可得Lotka-Volterra多种群间循环互利动力学模型为 

$\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=x_i^k(\mathrm{PN}\left(r_i\right)r_i+\underset{j=1}{\overset{P_k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ij}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j^k)---\left(7\right)$

式中：δ_ij=-1，若i=j；δ_ij=1，若i≠j。此处未进行说明的符号的含义同前。 

多个种群在某栖息地生活期间，若该栖息地为捕食-被食型生存条件，则认为种群间展开循环捕食-被食活动。对于种群i=1，2，…，P_k，依据式(5)可得Lotka-Volterra多种群间循环捕食-被食互利动力学模型为 

式中：若i=j或j=i+1，则

否则，

此处未进行说明的符号的含义同前。 

基于以上场景，PMDO算法的进化算子的设计方法如下所述。 

种群迁徙算子 

假设在栖息地k，随机选择若干个其它栖息地的种群迁移到该栖息地k。依据式(4)，有 

式中：

和

分别为栖息地k上种群i的特征l在时期t+1和时期t的状态值，都为非负实数；H_k为从栖息地集合H中随机地挑选迁徙到栖息地k的栖息地集合，当然

为从栖息地s∈H_k中随机地挑选迁移到栖息地k的种群的集合；E₀为栖息地上的种群发生迁出的概率上限；计算时取  $m_r=\mathrm{Rand}(m_l^0,m_u^0),$ $m_r^{\mathrm{ks}}=\mathrm{Rand}(m_l^1,m_u^1);$ Rand(a，b)表示在[a，b]区间产生一个均匀分布随机数；

和

分别表示种群迁徙强度因子m_r的取值区间的下限和上限，且

和

分别表示任意两栖息地间种群瞬时迁徙强度的取值区间的下限和上限，

L={1，2，…，n}。此处未进行说明的符号的含义同前。 

若只有一个种群为i发生迁移，方向为j→k，则上式可简化为 

$x_{\mathrm{il}}^k(t+1)=x_{\mathrm{il}}^k\left(t\right)+m_i{x}_{\mathrm{il}}^j\left(t\right)m_i^{\mathrm{kj}},l\&Element;L---\left(9\right)$

式中：为栖息地k上种群i的特征l在时期t+1的状态值，为非负实数；L={1，2，…，n}；计算时取 $m_i=\mathrm{Rand}(m_l^0,m_u^0),$ $m_i^{\mathrm{ks}}=\mathrm{Rand}(m_l^1,m_u^1);$

和

 分别表示种群迁徙强度因子m_i的取值区间的下限和上限，且

和 

分别表示任意两栖息地间种群瞬时迁徙强度的取值区间的下限和上限，且 

Rand(a，b)表示在[a，b]区间产生一个均匀分布随机数； 

采用随机方法确定种群迁徙强度因子m_i和任意两栖息地间种群瞬时迁徙强度

一方面可大幅减少模型参数的输入个数；另一方面又符合栖息地之间种群迁徙复杂多变的实际情况。 

种群生存算子 

(1)竞争算子：该算子描述的是多个种群间的循环竞争行为、学习行为和休闲行为。对于种群i=1，2，…，P_k，依据式(6)，可以构造出栖息地k上种群间的竞争算子： 

式中：P_a为竞争型、互利型、捕食-被食型和融合型这四个生存条件中的每一个出现的概率上限；P_b为学习行为出现的概率上限；P_c为休闲行为出现的概率上限，P_c=1；R_k为栖息地k上比种群i的PSI指数好的其它种群的集合；因将正负号直接放入到表达式中，所以有r_i>0，a_ij>0，计算时取r_i=Rand(r_l，r_u)，a_ij=Rand(a_l，a_u)；r_l和r_u分别表示r_i随机取值的下限和下限，且r_u>r_l≥0；a_l和a_u分别表示a_ij随机取值的下限和下限，且a_u>a_l≥0。此处未进行说明的符号的含义同前。 

采用随机方法确定Lotka-Volterra模型参数r_i和a_ij，一方面可大幅减少模型参数的输入个数；另一方面又符合种群间复杂多变的相互作用关系。 

式(10)中的第1式描述的是多个种群间的循环竞争行为；第2式描述的是种群i向比其PSI指数好的其它种群进行学习的行为，也即将比其PSI指数好的其它种群的部分特征的状态值作为种群i对应特性的状态值；第3式描述的是种群i的休闲行为，也即种群i的特征的状态值保持不变。 

(2)互利算子：该算子描述的是多个种群间的互利行为、学习行为和休闲行为。对于种群i=1，2，…，P_k，依据依据式(7)，可以构造出栖息地k上种群间的互利算子： 

式中未进行说明的符号的含义同前。 

式(11)中的第1式描述的是多个种群间的互利行为；第2式描述的是种群i的学习行为；第3式描述的是种群i的休闲行为。 

(3)捕食-被食算子：该算子描述的多个种群间循环捕食-被食行为、学习行为和休闲行为。对于种群i=1，2，…，P_k，依据式(8)，可以构造出栖息地k上种群间的循环捕食-被食算子： 

式中未进行说明的符号的含义同前。 

式(12)中的第1式描述的是多个种群间的循环捕食-被食行为；第2式描 述的是种群i的学习行为；第3式描述的是种群i的休闲行为。 

(4)融合算子：融合算子描述的是栖息地k上种群i的某些特征与其它若干个种群的某些特征融合在一起，而余下的特征却保留下来，产生新一代种群，即对于种群i=1，2，…，P_k，有 

式中：s_p为从P_k中随机选择的D个种群B={s₁，s₂，…，s_D}；

s_p≠i；D为与种群i发生融合的其它种群数，称为融合种群数，D≥1，α、 

称为融合选择率，且0<α<1，

计算时取α=Rand(0，1)，

此处未进行说明的符号的含义同前。 

式(13)中的第1式描述的是多个种群间的融合行为；第2式描述的是种群i的学习行为；第3式描述的是种群i的休闲行为。 

(5)选择算子：PMDO算法通过竞争算子、互利算子、捕食-被食算子和融合算子产生新一代种群之后，采用一对一选择算子将新一代种群与相应的父代种群进行比较，较优者保存到下一代种群中。对于最小化优化问题(1)，其选择算子可以描述为 

式中： $V_i^k(t+1)=(v_{i1}^k(t+1),v_{i2}^k(t+1),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,v_{\mathrm{in}}^k(t+1)),$ 函数和 

按式(3)计算，此处未进行说明的符号的含义同前。 

一旦新的种群形成之后，PMDO算法继续通过竞争、互利、捕食-被食、融合和选择等算子对群落不断进行演化直到找到最优解。 

所述种群迁徙动力学优化方法—PMDO算法包括如下步骤： 

（1）初始化：令时期t=0，按表1取值方法初始化本算法涉及到的所有参数； 

表1 参数取值方法 

（2）给Q个栖息地随机地分配种群，使栖息地1，2，…，Q上的种群集合分别为P₁，P₂，…，P_Q；一个种群可能被分配到多个栖息地上，种群总数 

给Q个栖息地随机地指定一个生存条件，指定的生存条件为竞争型、互利型、捕食-被食型和融合型四种之一； 

（3）对每个栖息地上的种群按照步骤（1）的参数初始化规定进行初始化，生成初始解

i∈P_k，k=1，2，…，Q； 

（4）执行下列操作： 

（4.1）令时期t从0到G循环执行下列步骤(4.2)～(4.19)，其中G为最大演化时期数，又称演化代数或次数； 

（4.2）令栖息地j从1到Q循环执行下列步骤(4.3)～(4.4)； 

(4.3)若p₀≤E₀，则为栖息地j上的所有种群选择一个栖息地k，选择方法是：通过在比当前栖息地j更好的所有其它栖息地中随机选择一个栖息地，栖息地的好坏是用其上正在生活着的所有种群的PSI指数的平均值来度量的；对每个栖息地j上的所有种群按式(9)执行种群迁徙算子，得到  $X_i^k(t+1)=(x_{i1}^k(t+1),x_{i2}^k(t+1),...,x_{\mathrm{in}}^k(t+1)),$ i∈P_k。其中，E₀为进行种群迁徙的 概率上限，p₀为种群发生迁徙出现的实际概率，p₀=Rand(0，1)；其中，Rand(0，1)表示在[0，1]区间产生一个均匀分布随机数；所述式(9)依据种群迁徙动力学模型式(4)得到； 

（4.4）令j=j+1，若j≤Q，则转上述步骤(4.3)，否则转步骤(4.5)； 

（4.5）令栖息地k从1到Q循环执行下列步骤(4.6)～(4.16)； 

（4.6）对在栖息地k上的每个种群i，i∈P_k，循环执行下列步骤(4.7)～(4.13)； 

（4.7）令周期s从1到M循环执行下列步骤(4.8)～(4.12)； 

（4.8）若栖息地k为竞争型生存条件，则按式(10)执行竞争算子，得到  $V_i^k(t+1)=(v_{i1}^k(t+1),v_{i2}^k(t+1),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,v_{\mathrm{in}}^k(t+1));$

为栖息地k上种群i的特征l在时期t+1的状态值，为非负实数，l=1，2，…，n；所述式(10)依据多种群间循环竞争动力学模型式(6)得到； 

（4.9）若栖息地k为互利型生存条件，则按式(11)执行互利算子，得到 所述式(11)依据多种群间循环互利动力学模型式(7)得到； 

（4.10）若栖息地k为捕食-被食型生存条件，则按式(12)执行捕食-被食算子，得到

所述式(12)依据多种群间循环捕食-被食互利动力学模型式(8)得到； 

（4.11）若栖息地k为融合型生存条件，则按式(13)执行融合算子，得到 

（4.12）令s=s+1，若s≤M，则转上述步骤(4.8)，否则转步骤(4.13)； 

（4.13）取P_k中的下一个种群，若P_k中的种群未取完，则转上述步骤(4.7)，否则转步骤(4.14)； 

（4.14）将超出可行域的变量值压回到可行域内； 

（4.15）按式(14)对新获得的试探解

和原试探解

进行选择操 作，较优者保存到下一代种群中，得到下一代试探解

（4.16）令k=k+1，若k≤Q，则转上述步骤(4.7)，否则转步骤(4.17)； 

（4.17）若新得到的全局最优解与最近一次保存的当前全局最优解之间的误差满足最低要求ε，则转步骤(5)； 

（4.18）保存新得到的全局最优解； 

（4.19）令t=t+1，若t≤G，则转上述步骤(4.2)，否则转步骤(5)； 

（5）结束。 

有益效果 

本发明和现有技术相比，具有如下优点： 

1、本发明公开的PMDO算法采用与BBO算法完全不同的设计思路，即：BBO算法采用的是生物地理学理论，而PMDO算法采用的是种群迁徙动力学理论，这两种理论存在很大差别。PMDO算法假定一生态系统中存在多个栖息地，每个栖息地生存有多种不同种类的生物种群；栖息地有特定的生存条件，种群依据其所在栖息地上的生存条件进行竞争、互利、捕食-被食以及融合等活动，通过优胜劣汰，强壮者不断获得进化，虚弱者则停止进化。而在BBO算法中，种群没有类型区别，栖息地没有特定的生存条件，种群仅通过在栖息地之间的迁入和迁出实现数量改变。 

2、PMDO算法的搜索能力强。PMDO算法包括有种群迁徙算子、竞争算子，互利算子、捕食-被食算子、融合算子和选择算子，这些算子大幅增加了其搜索能力。BBO算法只有种群迁徙算子和突变算子，其搜索能力不如PMDO算法。 

3、模型参数取值简单。采用随机方法确定算法中种群迁徙、竞争、互利、捕食-被食、融合模型的相关参数，既大幅减少了参数输入个数，又使模型更 能表达实际情况。 

4、本发明PMDO算法的特点如下： 

1)时间复杂度较低。PMDO算法的时间复杂度计算过程如表2所示，其时间复杂度与演化次数G、种群规模

变量个数n、栖息地个数Q、栖息地每个周期进化次数M、融合种群数D以及各算子的时间复杂度以及其他辅助操作相关。 

表2 PMDO算法的时间复杂度计算表 

2)PMDO算法具有全局收敛性。其理由的理论分析如下： 

由PMDO算法知，生态系统是一个离散的空间，将Q个栖息地上的种群 k=1，2，…，Q，重新排列成N个种群，

形成新的种群序列为

但每个种群是在连续的 实数空间取值。种群总个数为N，每个种群即为优化问题(1)的一个试探解，其目标函数值按式(2)计算为

则所有种群的状态所形成的集合为 

$F=\left\{F\left(X_i^t\right)\right|X_i^t\&Element;S\}$

进一步令 

F＝{F₁,F₂,…,F_N}，F₁≤F₂≤…≤F_N    (A) 

不失一般性，令F₁即为我们所求的全局最优解。将式(A)的下标取出形成一个集合，即 

U={1，2，…，N} 

集合U中的元素就是随机搜索时每个种群可能所处的状态。假设在某时期搜索到的最好目标函数值为F_i，其对应的状态为i。显然，由式(A)知，下一时期搜索时，若向更优的状态k转移，则应满足k<i；相反，若向更差的状态k转移，则应满足k>i，如表A所示。 

表A 随机搜索时状态转移情况 

有F₁≤F(X)≤F_N，将S划分为非空子集为： 

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|X_S^i\right|=N;$

$\underset{i=1}{\overset{N}{\&cup;}}{X}_S^i=S$

令

表示

中第j个状态。种群在进化过程中，从一个状态(i，j)转移到另外的状态(k，l)可表示为X^i,j→X^k,l，则假定：从X^i,j到X^k,l的转移概率为p_ij,kl，从X^i,j到中任一状态的转移概率为p_ij,k，从

中任一状态 到

中任一状态的转移概率为p_i,k，则有 

$p_{\mathrm{ij},k}=\underset{l=1}{\overset{\left|X_S^k\right|}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{\mathrm{ij},\mathrm{kl},}$ $\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{\mathrm{ij},k}=1,p_{i,k}\&GreaterEqual;p_{\mathrm{ij},k}$

$p_{i,k}\&GreaterEqual;p_{\mathrm{ij},k}\&RightArrow;\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{i,k}\&GreaterEqual;\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{\mathrm{ij},k}=1,$ 而 $0\&le;\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{i,k}\&le;1,$ 故有 

$\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{i,k}=1---\left(B\right)$

引理1在PMDO算法中， $\&ForAll;X^{i,j}\&Element;X_S^i,i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,N,j=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,\left|X_S^i\right|,$ 满足： 

$\&ForAll;k>i,p_{i,k}=0---\left(C\right)$

$\&Exists;k<i,p_{i,k}>0---\left(D\right)$

(1)式(C)的证明。设状态i为时期t某种群X^t的状态，该状态i当然就是该种群至今已达到的最好状态。在PMDO算法中，每次进行新的演化都总是对该种群当前状态i进一步向更好状态的更新，即有 

$F\left(X^{t+1}\right)\&le;F\left(X^t\right)\&DoubleRightArrow;\&ForAll;k>i,p_{\mathrm{ij},\mathrm{kl}}=0\&DoubleRightArrow;\&ForAll;k>i,p_{\mathrm{ij},k}=\underset{l=1}{\overset{\left|X_S^k\right|}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_{\mathrm{ij},\mathrm{kl}}=0\&DoubleRightArrow;\&ForAll;k>i,p_{i,k}=0$

上式的含义是：若i为时期t某种群的状态(也必是该种群已达到的最好状态)，在时期t+1该种群的演化只会向更好的状态更新，所以从i开始不可能转移到比i差的任何其它状态上去；由式(A)知，若要F_k>F_i，则比状态i差的状态k必满足k>i，也即最好状态要么保持原状、要么只能向更好的状态更新(即做到步步不差)，如表A所示。 

(2)式(D)的证明。设某种群的当前状态为i，当然必是该种群迄今为止已达到的最好状态，在时期t+1，该种群随机选择迁徙算子、竞争算子，互利算子、捕食-被食算子、融合算子等操作进行演化以期转移到更好的状态k上。此时，有两种情况出现： 

a)若i是全局最优状态，即i=1，则下一步转移必选k=1(因为不可能转移到比当前状态还差的状态上去)，即必以概率p_1,1=1转移到该全局最优状态上去。 因p_1,1=1>0，命题得证； 

b)若i不是全局最优状态，则在全局最优状态1和当前状态i之间必至少存在一中间状态k(如表A所示)，使得F₁≤F_k<F_i，即1≤k<i，此时当前状态i可以转移到状态k上去(因为新状态k比当前状态i更优)，也就是p_i,k>0，命题得证。 

综合上述情况可得证毕。 

Iisufescu M在文献《Finite Markov Processes and Their Applications，Wiley:Chichester,1980》中提出下列定理： 

定理1 设P′是一n阶可归约随机矩阵，也就是通过相同的行变换和列变换后可以得到 $p^{\&prime;}=\left[\begin{array}{ccc}C& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ R& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& T\end{array}\right],$ 其中C是m阶本原随机矩阵并且R≠0，T≠0，则有 

$P^{\&prime;\&infin;}=\underset{k\&RightArrow;\&infin;}{\lim }{P}^{\&prime;k}=\underset{k\&RightArrow;\&infin;}{\lim }\left[\begin{array}{ccc}{C}^k& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ \underset{i=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{T}^i{\mathrm{RC}}^{k-i}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& T^k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{C}^{\&infin;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ R^{\&infin;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\end{array}\right]$

上述的矩阵是一个稳定的随机矩阵且P′^∞＝1′P′^∞，P′^∞＝P′⁰P′^∞唯一确定并且与初始分布无关，P′^∞满足如下条件： 

$P^{\&prime;\&infin;}={\left[p_{\mathrm{ij}}\right]}_{n\&times;n},\left\{\begin{array}{c}{p}_{\mathrm{ij}}>\mathrm{0,1}\&le;i\&le;n,1\&le;j\&le;m\\ p_{\mathrm{ij}}=\mathrm{0,1}\&le;i\&le;n,m<j\&le;n\end{array}\right.$

定理1的证明过程非常复杂，具体证明过程可参见文献《Finite Markov Processes and Their Applications，Wiley:Chichester,1980》。 

定理2 PMDO算法具有全局收敛性。 

证明：对于每个

可看为是有限Markov链上的一个状态，根据引理1中式(C)的结论可得，该Markov链的转移矩阵为 

由式(B)知，P′矩阵中每行概率之和为1。又根据引理1中式(D)结论得 

由以上可知P′是N阶可归约随机矩阵(Markov概率矩阵)，满足定理1的条件，所以下式成立： 

$P^{\&prime;\&infin;}=\underset{k\&RightArrow;\&infin;}{\lim }\left[\begin{array}{ccc}{C}^k& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ \underset{i=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{T}^i{\mathrm{RC}}^{k-i}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& T^k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{C}^{\&infin;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ R^{\&infin;}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\end{array}\right]$

因C^∞＝C＝(1)，T^∞＝0，故必有R^∞＝(1,1,…,1)^T，这是因为Markov转移矩阵P′中每行的概率之和为1。因此有 

$P^{\&prime;\&infin;}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ 1& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ 1& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\end{array}\right],$ 且为稳定的随机矩阵。 

上式表明，当k→∞时，概率p_i,1=1，i=1，2，…，N，也即无论初始状态如何，最后都能以概率1收敛到全局最优状态1上。于是得 

$\underset{t\&RightArrow;\&infin;}{\lim }p\{F\left(X_i^t\right)\&RightArrow;F\left(X^{*}\right)\}=1,i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,N$

因此，PMDO算法具有全局收敛性，证毕。 

具体实施方式

以下结合具体实例对本发明作进一步的详细描述。 

(1)确定要求解的实际优化问题，将该问题转化成式(1)所描述的标准形式。即 

(2)若实际优化问题是求max f(X)，则改为min-f(X)。 

(3)将实际优化问题的所有变量区间进行压缩与调整，即 

若0≤x_i≤a_i，a_i≥0，i=1，2，…，n，则将x_i=a_iy_i代入实际优化问题，这是实际优化问题是关于变量y_i的优化问题，0≤y_i≤1。 

若-a_i≤x_i≤0，a_i≥0，i=1，2，…，n，则将x_i=-a_iy_i代入实际优化问题，这是实际优化问题是关于变量y_i的优化问题，0≤y_i≤1。 

若-b_i≤x_i≤a_i，a_i≥0，b_i≥0，i=1，2，…，n，则将x_i=(a_i+b_i)y_i-b_i代入实际优化问题，这是实际优化问题是关于变量y_i的优化问题，0≤y_i≤1。 

(4)按表1描述的方法确定PMDO算法的参数。 

(5)运行PMDO算法进行求解。 

(6)最优解y_i获得后，在利用下面的方法求出x_i，即 

若是按-b_i≤x_i≤a_i进行转化的，则x_i=(a_i+b_i)y_i-b_i，i=1，2，…，n； 

若是按0≤x_i≤a_i进行转化的，则x_i=a_iy_i，i=1，2，…，n； 

若是按-a_i≤x_i≤0进行转化的，则x_i=-a_iy_i，i=1，2，…，n。 

为了更清楚的说明上述操作方法，下面举例来说明： 

(1)对于实际优化问题，求n=100，200，400，600，800，1000，1200时的全局最优解。 

$\max f\left(X\right)=-20-e+20\exp (-0.2\sqrt{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2})+\exp \left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos \left(2\mathrm{\&pi;}{x}_i\right)\right)$

s.t. 

-100≤x_i≤100,i＝1,2,…,n 

(2)将该优化问题转化成式(1)所描述的标准形式，即 

$\min f\left(X\right)=20+e-20\exp (-0.2\sqrt{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2})-\exp \left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos \left(2\mathrm{\&pi;}{x}_i\right)\right)$

s.t. 

-100≤x_i≤100,i＝1,2,…,n 

(3)令x_i=200y_i-100，Y=(y₁，y₂，…，y_n)，则得 

$\min f\left(X\right)=20+e-20\exp (-0.2\sqrt{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_i^2})-\exp \left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\cos \left(2\mathrm{\&pi;}{x}_i\right)\right)$

s.t. 

0≤y_i≤1,i＝1,2,…,n 

(4)确定算法的参数，如表3所示。 

表3 求解过程各参数取值 

(5)采用PMDO算法进行求解，所得结果如表4所示。 

表4 计算结果 

((6)求得的最优解在y_i在[0.49999998，0.50000002]之内，转化后得x_i在[-4.0E-6，2.0E-6]内，i=1，2，…，n。 

Claims (1)

1.一种种群迁徙动力学优化方法—PMDO算法，其特征在于：设要解决的函数优化问题为：

minf(X)

$s.t.\left\{\begin{array}{c}{g}_i\left(X\right)\&GreaterEqual;0,i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,I\\ h_i\left(X\right)=0,i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,E\\ X\&Element;S\&Subset;R^n,X\&GreaterEqual;0\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：Rⁿ是n维欧氏空间；X=(x₁，x₂，…，x_n)是一个n维决策向量，变量x_i(i=1，2，…，n)为非负实数；S为非负搜索空间，又称解空间；f(X)为目标函数；g_i(X)≥0为第i个约束条件，i=1，2，…，I，I为不等式约束条件个数；h_i(X)=0为第i个等式约束条件，i=1，2，…，E，E为等式约束条件个数；目标函数f(X)和约束条件g_i(X)、h_i(X)不需要特殊的限制条件；

优化问题的解空间与生态系统相对应，该生态系统由若干个栖息地组成，每个栖息地上生活着若干个种群，每个种群对应着优化问题的一个试探解，种群的一个特征对应于试探解中的一个变量；适用于种群每个特征的种群迁徙动力学模型也适用于试探解中的对应变量；

每个栖息地对应特定的生存条件，且生存条件永不改变，当种群在当前栖息地上生活一个周期后，通过在比当前栖息地更好的栖息地中随机选择一个栖息地进行迁徙，从而实现进化；当种群在当前栖息地上活动期间，根据当前栖息地的生存条件，种群相互之间进行与生存条件相适应的相互作用，这种相互作用为种群间循环竞争、互利、捕食-被食和融合四种之一；此外，种群在当前栖息地活动期间还实施学习行为和休闲行为，所述学习行为是指：栖息地上的某种群向比其PSI指数好的其它种群进行学习的行为，也即将比其PSI指数好的其它种群的部分特征的状态值作为该种群对应特征的状态值；所述休闲行为是指：某种群在栖息地上活动时其特征的状态值保持不变；

种群中的个体是能够分开的，即在同一时期，一个种群的个体能够在多个栖息地上同时出现；

种群利用竞争、互利、捕食-被食、融合、学习或休闲行为进行状态随机转换，并通过选择更好的栖息地进行迁徙，相当于试探解在解空间进行随机搜索，并通过选择算子从一个位置转移到另一个更好的位置，这种效应使得种群的PSI指数要么保持原状不变，要么向更好的方向转移；

所述种群迁徙动力学优化方法—PMDO算法包括如下步骤：

（1）初始化：令时期t=0，按表1取值方法初始化本算法涉及到的所有参数；

表1 参数取值方法

（2）给Q个栖息地随机地分配种群，使栖息地1，2，…，Q上的种群集合分别为P₁，P₂，…，P_Q；一个种群可能被分配到多个栖息地上，种群总数给Q个栖息地随机地指定一个生存条件，指定的生存条件为竞争型、互利型、捕食-被食型或融合型；

（3）对每个栖息地上的种群按照步骤（1）的参数初始化规定进行初始化，生成初始解

i∈P_k，k=1，2，…，Q；

（4）执行下列操作：

（4.1）令时期t从0到G循环执行下列步骤(4.2)～(4.19)，其中G为最大演化时期数，又称演化代数或次数；

（4.2）令栖息地j从1到Q循环执行下列步骤(4.3)～(4.4)；

（4.3）若p₀≤E₀，则为栖息地j上的所有种群选择一个栖息地k，选择方法是：通过在比当前栖息地j更好的所有其它栖息地中随机选择一个栖息地，栖息地的好坏是用其上正在生活着的所有种群的PSI指数的平均值来度量的；对每个栖息地j上的所有种群按式(9)执行种群迁徙算子，得到 $X_i^k(t+1)=(x_{i1}^k(t+1),x_{i2}^k(t+1),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,x_{\mathrm{in}}^k(t+1)),$ $X_i^k(t+1)\&GreaterEqual;0,$ i∈P_k，其中，E₀为进行种群迁徙的概率上限，p₀为种群发生迁徙的实际概率，p₀=Rand(0，1)；其中，Rand(0，1)表示在[0，1]区间产生一个均匀分布随机数；

所述式(9)依据种群迁徙动力学模型式(4)得到，即

$\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=f_i(x_1^k,x_2^k,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,x_N^k)+m_i\underset{s=1,s\&NotEqual;k}{\overset{Q}{\mathrm{\&Sigma;}}}(x_i^s{m}_i^{\mathrm{ks}}-x_i^k{m}_i^{\mathrm{sk}}),i\&Element;P_k;k\&Element;H---\left(4\right)$

式中：t表示时期；

为栖息地k上种群i的数量，

P为用编号表示的种群的集合，即P={1，2，…，N}；H为用编号表示的栖息地的集合，即H={1，2，…，Q}；函数f_i的集合规定着栖息地k内种群相互作用的结构；函数描述由所有其他栖息地流入栖息地k的迁徙作用；m_i为种群迁徙强度因子，表示种群特异性和迁徙路线的独立性，m_i≥0，m_i=0表示种群i在所有栖息地中都不参与迁徙；

对于只有一个种群为i发生迁移，方向为j→k，即有

$x_{\mathrm{il}}^k(t+1)=x_{\mathrm{il}}^k\left(t\right)+m_i{x}_{\mathrm{il}}^j\left(t\right)m_i^{\mathrm{kj}},l\&Element;L---\left(9\right)$

式中：

和

分别为为栖息地k上种群i的特征l在时期t+1和时期t的状态值，都为非负实数；L={1，2，…，n}；计算时取

和分别表示种群迁徙强度因子m_i的取值区间的下限和上限，且

和

分别表示任意两栖息地间种群瞬时迁徙强度的取值区间的下限和上限，且Rand(a，b)表示在[a，b]区间产生一个均匀分布随机数；

（4.4）令j=j+1，若j≤Q，则转上述步骤(4.3)，否则转步骤(4.5)；

（4.5）令栖息地k从1到Q循环执行下列步骤(4.6)～(4.16)；

（4.6）对在栖息地k上的每个种群i，i∈P_k，循环执行下列步骤(4.7)～(4.13)；

（4.7）令周期s从1到M循环执行下列步骤(4.8)～(4.12)；

（4.8）若栖息地k为竞争型生存条件，则按式(10)执行竞争算子，得到 $V_i^k(t+1)=(v_{i1}^k(t+1),v_{i2}^k(t+1),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,v_{\mathrm{in}}^k(t+1)),$

为栖息地k上种群i的特征l在时期t+1的状态值，为非负实数，l=1，2，…，n；

所述式(10)依据多种群间循环竞争动力学模型式(6)得到的，即

$\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=x_i^k(\mathrm{PN}\left(r_i\right)r_i-\underset{j=1}{\overset{P_k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j^k)---\left(6\right)$

式中：r_i>0称为种群i的内禀增长率，r_i>0表示种群i还具有吸收自然资源的能力，r_i<0表示没有这种能力；PN(r_i)表示为r_i随机产生+1或-1的函数，即

a_ij(i≠j)的正负符号和绝对值表示种群j对种群i的影响性质和强度；a_ii表示种群i的种内调节参数，a_ii<0表示种内密度制约；

式中：P_a为竞争型、互利型、捕食-被食型和融合型这四个生存条件中的每一个出现的概率上限；P_b为学习行为出现的概率上限；P_c为休闲行为出现的概率上限，P_c=1；R_k为栖息地k上比种群i的PSI指数好的其它种群的集合；因将正负号直接放入到表达式中，所以有r_i>0，a_ij>0，计算时取r_i=Rand(r_l，r_u)，a_ij=Rand(a_l，a_u)；r_l和r_u分别表示r_i随机取值的下限和下限，且r_u>r_l≥0；a_l和a_u分别表示a_ij随机取值的下限和下限，且a_u>a_l≥0；

（4.9）若栖息地k为互利型生存条件，则按式(11)执行互利算子，得到

所述式(11)依据多种群间循环互利动力学模型式(7)得到的，即

$\frac{{\mathrm{dx}}_i^k}{\mathrm{dt}}=x_i^k(\mathrm{PN}\left(r_i\right)r_i+\underset{j=1}{\overset{P_k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ij}}{a}_{\mathrm{ij}}{x}_j^k)---\left(7\right)$

式中：δ_ij=-1，若i=j；δ_ij=1，若i≠j；

（4.10）若栖息地k为捕食-被食型生存条件，则按式(12)执行捕食-被食算子，得到

所述式(12)依据多种群间循环捕食-被食互利动力学模型式(8)得到的，即

式中：若i=j或j=i+1，则否则，

（4.11）若栖息地k为融合型生存条件，则按式(13)执行融合算子，得到

式中：s_p为从P_k中随机选择的D个种群B={s₁，s₂，…，s_D}；

s_k≠i；D为与种群i发生融合的其它种群数，称为融合种群数，D≥1，α、

称为融合选择率，且0<α<1，计算时取α=Rand(0，1)，

（4.12）令s=s+1，若s≤M，则转上述步骤(4.8)，否则转步骤(4.13)；

（4.13）取P_k中的下一个种群，若P_k中的种群未取完，则转上述步骤(4.7)，否则转步骤(4.14)；

（4.14）将超出可行域的变量值压回到可行域内；

（4.15）按式(14)对新获得的试探解

和原试探解

进行选择操作，较优者保存到下一代种群中，得到下一代试探解

式中： $V_i^k(t+1)=(v_{i1}^k(t+1),v_{i2}^k(t+1),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,v_{\mathrm{in}}^k(t+1)),$ 函数

和

按式(3)计算

PSI(X_i)=F_max-F(X_i)    (3)

式中：F_max为非常大的正实数，用于对不满足约束条件的试探解进行惩罚；而F(X_i)按式(2)计算：

式(2)中的符号已在式(1)中描述；

（4.16）令k=k+1，若k≤Q，则转上述步骤(4.7)，否则转步骤(4.17)；

（4.17）若新得到的全局最优解与最近一次保存的当前全局最优解之间的误差满足最低要求ε，则转步骤(5)；

（4.18）保存新得到的全局最优解；

（4.19）令t=t+1，若t≤G，则转上述步骤(4.2)，否则转步骤(5)；

（5）结束。